Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Рабочие программы / План урока : Использование геометрических изображений и соображений при решении задач
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

План урока : Использование геометрических изображений и соображений при решении задач

библиотека
материалов

Тема: Использование геометрических соображений, изображений при решении уравнений, систем уравнений, неравенств, систем неравенств, текстовых задач.

Цели: Продолжить формирование умения решать задачи исследовательского характера используя геометрическую интерпретацию; развитие речи, памяти, логического мышления, умения применять имеющиеся знания в новой ситуации, интереса к предмету, эстетическое.


Содержание урока

I. Постановка цели урока

II. Устный счет


Привлекая к решению задач графики функции или множества, зависящие от параметра, можно определить, как они должны располагаться, чтобы выполнялось требование задачи, и на основании этого сделать вывод об искомых значениях параметра.

  1. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от а hello_html_1ed64f4e.gif

Построим график hello_html_7e333095.gif

нhello_html_51d51987.gifет решений, если hello_html_m740cb96c.gif

три решения, если hello_html_3961001a.gif

четыре решения, если hello_html_4dee31a6.gif

два решения, если hello_html_8a5e33b.gif




  1. Исследовать, при каких значениях р данная система имеет единственное решение, множество решений, не имеет решения

hello_html_m7afc04a6.gif

б) hello_html_2ae0bc20.gif система имеет бесконечно много решений

в) hello_html_m7b2bdf33.gif, hello_html_m6246744f.gifсистема имеет единственное решение

  1. Пhello_html_7ad2f17.gifри каких значениях а система имеет ровно четыре решения hello_html_30499641.gif

hello_html_6fd18e99.gifhello_html_38334e1.gif










  1. При каких значениях hello_html_2489d00d.gif система имеет единственное решение

hello_html_m60b0f754.gif


hello_html_m73ef2916.gif



hello_html_m725e23e9.gif






  1. При каких значениях а система имеет два решения hello_html_6531cc7c.gif

hello_html_6ce8366c.gif


hello_html_m64b73dab.gif










  1. Сколько решений имеет система в зависимости от а

hello_html_m360337b.gifhello_html_m1d8babc1.gif

1) hello_html_315e82c6.gifнет решений

2) hello_html_4241c748.gifодно решение

3) hello_html_4cee23db.gifчетыре решения

4) hello_html_m2d55451b.gifтри решения

5) hello_html_37d9c136.gif два решения

  1. Решить уравнение hello_html_m3dc9951.gifhello_html_m595335b6.gifhello_html_m6063a241.gifлевее hello_html_m14933883.gif

hello_html_6033dfac.gif

  1. Решить неравенство: hello_html_m4fb6342b.gif

hello_html_m5329cfeb.gif

hello_html_m5b8edc39.gif

hello_html_84cc785.gif

hello_html_m3cc50f98.gif

hello_html_m457b0cdb.gif

III. Решение задач

Вспомогательным элементом, привнесенным в условие алгебраической задачи, может служить не только новая переменная, но и геометрический образ уже имеющейся переменной, интерпретируемой как координата точки на прямой окружности или плоскости

Задача №1

По шоссе в одну сторону с постоянными скоростями движутся мотоциклист и пешеход, а навстречу им с постоянной скоростью движется автомобиль.

Кhello_html_240101f4.gifогда мотоциклист и пешеход были в одной точке, до автомобиля было 48 км. Когда пешеход и автомобиль встретились, пешеход отстал от мотоциклиста на 16 км. На сколько километров отставал пешеход от мотоциклиста в момент встречи автомобиля и мотоциклиста?


hello_html_m2dcb463e.gif

hello_html_2ece2ff2.gif



Задача №2 (ВМК-89)

Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 минут – мотоциклист. Все двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?

hello_html_788896a7.gif

hello_html_m5416b42a.gifчасаhello_html_474839a6.gifминут




№3

Нhello_html_172aab7.gifайти а, при которых неравенство hello_html_2c33eb26.gif выполняется для всех hello_html_1354c033.gif. Применим обобщенный метод интервалов (областей)

hello_html_4e6e501c.gif

hello_html_a3a3d93.gif


hello_html_m1e11ca1f.gifhello_html_m66037055.gif




№4

Найти а, при которых система имеет хоты бы одно решение: hello_html_7540df8e.gif

hello_html_m2e57953a.gifhello_html_m361661c.gif

1) hello_html_2d06e21c.gif

2) hello_html_5d931fb5.gif






1) hello_html_m6bf4abc7.gif

2) hello_html_m40def450.gif

Ответ: hello_html_m5183ea89.gif

№5

Найти все значения а, при которых все корни уравнения hello_html_5e59fa4.gif принадлежат hello_html_7a7efd92.gif

hello_html_50f8ebb7.gif

hello_html_492aa9df.gif

hello_html_65593b4d.gifhello_html_740474d.gif


hello_html_m48e27564.gif











№6

Найти все а, при которых ни одно решение неравенства hello_html_db3941d.gif не удовлетворяет условию hello_html_3dc7f941.gif.

Условие задачи сформулируем так: найти все а, при которых решения неравенства hello_html_6c558a1.gif удовлетворяет условия hello_html_3dc7f941.gif.

hello_html_m1921e89d.gif













hello_html_d89d289.gif

hello_html_m4e1b7f00.gifответ.


№7

Решить систему неравенств: hello_html_m34dc228.gif

hello_html_m456dcbd3.gifhello_html_m79044ccc.gif

hello_html_f844a29.gif









№8

Решить систему уравнений: hello_html_13c71b84.gif

hello_html_37ac4ae4.gif

hello_html_6f4c6afc.gifи т.д.


№9

Решить уравнение

hello_html_m4779c623.gif

hello_html_m357c92e2.gif

hello_html_35f8523b.gifhello_html_58d4d070.gif

hello_html_660739ff.gifhello_html_m437870cc.gif

№10

Решить уравнение: hello_html_m46fa5360.gif

hello_html_m68e79ff0.gifhello_html_m30b1a782.gif

hello_html_m1ca5a8dd.gif, hello_html_27991935.gifhello_html_m5e9cca09.gif

hello_html_2b5ef05d.gifрешений нет.


№11

Имеет ли система уравнений положительные решения: hello_html_m7b79a08c.gif

Пусть hello_html_746308c5.gifположительные числа (решения системы) hello_html_1b730b13.gif

hello_html_m5116fad2.gifhello_html_m29e8edf0.gifhello_html_5dcd7057.gifстороны треугольника, а угол между ними hello_html_465198ec.gif, а сторона, противолежащая этому углу, равна 2, аналогично

hello_html_6e0659ff.gif и hello_html_m7e8b5009.gifhello_html_m69981a30.gif

но hello_html_m7a2a8e32.gif не существует, т.к. hello_html_m68bc6ee3.gif(ложно)hello_html_1b730b13.gifсистема не имеет положительные решения.



№12

Среди решений системы hello_html_20757782.gif

найти такие, при каждом из которых выражение hello_html_2348d2a9.gif принимает наибольшее значение.

Рассмотрим векторы hello_html_m772fff96.gif

hello_html_7d3e5a95.gif

hello_html_m2e5de561.gifhello_html_2702e1f5.gif

hello_html_e24a037.gifhello_html_2ed6f807.gif

hello_html_561612ec.gifнаибольшееhello_html_1b730b13.gifhello_html_2c8830f9.gif

hello_html_2046a734.gif

hello_html_m21fa08f2.gif

hello_html_5750380c.gif

Ответ: hello_html_m572676d2.gif, hello_html_4ed87d57.gif, hello_html_2b6897a0.gif, hello_html_m309ce8e9.gif

IV Домашнее задание:

  1. hello_html_m1504eb8d.gif

  2. Найти все а, при которых неравенство hello_html_3dcb0ed8.gif имеет хоты бы одно отрицательное решение

  3. Найти все а, при которых любое решение неравенства hello_html_m150b71bc.gif удовлетворяет неравенству hello_html_m38cfb244.gif

  4. Найти наибольшее значение функции hello_html_m666734c9.gif

  5. Решить №7 методом оценки

  6. Решить №12, используя тригонометрическую подстановку

  7. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист?













































Тема: Нестандартные методы решения систем уравнений и неравенств

Цели: продолжить формирование умения решать системы уравнений и неравенств с параметром, применять нестандартные методы, уметь давать геометрическую интерпретацию, ознакомить с новыми методами их решений, развитие логического мышления, речи, памяти, умения применять имеющиеся знания в новой ситуации, развития интереса к предмету умение работать в команде, эстетическое воспитание.


Содержание урока

І. Постановка цели урока

II. Проверка д/з


  1. hello_html_m1504eb8d.gif

hello_html_mfe23358.gifhello_html_7000840b.gifhello_html_m4be6d149.gif

hello_html_m7e1a47a1.gifhello_html_145d148b.gif

hello_html_m5899e50b.gifhello_html_m69dc5dfa.gifhello_html_256ba28a.gifhello_html_7ed476d9.gif

hello_html_675d8633.gifhello_html_f22d3ee.gif

  1. Условию удовлетворяет положение графика hello_html_m117955b9.gif между графиками hello_html_m2baffbbe.gifи hello_html_m241af479.gif.

  1. случай hello_html_m72e4742.gif

  2. случай hello_html_m39d3bc7a.gif и hello_html_m40124780.gif имеют одну общую точку hello_html_417c852c.gif

hello_html_361b2c54.gif

Значит: hello_html_65a3fc87.gif.

№4

hello_html_51129782.gif

hello_html_3f9aad7a.gifhello_html_m58d298d0.gifнаибольшееhello_html_1b730b13.gifhello_html_7b52c8d.gif.


№6

hello_html_m4acd83b2.gifhello_html_237f20a1.gifhello_html_m53b9c47d.gifhello_html_c4c3217.gif

hello_html_m29dda4f9.gif

hello_html_506a2e89.gif

hello_html_52a202d1.gifhello_html_m53a21e4.gif

hello_html_m120dd4ab.gifнаибольшееhello_html_114716ca.gifhello_html_a3948c0.gifhello_html_m5ab4b169.gif

hello_html_731a015a.gif

hello_html_67ec9dea.gifhello_html_m57dafa9c.gif

hello_html_m79ff2c41.gif

hello_html_40933bef.gif


№7

hello_html_27ae66b1.gif~hello_html_m5f9a3773.gif

коэффициент подобия равен 2

hello_html_m7a2a8e32.gif~hello_html_m4a05c75c.gif


III. Устный счет

  1. Нhello_html_2f329f76.gifайти площадь фигуры, заданной системой неравенств: hello_html_m5158ec2d.gif

hello_html_422914db.gif

Сегмент, hello_html_50cf3a9d.gif; hello_html_m425d64a6.gifцентр

hello_html_m7030e59b.gif

hello_html_47771c0.gif

  1. Решить систему:

hello_html_1e60a694.gifhello_html_7df3e4a3.gifhello_html_m780ad2e0.gifhello_html_m3cad0982.gifhello_html_58e816a4.gif

  1. Решить уравнение:

hello_html_214832a8.gif

Ответ: hello_html_m617d3f5a.gif.

  1. Найти все а, при которых система имеет единственное решение: hello_html_m271f6e9.gif

Система имеет единственное решение hello_html_7d841883.gifhello_html_3c9de45.gif

hello_html_61d69a52.gifhello_html_m6e84fda2.gif


IV. Решение систем уравнений, неравенств, содержащих параметр


№1

Найти значения hello_html_m19ee7f0a.gif, при которых система имеет четыре различных решения

hello_html_64207200.gifhello_html_3be22010.gif

При наименьшем а найти площадь фигуры, заданный неравенством: hello_html_6d40b258.gif

hello_html_5cd3dfdf.gifромб





Система имеет 4 различных решения hello_html_50a28bc1.gif и еще случай, когда окружность вписана hello_html_1b730b13.gif

hello_html_m51fed9fc.gifнаименьшее

hello_html_6145ec0e.gif

№2

Найти минимальное значение произведения hello_html_6f3da846.gif, где х и у удовлетворяют системе уравнений:

hello_html_50bae107.gifhello_html_m43b4dded.gif достигает минимума при hello_html_1dd6b047.gif.

Обязательно проверить, удовлетворяют ли данной системе х и у, входящие в произведение ху при hello_html_m34f91146.gif.

hello_html_e37ef2.gif по т., обратной т. Виета,

hello_html_5dcd7057.gifкорни уравнения hello_html_m72f6d15a.gif при hello_html_36713abf.gif

hello_html_7983f390.gifрешили верно! или решить систему при hello_html_m34f91146.gif.


№3

При каких значениях а система уравнений hello_html_m50c00dd7.gif

имеет хотя бы одно решение.

hello_html_m2094bbbc.gif

Решение существует, если хотя бы один (больший) корень положителен

hello_html_m451f0a7d.gifhello_html_m67b392d9.gif

hello_html_22fac98a.gif.


№4

Найти все решения системы hello_html_m1e78de6e.gif

при которых выражение hello_html_m75d50fc4.gif принимает наименьшее значение

hello_html_m11cd53e3.gifhello_html_4c838c2e.gif

hello_html_7a62fbbc.gif

Напишем уравнение прямой hello_html_mb0d45d7.gif, проходящей через точку hello_html_57220f2c.gif и перпендикулярной прямой hello_html_m23b673a1.gif

hello_html_m23b84463.gifуравнение прямой hello_html_mb0d45d7.gif.

Искомым решением является решение системы:

hello_html_41c97623.gif


№5

Нhello_html_m186c0da3.gifайти все а, при которых система hello_html_m6541ee6a.gif имеет ровно два различных решения hello_html_m7def9b4d.gif

т.к. имеет два различных решения, то вершина параболы находится на прямой hello_html_m93ad10b.gif между точками hello_html_718f0f76.gif и hello_html_4e4caa21.gif

№6

Решить систему неравенств (метод проверки): hello_html_4b700052.gifhello_html_m5063d354.gifhello_html_125e8a4b.gif

hello_html_m72328512.gifhello_html_m41e8a0c7.gifhello_html_27799332.gifhello_html_2755a448.gif

№7 (устно)

Решить систему: hello_html_m7ee56bdf.gif

hello_html_5e8870e3.gifhello_html_m7052f064.gifhello_html_14e8a624.gif

№8

Найти а, при которых система имеет единственное решение: hello_html_mf78d7e0.gif (симметричная система)hello_html_2d5ef58a.gif т.к. система имеет единственное решение hello_html_m58d426c8.gif.

hello_html_216e0ac3.gif

№9

Решить систему неравенств: hello_html_650e2e78.gif

hello_html_59841174.gifhello_html_2f924ece.gifhello_html_2b9ed9dd.gifhello_html_m180191f.gif.

№10

Найти площадь фигуры: hello_html_m7a91c85f.gif

hello_html_m713875d4.gifhello_html_m1551a426.gifhello_html_m5f08917c.gifhello_html_41a90a32.gif.


№11

Решить систему уравнений (сведение к однородной): hello_html_4f0be342.gifhello_html_509c44fe.gif

hello_html_5838b5ec.gifhello_html_b9171ac.gifhello_html_688c28eb.gifhello_html_m5b50b539.gifhello_html_m9e7b893.gif.


№12

Найти все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение: hello_html_951f5e.gif (свойство инвариантности).

Т.к. система содержит hello_html_8890c92.gif, то hello_html_m141440e1.gif, (система имеет единственное решение) hello_html_42920332.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_468fd608.gif

  1. hello_html_m209ae7e7.gifhello_html_18a790c.gif

hello_html_m1f3c0e94.gifhello_html_m7b3bb83f.gifединственное решение.

  1. hello_html_1d50e89c.gifhello_html_65db4a6.gifhello_html_dc929ae.gif имеет несколько решений!

Ответ: hello_html_491460a4.gif.

№13

Найти все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение hello_html_270a97bf.gif

Система имеет единственное решение и содержит hello_html_m5445a3af.gif, hello_html_187ea20b.gifhello_html_m402360fe.gif

hello_html_m71a0d484.gifhello_html_1682b7aa.gif

1) hello_html_3961001a.gif

hello_html_m3cd3b701.gifhello_html_m6e9f7745.gifhello_html_608c541.gifединственное решение.

2) hello_html_m61e3f8c4.gifhello_html_m1392c598.gifhello_html_48092631.gif т.е. система имеет несколько решенииЙ.

Ответ: hello_html_6ed079e2.gif.

№14.

Решить уравнение

hello_html_m245fc434.gif

Рассмотрим векторы: hello_html_m2df83817.gif, hello_html_334a029.gif

hello_html_m1ce47b7e.gifhello_html_609b11d5.gif

hello_html_m79def742.gif

hello_html_m2ede9ca1.gifhello_html_26e1d991.gif

hello_html_d718fb7.gifОтвет: hello_html_m424467cb.gif, hello_html_30451cac.gif

hello_html_m3b39eef3.gif.

V. Объяснение темы урока

Циклические системы

Системы вида hello_html_m2ef8dd5e.gif называются циклическим. Часто в подобных системах функция hello_html_123b1429.gif обладает свойством монотонности. Если функция hello_html_123b1429.gif возрастает, то решения системы возможны только равенстве между собой всех переменных.


№1

hello_html_m48a76245.gif

Очевидно hello_html_m34684806.gif. Т.к. правая часть неотрицательна, то далее считаем, что hello_html_6ba0952d.gif, hello_html_7ee7c899.gif, hello_html_m70af41ef.gif.

hello_html_m40d1d1d7.gif.

hello_html_5a402360.gif

Аналогично hello_html_25b1f74.gif, hello_html_m10e44045.gifhello_html_m292433dd.gifhello_html_cd77935.gif

Ответ: hello_html_m5427b73c.gif.

№2

hello_html_m576e86e8.gifhello_html_11227f08.gifhello_html_784f43ba.gif

hello_html_21fcba70.gifhello_html_m48f80f59.gif

Если hello_html_m641db64c.gifнет решений. Если hello_html_m2a97f58b.gifнет решений.

Ответ: hello_html_mb1617ef.gif


№3

hello_html_m1543c831.gifhello_html_4b808835.gifhello_html_m1320d441.gifhello_html_m4cbd7c2f.gifhello_html_m1c0ddfb0.gif

hello_html_m3d490723.gifhello_html_m316380cf.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Второй способ:

Перемножить уравнения hello_html_6ccaeea2.gifhello_html_86203f1.gifи т.д.

№4

hello_html_61902781.gif

hello_html_419f0616.gif

hello_html_m3675bf39.gifhello_html_m2abdacdb.gifвсе функции возрастающие.

Пусть hello_html_m236b9dcf.gif, hello_html_m1a1d5004.gif, hello_html_1c367a24.gif, hello_html_m35e3568a.gifhello_html_756eb529.gif.

hello_html_m3a30cfe0.gifhello_html_m29b9f34f.gif.

Получим противоречие hello_html_m578403ee.gif и т.д.hello_html_8545bc4.gif, hello_html_5bc576a.gif, hello_html_635afe77.gif, hello_html_3ce2cf0f.gif, hello_html_m7db394cf.gif.


VI. Решение систем нестандартными методами

№15

hello_html_5b637ea5.gifhello_html_m6a1850c8.gifhello_html_78606d18.gifhello_html_4e8415b2.gif

hello_html_m2136343b.gifhello_html_6fd89534.gifhello_html_m524da462.gifhello_html_67122925.gif

hello_html_18dcf4a6.gifhello_html_2922de39.gif


16

Найти все значения параметра а, при которых система имеет три различных решения

hello_html_m66e1ba5e.gifhello_html_m6a9dbe06.gifhello_html_76f69128.gif

hello_html_3b9b8465.gif








№17

Найти значения параметра а, при которых система hello_html_m62eba4e2.gif имеет три различных решения.

Решим как квадратное относительно у


hello_html_m41c25ffb.gif

Пhello_html_6523fe92.gifрямая hello_html_m707867a.gif проходит через точку hello_html_5c298cd1.gif.

  1. ось hello_html_m5614dbbb.gif

  2. hello_html_m5f495220.gif

  3. Касательные, проходящие через hello_html_776e00cb.gif к параболам hello_html_5572651.gif и hello_html_m7ab08eba.gif, две из них изображены на чертеже – это hello_html_m1ab893a8.gif, hello_html_55dc94a3.gif. Значит hello_html_472d1bc.gif и hello_html_m17839da3.gif имеют одну общую точку hello_html_535f2940.gif имеет hello_html_1d658b43.gif. hello_html_m18c2562f.gifhello_html_79e3791e.gif.

Аналогично, hello_html_6a251cb6.gif и hello_html_m707867a.gif имеют одну общую точку hello_html_74de61af.gif.

Ответ: hello_html_m482f4117.gif.

VII. Домашнее задание: решить оставшиеся задачи.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Данная разработка урока содержит геометрические методы решения различных задач высокого уровня сложности. Разобраны графический способ решения иррац. уравнений с параметром,решения систем уравнений ,содержащие модуль и параметр,смешанные системы уравнений и неравенств, показан метод областей,применение скалярного произведения векторов при решении иррац. уравнений,применение теоремы косинусов при решении систем уравнений,тригонометрическая подстановка при решении систем.Представляет большой интерес решение задач на движение с использованием геометрических сообржений.

Автор
Дата добавления 10.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров343
Номер материала 435388
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх