План- конспект урока на тему «Тригонометрические уравнения»

ПЛАН- КОНСПЕКТ УРОКА  27 «Тригонометрические уравнения»

Ход урока	Время (минута)	Действия преподавателя	Действия обучающихся	Учебные материалы и ресурсы
1	2	3	4	5
I.     Организационный этап	3 мин	Приветствовать обучающихся, отметить отсутствующих. Проверить подготовленность обучающихся к учебному занятию.	Приветствовать. Подготовится к учебному занятию.
II.     Проверка выполнения домашнего задания	10 мин	Ответы на вопросы по домашнему заданию (решение примеров) Контроль усвоения материала. «Тригонометория вокруг нас» Найти предметы, имеющие форму прямоугольного треугольника, вокруг вас.  Вспомнить основные ТФ. Показать отношения в прямоугольном треугольнике. Тригонометрические функции острого угла есть отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника    1) Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе:  sin A = a / c .   2) Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе:  cos A = b / c . 3) Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему:  tan A = a / b . 4) Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему: cot A = b / a . 5) Секанс - отношение гипотенузы к прилежащему катету:  sec A = c / b . 6) Косеканс - отношение гипотенузы к противолежащему катету: cosec A = c / a .	Ответить на вопросы Показать д-е задание.
III.     Подготовка обучающихся к работе на основном этапе	7 мин	Цели урока:   Образовательные: - актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач; - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; - закрепить навыки решения тригонометрических уравнений; - познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений. Развивающие: - содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать; - формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения; - отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития. Воспитательные:- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке; -  способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности. Мобилизирующий момент: Составим кластер на тему «Уравнения». Объявление темы урока Тема   Раздел 4. Тригонометрические уравнения. Тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические уравнения. Методы решения тригонометрических уравнений.	Подготовить тетради и ручки. Участвовать в составлении кластера.	Алгебра и начала математического анализа.
IV.     Формирование новых знаний и способов деятельности	15 мин	Консультация    Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.  Простейшие тригонометрические уравнения.	Внимательно слушать консультацию. Записывать важные информации.	Интернет. Википедия. Алгебра и начала математического анализа.
V.     Первичная проверка понимания изученного материала	5 мин	Составим кластер «Что мы узнали о тригонометрических уравнениях».	Работа на доске.	.
VI.     Закрепление новых знаний и способов деятельности	20 мин	Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнениядля получения его простейшего вида ( см. выше ) и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.  1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры    ( метод замены переменной и подстановки ).    2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.     П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .     Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:       sin x + cos x – 1 = 0 ,                                преобразуем и разложим на множители выражение в                                левой части уравнения:                                    П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.     Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,                                             sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,                                             sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,                                     П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.       Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,                                2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,                                cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,                                cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,                               1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,                              3. Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степениотносительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:    а)  перенести все его члены в левую часть;    б)  вынести все общие множители за скобки;    в)  приравнять все множители и скобки нулю;    г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на   cos ( или sin ) в старшей степени;     д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .      П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.     Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,                              sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,                              tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,                              корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда                              1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,                                4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:     П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7.      Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =                                                                          = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,                              2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,                              tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,                                      .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:                                            a sin x + b cos x = c ,     где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное. Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos  и sin  ( здесь  - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:     6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.     П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.     Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:                                         cos 4x – cos 8x = cos 4x ,                                                  cos 8x = 0 ,                                                  8x = p / 2 + pk ,                                                  x = p / 16 + pk / 8 . 7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.   П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .                                                                 Таким образом, решение даёт только первый случай.	Решить примеры вместе с преподавателем.  Записывать важные информации.	Алгебра и начала математического анализа. 10-11 Алимов Москва 2014
VII.     Применение знаний и способов деятельности	10 мин	Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11», Алимов. стр192  620-623	Работа на доске.
VIII.     Обобщение и систематизация знаний	5 мин	Фронтальный  опрос «Место тригонометрии в моей будущей профессии?»
IX.     Контроль и самоконтроль усвоения знаний и способов деятельности	10 мин	Тест 1. Уравнение sin x –3 cos x = 0 решается методом: а) введения новой переменной; б) разложения на множители; в) деления обеих частей уравнения на cosx; г) деления обеих частей уравнения на cos2x. Эталон: в. 2. Решением уравнения cos2x–cos x–2=0 являются: а) х=2k, k; б) х=+k, k; в) х=arccos 2+2k, х=+2k, k; г) x=+2k, k. Эталон: г. 3.Решением уравнения 3cos2x=sin x cos x являются: а) х=arctg 3+k, k; б) х=+k, x=arctg 3+k, k; в) х=+2k, х=arctg 3+k, k; г) x=arctg 3+k, k. Эталон: б. 4. Наименьший положительный корень уравнения sin 2x=cos 2x равен: а) ;  б) ; в) ;  г) . Эталон: в. 5. Уравнение 3sin x cos x–2cos x=0 решается методом: а) введения новой переменной; б) разложения на множители; в) деления обеих частей уравнения на cosx; г) деления обеих частей уравнения на cos2x. Эталон: б.	Индивидуальная работа.
X.     Коррекция знаний и способов деятельности	5 мин	Метод «Вопрос - ответ»- обучающийся- преподаватель,  обучающийся- обучающийся.	Задавать вопросы.
XI.     Информация о домашнем задании	2 мин	Задание на дом Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11», Алимов §33 ,34, 35,36  прочитать и конспектировать, № 624-627	Записать домашнее задание	Алгебра и начала анализа
XII.     Подведение итогов занятия и рефлексия	3 мин	Дать качественную оценку работы всей группы и отдельных обучающихся. Рефлексия групповая  «Знал... Узнал... Хочу знать... »