|
Ход урока
|
Время (минута)
|
Действия преподавателя
|
Действия обучающихся
|
Учебные материалы и ресурсы
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
I. Организационный этап
|
3 мин
|
Приветствовать
обучающихся, отметить отсутствующих.
Проверить
подготовленность обучающихся к учебному занятию.
|
Приветствовать.
Подготовится к учебному занятию.
|
|
|
II.
Проверка выполнения
домашнего задания
|
7 мин
|
Ответы на вопросы по домашнему заданию(решение
примеров)
Контроль усвоения материала. Фронтальный
опрос: Тригонометрические
уравнения.
- Простейшие
тригонометрические уравнения.
- Системы тригонометрических
уравнений.
|
Ответить на вопросы
Показать д-е
задание.
|
|
|
III. Подготовка обучающихся к работе на основном этапе
|
5 мин
|
Цели
урока: Образовательная: ввести понятие
однородные тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным; ввести
понятие тригонометрические уравнения 1 и 2 степени; сформировать у учащихся
умение решать рассмотренные уравнения на базовом уровне.
Развивающая:
развивать умения анализировать и делать выводы; формировать умение
самоанализа и контроля.
Воспитательная:
воспитывать чувство ответственности; воспитывать умения работать в
коллективе.
Мобилизирующий
момент: «Если вы хотите
научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать
задачи, то решайте их!» Д. Пойа. Желаю работать , желаю трудиться . Желаю
успехов сегодня добиться Ведь в будущем все это вам пригодится. И легче в
дальнейшем вам будет учиться.
Объявление
темы урока
Тема Решение однородных тригонометрических уравнений.
- ТУ,
решаемые путем понижения степени.
- Решение
однородных ТУ.
|
Подготовить
тетради и ручки.
|
Алгебра и начала
математического анализа.
|
|
IV. Формирование новых знаний и способов деятельности
|
15
мин
|
Консультация Определение. Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0
называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
Примером такого уравнения является уравнение №4. Выпишем общий
вид уравнения и проанализируем его.
а sinx + b cosx = 0.
Если cosx = 0, то sinx = 0.
– Может ли получиться такая ситуация?
– Нет. Получили противоречие основному тригонометрическому
тождеству.
Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:
а · tgx + b = 0
 – простейшее
тригонометрическое уравнение.
Вывод: Однородные тригонометрические уравнения первой степени
решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx).
Например: 2 sinx – 3 cosx = 0,
Т.к. cosx ≠ 0, то 
2tgx – 3 = 0;
tgx =  ;
х = arctg +πn,
n ∈Z.
Определение. Уравнение вида a sin2x + b
sinx cosx + c cos2x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называетсятригонометрическим
уравнением второй степени.
Примером такого уравнения является уравнение №6. Выпишем общий
вид уравнения и проанализируем его.
a sin2x + b sinx cosx + c cos2x
= 0.
Если cosx = 0, то sinx = 0.
Опять получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.
Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cos2x:
а tg2x + b tgx + c = 0 – уравнение, сводящееся к
квадратному.
Вывод: Однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются
делением обеих частей уравнения на cos2x (sin2x).
Например: 3 sin2x – 4 sinx cosx + cos2x = 0.
Т.к. cos2x ≠ 0, то 
3tg2x – 4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к
доске и дорешать уравнение самостоятельно).
Замена: tgx = у. 3у2– 4 у + 1 = 0
D = 16 – 12 = 4,  =
1 или 
tgx = 1 или tgx = 
tgx = 1: х = arctg1 + πn,
n ∈Z. x =  +
πn, n ∈Z.
tgx = : x = arctg ()
+ πn, n ∈Z.
|
Внимательно
слушать консультацию. Записывать важные информации.
|
Интернет.
Википедия.
Алгебра и начала
математического анализа.
|
|
V. Первичная проверка понимания изученного материала
|
5 мин
|
Выберите
лишнее уравнение:
sinx = 2cosx;
2sinx + cosx = 2;
√3sinx + cosx = 0; sin2x
– 2 sinx cosx + 4cos2x = 0;
4cosx
+ 5sinx
= 0; √3sinx – cosx
= 0.
Почему вы так
считаете?
|
Групповая
работа.
|
|
|
VI. Закрепление новых знаний и способов деятельности
|
15
мин
|
1) √3sinx + cosx = 0,
Т.к. cosx ≠ 0, то √3tgx + 1 = 0; tgx = –  ; х = arctg (-) + πn, n ∈Z.
х = – + πn, n ∈Z.
2) sin2x – 10 sinx cosx + 21cos2x = 0.
Т.к. cos2x ≠ 0, то tg2x – 10 tgx + 21 = 0
Замена: tgx = у. у2 – 10 у + 21 = 0
у1 = 7 или у2
= 3
tgx = 7 или tgx = 3
tgx = 7: х = arctg7 + πn, n ∈Z
tgx = 3: х = arctg3 + πn, n ∈Z
3) sin22x
– 6 sin2x cos2x + 5cos22x = 0.
Т.к. cos22x ≠ 0, то 3tg22x – 6tg2x +5 = 0
Замена: tg2x = у. 3у2 – 6у + 5 = 0
D = 36 – 20 = 16. у1=
5 или у2 = 1
tg2x =
5 или tg2x = 1
tg2x = 5: 2х = arctg5 + πn, n ∈Z
х =  arctg5 +  n, n ∈Z
tg2x = 1: 2х = arctg1 + πn, n ∈Z
х =  + n, n ∈Z
4) 6sin2x
+ 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.
6sin2x + 4 sinx cosx = 1.
5sin2x + 4 sinx cosx – cos2x = 0.
Т.к. cos2x ≠0, то 5tg2x + 4 tgx –1 = 0
Замена: tg x = у. 5у2 + 4у – 1 = 0
D = 16 + 20 = 36. у1 =
 или у2 = –1
tg x =  или tg x = –1
tg x = : х = arctg + πn, n ∈Z
tg x = –1: х = arctg(–1) + πn, n ∈Z , х = –  + πn, n ∈Z
|
Решить примеры вместе
с преподавателем. Записывать важные информации.
|
Алгебра и начала математического
анализа. 10-11 Алимов Москва 2014
|
|
VII. Применение знаний и способов деятельности
|
12 мин
|
Разобранные
уравнения сильным учащимся предложить решить самостоятельно, а с теми кто ещё
затрудняется разобрать их решение у доски.
№
1 Sin x = 2 Cos x, Cos x  0
tg x = 2,
x = arctg 2 +  n,
n Z.
Ответ: arctg 2 +  n,
n  Z.
№ 2.  Sin
x + Cos x = 0, 
 tg
x + 1 = 0,
 tg
x = - 1, tg x =-
x = arctg (- )
+  n,
n  Z,
x =- arctg + n,
n Z.
Ответ: - arctg  +  n,
n  Z.
№ 3 3 Sin2 x – 2 Sin x Cos x – Cos2x = 0, Cos2x0
3
3 tg2x – 2 tg x- 1 = 0,
введём а =
tg x,
3 a2 – 2a – 1 = 0, D = 4 + 12 = 16 ,
a1= ,
a2= ,
вернёмся к
замене:
tg x=1, tg x = - 
x =  x
= arctg (-  )
+  k,
k Z,
x = - arctg  + k,
k Z.
Ответ:  ;
- arctg  + k,
k  Z.
|
Работа
на доске.
|
|
|
VIII. Обобщение и систематизация знаний
|
5 мин
|
Решить
уравнение и, выбрав один вариант из четырех предложенных, отгадать имя математика,
который вывел формулы приведения:
2sin2x
– 3 sinx cosx – 5cos2x = 0.
Варианты
ответов:
х =
arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z –
П.Чебышев
х =
arctg 12,5 + 2πn, n ∈Z х = –3π/4 + πn, n ∈Z –
Евклид
х =
arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z
– Софья Ковалевская
х =
arctg2,5 + πn, n ∈Z х = –π/4 + πn, n ∈Z
– Леонард Эйлер
Правильный
ответ: Леонард Эйлер
|
Коллективная
работа
|
|
|
IX. Контроль и самоконтроль усвоения знаний и способов деятельности
|
15 мин
|
Дифференцированная
самостоятельная работа
Великий
математик и философ более 2500 лет назад подсказал способ развития
мыслительных способностей. «Мышление начинается с удивления» – сказал он. В
правильности этих слов мы сегодня неоднократно убеждались. Выполнив
самостоятельную работу по 2-м вариантам, вы сможете показать, как усвоили
материал и узнать имя этого математика. Для самостоятельной работы
используйте раздаточный материал, который находится у вас на столах. Вы
можете сами выбрать одно из трех предложенных уравнений. Но помните, что
решив уравнение, соответствующее желтому цвету, вы сможете получить только
«3», решив уравнение, соответствующее зеленому цвету – «4», красному цвету –
«5». (Приложение
)
Какой бы уровень сложности не выбрали учащиеся, после правильного
решения уравнения у первого варианта получается слово «АРИСТ», у второго –
«ОТЕЛЬ». Листочки с самостоятельной работой сдаются на проверку.
|
Индивидуальная
работа.
|
Карточки
|
|
X. Коррекция знаний и способов деятельности
|
5 мин
|
Метод «Вопрос -
ответ»- обучающийся- преподаватель, обучающийся- обучающийся.
|
Задавать вопросы.
|
|
|
XI. Информация о домашнем задании
|
3 мин
|
Задание на дом
Учебник «Алгебра
и начала математического анализа 10-11», Алимов §37, прочитать и
конспектировать, № 648,649
|
Записать
домашнее задание
|
Алгебра и начала
анализа
|
|
XII. Подведение итогов занятия и рефлексия
|
5
мин
|
Дать
качественную оценку работы всей группы и отдельных обучающихся. Рефлексия «»
|
|
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.