132033
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаКонспектыПлан-конспект урока алгебры в 10 классе по теме«Однородные тригонометрические уравнения»

План-конспект урока алгебры в 10 классе по теме«Однородные тригонометрические уравнения»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.


Тема урока: «Однородные тригонометрические уравнения»

Цели и задачи урока:

1. Сформировать у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения других видов тригонометрических уравнений;

2. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;

3. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока: проектор, карточки, тетради, стенды по тригонометрии: а) значения тригонометрических функций, б) основные формулы тригонометрии.


Содержание урока

I. Организационный момент.

Взаимное приветствие: проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, кто отсутствует).

II. Проверка домашнего задания.

1. Проверка домашнего задания у доски. Учащиеся решают у доски уравнения:

18.18

sin (2x - hello_html_m31efd0a6.gif) = -1

2x - hello_html_m31efd0a6.gif = - hello_html_4a7c6de3.gif + 2πn, nhello_html_559182c5.gifZ

2x = - hello_html_4a7c6de3.gif + hello_html_m31efd0a6.gif + 2πn, nhello_html_559182c5.gifZ

2x = - hello_html_m31efd0a6.gif + 2πn, nhello_html_559182c5.gifZ

x = - hello_html_1db9ac69.gif + πn, nhello_html_559182c5.gifZ

a) наименьший положительный корень: если n=1, x = hello_html_m36f59312.gif

б) корни, принадлежащие отрезку

[- hello_html_4a7c6de3.gif; hello_html_e0fb5f6.gif] n=0, х = - hello_html_1db9ac69.gif

n=1, х = hello_html_m36f59312.gif

в) наименьший отрицательный корень n=0, х = - hello_html_1db9ac69.gif

г)корни, принадлежащие интервалу

(-π;hello_html_4a7c6de3.gif) х = - hello_html_1db9ac69.gif



18.20 (б)

cos2 2x – 1 – cos x = hello_html_m110676eb.gif - sin2 2x

cos2 2x – 1 – cos x - hello_html_m110676eb.gif + (1 - cos2 2x)=0

cos x - hello_html_m110676eb.gif = 0

cos x = - hello_html_m110676eb.gif

x= ±arccos (hello_html_m79973106.gifn, nhello_html_559182c5.gifZ

x= ±hello_html_m2f8d4474.gif 2πn, nhello_html_559182c5.gifZ




2. Всему классу представляется устный диктант (на слайдах в презентации):

1

- что называется arcsin a?

Если |a|≤1,то арксинусом a называется такое число из отрезка [- hello_html_4a7c6de3.gif; hello_html_4a7c6de3.gif], синус которого равен a.

- что называется arccos а?

Если |a|≤1, то арккосинусом a называется такое число из отрезка [0; π], косинус которого равен a.

- что называется arctg a?

Арктангенс a – это такое число из интервала (- hello_html_4a7c6de3.gif;hello_html_4a7c6de3.gif), тангенс которого равен a.

- что называется arcctg a?

Арккотангенс a – это такое число из интервала (0; π),котангенс которого равен a.

- назовите формулу нахождения корней уравнения вида sin x = a?

Если |a|≤1, то уравнение sin x=a, имеет решения x= (-1)ⁿ arcsin an, где nhello_html_559182c5.gifZ

- назовите формулу нахождения корней уравнения вида cos x = a.

Если |a|≤1, то уравнение cos x=a, имеет решения x = ± arccos a +2πк, где кhello_html_559182c5.gifZ

- назовите формулу нахождения корней уравнения вида tg x = a

Уравнение tgx=a имеет решения x=arctg a + πк, где кhello_html_559182c5.gifZ

Следить за правильностью ответов, активизировать мыслительную деятельность учащихся, зрительную память.

2. Вычислите устно:

1) arcsin hello_html_6eec8aff.gif = hello_html_4e4ecf2.gif

2) arcos hello_html_6eec8aff.gif = hello_html_2f060c37.gif

3) arccos hello_html_m110676eb.gif = hello_html_4e4ecf2.gif

4) arcsin hello_html_6008a2f.gif = hello_html_m31efd0a6.gif

3 Установите соответствие:

А) на доске записаны простейшие тригонометрические уравнения (частные случаи) необходимо каждому подобрать карточку с соответствующим решением и разместить напротив уравнения (выполняет 1 ученик)


hello_html_m3c364106.gifОтвет: Л Эйлер








Сообщение об Эйлере.C:\Documents and Settings\S.T.A.L.K.E.R\Мои документы\Downloads\4542.jpg


Швейцарец по происхождению, Леонард Эйлер прославил Петербургскую и Берлинскую академию наук, но наследие его принадлежит всему человечеству.

Родился Эйлер 15 апреля 1707 года в Базеле в семье пастора. Начальное обучение прошел дома под руководством отца, закончил Базельский университет, затем был приглашен работать в создаваемую тогда Академию наук в Петербурге.

Именно в России Эйлер становится первым математиком мира, 886 работ - таков итог научной деятельности Эйлера. Долгую и плодотворную жизнь прожил Эйлер. Россия стала для него второй родиной, более 30 лет проработал он в Петербурге. В России выросли пять его детей, 38 внуков. Потомки великого ученого и сейчас живут в нашей стране.

Основы тригонометрии и ее символику изложил в своих трудах Эйлер, теперь этот раздел математики изучают школьники всего мира.


Б) Остальные учащиеся работают со слайдом

hello_html_1f91f29d.png

3. Самостоятельная работа через проектор на четыре варианта

Варианта I

2 sin2 х + sin х – 1 = 0

Вариант II

8 sin2х + cos х + 1 = 0

Вариант III

2 cos² х - cosх-1=0

Вариант IV

√3 tg²х-3 tgх=0

эталон для самопроверки самостоятельной работы (для слабых учащихся)

2 sin2 х + sin х – 1 = 0;

sin х = а, |a|≤1 ;

2 + а – 1 = 0;

D = 9; а1 = - 1; а2 = hello_html_6eec8aff.gif;

sin х = -1;

х1 = - hello_html_4a7c6de3.gif + 2πn, nhello_html_559182c5.gifN. sin х = hello_html_6eec8aff.gif;

x2 = (- 1)khello_html_4e4ecf2.gif + πk, khello_html_559182c5.gifN.

Ответ: - hello_html_4a7c6de3.gif + 2πn;

(- 1)k hello_html_4e4ecf2.gif + πk, n, k hello_html_559182c5.gif N.

8 sin2х + cos х + 1 = 0;

8 (1 - cos2х) + cos х + 1 =0;

8 cos2х - cos х - 9 = 0;

cos х = а; |a|≤1;

2а - 9 = 0;

D = 289; а1 = hello_html_2fd2c813.gif; а2 = -1;

cos х = hello_html_2fd2c813.gif ; Нет решений т.к. hello_html_2fd2c813.gif >1

cos х = -1;

х = π + 2πn, n hello_html_559182c5.gifN.

Ответ: π + 2πn, nhello_html_559182c5.gifN.


2 cos ²х-cosх-1=0

Пусть cosх=t, где ltl≤1, тогда

2t²-t-1=0

D=9, t1=1, t2= - hello_html_6eec8aff.gif

  1. cos х=1, х=2 πn, где nhello_html_559182c5.gifZ

  2. cos х= - hello_html_6eec8aff.gif, х= ± hello_html_6e29c3e4.gif + 2πк, где khello_html_559182c5.gifZ

  3. Ответ: 2 πn, где nhello_html_559182c5.gifZ, ± hello_html_6e29c3e4.gif + 2πк, где khello_html_559182c5.gifZ


В) √3 tg²х-3 tgх=0

tgх(√3 tgх-3)=0

tgх=0 или √3 tgх-3=0

х= πn, где nhello_html_559182c5.gifZ или х=hello_html_2f060c37.gifk, где khello_html_559182c5.gifZ

Ответ: πn, где nhello_html_559182c5.gifZ или hello_html_2f060c37.gifk, где khello_html_559182c5.gifZ



Дополнительные карточки

2 cos ²х+2sinх=2,5

2(1- sin²х)+2sinх-2,5=0

2-2 sin²х+2sinх-2,5=0

-2 sin²х+2sinх-0,5=0

2 sin²х-2sinх+0,5=0

Пусть sinх = t, где |t| ≤1,тогда

2t²-2t+0,5=0

D=0, t=hello_html_6eec8aff.gif

sinх =hello_html_11852162.gif hello_html_6eec8aff.gif

х = (-1)ⁿ hello_html_4e4ecf2.gif n, где nhello_html_559182c5.gifZ

Ответ: (-1)ⁿ hello_html_4e4ecf2.gifn, где nhello_html_559182c5.gifZ


6 cos ²х+cosх-1=0

Пусть cosх=t, где |t| ≤1, тогда

6t²+t-1=0

D=25, t1=hello_html_7f8f9891.gif, t2= hello_html_m3d15adeb.gif

1) cos х = hello_html_7f8f9891.gif, х= ± arccos hello_html_7f8f9891.gif +2πn, где nhello_html_559182c5.gifZ

2) cos х= hello_html_m3d15adeb.gif, х= ± hello_html_6e29c3e4.gif + 2πк, где khello_html_559182c5.gifZ

Ответ: ± hello_html_6e29c3e4.gif + 2πк,

± arccos hello_html_7f8f9891.gif +2πn, где nhello_html_559182c5.gifZ



III. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений.

Обращаю внимание на доску (экран), где расположен слайд с записью тригонометрических уравнений, и предлагаю учащимся назвать те уравнения, которые они знают, каким способом можно решить.

cos (4х – 2) = hello_html_6eec8aff.gif;

cos2х – 2cos х = 0;

cos2хsin2х = 1;

3sin2х – 5sin х – 2 = 0;

2sin х – 3cos х = 0;

(tg х- √3)(2sin hello_html_m418f76f4.gif + 1) = 0;

3sin²х+sinх cos х=2cos²х.

Учащиеся называют уравнение и говорят, как они его решают. После сказанного, если нет замечаний, уравнение убирается с доски. В результате на доске остаются уравнения:

2sin х – 3cos х = 0;

3sin²х+sinх cos х=2cos²х.

IV. Усвоение новых знаний.

Зачади: дать учащимся понятие однородных уравнений, способ их решения, добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решения.

Называется вид уравнений, оставшихся на доске и предлагается записать тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений».

Слайд: определение однородных тригонометрических уравнений

  1. Уравнение вида аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени;

  2. Уравнение вида аsin2х + bsin х cos х + c cos2 x = 0 где a hello_html_afdf873.gif0, bhello_html_afdf873.gif0, сhello_html_afdf873.gif0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени

При делении уравнения аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0 на cos x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются.


Пример 1. (можно решение разобрать с помощью слайдов):


Рассматривается решение уравнения 2sin x – 3cos x = 0,

Разделив обе части уравнения почленно на cos x, получим:

2tg x – 3 = 0;

tg x = hello_html_m4aae006e.gif;

x = arctghello_html_m4aae006e.gif + πn, nhello_html_559182c5.gifZ.

Ответ: x = arctghello_html_m4aae006e.gif + πn, nhello_html_559182c5.gifZ.


Пример 2

Записывается на доске следующее уравнение

sin²х – 3sinх cosх + 2cos²х = 0

Проверяем: каждый член уравнения имеет одну и ту же степень. Это уравнение однородное 2-ой степени. Проверяем если в этом уравнении одночлен asin2x, если есть, то делим уравнение на cos2x ≠ 0 (так как sinх и cosх одновременно не могут равняться 0, согласно основному тригонометрическому тождеству).

Получим: tg2x-3tg x+2 = 0

Введем новую переменную z = tg x,

z2 – 3z + 2 =0

z1 = 1, z2 = 2

значит, либо tg x = 1, либо tg x = 2

tg x = 1

х = arctg 1 + πn, nhello_html_559182c5.gifZ

x = hello_html_m31efd0a6.gif + πn, nhello_html_559182c5.gifZ

tg x = 2

х = arctg 2 + πn, nhello_html_559182c5.gifZ

Ответ: x = hello_html_m31efd0a6.gif + πn, х = arctg 2 + πn, nhello_html_559182c5.gifZ






Пример 3 Решить уравнение √3 sinх cosх + cos²х = 0

Решение. Здесь отсутствует член вида а sin2 х, значит, делить обе части уравнения на cos²х нельзя. Решим уравнение методом разложения на множители:

cosх (√3 sinх + cos х) = 0

cos х = 0 или 3 sinх + cos х = 0(однородное уравнение первой степени)

х = hello_html_4a7c6de3.gif + πn 3 tg x + 1 = 0;

tg x = hello_html_50d10172.gif;

х = arctg hello_html_3d3bc22c.gif )+ πn, nhello_html_559182c5.gifZ;

х = - hello_html_4e4ecf2.gifn, где nhello_html_559182c5.gifZ

Ответ: х = hello_html_4a7c6de3.gif + πn, х = - hello_html_4e4ecf2.gifn, где nhello_html_559182c5.gifZ


V. Физминутка

1. Исходное положение:

В положении стоя положите руки на бедра.

Медленно отклоняйтесь назад, глядя в потолок.

Вернитесь в исходное положение.


2. В положении стоя

Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.

Надавите указательным пальцем на подбородок.

Сделайте движение шеей назад.

Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.

VI. Закрепление нового материала

а) №18. 24(б)

hello_html_3def2fba.gifsin 3х = cos 3х,

hello_html_m46da2f0f.gif= hello_html_m386701f5.gif,

hello_html_3def2fba.giftg3х =1,

tg3х =hello_html_m5e7289d4.gif ,

3х = hello_html_777148af.gif,

х=hello_html_m61811729.gif + hello_html_m5a1f2077.gif.

Ответ: hello_html_m61811729.gif + hello_html_m5a1f2077.gif.

18.12 (б)

sin²х-4 sinх cosх+3 cos²х=0

Разделим уравнение на cos²х≠0

tg² х-4 tg х+3=0

Пусть tg х= t, тогда

t²-4t+3=0
t1=1, t2=3

  1. tg х=1, х = hello_html_m31efd0a6.gif + πk, где khello_html_559182c5.gifZ

  2. tg х=3, х=arctg3+πn, где nhello_html_559182c5.gifZ

Ответ: х = hello_html_m31efd0a6.gif + πk, х=arctg3+πn, где k,nhello_html_559182c5.gifZ


18.12(г)

3sin²х+ sinх cosх-2 cos²х=0

Разделим уравнение на cos ²х≠0

3tg²х+ tgх-2=0

Пусть tgх=t, тогда

3t²+t-2=0,D=25
t1= -1, t2=hello_html_6a1c94eb.gif

  1. tgх=-1, х= -hello_html_m31efd0a6.gif + πk, где khello_html_559182c5.gif Z

  2. tgх=hello_html_6a1c94eb.gif, х=arctg hello_html_6a1c94eb.gifn, где nhello_html_559182c5.gifZ

Ответ: х= -hello_html_m31efd0a6.gif + πk, х=arctg hello_html_6a1c94eb.gifn, где k,nhello_html_559182c5.gifZ


VII. Домашнее задание

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

1. Упр № 18.25(а), 18.31 (б), 18.27 (а)

Учебник А.Г.Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы в 2 ч (базовый уровень)М.: Мнемозина, 2009


VIII. Подведение итога урока.

Задача: систематизировать и обобщить знания учащихся по решению однородных тригонометрических уравнений.

1) Вопросы:

- С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?

- Какой вид имеют однородные уравнения первой степени, второй степени?

- Как решаются эти уравнения?

- Как решаются однородные уравнения второй степени, если в нем нет одночлена sin2x?

карта для этапа рефлексии:


Рефлексия Подчеркни или напиши другое

На уроке мне было (скучно, интересно, неуютно……………


Содержание темы урока (интересное, понятно, непонятно, доступно, сложно…………..


По данной теме у меня есть вопросы ( да, нет)


Свою работу на уроке я оцениваю по 100 балльной системе (нарисуй флажок на отрезке)

0_____________________________100


Резерв


№ 18.10(а)

sinх +√3 cosх=0

Разделим уравнение на cosx≠0

tg х + √3 =0,

х = - hello_html_2f060c37.gif + πk, где khello_html_559182c5.gifZ

Ответ: - hello_html_2f060c37.gif + πk, где khello_html_559182c5.gifZ



1) А sinx + Вcosx =0- однородное уравнение 1-й степени

Разделим на cosx≠0

2) Уравнение tgx=a имеет решения

Х=arctg a + Пк, где к€Z

3) arctg(- a)=- arctg a

№ 18.12 (б)

sin²х-4 sinх cosх+3 cos²х=0

Разделим уравнение на cos ²х≠0

tg² х-4 tg х+3=0

Пусть tg х= t, тогда

t²-4t+3=0
t1=1, t2=3

  1. tg х=1, х = hello_html_m31efd0a6.gif + πk, где khello_html_559182c5.gifZ

  2. tg х=3, х=arctg3+πn, где nhello_html_559182c5.gifZ

Ответ: х = hello_html_m31efd0a6.gif + πk, х=arctg3+πn, где k,nhello_html_559182c5.gifZ


1) А sin²x + Вsinx cosxcos²x=0- однородное уравнение 2-й степени

Разделим уравнение на cos ²x≠0

2) D=b²-4ac; t=(b±√D)/2а

3) Уравнение tgx=a имеет решения

Х=arctg a + Пк, где к€Z

№ 18.12(г)

3sin²х+ sinх cosх-2 cos²х=0

Разделим уравнение на cos ²х≠0

3tg²х+ tgх-2=0

Пусть tgх=t, тогда

3t²+t-2=0,D=25
t1=-1, t2=2/3

  1. tgх=-1, х= -hello_html_m31efd0a6.gif + πk, где khello_html_559182c5.gifZ

  2. tgх=hello_html_6a1c94eb.gif, х=arctg hello_html_6a1c94eb.gifn, где nhello_html_559182c5.gifZ

  3. Ответ: х= -hello_html_m31efd0a6.gif + πk, х=arctg hello_html_6a1c94eb.gifn, где k,nhello_html_559182c5.gifZ

1) А sin²x + Вsinx cosxcos²x=0- однородное уравнение 2-й степени

Разделим уравнение на cos ²x≠0

2) D=b²-4ac; t=(b±√D)/2а

3) Уравнение tgx=a имеет решения

Х=arctg a + Пк, где к€Z

sinx=cosx

Разделим уравнение на cosx≠0

tgx =1,

х= П/4+ Пk, где kZ

Ответ: П/4+ Пk, где kZ


АSinx + Вcosx =0- однородное уравнение 1-й степени

Разделим на cosx≠0

2) Уравнение tgx=a имеет решения

Х=arctg a + Пк, где к€Z



18.30

4sin²(х/2)-3=2 sinx(х/2) cos(х/2)

4sin²(х/2)- 2 sinx(х/2) cos(х/2)-3sin²(х/2)-3 cos²(х/2)=0

sin²(х/2)- 2 sinx(х/2) cos(х/2)- 3 cos²(х/2)=0

Разделим уравнение на cos ²(x/2)≠0

tg²(x/2)-2 tg(x/2)-3=0

Пусть tg(x/2)=t, тогда

t²-2t-3=0
t1= - 1, t2=3

  1. tg(x/2)=-1, х/2=-П/4+Пk, где kZ; х=-П/2+2Пk, , где kZ

  2. tg(x/2)=3, х/2=arctg3+Пn, где nZ;х=2 arctg3+2Пn, где nZ

Ответ: -П/2+2Пk, , где kZ;2 arctg3+2Пn, где nZ


№18.31 а)

sin(П/2+2х)+ cos(П/2+2х)=0

cos(2х)- sin(2х)=0

Разделим уравнение на cos(2x)≠0

tg(2x)-1 =0

tg(2x)=1

2х=П/4+Пn , где nZ

Х=П/8+Пn/2, где nZ

Ответ: П/8+Пn/2, где nZ


№ 18.20 а)

sin²(3х/4)-√2/2=sinx- cos²(3x/4)+1

sin²(3х/4)+ cos²(3x/4) )-√2/2-1= sinx

1-1 -√2/2= sinx

sinx=-√2/2

Х=(-1)ⁿ arcsin (-√2/2) +Пn, где nZ

Х=(-1)ⁿ (-П/4) +Пn, где nZ

Х=(-1)n+1(П/4) +Пn, где nZ

Ответ: (-1)n+1(П/4) +Пn, где nZ



Литература

1. Учебник А.Г.Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы в 2 ч (базовый уровень)М.: Мнемозина, 2009

2. Газета «Математика» издательский дом «Первое сентября»

3. http://www.zavuch.info

4. http://pedsovet.su

5. http://eqworid.ipmnet.ru

6. Социальная сеть работников образования nsportal.ru


Краткое описание документа:

1. Сформировать  у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения других видов тригонометрических уравнений;

2. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;

3. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока: проектор,  карточки, тетради, стенды по тригонометрии: а) значения тригонометрических функций, б) основные формулы тригонометрии.

Общая информация

Номер материала: 192232

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Оставьте свой комментарий
Для того чтобы задавать вопросы нужно авторизироватся.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.