Алгебра 9 класс.  Разложение квадратного трехчлена на множители

Цель урока:

·         способствовать развитию навыков нахождения корней квадратного трехчлена;

·         организовать деятельность учащихся по восприятию, осмысливанию и первичному запоминанию новых знаний;

·         разобрать и доказать теорему о разложении на множители  квадратного трехчлена, имеющего корни, при решении проблемной ситуации: можно ли разложить квадратный трехчлен на множители;

·         рассмотреть использование теоремы о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни, для сокращения дробей;

·         содействовать развитию логического мышления, внимания, речи и умения работать самостоятельно.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку.

«Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы».

Двердь Пойа.

Ход урока

I. Организационный момент

Сегодня на уроке в совместной деятельности мы подтвердим слова  Пойа (Слайд 1).

Сообщение о Пойа (Слайд 2)

II. Актуализация опорных знаний

а) Сначала проверим домашнее задание № 60 и № 75.

На доске решают 2 ученика:

1. № 60(а). Найти корни квадратного трехчлена: 10х² + 5х – 5. (Ответ: х₁ = -1; х₂ =0,5). Дополнительный вопрос: сколько корней может иметь квадратный трехчлен?
2. № 75. Разложите на множители многочлен: а) ab + 3b – 5a – 15; б) 2xy – y + 8x – 4. Ответ: а) (а + 3)(b – 5); б) (2х – 1)(у + 4). Дополнительный вопрос: какие способы разложения на множители использовали?

Практическое задание за компьютером:

Предложить двум учащимся-экспериментаторам построить график функции
. С помощью электронных таблиц OpenOffice.org Calc и программы графопостроитель.

б) Для остальных учащихся фронтальный опрос. (Слайд 3 и 4). По щелчку мыши появляются ответы).

Проверь свои знания:

Дайте определение квадратного трехчлена. Многочлен вида ах² + bх + c, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а ≠ 0.

Как найти корни квадратного трехчлена? Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение.

Сформулируйте теорему Виета для полного квадратного уравнения.

Если х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ах² + bх + c = 0, х₁ + х₂ = , х₁ х₂ =.

Что называют разложением многочлена на множители? Представление многочлена в виде произведения многочленов.

Какие способы разложения многочлена на множители вам известны?

1. Вынесение множителя за скобку;
2. Способ группировки;
3. Использование формул сокращенного умножения.

в) Проверим работу у доски. Ваши вопросы и выводы. (Оценить ответы).

 III. Этап «закрытого» решения проблемы – использование известных способов решения

(Слайд 5) Решите уравнение х³ – 6х²  – 4х + 24 = 0. (ГИА 2012).

Но мы не умеем решать уравнения 3 степени. Как поступить? (Разложить на множители левую часть, а затем каждый множитель приравнять к нулю).

Каким способом будем разлагать на множители? (Способом группировки).

Все решают в тетради, один ученик решает у доски.  Ответ: -2; 2; 6. Проверяем на слайде.

IV. Этап «открытого» решения проблемы – возникновение проблемной ситуации, расширение области поиска новых решений

Рассмотрим задание № 11 из ГИА (2013 г.). Постройте график функции .

 Давайте посмотрим, что получили наши экспериментаторы. (Слайды 6 и 7). Не кажется ли вам странным, что у них получилась прямая линия. Отчего же это?

(Слайд 8). Возникает проблема: Мы понимаем, что было бы удобно разложить на множители числитель х²  – 5х + 6 и попробовать сократить дробь. Для этого надо разложить квадратный трехчлен на множители.

Но как? Можно ли сгруппировать или вынести общий множитель за скобку в нашем случае? (Нет).

Так как же разложить на множители квадратный трехчлен х²  – 5х + 6? Возможно ли это?

Какие будут предложения? ( А что, если сгруппировать?)

Но с чем? Должно быть, хотя бы 4 слагаемых. 

А давайте трехчлен преобразуем в четырехчлен.

Пробуем: х² – х – 4х + 6 = 0.  А разве можно здесь сгруппировать и разложить на множители?

Еще попытки: х² – 2х – 3х + 6 =  (х² – 2х) – (3х  –  6) =х (х – 2) – 3(х – 2) = (х – 2)(х – 3).

Ура! Получилось!

Ребята, теперь можно сократить дробь. =

Получили у = 3 – х , где х ≠ 2. Какая линия будет графиком? (Прямая,  с выколотой точкой). Постройте график. (Слайд 9).

Вернемся к трехчлену х²  – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3). При каких значениях х он обращается в нуль? А что называют корнем трехчлена? (Значение переменной, при котором трехчлен обращается в нуль).

Вывод: значит  2 и 3 корни этого трехчлена  (х₁ = 2 и х₂ = 3).

Посмотрите внимательно, что представляют из себя, множители? (Первый из них представляет разность между переменной х  и первым корнем трехчлена, а второй – разность между переменной х и вторым корнем).

Назовите старший коэффициент трехчлена? (а = 1). Давайте допишем множитель, равный а, т. е. 1, получаем  х²  – 5х + 6 = 1(х – 2)(х – 3).

Рассмотрим  еще один пример с учебника (стр. 24).

(Слайд 10). Разложить на множители 3х² – 21х + 30 = 3(х² – 7х + 10) = 3(х² – 2х – 5х + 10) = = 3((х² – 2х) – (5х – 10)) = 3(х(х – 2) – 5(х – 2)) = 3(х – 2)(х – 5).

V. Этап реализации найденного принципа – выдвижение гипотезы

Как вы думаете, можно ли разложить  трехчлен ах² + bx + c на множители? Что для этого надо сделать?

Найти корни квадратного трехчлена, если они есть,

и составить произведение   а(х – х₁)(х – х₂).

Получим ах² + bx + c  = а(х – х₁)(х – х₂). Это и есть наша гипотеза. Необходимо ее проверить. Для этого рассмотрим теорему о разложении квадратного трехчлена, имеющего корни, на множители.

VI. Этап проверки правильности полученного решения – доказательство гипотезы

Теорема

Если х₁ и х₂  - корни квадратного трехчлена ах² + bx + c, то ах² + bx + c  = а(х – х₁)(х – х₂).

Доказательство (ученики делают самостоятельно под руководством учителя) (Слад 11).

ах² + bx + c =   Так  как корни квадратного трехчлена ах² + bx + c являются корнями квадратного уравнения ах² + bx + c = 0, то по теореме Виета

 .

Отсюда

Поэтому

ах² + bx + c ==a(x² – (x₁+ x₂ )x +x₁  x_{2 )} = a(x² – x₁ x – x₂ x + x₁  x_{2 )} =

 =a(x(x – x₁ ) – x₂ (x – x₁ )) = a((x – x₁ ) (x – x₂ ), ч.т.д.

VII. Возникновение новой проблемной ситуации

А как поступить, если квадратный трехчлен не имеет корней? Можно ли его разложить на множители? Ваше мнение?

Попробуем в этом разобраться.

А что если пойти от противного? То есть предположить, что квадратный трехчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени:

ах² + bx + c = (kx + m)(px + q), где k, m,  p, q – некоторые числа, причем k 0  и p  0.

Найдите, при каких х произведение  (kx + m)(px + q)= 0?

При    и    

Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен ах² + bx + c, то есть числа   и  являются его корнями.

Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет.

Вывод: если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители.

VIII. Усвоение и применение изученного

Выполнить задания № 76(а), 84(б), № 86 по учебнику.

№ 76(а). Разложите на множители квадратный трехчлен: 3х² – 24х + 21.

84(а). Сократите дробь: .

№ 86. Чем различаются графики функций y = x – 4 и   Чем различаются графики функций y = x – 4 и  ??

IX. Домашнее задание:

Пункт 4 (прочитать примеры 1, 2, 3). Решить № 77(а, б) и № 84 (а).

X. Итог:

Итак, что дает нам теорема о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни?

Она дает возможность, найдя корни трехчлена, разложить этот трехчлен на множители, и это используется при сокращении дробей.

Вернуться по ссылке на слайд 1.

Удалось ли вам убедиться в справедливости слов Пойа? Как вы их поняли для себя? (Высказывания учеников:

«Это действительно так, иногда задача бывает такой трудной, что я начинаю злиться, что мне не хватает способностей ее решить, но потом я нахожу решение, и радость победы над собой ни с чем несравнима».

«Только самостоятельное решение помогает что-то понять и сделать открытие»,

«Без самостоятельного решения и размышления ум не развивается, потому что это будет шаблонное мышление, которое никому неинтересно»).

Литература:

1.      Алгебра. 9 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений  / [Ю. А. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова] ; под редакцией С. А. Теляковского. – 16 изд. – М.: Просвещение, 2009.

2.       ГИА-2012. Математика : типовые экзаменационные варианты :30 вариантов / под редакцией  И. В. Ященко. – М. : Национальное образование, 2001.

3.      Биографический словарь деятелей в области математики. А. И. Бородин, А. С. Бугай. Пер. с укр. – К.: Радянська школа.

4.      Демо версия ГИА математика. 2013 г.