Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / План урока "Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница"

План урока "Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_c1dcf58.gifhello_html_648175e3.gifТема: Интеграл. Формула Ньютона- Лейбница.

Цель урока: - Научить обучающихся определять интеграл. Ввести формулу

Ньютона – Лейбница для вычисления интеграла.

- Развивать у обучающихся умения вычислять интеграл, логически

думать: анализировать, сравнивать и делать выводы.

-Воспитывать у обучающихся интерес к теме, к математике.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: Тригонометр ( график функции косинус),

интерактивная доска, переносная доска, магнитная доска,

обычная доска, кроссворд, тест, математическая лото,

доклады обучающихся, презентации.

Ход урока:

1. Организационная часть.

2. Проверка домашнего задания. Повторение.

3. Объяснение нового материала.

4.Закрепление.

5. Подведение итогов урока. Домашнее задание.

Проверка домашнего задания.

На прошлом уроке вы узнали, что такое криволинейная трапеция и вывели формулу для вычисления ее площади. Чтобы закрепить эти понятия, для выполнения дома было задано: № 353(а), №353(б).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у=х2, у=0, х=3. б)у=cosx, у=0, х=0, х=п/2.

Разобрать решение у доски, вызвав двух обучающихся. Пока они записывают решения, все остальные работают по тесту. Тест проецируется на интерактивную доску. Через 5 минут собрать талоны ответов и спроецировать на доску схему верных ответов. Дать обучающимся возможность себя оценить. Каждый верный ответ оценивается в 1 балл.

Верные ответы:

1

х




2



х


3


х



4



х


5



х


Тест №1.

1. Найдите первообразную функции f(x)=2х+5.

1) х2 +5х+с. 2)7х. 3) 2. 4) 2х2+5х.

2. По какой формуле можно вычислить площадь крив. трапеции.

1) S=F(a)-F(b). 2) S=F(a)+F(b). 3) S=F(b)-F(a). 4) S=F(a)-F(b).

3.Сколько первообразных имеет одна и та же функция?

1) одну. 2) множество. 3) не больше двух. 4) 0.

4. Найдите первообразную функции f(х)=4х3+5х-3.

1) 4х +5 2) 4х2+1 3) х4+5х2/2-3х+с. 4) 2х2

5. Найдите общий вид первообразных f(х)=2sinx.

1)2sinx+c. 2) cosx+c. 3)-2cosx+c. 4)-2sinx+c.

Проверим решения заданий на доске. Вычислены площади фигур, ограниченные линиями.

Изучение новой темы.

На сегодняшнем уроке мы с вами рассмотрим другой подход, более широкий, к задаче нахождения площади криволинейной трапеции, который своими корнями уходит в глубокую древность. Еще 3 веке до нашей эры великий Архимед усовершенствовал метод решения задач на вычисление площадей, предложенный Евдоксом Книдским. Назвали этот метод – «Метод исчерпывания», который спустя две тысячи лет был преобразован в метод интегрирования. В его основе лежит такое понятие, как… , которое мы с вами сейчас узнаем. Так, что же, интересно, лежит в основе этого метода?

Чтобы ответить на этот вопрос, попробуем разгадать кроссворд.

1и























































По горизонтали:

1.Промежуток. (Интервал).

2.Что мы хотим узнать, решив кроссворд. ( Название).

3.Четырехугольник или криволинейная … (Трапеция).

4.Наименьшее положительное число. (Единица).

5. 0- это (Граница) положительных и отрицательных чисел.

6.Название квадратного корня. (Радикал).

7. Независимое переменное. (Аргумент).

8. -математическая название фигуры. (Ломанная).

По вертикали: Понятие, которое лежит в основе метода интегрирования. Это, правильно, ИНТЕГРАЛ. Что такое интеграл? Мы с вами сейчас определим и рассмотрим формулу его вычисления – формулу Ньютона – Лейбница.

Итак, запишем тему сегодняшнего урока.

Тема: Интеграл. Формула Ньютона - Лейбница.

В чем же состоит «метод исчерпывания» Архимеда. Продемонстрируем его. Предположим, что нужно вычислить объем лимона, имеющего неправильную форму, и поэтому применить какую – нибудь известную формулу нельзя. С помощью взвешивания найти объем также трудно, так как плотность лимона в разных его частях разная. Поступим следующим образом. Разрежем лимон на тонкие дольки. Каждую дольку лимона можно считать цилиндриком, радиус основания, которого можно измерить. Объем такого цилиндрика легко вычислить по формуле: YR2H. Сложив oбъемы маленьких цилиндриков, мы получим приближенное значение объема всего лимона.

Применим аналогичную процедуру для вычисления площади криволинейной трапеции. Рассмотрим ее на отрезке [а; в]. Разобьем отрезок[ а; в] точками на несколько равных отрезков a=x0<x1<…<xn-1<xn=b, k=1,2,….n-1,n.

Определим длину одного такого отрезка [х k-1k] dx= b-a/n,

d - начальная буква латинского слова differentia (разность).

На каждом таком отрезке построим прямоугольник с высотой f(xk-1).

Площадь Sn = S1 +S2 + S3 +…+ Sn-1 + Sn ( по свойству площади).

Sn = f(x0)dx+f(x1)dx+…+f(xn-1)= dx(f(x0)+f(x1)+…+f(xn-1))=f(x)dx

В силу непрерывности функции f(x) объединение построенных прямоугольников при большом n, почти совпадают с интересующей нас криволинейной трапеции. Поэтому SnS при больших n. Это число называют интегралом функции.

Определение. Для положительной непрерывной функции f(x) определенной на конечном отрезке[ а;b] интегралом называется площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Итак, интеграл –это площадь- геометрический смысл.

Интеграл от функции f(x) на [а;b] обозначается так: f(x)dx, где

- знак интеграла - стилизованная запись буквы S - первой буквы слова

«сумма» на латинском языке.

а ,b- пределы интегрирования

a – нижний предел интегрирования

b- верхний предел интегрирования

f(x)- подынтегральная функция

x – переменная интегрирования.

Прямое вычисление площадей некоторых фигур, а значит и интегралов от некоторых функций, проделал Архимед. Однако лишь в 17 веке английскому ученому Исааку Ньютону в 1671году и Готфриду Лейбницу- немецкому ученому в 1684 году удалось открыть общий способ вычисления интегралов.

S=F(b)-F(a) S=∫f(x)dx

f(x)dx=F(b)-F(a) - Формула Ньютона- Лейбница. Сообщение обучающегося. Презентация.



Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским ( ок. 408- ок.355 до н.э.) все эти задачи мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.

Закрепление: Пример1: Вычислите интеграл от 0 до 2. ∫x2dx №357(а,б).

Пример2: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать

рисунок) f(x)=Sinx, у=0, x=0, x=π. (использовать тригонометр – график

функции синус - синусоиду).

Итоги урока:

Д/З. §8, П.30.№357(в,г).







newton



Исаак Ньютон (25 декабря 1642 – 20 марта 1727) –

великий английский физик, математик и астроном.

Символ ∫ введен Лейбницем (1675г). Этот знак является изменением

латинской буквы S ( первой буквы слова summa).



220px-Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz

Г. Лейбниц (21 июня 1646 – 14 ноября 1716) –

немецкий философ, математик, юрист, дипломат.









Jakob_Bernoulli



Само слово интеграл придумал Я.Бернулли.

Якоб Бернулли (27 декабря 1654 – 16 августа 1705) –

швейцарский математик.

Оно происходит от латинского integro, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. ( Действительно, - операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием, которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый. Тогда же, в 1696г. появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление, которое ввел И.Бернулли. Употребляющееся сейчас название первообразная функции заменила ранее «примитивная функция», которое ввел Лагранж(1797г).

лагранж



Ж. Лагранж (25 января 1736 – 10 апреля 1813) – французский математик и механик итальянского происхождения. Лучший математик 18 века.





Латинское слово primitives переводится как «начальный». В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А ∫ от а до b называют определенным интегралом, пределы интегрирования указывал уже Эйлер.

180px-Leonhard_Euler

Л. Эйлер (4 апреля 1707 – 7 сентября 1783),

немецкий и русский математик, механик и физик.



















Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 09.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров541
Номер материала ДВ-137445
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх