План урока по предмету алгебра и начала анализа "Решение показательных неравенств" (11 класс)

Алгебра и начала анализа, 11 класс

Тема урока: Решение показательных неравенств.

Цель урока:                                                     

 Образовательная:дать понятие показательного неравенства, научить решать показательные неравенства, применяя свойства возрастающей (убывающей) функции,

 развивать вычислительные навыки учащихся.

Воспитательная: Воспитывать личность гражданственную, творчески мыслящую, инициативную, подготовленную свободно ориентироваться в окружающей действительности

Развивающая: Развитие способности анализа предоставляемого материала, творческого самовыражения, образного, критического мышления.

 Ход урока:

1 Организационная часть:1)приветствие;

 2) сообщение темы и цели урока.

II. Устная работа:

1) дать определение показательной функции, сформулировать свойства показательной функции;

2) ( интерактивная доска) Какие из данных функций являются показательными?

 a) y =  ;

б) y =   ;

в) y =(-3)x;

г) y = ;                                               ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

д) y = x;

е) y = ;

ж) y = πx ;

з) y = 3 - x.

3) Какие из перечисленных показательных функций являются возрастающими:

а) y = ;

б) y = ;

в) y = ;

 г) y = ;

д) y = ;                                                  ВОЗРАСТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ

е) y= ;

ж) y =

з) y =

4)Какие из перечисленных показательных функций являются убывающими?

  ; 

  ;  

  ; 

;                                           УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ

 у = 0,2^х

 у= 3^х

у=2^-х

5) Укажите график функции 

            у = 0,5^х

у =  2^х 

III. Как связана показательная функция с окружающей нас жизнью расскажет учитель химии (презентация).

Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов. Об этом нам расскажет учитель физики.

1) Например, в теории межпланетных путешествий решается задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v₀, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определяется формулой: М= m(e^v/v0-1) (формула К.Э.Циолковского). Например, для того чтобы ракета с массой 1.5 т имела скорость 8000м/с, надо взять примерно 80 т топлива.

2) Радиоактивный распад вещества задаётся формулой m=m₀(), где m и m₀ масса радиоактивного вещества в момент времени t и в начальный момент времени t=0; T - период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое). Когда радиоактивное вещество распадается, его количество уменьшается. Через некоторое время остаётся половина первоначального количества вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество.

Задача 1.

Период полураспада плутония Т=140 суткам. Какой станет масса m плутония через 10 лет, если его начальная масса m₀₌8г?

Решение.

В данной задаче t=10365 (считаем, что в году 365 дней), =. По формуле радиоактивного распада, с помощью микрокалькулятора находим m=8()1,1345 ^. 10^-7 .

Ответ. Через 10 лет плутония останется 1 вари.13 ^. 10^-7 г.

Задача 2 / 2 ученика работают у доски/

При радиоактивном распаде количество некоторого вещества уменьшается вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 г через: а) 1,5 суток; б) 3,5 суток?

Решение.

а) m₀₌250г

T=1 сут.

t=1,5 сут.

m=m_{0 ()}^1,5

m=250 *0,5=250 =25088,4(г).

б) m₀₌250г

T=1 сут.

 t=3, 5 сут.

m=m_{0 ()}^3,5.

m=250 ∙0,5^7/2=250 = 250 ∙ 0 ,25 22,1(г).

Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определён примерный возраст Земли (около 5,5 млрд. лет).

3) Изменение атмосферного давления p в зависимости от высоты h над уровнем моря описывается формулойp=p₀ a^k , где p₀-атмосферное давление над уровнем моря, а – некоторая постоянная.

4) Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идёт гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась Т₀, а температура воздуха Т_1, то через t сeкунд температура Т чайника выразится формулой: Т = (Т₁-Т₀) е^-кt + Т_1, где к - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которая в нём находится.

 5) При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определённой величины.

Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv, то через t секунд скорость падения будет равна: v = mg/k(1-e^-kt/m),

где m -масса парашютиста. Через некоторый промежуток времени e^-kt/m станет очень маленьким числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта. Данная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т.д.

Как видите, во всех приведенных выше исследованиях использовалась показательная функция.

IV. Изучение нового материала.

1. Определение показательного неравенства ( Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством.)

Решение показательных неравенств в основном сводится к решению неравенств вида

или  .  Для решения таких неравенств используются следующие утверждения:

1) если , то  при   следует  .

2) если , то  при    следует, .

При решении показательных неравенств следует учитывать общие свойства неравенств, свойства монотонности показательной функции и допустимые значения переменных.

  Пример 1.  Решим неравенство  .

  Решение. Согласну свойству монотонности показательной функции при основании, большем 1, меньшему значению функции соответствует меньшее значение показателя степени, т.е. .Отсюда: или  .

                                                                                                                                  Ответ: .

  Пример 2. Найдём наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству  .

  Решение. Выполним преобразование и получим неравенство, равносильное данному:

, отсюда следует, что  или. Решением исходного неравенства  является промежуток , тогда наибольшим целым значением переменной, удовлетворяющим исходному неравенству, будет х=3.

                                                                                              Ответ: 3.

V. Закрепление изученного материала.

  № 214.  Решите неравенства:

 1)           2) 3) 4)

№ 215. Найдите наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству:

         1)                            2)                3)

              Ответ: -1.                                Ответ: 0.                          Ответ: 3

VI. Найди ошибку.

 1)                                  2)                                     3)  

        4)                      5)    Ответ:  нет решений

VII. Итог урока. Выставление оценок.

VIII. Задание на дом. &14, пример 3,4, № 214, (3,5). № 215 (2,4).

Самоанализ урока алгебра и начала анализа в 11 классе учителя математики

Рассоха Татьяны Александровны.

        Данным уроком продолжается знакомство с показательной функцией и применение её свойств к решению показательных уравнений и неравенств. Данный урок связан с предыдущими, на которых ребята познакомились с определением показательной функции, свойствами показательной функции, научились решать показательные уравнения, опирается на ранее изученный материал. Урок работает на последующие, так как учит решать показательные неравенства, что будет необходимо при изучении последующего материала. 

      Анализируемый урок призван подготовить учащихся к более трудным вопросам алгебры и начал анализа, эмоционально воздействовать на сознание учащихся и повысить интерес к предмету.

       В ходе урока были повторены свойства показательной функции, свойства возрастающей

(убывающей) функции, продолжено развитие самостоятельности, логического мышления, применялись технические средства обучения (интерактивная доска).

        Выбранная мною структура урока и его содержание рациональны для решения поставленных задач.

       Урок начинается организационным моментом, на котором учащимся сообщается тема и цели урока. Далее  следует  повторение материала предыдущих уроков посредством устной фронтальной работы с классом. На данном этапе урока были предложены разнообразные задания (выделить показательную функцию из данных, определить возрастающую(убывающую) функцию, указать график функции), что заставляет учащихся мыслить творчески  и активизирует познавательную деятельность.

      На уроке при показе призентации, по которой выступила учитель химии Холод Наталья Александровна, просматривается межпредметная связь математики с химией, физикой.

        Далее идёт объяснение нового материала с опорой на ранее изученный и закрепление материала. Учащиеся работают у доски, комментируя свои действия. Следующий этап работы – творческое задание «Найди ошибку». Направлено на закрепление изученного материала, позволяет учащимся почувствовать себя в роли учителя. Таким образом, каждый ученик класса имеет возможность не только следить за комментариями товарища, но и самостоятельно искать ошибку в неравенствах, выведенных на интерактивную доску.

        При разработке данного урока были учтены следующие особенности учащихся:

- потребность принимать участие в объяснении материала (учащиеся, благодаря наводящим  вопросам учителя, логически размышляя, практически самостоятельно нашли способ решения показательного неравенства);

- стремление научиться решать показательные неравенства (на уроке было предложено достаточно заранее заготовленных заданий, которые экономят время урока и развивают  логическое мышление);

- интерес к  математике (на уроке учащиеся  посредством призентации показана тесная связь математики с другими науками ).

          На уроке были решены следующие задачи:

а) общеобразовательная: научить решать показательные неравенства;

б) воспитательная: воспитание интереса к математике, к истории математики;

в) развивающая: развивать навыки работы с показательной функцией, (решение показательных неравенств). 

         Объяснение темы строилось с помощью создания проблемных ситуаций, применением игровых моментов, что значительно упростило процесс усвоения. Урок проводится с использованием наглядного материала, интерактивной доски. При организации познавательной деятельности использовались как коллективные, так и индивидуальные формы работы.

         Достаточно неплохая работоспособность учащихся обеспечивалась за счёт постоянной смены видов деятельности (разрешение проблемной ситуации, логические рассуждения при решении задач на нахождение ошибки, работа с историческим материалом, решение задач по готовым таблицам).

       Урок построен с учётом психологических особенностей школьников. Опора на межпредметные связи: химия, физика. Использованы возможности личностно-ориентированного обучения. Домашнее задание направлено на закрепление материала.