Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / План конспект урока + презентация "Разложение квадратного трехчлена" 9 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

План конспект урока + презентация "Разложение квадратного трехчлена" 9 класс

Выбранный для просмотра документ презентация.pptx

библиотека
материалов
Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает в...
Дьердь Пойа Американский математик. Родился в Венгрии в 1887 г. С 1914 по 194...
Проверь свои знания Дайте определение квадратного трехчлена. Многочлен вида а...
Проверь свои знания Что называют разложением многочлена на множители? Предста...
Решите уравнение х3 – 6х2 – 4х + 24 = 0. (ГИА 2012). Решение: (х3 – 6х2 ) – (...
График функции
Постройте график функции ГИА (2013 г.). . = = х ≠ 2
График функции
Разложить на множители 3х2 – 21х + 30 Решение: 3х2 – 21х + 30 = 3(х2 – 7х + 1...
Теорема Если х1 и х2 - корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c, то ах2 + bx...
Можно ли разложить квадратный трехчлен на множители, если он не имеет корней?...
Применение теоремы: Разложите на множители квадратный трехчлен: 3х2 – 24х + 2...
12 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает в
Описание слайда:

Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы. Дьердь Пойа

№ слайда 2 Дьердь Пойа Американский математик. Родился в Венгрии в 1887 г. С 1914 по 194
Описание слайда:

Дьердь Пойа Американский математик. Родился в Венгрии в 1887 г. С 1914 по 1940 г. работал в Цюрихе (Швейцария). С 1953 г. работал в Принстонском университете (США) Основные труды относятся к функциональному анализу, математической статистике и комбинаторике. На русский язык вышли работы Пойа: «Задачи и теоремы анализа», «Математика и правдоподобные рассуждения», «Как решать задачу», «Математическое открытие».

№ слайда 3 Проверь свои знания Дайте определение квадратного трехчлена. Многочлен вида а
Описание слайда:

Проверь свои знания Дайте определение квадратного трехчлена. Многочлен вида ах2 + bх + c, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а ≠ 0. Как найти корни квадратного трехчлена? Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение. Сформулируйте теорему Виета для полного квадратного уравнения. Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + c = 0, то х1 + х2 = , х1 х2 =

№ слайда 4 Проверь свои знания Что называют разложением многочлена на множители? Предста
Описание слайда:

Проверь свои знания Что называют разложением многочлена на множители? Представление многочлена в виде произведения многочленов. Какие способы разложения многочлена на множители вам известны? Вынесение множителя за скобку; Способ группировки; Использование формул сокращенного умножения.

№ слайда 5 Решите уравнение х3 – 6х2 – 4х + 24 = 0. (ГИА 2012). Решение: (х3 – 6х2 ) – (
Описание слайда:

Решите уравнение х3 – 6х2 – 4х + 24 = 0. (ГИА 2012). Решение: (х3 – 6х2 ) – (4х - 24 ) = 0; х2(х – 6 ) – 4(х - 6 ) = 0; (х2 – 4 ) (х - 6 ) = 0; х2 – 4 = 0 или х – 6 = 0; Ответ: -2; 2; 6

№ слайда 6 График функции
Описание слайда:

График функции

№ слайда 7 Постройте график функции ГИА (2013 г.). . = = х ≠ 2
Описание слайда:

Постройте график функции ГИА (2013 г.). . = = х ≠ 2

№ слайда 8 График функции
Описание слайда:

График функции

№ слайда 9 Разложить на множители 3х2 – 21х + 30 Решение: 3х2 – 21х + 30 = 3(х2 – 7х + 1
Описание слайда:

Разложить на множители 3х2 – 21х + 30 Решение: 3х2 – 21х + 30 = 3(х2 – 7х + 10) = 3(х2 – 2х – 5х + 10) = 3((х2 – 2х) – (5х – 10)) = 3(х(х – 2) – 5(х – 2)) = 3(х – 2)(х – 5). Гипотеза: ах2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2).  

№ слайда 10 Теорема Если х1 и х2 - корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c, то ах2 + bx
Описание слайда:

Теорема Если х1 и х2 - корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c, то ах2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2). Доказательство: ах2 + bx + c = Так как корни квадратного трехчлена ах2 + bx + с являются корнями квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0, то по теореме Виета Отсюда Поэтому   ах2 + bx + c = a(x2 – (x1+ x2 )x +x1 x2 ) = a(x2 – x1 x – x2 x + x1 x2 ) =a(x(x – x1 ) – x2 (x – x1 )) = a((x – x1 ) (x – x2 ), ч.т.д.

№ слайда 11 Можно ли разложить квадратный трехчлен на множители, если он не имеет корней?
Описание слайда:

Можно ли разложить квадратный трехчлен на множители, если он не имеет корней? Предположим, что квадратный трехчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени: ах2 + bx + c = (kx + m)(px + q), где k, m, p, q – некоторые числа, причем k 0 и p 0. Найдите, при каких х произведение (kx + m)(px + q)= 0? При и Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен ах2 + bx + c, то есть числа и являются его корнями. Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет. Вывод: если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители  

№ слайда 12 Применение теоремы: Разложите на множители квадратный трехчлен: 3х2 – 24х + 2
Описание слайда:

Применение теоремы: Разложите на множители квадратный трехчлен: 3х2 – 24х + 21. Сократите дробь: Чем различаются графики функций y = x – 4 и  

Выбранный для просмотра документ разложение квадратного трехчлена на множители.docx

библиотека
материалов

Алгебра 9 класс. Разложение квадратного трехчлена на множители



Цель урока:

  • способствовать развитию навыков нахождения корней квадратного трехчлена;

  • организовать деятельность учащихся по восприятию, осмысливанию и первичному запоминанию новых знаний;

  • разобрать и доказать теорему о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни, при решении проблемной ситуации: можно ли разложить квадратный трехчлен на множители;

  • рассмотреть использование теоремы о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни, для сокращения дробей;

  • содействовать развитию логического мышления, внимания, речи и умения работать самостоятельно.


Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.


Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку.


«Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы».

Двердь Пойа.


Ход урока


I. Организационный момент


Сегодня на уроке в совместной деятельности мы подтвердим слова Пойа (Слайд 1).

Сообщение о Пойа (Слайд 2)


II. Актуализация опорных знаний


а) Сначала проверим домашнее задание № 60 и № 75.

На доске решают 2 ученика:

  1. 60(а). Найти корни квадратного трехчлена: 10х2 + 5х – 5. (Ответ: х1 = -1; х2 =0,5). Дополнительный вопрос: сколько корней может иметь квадратный трехчлен?

  2. 75. Разложите на множители многочлен: а) ab + 3b – 5a – 15; б) 2xyy + 8x – 4. Ответ: а) (а + 3)(b – 5); б) (2х – 1)(у + 4). Дополнительный вопрос: какие способы разложения на множители использовали?



Практическое задание за компьютером:

Предложить двум учащимся-экспериментаторам построить график функции
hello_html_m6d426b9c.gif. С помощью электронных таблиц OpenOffice.org Calc и программы графопостроитель.



б) Для остальных учащихся фронтальный опрос. (Слайд 3 и 4). По щелчку мыши появляются ответы).

Проверь свои знания:

Дайте определение квадратного трехчлена. Многочлен вида ах2 + bх + c, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а ≠ 0.

Как найти корни квадратного трехчлена? Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение.

Сформулируйте теорему Виета для полного квадратного уравнения.

Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + c = 0, х1 + х2 = hello_html_b37301b.gif, х1 х2 =hello_html_37f9032d.gif.

Что называют разложением многочлена на множители? Представление многочлена в виде произведения многочленов.

Какие способы разложения многочлена на множители вам известны?

  1. Вынесение множителя за скобку;

  2. Способ группировки;

  3. Использование формул сокращенного умножения.


в) Проверим работу у доски. Ваши вопросы и выводы. (Оценить ответы).


III. Этап «закрытого» решения проблемы – использование известных способов решения


(Слайд 5) Решите уравнение х3 – 6х2 – 4х + 24 = 0. (ГИА 2012).

Но мы не умеем решать уравнения 3 степени. Как поступить? (Разложить на множители левую часть, а затем каждый множитель приравнять к нулю).

Каким способом будем разлагать на множители? (Способом группировки).

Все решают в тетради, один ученик решает у доски. Ответ: -2; 2; 6. Проверяем на слайде.

IV. Этап «открытого» решения проблемы возникновение проблемной ситуации, расширение области поиска новых решений



Рассмотрим задание № 11 из ГИА (2013 г.). Постройте график функции hello_html_m6d426b9c.gif.



Давайте посмотрим, что получили наши экспериментаторы. (Слайды 6 и 7). Не кажется ли вам странным, что у них получилась прямая линия. Отчего же это?


(Слайд 8). Возникает проблема: Мы понимаем, что было бы удобно разложить на множители числитель х2 5х + 6 и попробовать сократить дробь. Для этого надо разложить квадратный трехчлен на множители.

Но как? Можно ли сгруппировать или вынести общий множитель за скобку в нашем случае? (Нет).

Так как же разложить на множители квадратный трехчлен х2 5х + 6? Возможно ли это?

Какие будут предложения? ( А что, если сгруппировать?)

Но с чем? Должно быть, хотя бы 4 слагаемых.

А давайте трехчлен преобразуем в четырехчлен.

Пробуем: х2 – х – 4х + 6 = 0. А разве можно здесь сгруппировать и разложить на множители?

Еще попытки: х2 – 2х – 3х + 6 = (х2 – 2х) – (3х – 6) =х (х – 2) – 3(х – 2) = (х – 2)(х – 3).

Ура! Получилось!

Ребята, теперь можно сократить дробь. hello_html_m6d426b9c.gif=hello_html_13c22bd9.gif

Получили у = 3 – х , где х ≠ 2. Какая линия будет графиком? (Прямая, с выколотой точкой). Постройте график. (Слайд 9).


Вернемся к трехчлену х2 5х + 6 = (х – 2)(х – 3). При каких значениях х он обращается в нуль? А что называют корнем трехчлена? (Значение переменной, при котором трехчлен обращается в нуль).

Вывод: значит 2 и 3 корни этого трехчлена (х1 = 2 и х2 = 3).

Посмотрите внимательно, что представляют из себя, множители? (Первый из них представляет разность между переменной х и первым корнем трехчлена, а второй – разность между переменной х и вторым корнем).

Назовите старший коэффициент трехчлена? (а = 1). Давайте допишем множитель, равный а, т. е. 1, получаем х2 5х + 6 = 1(х – 2)(х – 3).

Рассмотрим еще один пример с учебника (стр. 24).

(Слайд 10). Разложить на множители 3х2 – 21х + 30 = 3(х2 – 7х + 10) = 3(х2 – 2х – 5х + 10) = = 3((х2 – 2х) – (5х – 10)) = 3(х(х – 2) – 5(х – 2)) = 3(х – 2)(х – 5).


V. Этап реализации найденного принципа выдвижение гипотезы



Как вы думаете, можно ли разложить трехчлен ах2 + bx + c на множители? Что для этого надо сделать?

Найти корни квадратного трехчлена, если они есть,

и составить произведение а(х – х1)(х – х2).

Получим ах2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2). Это и есть наша гипотеза. Необходимо ее проверить. Для этого рассмотрим теорему о разложении квадратного трехчлена, имеющего корни, на множители.



VI. Этап проверки правильности полученного решения – доказательство гипотезы



Теорема

Если х1 и х2 - корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c, то ах2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2).



Доказательство (ученики делают самостоятельно под руководством учителя) (Слад 11).

ах2 + bx + c = hello_html_283f92a0.gif Так как корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c являются корнями квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0, то по теореме Виета

hello_html_71ee860.gif.

Отсюда

hello_html_71c44fd7.gif

Поэтому



ах2 + bx + c =hello_html_4d693519.gif=a(x2 – (x1+ x2 )x +x1 x2 ) = a(x2 – x1 x – x2 x + x1 x2 ) =

=a(x(x – x1 ) – x2 (x – x1 )) = a((x – x1 ) (x – x2 ), ч.т.д.



VII. Возникновение новой проблемной ситуации



А как поступить, если квадратный трехчлен не имеет корней? Можно ли его разложить на множители? Ваше мнение?

Попробуем в этом разобраться.

А что если пойти от противного? То есть предположить, что квадратный трехчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени:

ах2 + bx + c = (kx + m)(px + q), где k, m, p, q – некоторые числа, причем k hello_html_m2bc03806.gif0 и p hello_html_m2bc03806.gif 0.

Найдите, при каких х произведение (kx + m)(px + q)= 0?

При hello_html_47aaaa20.gif и hello_html_m50312772.gif

Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен ах2 + bx + c, то есть числа hello_html_m6c1a597a.gif и hello_html_e001da8.gif являются его корнями.

Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет.



Вывод: если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители.


VIII. Усвоение и применение изученного


Выполнить задания № 76(а), 84(б), № 86 по учебнику.

76(а). Разложите на множители квадратный трехчлен: 3х2 – 24х + 21.


84(а). Сократите дробь: hello_html_5aee7046.gif.


86. Чем различаются графики функций y = x – 4 и Чем различаются графики функций y = x – 4 и hello_html_m2025c8f.gif??


IX. Домашнее задание:

Пункт 4 (прочитать примеры 1, 2, 3). Решить № 77(а, б) и № 84 (а).


X. Итог:


Итак, что дает нам теорема о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни?

Она дает возможность, найдя корни трехчлена, разложить этот трехчлен на множители, и это используется при сокращении дробей.


Вернуться по ссылке на слайд 1.

Удалось ли вам убедиться в справедливости слов Пойа? Как вы их поняли для себя? (Высказывания учеников:

«Это действительно так, иногда задача бывает такой трудной, что я начинаю злиться, что мне не хватает способностей ее решить, но потом я нахожу решение, и радость победы над собой ни с чем несравнима».

«Только самостоятельное решение помогает что-то понять и сделать открытие»,

«Без самостоятельного решения и размышления ум не развивается, потому что это будет шаблонное мышление, которое никому неинтересно»).


Литература:

  1. Алгебра. 9 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. А. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова] ; под редакцией С. А. Теляковского. – 16 изд. – М.: Просвещение, 2009.

  2. ГИА-2012. Математика : типовые экзаменационные варианты :30 вариантов / под редакцией И. В. Ященко. – М. : Национальное образование, 2001.

  3. Биографический словарь деятелей в области математики. А. И. Бородин, А. С. Бугай. Пер. с укр. – К.: Радянська школа.

  4. Демо версия ГИА математика. 2013 г.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 02.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров638
Номер материала ДВ-301945
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх