Тема урока: «Однородные тригонометрические
уравнения»
Цели и задачи урока:
1. Сформировать у учащихся умение решать
однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения других видов
тригонометрических уравнений;
2. Развивать и совершенствовать умения
применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать
логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;
3. Воспитывать у учащихся аккуратность,
культуру поведения, чувство ответственности.
Оборудование урока: проектор, карточки, тетради, стенды по
тригонометрии: а) значения тригонометрических функций, б) основные формулы
тригонометрии.
Содержание урока
I. Организационный момент.
Взаимное приветствие: проверка
подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, кто отсутствует).
II. Проверка домашнего задания.
1. Проверка домашнего задания
у доски. Учащиеся решают у доски уравнения:
№18.18
sin (2x - ) = -1
2x - = - + 2πn,
nZ
2x = - + + 2πn,
nZ
2x = - + 2πn,
nZ
x = - +
πn, nZ
a) наименьший положительный корень: если n=1, x
=
б) корни,
принадлежащие отрезку
[- ;
]
n=0, х = -
n=1, х =
в) наименьший
отрицательный корень n=0, х = -
г)корни,
принадлежащие интервалу
(-π;)
х = -
|
18.20 (б)
cos2 2x
– 1 – cos x = - sin2
2x
cos2 2x
– 1 – cos x - + (1 -
cos2 2x)=0
– cos x - = 0
cos x = -
x= ±arccos ( 2πn, nZ
x= ± 2πn, nZ
|
2. Всему классу
представляется устный диктант (на слайдах в презентации):
№1
- что называется arcsin a?
Если |a|≤1,то
арксинусом a называется такое число из отрезка [- ; ], синус которого равен a.
- что называется arccos а?
Если |a|≤1,
то арккосинусом a называется такое число из
отрезка [0; π], косинус которого равен a.
- что называется arctg a?
Арктангенс a
– это такое число из интервала (- ;), тангенс которого равен
a.
- что называется arcctg a?
Арккотангенс a – это такое число из интервала (0; π),котангенс которого равен a.
- назовите формулу
нахождения корней уравнения вида sin x = a?
Если |a|≤1,
то уравнение sin x=a, имеет решения x= (-1)ⁿ arcsin
a +πn, где nZ
- назовите формулу
нахождения корней уравнения вида cos x = a.
Если |a|≤1,
то уравнение cos x=a, имеет решения x = ± arccos
a +2πк, где кZ
- назовите формулу
нахождения корней уравнения вида tg x = a
Уравнение tgx=a имеет решения x=arctg a + πк, где кZ
Следить за правильностью ответов, активизировать
мыслительную деятельность учащихся, зрительную память.
№2. Вычислите устно:
1) arcsin =
2) arcos =
3) arccos =
4) arcsin =
№3 Установите
соответствие:
А) на доске записаны простейшие тригонометрические
уравнения (частные случаи) необходимо каждому подобрать карточку с
соответствующим решением и разместить напротив уравнения (выполняет 1 ученик)
Ответ: Л Эйлер
Сообщение
об Эйлере.
Швейцарец по происхождению, Леонард Эйлер прославил
Петербургскую и Берлинскую академию наук, но наследие его принадлежит всему
человечеству.
Родился Эйлер 15 апреля 1707 года в Базеле в семье
пастора. Начальное обучение прошел дома под руководством отца, закончил
Базельский университет, затем был приглашен работать в создаваемую тогда
Академию наук в Петербурге.
Именно в России Эйлер становится первым математиком
мира, 886 работ - таков итог научной деятельности Эйлера. Долгую и плодотворную
жизнь прожил Эйлер. Россия стала для него второй родиной, более 30 лет
проработал он в Петербурге. В России выросли пять его детей, 38 внуков. Потомки
великого ученого и сейчас живут в нашей стране.
Основы тригонометрии и ее символику изложил в своих
трудах Эйлер, теперь этот раздел математики изучают школьники всего мира.
Б) Остальные учащиеся работают со слайдом
3. Самостоятельная работа
через проектор на четыре варианта
Варианта I
2 sin2 х + sin х – 1 = 0
|
Вариант II
8 sin2 х
+ cos х + 1 = 0
|
Вариант III
2 cos² х - cosх-1=0
|
Вариант IV
√3 tg²х-3 tgх=0
|
эталон для
самопроверки самостоятельной работы (для слабых учащихся)
2 sin2 х
+ sin х – 1 = 0;
sin х = а, |a|≤1 ;
2а2 + а – 1 = 0;
D = 9;
а1 = - 1; а2 = ;
sin х =
-1;
х1
= - +
2πn, nN. sin х = ;
x2 = (- 1)k
+ πk, kN.
Ответ: - +
2πn;
(- 1)k + πk, n,
k N.
|
8 sin2 х + cos х + 1 = 0;
8 (1 - cos2 х) + cos х + 1 =0;
8 cos2 х - cos х - 9 = 0;
cos х = а;
|a|≤1;
8а2 – а - 9 = 0;
D = 289; а1 = ;
а2 = -1;
cos х =
; Нет решений т.к. >1
cos х = -1;
х = π + 2πn, n N.
Ответ: π + 2πn, nN.
|
2 cos ²х-cosх-1=0
Пусть cosх=t, где ltl≤1, тогда
2t²-t-1=0
D=9, t1=1, t2= -
1) cos х=1, х=2 πn,
где nZ
2) cos х= - ,
х= ± +
2πк, где kZ
3) Ответ: 2 πn, где nZ, ± +
2πк, где kZ
|
В) √3 tg²х-3
tgх=0
tgх(√3
tgх-3)=0
tgх=0
или √3 tgх-3=0
х= πn,
где nZ или х= +πk, где
kZ
Ответ: πn,
где nZ или +πk, где
kZ
|
Дополнительные карточки
2 cos ²х+2sinх=2,5
2(1- sin²х)+2sinх-2,5=0
2-2 sin²х+2sinх-2,5=0
-2 sin²х+2sinх-0,5=0
2 sin²х-2sinх+0,5=0
Пусть sinх
= t, где
|t| ≤1,тогда
2t²-2t+0,5=0
D=0, t=
sinх =
х = (-1)ⁿ +πn, где nZ
Ответ: (-1)ⁿ +πn, где
nZ
|
6 cos ²х+cosх-1=0
Пусть cosх=t, где |t| ≤1, тогда
6t²+t-1=0
D=25, t1=,
t2=
1) cos х = ,
х= ± arccos +2πn, где
nZ
2) cos х= ,
х= ±
+ 2πк, где kZ
Ответ: ±
+ 2πк,
± arccos +2πn, где
nZ
|
III. Подготовка учащихся к активному и
сознательному усвоению нового материала.
Задача: с помощью создания
проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических
уравнений.
Обращаю внимание
на доску (экран), где расположен слайд с записью тригонометрических уравнений,
и предлагаю учащимся назвать те уравнения, которые они знают, каким способом
можно решить.
cos (4х – 2) = ;
cos2х – 2cos х = 0;
cos2х – sin2х = 1;
3sin2х – 5sin х – 2 = 0;
2sin х – 3cos х = 0;
(tg х- √3)(2sin + 1) = 0;
3sin²х+sinх cos х=2cos²х.
Учащиеся называют
уравнение и говорят, как они его решают. После сказанного, если нет замечаний, уравнение
убирается с доски. В результате на доске остаются уравнения:
2sin х – 3cos х = 0;
3sin²х+sinх cos х=2cos²х.
IV. Усвоение новых знаний.
Зачади: дать учащимся понятие
однородных уравнений, способ их решения, добиться умения определять вид
однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решения.
Называется
вид уравнений, оставшихся на доске и предлагается записать тему урока: «Решение
однородных тригонометрических уравнений».
Слайд: определение
однородных тригонометрических уравнений
1) Уравнение вида аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0 называют однородным
тригонометрическим уравнением первой степени;
2) Уравнение вида аsin2х + bsin х cos х + c cos2 x = 0 где a 0, b0, с0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй
степени
При делении уравнения аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0 на cos x ≠ 0 корни этого
уравнения не теряются.
Пример 1. (можно решение разобрать с
помощью слайдов):
Рассматривается решение
уравнения 2sin x – 3cos x = 0,
Разделив обе
части уравнения почленно на cos x, получим:
2tg x – 3 = 0;
tg x = ;
x = arctg + πn, nZ.
Ответ: x
= arctg + πn, nZ.
Пример 2
Записывается на доске
следующее уравнение
sin²х – 3sinх cosх + 2cos²х = 0
Проверяем: каждый член уравнения
имеет одну и ту же степень. Это уравнение однородное 2-ой степени. Проверяем
если в этом уравнении одночлен asin2x, если есть, то делим уравнение на cos2x ≠ 0 (так как sinх и cosх одновременно не могут
равняться 0, согласно основному тригонометрическому тождеству).
Получим: tg2x-3tg x+2 = 0
Введем новую переменную z = tg x,
z2 – 3z + 2 =0
z1 = 1, z2 = 2
значит, либо tg x = 1, либо tg x =
2
tg x = 1
х = arctg 1
+ πn, nZ
x = +
πn, nZ
|
tg x = 2
х = arctg 2
+ πn, nZ
|
Ответ: x = + πn,
х =
arctg 2 + πn, nZ
|
Пример 3 Решить уравнение √3 sinх cosх + cos²х = 0
Решение. Здесь отсутствует член вида а sin2 х, значит, делить обе части уравнения
на cos²х нельзя. Решим уравнение методом разложения
на множители:
cosх (√3 sinх + cos х) = 0
cos х = 0 или √3
sinх +
cos
х = 0(однородное уравнение первой степени)
х = + πn √3 tg x + 1 = 0;
tg
x = ;
х = arctg )+ πn, nZ;
х = - +πn, где nZ
Ответ: х = + πn, х = - +πn, где nZ
V. Физминутка
1. Исходное
положение:
В положении
стоя положите руки на бедра.
Медленно
отклоняйтесь назад, глядя в потолок.
Вернитесь в
исходное положение.
2. В положении
стоя
Смотрите прямо
перед собой, а не вверх и не вниз.
Надавите
указательным пальцем на подбородок.
Сделайте движение
шеей назад.
Совет: совершая это
движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз.
Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить,
проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5
секунд.
VI. Закрепление нового материала
а) №18. 24(б)
sin 3х = cos 3х,
= ,
tg3х =1,
tg3х = ,
3х = ,
х= + .
Ответ: + .
|
№ 18.12 (б)
sin²х-4 sinх cosх+3
cos²х=0
Разделим уравнение на cos²х≠0
tg² х-4 tg х+3=0
Пусть tg х= t, тогда
t²-4t+3=0
t1=1,
t2=3
1) tg х=1, х = +
πk, где kZ
2) tg х=3, х=arctg3+πn, где
nZ
Ответ: х = +
πk, х=arctg3+πn, где k,nZ
|
№ 18.12(г)
3sin²х+
sinх cosх-2 cos²х=0
Разделим уравнение
на cos ²х≠0
3tg²х+
tgх-2=0
Пусть tgх=t, тогда
3t²+t-2=0,D=25
t1=
-1, t2=
1) tgх=-1, х= - +
πk, где k Z
2) tgх=,
х=arctg +πn, где
nZ
Ответ: х= - + πk, х=arctg +πn, где k,nZ
|
VII. Домашнее задание
Задачи: сообщить учащимся домашнее
задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.
1. Упр № 18.25(а), 18.31 (б), 18.27
(а)
Учебник А.Г.Мордкович Алгебра и начала
математического анализа 10-11 классы в 2 ч (базовый уровень)М.: Мнемозина, 2009
VIII. Подведение итога урока.
Задача:
систематизировать и обобщить знания учащихся по решению однородных
тригонометрических уравнений.
1) Вопросы:
- С каким видом тригонометрических
уравнений мы познакомились?
- Какой вид имеют однородные уравнения
первой степени, второй степени?
- Как решаются эти уравнения?
- Как решаются однородные уравнения второй
степени, если в нем нет одночлена sin2x?
карта для этапа рефлексии:
Рефлексия
Подчеркни или напиши другое
|
На уроке мне было
(скучно, интересно, неуютно……………
|
Содержание
темы урока (интересное, понятно, непонятно, доступно, сложно…………..
|
По данной теме у
меня есть вопросы ( да, нет)
|
Свою
работу на уроке я оцениваю по 100 балльной системе (нарисуй флажок на
отрезке)
0_____________________________100
|
Резерв
№ 18.10(а)
sinх
+√3 cosх=0
Разделим уравнение
на cosx≠0
tg х + √3
=0,
х = - + πk, где kZ
Ответ: - + πk, где kZ
|
1) А sinx +
Вcosx =0- однородное уравнение 1-й степени
Разделим на cosx≠0
2) Уравнение tgx=a
имеет решения
Х=arctg a +
Пк, где к€Z
3) arctg(-
a)=- arctg a
|
№ 18.12 (б)
sin²х-4 sinх cosх+3
cos²х=0
Разделим уравнение
на cos ²х≠0
tg² х-4 tg х+3=0
Пусть tg х= t, тогда
t²-4t+3=0
t1=1,
t2=3
3) tg х=1, х = + πk, где kZ
4) tg х=3, х=arctg3+πn, где
nZ
Ответ: х = + πk, х=arctg3+πn, где
k,nZ
|
1) А sin²x + Вsinx cosx+С
cos²x=0- однородное уравнение 2-й степени
Разделим уравнение
на cos ²x≠0
2) D=b²-4ac; t=(b±√D)/2а
3) Уравнение tgx=a
имеет решения
Х=arctg a +
Пк, где к€Z
|
№ 18.12(г)
3sin²х+
sinх cosх-2 cos²х=0
Разделим уравнение
на cos ²х≠0
3tg²х+
tgх-2=0
Пусть tgх=t, тогда
3t²+t-2=0,D=25
t1=-1,
t2=2/3
3) tgх=-1, х= - + πk, где k Z
4) tgх=,
х=arctg +πn, где
nZ
5) Ответ: х= - + πk, х=arctg +πn, где
k,nZ
|
1) А sin²x + Вsinx cosx+С
cos²x=0- однородное уравнение 2-й степени
Разделим уравнение
на cos ²x≠0
2) D=b²-4ac; t=(b±√D)/2а
3) Уравнение tgx=a
имеет решения
Х=arctg a +
Пк, где к€Z
|
sinx=cosx
Разделим уравнение
на cosx≠0
tgx =1,
х= П/4+ Пk, где
k€Z
Ответ: П/4+ Пk, где
k€Z
|
АSinx +
Вcosx =0- однородное уравнение 1-й степени
Разделим на cosx≠0
2) Уравнение tgx=a
имеет решения
Х=arctg a +
Пк, где к€Z
|
№18.30
4sin²(х/2)-3=2
sinx(х/2) cos(х/2)
4sin²(х/2)-
2 sinx(х/2) cos(х/2)-3sin²(х/2)-3 cos²(х/2)=0
sin²(х/2)- 2 sinx(х/2) cos(х/2)- 3 cos²(х/2)=0
Разделим уравнение
на cos ²(x/2)≠0
tg²(x/2)-2 tg(x/2)-3=0
Пусть tg(x/2)=t,
тогда
t²-2t-3=0
t1=
- 1, t2=3
1) tg(x/2)=-1,
х/2=-П/4+Пk, где k€Z; х=-П/2+2Пk, , где k€Z
2) tg(x/2)=3,
х/2=arctg3+Пn, где n€Z;х=2 arctg3+2Пn, где n€Z
Ответ: -П/2+2Пk, ,
где k€Z;2 arctg3+2Пn, где n€Z
|
№18.31 а)
sin(П/2+2х)+ cos(П/2+2х)=0
cos(2х)- sin(2х)=0
Разделим уравнение
на cos(2x)≠0
tg(2x)-1 =0
tg(2x)=1
2х=П/4+Пn , где n€Z
Х=П/8+Пn/2, где
n€Z
Ответ: П/8+Пn/2, где
n€Z
|
№ 18.20 а)
sin²(3х/4)-√2/2=sinx- cos²(3x/4)+1
sin²(3х/4)+ cos²(3x/4) )-√2/2-1= sinx
1-1 -√2/2= sinx
sinx=-√2/2
Х=(-1)ⁿ arcsin
(-√2/2) +Пn, где n€Z
Х=(-1)ⁿ (-П/4) +Пn, где
n€Z
Х=(-1)n+1(П/4) +Пn, где
n€Z
Ответ: (-1)n+1(П/4) +Пn, где
n€Z
|
Литература
1. Учебник А.Г.Мордкович Алгебра и начала
математического анализа 10-11 классы в 2 ч (базовый уровень)М.: Мнемозина, 2009
2. Газета «Математика» издательский дом
«Первое сентября»
3. http://www.zavuch.info
4. http://pedsovet.su
5. http://eqworid.ipmnet.ru
6. Социальная сеть работников образования nsportal.ru
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.