План дневного погружения по теме "Делимость натуральных чисел"

Погружение №1, день 2

РВГ-1, 

Тема: Делитель и кратное. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9. Разложение натуральных чисел на простые множители.

Цель: освоение учащимися признаков делимости

Учащиеся в конце урока должны: знать:  признаки делимости на 10, на 5 и на 2; признаки делимости на 9 и на 3; определение четных и нечетных чисел; Уметь представлять натуральное число в виде произведения простых чисел. Формулировать определения делителя и кратного, простого числа и составного числа, свойства и признаки делимости. Доказывать и опровергать с помощью контрприме­ров утверждения о делимости чисел.

Планируемые результаты:

Личностные результаты:

-        готовность и способность обучающихся к саморазвитию;

-        навыки сотрудничества в разных ситуациях, умение не создавать конфликты и находить выходы из спорных ситуаций;

Метапредметные результаты.

Познавательные:

-        сформированность познавательных интересов, направленных на развитие представлений о числе и числовых системах;

-        умение работать с различными источниками информации, включая цифровые;

-        умение преобразовывать информацию из одной формы в другую.

Регулятивные:

-         понимание смысла поставленной задачи;

-         умение выполнять учебное действие в соответствии с целью.

Коммуникативные:

-        сформированность умений ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной речи;

-        умение адекватно использовать речевые средства для аргументации своей позиции;

-        умение работать совместно в атмосфере сотрудничества.

Предметные результаты:

в познавательной (интеллектуальной) сфере: знание признаков делимости на2 ,5, 10, 3, 9.

в ценностно-ориентационной сфере: применение новых знаний в новой ситуации;  уметь распознавать числа, кратные 10, 9, 5, 3, 2; .

Учебное оборудование: мультимедийный компьютер, проектор, экран, раздаточный материал.

 

 

1.      ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА №1

2.      Изучение нового материала

— Найдите значение выражений: 100 : 25; 66 : 4; 66 : 1; 66 : 11 100 : 1; 100 : 24; 72 : 1; 72 : 3; 72 : 72; 66 : 66; 72 : 8; 100 : 100.

— На какие группы можно разделить данные числовые выра­жения? Почему? (На 2 группы: 1 группа — деление без остат­ка, 2 группа — деление с остатком; на 3 группы (по делимо­му): I группа — делимое = 100, 2 группа — делимое = 66 3 группа — делимое = 72; на 3 группы (по делителю): 1 группа — делитель равен 1, 2 группа — делитель равен самому числу 3 группа — делитель равен другим числам.)

— Когда одно число делится на другое без остатка, то говорят что первое число делится на второе.

— Как называются числа при делении?

а : Ь = с (Ответ: а — делимое, Ь — делитель, с — частное)

— Какое число получится при делении 100 на 4?

— Делимое — 1000, делитель — 4. Найдите частное.

— Делитель — 8, частное — 25. Найдите делимое.

— Делимое - 1000, частное 125. Найдите делитель.

— Как называются данные равенства? х: 2 = 19; 42 : х =• 14 (Уравнения.)

— Как найти неизвестное делимое? (Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.)

— Как найти неизвестный делитель? (Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.)

— Угадайте корень уравнения х, если х + 1 = 10. (х = 9.)

— Назовите наименьшее натуральное число. (1.)

— Какие числа называют натуральными? (Числа, которые используются при счете предметов.)

— Назовите наибольшее натуральное число. (Нельзя, так как любое натуральное число можно увеличить на единицу.)

Сообщение темы урока

В тетрадях записывается число, тема.

— Сегодня на уроке мы познакомимся с новыми понятиями «делители и кратные» натуральных чисел. Запишем в тет­радь тему урока: «Делители и кратные».

 Работа с учебником.

— Прочитайте пример в учебнике на стр. 4.

Задача. 20 яблок надо разделить поровну между 4 ребятами, сколько яблок получит каждый ребенок? (Каждый получит по 5 яблок.)

— А если надо разделить (не разрезая) 20 яблок между 6 ребя­тами? Сколько яблок получит каждый ребенок? (Каждый получит по 3 яблока, а еще 2 яблока останутся.)

— Говорят, что число 4 является делителем числа 20, а число 6 не является делителем числа 20.

Определение, Делителем натурального числа а называют нату­ральное число Ь, на которое а делится без остатка.

— Запишем в тетрадь: а: Ь

число Ь — делитель числа а; а, Ь — натуральные числа.

—- Назовите делители числа 12. (Д 2, 3, 4, 6 и 12.)

2. № 1 стр. 4 (устно).

(Ответ: по 1 ореху - 36 кучек, по 2 - 18 кучек, по 3 - 12 кучек, по 4 — 9 кучек, по 6 — 6 кучек.)

— Что можно сказать об этих числах? (Они являются делите­лями числа 36.)

№ 2 (устно).

— Прочитайте условие задачи. Ответьте на 1-й вопрос. (Да.) Почему? (42 делится на 6 без остатка.)

— Ответьте на 2-й вопрос. (Нет.)

— Почему? (Так как 49 не делится на 6 без остатка.) }, Задача из учебника (стр. 4).

— Прочитайте пример в учебнике на стр. 4.

Задача. Пусть на столе лежат пачки, в каждой из которых по 8 печений. Можно ли, не раскрывая пачек, взять 8 печений? (Да.) 16 печений? (Да.) 24 печенья? (Да.) А 18 печений? (Нет, не раскрывая пачек, взять 18 печений нельзя.)

— Говорят, что числа 8, 16, 24 кратны числу 8, а число 18 не кратно числу 8.

Определение. Кратным натурального числа а называют натуральное число с, которое делится без остатка на а.

— Запишем в тетрадь: с : а

число с — кратное числа а; с, а — натуральные числа.

— Слово «крата» — старинное русское слово, означающее раз;

 Слово «кратный» означает известное число раз. Сколь кратно говорено тебе! Однократный, многократный проступок. (Такое толкование этих слов дает толковый словарь Дал5

4. — Назовите числа, кратные числу 10. (10, 20, 30, 40, ...)

— Можно ли назвать самое большое число, кратное числу 10 (Нет.)

— Почему? (Натуральных чисел бесконечно много.)

— Какой вывод можно сделать? (Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.)

5. — Последовательно кратные данного числа можно получат умножая его на 1, 2, 3 и т.д. или прибавляя данное число предыдущему кратному. Например, кратными числу 5 будут числа: 5 • 1 = 5, 5 • 2 = 10, 5 • 3 = 15 и т.д.

Или 5 + 5 = 10, 10 + 5 = 15, 15 + 5 = 20 и т.д.

— Давайте договоримся, что на всех уроках в случае затруднений можно обращаться за помощью к учителю или к ученикам-консультантам. Для получения консультации достаточно поднять красную сигнальную карточку со знаком вопроса (просто руку и попросить помощи).

№ 3 стр. 4 (устно)

— Прочитайте задание.

— Докажите свой ответ.

Ответ: а) да, верно, 5 — делитель 45, так как 45 : 5 = 9, то ее 45 делится на 5 без остатка; д) не верно, так как 6 не делится 12 без остатка.

VII. Самостоятельная работа

Учащиеся самостоятельно работают в тетрадях, два учен и решают на обратной стороне доски. Затем учащиеся проверяй решение на доске.

Вариант /№ 6 (а), № 7 (б) стр. 5, № 20 (в, е) стр. 7.

Вариант IIN° 6 (б), № 7 (а) стр. 5, № 20 (г, д) стр. 7.

Ответы:

Вариант I

№6 (а) (6: 1,2, 3,6);

№ 7 (б) (11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99);

№ 20 (в, е) (3843 : 5 = 768 (ост. 3); 1000 : 9 = 111 (ост. 1)).

Вариант II

№6 (б) (18: 1,2,3,6,9, 18);

№ 7 (а) (8: 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96);

№ 20 (г, д) (4236 : 5 = 847 (ост. 1); 100 : 3 = 33 (ост. 1)).

Ребята, которые справятся с заданием раньше других, могут наряду с учителем выступать в роли консультантов.

 

Изучение нового материала по теме ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ проводится в форме эвристической беседы:

-                   Приведите примеры натуральных чисел, которые делятся без остатка на 10. (Числа записываются на доске и в тетрадях учеников.)

-                   Как вы думаете, будет ли делиться на 10 без остатка число 457030? Почему вы так решили?

-                   Какой можно сделать вывод: как, не выполняя деления, узнать, что натуральное число делится на 10?

-                   А будет ли делиться на 10 число, у которого на конце не 0, а другая цифра? (Пример такого числа.)

Формулируем признак делимости на 10 в виде правила.

-                   Как вы думаете, будет ли делиться без остатка на 100 число 9400?

-                   Какие же натуральные числа будут делиться на 100? А на 1000? (Формулируем вывод.)

-                   Приведите примеры натуральных чисел, которые без остатка делятся на 5.

-                   (Числа записываются на доске и в тетрадях учеников).

-                   Попробуйте увидеть особенность таких чисел. (Наводящий вопрос в случае затруднения: какая цифра стоит на конце этих чисел?)

-                   Будет ли делиться на 5 число 451? Почему?

Формулируем признак делимости на 5 в виде правила.

-                   Назовите однозначные числа, которые без остатка делятся на 2.

Даем определение четного числа.

-                   Из предложенных чисел выберите и назовите четные числа.  (Числа записаны на доске.)

-                   Приведите примеры двузначных, трехзначных чисел, которые делятся на 2.

Обращаем внимание на цифру, которая стоит на конце записи таких чисел.

Понятие четной цифры.

Понятие нечетной цифры.

-                   В записях четных чисел подчеркнуть последнюю цифру.

-                   Как же, не выполняя деление, узнать, делится ли на 2 данное натуральное число?

Формулируем признак делимости на 2 в виде правила.

Работаем с учебником.

-                   Найдите в учебнике п. 2, а в нем признаки делимости на 2, на 5, на 10.

Дети зачитывают признаки делимости на 10, на 5, на2, определения четного и нечетного чисел.

Закрепление изученного материала.

Выполняем упражнения на закрепление изученного материала из учебника (№ 30, 33, 34 – устно, 38, 37 – устно).

            Итак, сегодня мы научились, не выполняя деления, определять, делятся ли данные натуральные числа на 10, на 5, на 2. Напомните мне, ребята, как узнать, что натуральное число делится на 2, на 5, на 10, на 100? Назовите все четные цифры. Какая у них особенность? Назовите нечетные цифры.

 

-                   Среди написанных на доске натуральных чисел назовите те, которые без остатка делятся на 10, на 5, на 2, на 100.

-                   Объясните свой выбор.

-                   Какую цифру нужно вписать вместо *, чтобы получившееся число  723* делилось без остатка на: а) 5; б)10; в)  2?.

-                   В коробке лежат 10 шариков. Может ли быть, что, не открывая коробок, принесли 32 шарика? 43 шарика? 60 шариков? Почему?

-                   В коробках одинаковое количество карандашей.  Может ли быть в 5 таких коробках 92 карандаша? 90 карандашей? 75 карандашей? Почему?

-                   Можно ли только с помощью  цифр 3 и 4 записать число, которое делится на 5? На 10? На 2? Почему?

-                    

-                    

-                   Приведите примеры натуральных чисел, которые делятся без остатка на 3. (Числа записываем на доске и в тетрадях.)

-                   Предложить учащимся понаблюдать за написанными числами и попытаться обнаружить признак, по которому можно узнать, что данное число делится на 3. В случае затруднения  помочь детям.

-                   Формулируем признак.

-                   Такая же работа проводится при изучении признака делимости на 3.

-                   Закрепляем  признаки делимости на 3 и на 9  с помощью упражнений из учебника.

-                    

Затем предложить ребятам задание на сообразительность.

 

-                   Даны числа, в которых одну из цифр заменили знаком  *: 2*5; 46*; *14. Какие цифры можно вставить вместо *, чтобы полученное число делилось без остатка на 3? На 9?

-                   Запишите с помощью только цифры 1 число, делящееся на 3.

-                   С помощью только цифры 6 число, делящееся на 9.

-                   Есть ли среди первой группы чисел такие, что делятся и на 9?

-                   А среди чисел второй группы числа, делящиеся и на 3?

-                   Вывод о делимости на 3 всех чисел, делящихся на 9.

-                   Учитель записывает на доске четные числа, делящиеся на 3.

-                   Делятся ли эти числа на 2? На 3?

-                   Попробуем разделить каждое из записанных чисел на 6.

-                   Делаем вывод о признаке делимости на 6.

-                    

-                    

-                   Какие признаки делимости мы с вами изучили к этому моменту?

-                   Как узнать, делится ли данное натуральное число на 3, не выполняя деления?

-                   А на 9?

-                   Как узнать, делится ли число на 6?

-                    

 

РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ

– Мы с вами уже раскладывали числа на множители, но сегодня будет добавлено условие: на простые множители. В этом нам помогут знания признаков делимости чисел.

 

– Разложите на множители число 60 всеми возможными способами:

а) на 2 множителя; 60 = 2 • 30 = 3 • 20 = 4 • 15 = 5 • 12 = 6 • 10.

б) на 3 множителя; 60 = 2 • 5 • 6 = 2 • 3 • 10 = 2 • 2 • 15 = 3 • 4 • 5.

в) на 4 множителя; 60 = 2 • 2 • 3 • 5.

 

 

Эту тему учитель  разобирает вместе с учащимися по учебнику стр. 20.

а) – Разложите число 210 на 2 множителя, отличных от единицы. (210 = 21 • 10 = 14 • 15 = 7 • 30 = 70 • 3 = 6 • 35 = 42 • 5 = 105 • 2 – учащиеся могут предложить несколько вариантов ответов, учитель выбирает только один, на его примере дает объяснение нового материала).

210 = 21 • 10

– На какие два множителя можно разложить числа 21 и 10? (210 = 3 • 7 • 2 • 5.)

– Что можете сказать об этих множителях? (Являются простыми числами.)

– Таким образом, число 210 разложено на простые множители.

– Всякое составное число можно разложить на простые множители.

ПРЕЗЕНТАЦИЯ

– Разложите самостоятельно число 120 на простые множителя любым способом.

(Записать на доске несколько вариантов ответов 120 = 3 • 2 • 5 • 2 • 2;

120 = 2 • 3 • 2 • 5 • 2.)

– Вы все раскладывали число 120 разными способами, но получили один и тот же результат. (120 = 2 * 2 * 2 * 3* 5.)

– Какой вывод можно сделать? (При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.)– Обычно записывают множители в порядке их возрастания, и произведение

одинаковых множителей представляют в виде степени: 120 = 2•2•2•3 • 5 = 23

 •

3 • 5.

б) Объяснение учителем разложения числа 756 на простые множители, аналогичное учебнику на стр. 21. (При этом повторяются признаки делимости чисел на 2, на 5, на 3.)

 

 Закрепление изученного материала

1. Разложите числа на простые множители (у доски и в тетрадях в них с подробным объяснением):

а) 20; б) 18; в) 32; г) 36; д) 13; е) 24; ж) 37; з) 45.

Ответ:

20 = 22

 * 5; 18 = 2 * 32

; 32 = 25

; 36 = 22

 *32

; 13?; 24 = 23

 • 3; 37?; 45 = 32

 • 5.

– Какие числа мы не разложили на простые множители? (13, 37.)

– Почему? (Простые числа не раскладываются.)

2. № 121 стр. 21. (а) – три числа). (У доски: 1 число – один ученик разбирает с подробным комментированием, потом работают сразу несколько ребят, остальные в тетрадях.)

 Рефлексия

У вас на столе фигуры.

 – Я хорошо понял, как раскладывать числа на простые множители.

 – Я не все понял, у меня были ошибки.

 – Я не понял, как раскладывать числа на простые множители.

Учащимся предлагается выбрать символ и оценить свою деятельность. Дети сами вывешивают свои символы на  доску.

Закрепление изученного материала

1. Индивидуальная работа.

К доске вызвать тех учащихся, которые не поняли, как раскладывать числа на простые множители. Учитель еще раз объясняет на примерах эту тему.

2. Самостоятельная работа.

Учащиеся выполняют самостоятельную работу.

Сверяют свои решения с ответами на закрывающейся доске.

– Разложите числа на простые множители.

Вариант I. 80, 180, 108.

Вариант II. 60, 270, 72.

Вариант III. (для слабых учащихся). 16, 40, 100.

(Ответы:

Вариант I. 80 = 24

 • 5, 180 = 22

 • 32

 • 5, 108 = 22

 • 33

.

Вариант II. 60 = 22

 • 3 • 5, 270 = 2 • 33

 • 5, 72 = 23

 • 32

.

Вариант III. 16 = 24

, 40 = 23

 • 5, 100 = 22

 • 52

.)3. № 124 (а, б, в), стр. 21. Аргументируйте свой ответ. Не забудьте найти,

если можно, частное.

а) а делится на b без остатка, так как в разложении числа а есть все

множители числа b.

– Что нужно сделать, чтобы найти частное от деления а на b? (Нужно в

произведении множителей числа а зачеркнуть множители числа b,

оставшееся произведение множителей – искомое частное.)

4. Найдите все делители числа а:

а) а = 2 • 5 • 7; б) 2 • 3 • 5 • 11.

– Что нужно сделать, чтобы найти делители? (Назвать все простые

множители; затем их перемножить сначала парами, потом тройками и т.

д.)

Решение:

а) 1, 2, 5, 7, 10 = 2 * 5, 14 = 2 • 7, 35 = 5 • 7, 70 = 2 • 5 • 7;

б) 1, 2, 3, 5, 11, 6 = 2 • 3, 10 = 2 • 5, 22 = 2 • 11, 15 = 3 • 5, 33 = 3 • 11, 55 = 5 •

11, 30 = 2 • 3 • 5, 66 = 2 • 3 • 11; 165 = 3 • 5 • 11; 110 = 2 • 5 • 11; 330 = 2 • 3 • 5

• 11.

Историческая минутка

Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев занимался изучением свойств простых чисел. Он доказал, что между любым натуральным числом, большим 1, и числом, вдвое большим, всегда имеется не менее одного простого числа. Проверить это можно на примере нескольких чисел.

 

 Подведение итогов урока

– Что значит разложить число на простые множители? (Разложить натуральное число на простые множители – это значит представить это число в виде произведения простых чисел.)

– Единственно ли разложение натурального числа на простые множители?

(Каким бы способом ни выполнялось разложение натурального числа на простые множители, мы получаем его единственное разложение, порядок множителей при этом не учитывается.)

 

Домашнее задание № 138 (2), 139 (1, 2), 141 (а) стр. 23. По желанию: проверьте утверждение П.Л. Чебышева.