План урока и опорный конспект по теме "Статистическое определение вероятности событий"

Тема урока:   «Статистическое определение вероятности события»

Цель урока:

• ввести статистическое определение вероятности, понятие относительной частоты;
• систематизировать знания учащихся по статистическому и классическому определению вероятности события.

Ход урока.

I.Повторение

1.Повторение учащимися устно по тематическим конспектам материала, изученного раннее:

• определений перестановок, размещений, сочетаний и формул для нахождения их числа,
• понятия вероятности, формулы вероятности событий по классическому определению,

 Цветные тематические конспекты «Элементы комбинаторики», «Элементы теории вероятности»  показываются на экране интерактивной доски.     (Тематические конспекты прилагаются)

2.Учащиеся устно решают задачи, которые появились на экране интерактивной доски. При ответе учащийся должен дать определение искомой величины, сказать формулу, по которой она находится.

Задачи:

1) В пенале из 5-ти ручек одна не пишет. Определите вероятность того, что взятая наудачу ручка пишет.               (4/5)

2) В нашем классе 16 девочек и 8 мальчиков. Определить вероятность того, что вызванный к доске ученик окажется мальчиком.            (8\24)

3) Катя забыла третью цифру номера телефона своей подруги и набрала ее наугад. Какова вероятность, что Катя позвонит именно подруге?   (1\10)

3.Письменный опрос теоретического материала

II. Изучение нового материала.

1.Учитель обращается к учащимся: « Уважаемые учащиеся, сейчас мы продолжим работу с тематическим конспектом по определению вероятности и разберем вторую его часть, то есть познакомимся со статистическим  определением вероятности события». Учащиеся располагают конспект перед собой. (Тематический конспект прилагается).

      Учитель излагает новый материал. После первого последовательного и обстоятельного рассказа учителя, новый материал излагается вторично. Повторное изложение – предельно лаконично. Этот элемент урока обязателен и поэтому  учащимся не нужно при первом объяснении учителя останавливать ход своих мыслей на непонятных местах – это затрудняет восприятие следующей части рассказа учителя.  Повторное изложение устранит  все затруднения, позволяет систематизировать знания.  Ребята ничего не записывают. Экспериментально доказано, что продуктивность восприятия при ведении записей резко падает.

2. Решение задачи  № 4.

При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

После того, как условие задачи  прочтено и уточнено, учитель дает установку:

«Ребята!  Решение этой задачи я сейчас подробно Вам объясню. Вы будете внимательно слушать объяснение, запоминая ход решения, ничего не записывая.  Потом я закрою  решение, вы воспроизведете его в тетрадях. Сейчас же ручки положить в тетрадь и закрыть ее».

Решение.

Дано	Используемые формулы	Решение
W(A)= 0,9 n = 200		m = 0,9 x 200 = 180
m – ?	m = W(A)  n	Ответ: 180  годных приборов

 После того, как решение разобрано, дается время просмотреть ход решения. Затем учитель еще раз  быстро объясняет и закрывает доску.

Учащиеся садятся в полуоборота  друг к другу и восстанавливают  решение в тетради  самостоятельно. Учитель ходит по рядам  и наблюдает за ходом работы.  Через 3 минуты доска открывается, можно свериться. Работа подобным  образом активизирует внимание, развивает память учащихся.

3. Решение задачи  № 5 аналогичным способом. 

 В пакете 25 разных конфет. Какова  вероятность того, что  выбранные на удачу три конфеты будут именно те, которые Вы хотели? 

Решение.

Используемые формулы
	m  - число исходов испытания , благоприятствующих наступлению   события А,    n -  общее  число    всех  равновозможных несовместных исходов
Аmn	n – число элементов, входящих в каждую комбинацию;                   m – число всех имеющихся  элементов
Рn=n!	n – число элементов, входящих в каждую перестановку, (n- натуральное число)

1. Найдем n - общее  число    всех  равновозможных несовместных исходов при вытягивании трех конфет. Их будет столько, сколько можно составить различных размещений из 25 элементов по три:

А₂₅³= 25х24х23.

2.Найдем m.   Число случаев, благоприятствующих тому, что  будут выбраны нужные три конфеты, столько, сколько можно составить  перестановок  из трех элементов

Р₃= 3!= 1х2х3= 6.

3. Искомая вероятность равна 

Ответ: вероятность 1\2300

III. Итог урока.

Повторяется быстро фронтальным опросом теоретический материал по классическому и статистическому определению вероятности событий. Учитель оценивает работу  учащихся.

IV. Домашнее задание.   Тематический конспект «Элементы теории вероятности»

Дополнительный материал

У многих в жизни случается романтическая пора, когда, доверяясь листу бумаги, хочется охранить текст от случайного взгляда. И тогда нередко прибегают к помощи шифра. Однако далеко не всякое зашифрованное сообщение способно выдержать натиск любителя раскрыть его тайный смысл. Например, довольно распространенная практика замены одних букв другими буквами или рисунками не может защитить сокровенный текст от прочтения посторонними. И вот почему – частота появления конкретной  буквы алфавита в любом содержательном тексте достаточно большого объема для языка с буквенно-слоговым типом письма является практически постоянной.

В увлекательной форме это описано Артуром Конан Дойлем («Пляшущие человечки»)  и Эдгаром По («Золотой жук»).

буква	частота	буква	частота	буква	частота	В русском языке картина аналогична.  Относительная частота появления в тексте букв алфавита описывается следующей таблицей: Поэтому желающему прочитать зашифрованное письмо достаточно лишь подсчитать частоту появления в нем шифровальных значков разных типов и сопоставить их с частотой букв в этой таблице. Например, если общее число значков в письме равно 1000, а число одинаковых значков некоторого определенного  типа окажется  равным 55, то так как 55\1000 равно 0,055, за этим значком скорее всего, скрывается буква «с».
А	0,075	К	0,034	Ф	0,002
Б	0,017	Л	0,042	Х	0,011
В	0,046	М	0,031	Ц	0,005
Г	0,016	Н	0,065	Ч	0,015
Д	0,030	О	0,110	Ш	0,007
Е	0,087	П	0,023	Щ	0,004
Ж	0,009	Р	0,048	Ь,Ъ	0,017
З	0,018	С	0,055	Ы	0,019
И	0,075	Т	0,065	Э	0,003
И	0,012	У	0,025	Ю	0,007
				Я	0,022

Элементы комбинаторики.                                               Письменной Е.Н.

I.	n!= 1х2х3х….х(n-2) (n-1) n	0!=1;    1!=1;    2!=1х2=2;     3!=1х2х3=6;      4!=1х2х3х4=24
		5! = 1х2х3х4=120                             6!= 720

II.

1. Перестановки – комбинации из n элементов, которые отличаются  друг от друга только порядком элементов.	Рn=n! n – число элементов, входящих в каждую перестановку, (n- натуральное число)
(!!! Берутся все элементы,  и изменяется только их местоположение)
Пример 1. Даны три лекарства А,В,С. Сколькими способами можно выписать  назначение? 1способ решения;  АВС, АСВ, ВСА, ВАС, САВ, СВА (6 способов назначения)  2 способ  решения: Рn=n!   Р3=3!=6 Пример 2. Сколько различных пятизначных чисел  можно составить  из цифр  5,6,7,8,9 при условии, что ни одна цифра  в числе не повторяется? Решение.    Р5=5!=120

2.  Размещения - комбинации из m элементов по n элементам, которые отличаются  друг от друга только или самими элементами или порядком элементов.                                  ( m, n- натуральные,  n меньше m)	Аmn n – число элементов, входящих в каждую комбинацию; m – число всех имеющихся  элементов
(!!! Берется только часть  элементов,  и важно  расположение  элементов друг относительно друга)
Пример 1.Даны четыре буквы А,В,С,Д. Сколько комбинаций по две буквы  можно из них  составить? Решение.  АВ,АС,АД,    ВА,ВС,ВД,  СА,СВ,СД,    ДА,ДВ,ДС (отличаются или буквами или их порядком) Пример 2. Сколько  существует  вариантов распределения трех призовых мест, если   в  предметной олимпиаде  участвует семь человек?                 А73 =

3.Сочетания – все комбинации из m элементов по n элементам, которые отличаются  друг от друга по крайней мере  хотя бы одним элементом.                                 ( m, n- натуральные,  n меньше m)
(!!! Берется только часть  элементов,  и не имеет значения  расположение  элементов друг относительно друга)
	n – число элементов, входящих в каждую комбинацию; m – число всех имеющихся  элементов
Основное свойство сочетаний:
Пример 1.Даны четыре буквы А,В,С,Д. Сколько комбинаций по две буквы  можно из них  составить? Решение.  АВ,АС,АД, ВС,ВД, СД,     (отличаются хотя бы одним элементом) Пример 2. Сколькими способами можно выбрать  трех дежурных, если в классе 30 человек? Решение.

Элементы комбинаторики.                                                        Письменной Е.Н.

I.	n!= 1х2х3х….х(n-2) (n-1) n	0!=1;    1!=1;    2!=1х2=2;     3!=1х2х3=6;      4!=1х2х3х4=24
		5! = 1х2х3х4=120                             6!= 720

II.

1. Перестановки – комбинации из n элементов, которые отличаются  друг от друга только порядком элементов.	Рn=n! n – число элементов, входящих в каждую перестановку, (n- натуральное число)
(!!! Берутся все элементы,  и изменяется только их местоположение)
Пример 1. Даны три лекарства А,В,С. Сколькими способами можно выписать  назначение? 1способ решения;  АВС, АСВ, ВСА, ВАС, САВ, СВА (6 способов назначения)  2 способ  решения: Рn=n!   Р3=3!=6 Пример 2. Сколько различных пятизначных чисел  можно составить  из цифр  5,6,7,8,9 при условии, что ни одна цифра  в числе не повторяется? Решение.    Р5=5!=120

2.  Размещения - комбинации из m элементов по n элементам, которые отличаются  друг от друга только или самими элементами или порядком элементов.                                  ( m, n- натуральные,  n меньше m)	Аmn n – число элементов, входящих в каждую комбинацию; m – число всех имеющихся  элементов
(!!! Берется только часть  элементов,  и важно  расположение  элементов друг относительно друга)
Пример 1.Даны четыре буквы А,В,С,Д. Сколько комбинаций по две буквы  можно из них  составить? Решение.  АВ,АС,АД,    ВА,ВС,ВД,  СА,СВ,СД,    ДА,ДВ,ДС (отличаются или буквами или их порядком) Пример 2. Сколько  существует  вариантов распределения трех призовых мест, если   в  предметной олимпиаде  участвует семь человек?                 А73 =

3.Сочетания – все комбинации из m элементов по n элементам, которые отличаются  друг от друга по крайней мере  хотя бы одним элементом.                                 ( m, n- натуральные,  n меньше m)
(!!! Берется только часть  элементов,  и не имеет значения  расположение  элементов друг относительно друга)
	n – число элементов, входящих в каждую комбинацию; m – число всех имеющихся  элементов
Основное свойство сочетаний:
Пример 1.Даны четыре буквы А,В,С,Д. Сколько комбинаций по две буквы  можно из них  составить? Решение.  АВ,АС,АД, ВС,ВД, СД,     (отличаются хотя бы одним элементом) Пример 2. Сколькими способами можно выбрать  трех дежурных, если в классе 30 человек? Решение.

Элементы теории вероятности          Элективный курс.             Письменной Е.Н.

I. Эксперимент называют статическим, если он может быть  повторен в  практически неизменных условиях неограниченное число раз.

Событие – это факт, результат, который в ходе  эксперимента может произойти или  не произойти	Виды случайных событий
	Случайное – событие, которое может произойти или не произойти
	Искомое событие- которое нас интересует из всех возможных
	Равновозможные события -  имеющие равные возможности произойти
	Несовместные – если никакие два события не могут произойти  вместе в одном опыте. В противном случае события совместное.  Два не совместных события  называются  противоположными (А и )
	Достоверные – если оно происходит в данном  испытании обязательно.
	Невозможное – если оно в данном опыте  не может произойти
	Равновозможные -  те, которые имеют равные возможности произойти.

II. Классическое определение вероятности события.

(имеет место для испытаний с конечным числом  равновозможных исходов испытания)

Вероятность события А равна отношению числа m исходов испытания , благоприятствующих наступлению  события А,   к общему  числу  n  всех равновозможных несовместных исходов, то есть
Пример. Пусть имеется 100 деталей, из которых 97  стандартных и 3 бракованных. Какова вероятность того, что взятая  наудачу деталь окажется бракованной?
Свойства вероятности  события. 1.Вероятность любого  события есть неотрицательное число, не превосходящее единицу 2. Вероятность достоверного  события равна единице, так как n\n = 1 3. Вероятность невозможного  события равна нулю, так как 0\n = 0
Зная вероятность   события А, можем найти и вероятность противоположного события :

III. Статистическое определение вероятности события.

(Имеет место для испытаний с конечным числом  неравновозможных исходов.)

Например, вероятность появления  шести очков на верхней грани  кубика, у которого центр тяжести не совпадает с  геометрическим,  не будет равным 1\6.  Но это событие обладает вероятностью наступления, которую можно оценить при изучении  изменения относительной частоты появления соответствующего события

Относительной частотой  появления события А называется отношение числа испытаний  m, в которых  событие А появилось,  к общему  числу  n  проведенных испытаний,  то есть

;

Статистическое определение вероятности события обеспечивает нам  принципиальную возможность  оценки вероятности  любого события  во всех  случаях, когда возможно проведение  реальных экспериментов и изучение  изменения  относительной  частоты  по их результатам.

Относительная частота  появления  события А  при проведении k серий по n  испытаний в каждой, если n достаточно велико, для большинства таких серий  сохраняет  почти  постоянную величину.

В общем случае считают, что существует некоторая постоянная, около которой колеблется относительная  частота  появления  события А.

За численное  значение  этой постоянной  при большом числе испытаний  может быть приближенно  принята  относительная частота  появления события А, или же число, близкое  к относительной частоте.  Эту постоянную называют статистической вероятностью  случайного события А.

 Случайные события со статистически  устойчивой частотой  широко распространены  в физике, биологии, экономике и других областях знаний.

Теория для урока.

Любая серия  реальных экспериментов может дать лишь  приблизительную оценку  значения вероятности , а сам статистический подход  также связан с серьезными теоретическими проблемами. Может возникнуть вопрос: если все так ограничено, приблизительно и сложно, то как же находят  значения вероятности реальных событий?

Общая схема ответа на этот вопрос такова. Теория вероятности не занимается оценкой  вероятностей  реальных событий. Теория вероятности строит  математические модели, которые в зависимости от конкретных значений их параметров позволяют вычислять вероятности сложных событий. Результаты будут настолько «хороши»,  насколько «хороши»  были исходные данные и насколько точно описывает модель реальный объект.

Специалисты практики (статистики), интересующиеся вероятностями конкретных событий, проверяют  расчеты на практике, в экспериментах. Если расчеты будут плохо совпадать с данными опыта, то  проверяются исходные данные и начинается «подгонка» модели, то есть попытки изменить ее так, чтобы получаемые  с ее помощью расчетные результаты как можно лучше совпадали с тем, что дает реальный эксперимент.    Т.О. , применение вероятностных расчетов на практике  осуществляется в тесном  взаимодействии теории вероятностей и математической статистики.

Элементы теории вероятности          Элективный курс.             Письменной Е.Н.

I. Эксперимент называют статическим, если он может быть  повторен в  практически неизменных условиях неограниченное число раз.

Событие – это факт, результат, который в ходе  эксперимента может произойти или  не произойти	Виды случайных событий
	Случайное – событие, которое может произойти или не произойти
	Искомое событие- которое нас интересует из всех возможных
	Равновозможные события -  имеющие равные возможности произойти
	Несовместные – если никакие два события не могут произойти  вместе в одном опыте. В противном случае события совместное.  Два не совместных события  называются  противоположными (А и )
	Достоверные – если оно происходит в данном  испытании обязательно.
	Невозможное – если оно в данном опыте  не может произойти
	Равновозможные -  те, которые имеют равные возможности произойти.

II. Классическое определение вероятности события.

(имеет место для испытаний с конечным числом  равновозможных исходов испытания)

Вероятность события А равна отношению числа m исходов испытания , благоприятствующих наступлению  события А,   к общему  числу  n  всех равновозможных несовместных исходов, то есть
Пример. Пусть имеется 100 деталей, из которых 97  стандартных и 3 бракованных. Какова вероятность того, что взятая  наудачу деталь окажется бракованной?
Свойства вероятности  события. 1.Вероятность любого  события есть неотрицательное число, не превосходящее единицу 2. Вероятность достоверного  события равна единице, так как n\n = 1 3. Вероятность невозможного  события равна нулю, так как 0\n = 0
Зная вероятность   события А, можем найти и вероятность противоположного события :

III. Статистическое определение вероятности события.

(Имеет место для испытаний с конечным числом  неравновозможных исходов.)

Например, вероятность появления  шести очков на верхней грани  кубика, у которого центр тяжести не совпадает с  геометрическим,  не будет равным 1\6.  Но это событие обладает вероятностью наступления, которую можно оценить при изучении  изменения относительной частоты появления соответствующего события

Относительной частотой  появления события А называется отношение числа испытаний  m, в которых  событие А появилось,  к общему  числу  n  проведенных испытаний,  то есть

;

Статистическое определение вероятности события обеспечивает нам  принципиальную возможность  оценки вероятности  любого события  во всех  случаях, когда возможно проведение  реальных экспериментов и изучение  изменения  относительной  частоты  по их результатам.

Относительная частота  появления  события А  при проведении k серий по n  испытаний в каждой, если n достаточно велико, для большинства таких серий  сохраняет  почти  постоянную величину.

В общем случае считают, что существует некоторая постоянная, около которой колеблется относительная  частота  появления  события А.

За численное  значение  этой постоянной  при большом числе испытаний  может быть приближенно  принята  относительная частота  появления события А, или же число, близкое  к относительной частоте.  Эту постоянную называют статистической вероятностью  случайного события А.

 Случайные события со статистически  устойчивой частотой  широко распространены  в физике, биологии, экономике и других областях знаний.

У многих в жизни случается романтическая пора, когда, доверяясь листу бумаги, хочется охранить текст от случайного взгляда. И тогда нередко прибегают к помощи шифра. Однако далеко не всякое зашифрованное сообщение способно выдержать натиск любителя раскрыть его тайный смысл. Например, довольно распространенная практика замены одних букв другими буквами или рисунками не может защитить сокровенный текст от прочтения посторонними. И вот почему – частота появления конкретной  буквы алфавита в любом содержательном тексте достаточно большого объема для языка с буквенно-слоговым типом письма является практически постоянной.

В увлекательной форме это описано Артуром Конан Дойлем («Пляшущие человечки»)

 и Эдгаром По («Золотой жук»).

В русском языке картина аналогична.  Относительная частота появления в тексте букв алфавита описывается следующей таблицей:

буква	частота	буква	частота	буква	частота
А	0,075	К	0,034	Ф	0,002
Б	0,017	Л	0,042	Х	0,011
В	0,046	М	0,031	Ц	0,005
Г	0,016	Н	0,065	Ч	0,015
Д	0,030	О	0,110	Ш	0,007
Е	0,087	П	0,023	Щ	0,004
Ж	0,009	Р	0,048	Ь,Ъ	0,017
З	0,018	С	0,055	Ы	0,019
И	0,075	Т	0,065	Э	0,003
И	0,012	У	0,025	Ю	0,007
				Я	0,022

Поэтому желающему прочитать зашифрованное письмо достаточно лишь подсчитать частоту появления в нем шифровальных значков разных типов и сопоставить их с частотой букв в этой таблице. Например, если общее число значков в письме равно 1000, а число одинаковых значков некоторого определенного  типа окажется  равным 55, то так как 55\1000 равно 0,055, за этим значком скорее всего, скрывается буква «с».