- 10.03.2015
- 2574
- 9
Тема: Использование геометрических соображений, изображений при решении уравнений, систем уравнений, неравенств, систем неравенств, текстовых задач.
Цели: Продолжить формирование умения решать задачи исследовательского характера используя геометрическую интерпретацию; развитие речи, памяти, логического мышления, умения применять имеющиеся знания в новой ситуации, интереса к предмету, эстетическое.
Содержание урока
I. Постановка цели урока
II. Устный счет
Привлекая к решению задач графики функции или множества, зависящие от параметра, можно определить, как они должны располагаться, чтобы выполнялось требование задачи, и на основании этого сделать вывод об искомых значениях параметра.
1)
Сколько решений имеет уравнение в зависимости от а
Построим график 
нет решений,
если 
три решения, если 
четыре решения,
если 
два решения, если 
2) Исследовать, при каких значениях р данная система имеет единственное решение, множество решений, не имеет решения
б) 
система имеет бесконечно много решений
в) 
, 
система
имеет единственное решение
3)
При каких значениях а система имеет
ровно четыре решения 
4)
При каких значениях 
система
имеет единственное решение
5)
При каких значениях а система имеет два
решения 
6) Сколько решений имеет система в зависимости от а
1) 
нет решений
2) 
одно решение
3) 
четыре решения
4) 
три решения
5) 
два решения
7)
Решить уравнение 
левее 
8)
Решить неравенство: 
III. Решение задач
Вспомогательным элементом, привнесенным в условие алгебраической задачи, может служить не только новая переменная, но и геометрический образ уже имеющейся переменной, интерпретируемой как координата точки на прямой окружности или плоскости
Задача №1
По шоссе в одну сторону с постоянными скоростями движутся мотоциклист и пешеход, а навстречу им с постоянной скоростью движется автомобиль.
Когда мотоциклист
и пешеход были в одной точке, до автомобиля было 48
км. Когда пешеход и автомобиль встретились, пешеход отстал от мотоциклиста на 16
км. На сколько километров отставал пешеход от мотоциклиста в момент встречи
автомобиля и мотоциклиста?
Задача №2 (ВМК-89)
Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 минут – мотоциклист. Все двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?
часа
минут
№3
Найти а, при которых неравенство 
выполняется для всех 
. Применим обобщенный метод интервалов
(областей)
№4
Найти а, при которых система имеет хоты бы одно
решение: 
1) 
2) 
1) 
2) 
Ответ: 
№5
Найти все значения а, при которых все корни
уравнения 
принадлежат 
№6
Найти все а, при которых ни одно
решение неравенства 
не удовлетворяет условию 
.
Условие задачи сформулируем так: найти все а,
при которых решения неравенства 
удовлетворяет условия
.
ответ.
№7
Решить систему неравенств: 
№8
Решить систему уравнений: 
и т.д.
№9
Решить уравнение
№10
Решить уравнение: 
, 
решений нет.
№11
Имеет ли система уравнений положительные
решения: 
Пусть 
положительные
числа (решения системы) 
стороны треугольника, а угол между ними 
, а сторона, противолежащая этому углу,
равна 2, аналогично
и 
но 
не существует, т.к. 
(ложно)
система
не имеет положительные решения.
№12
Среди решений системы 
найти такие, при каждом из которых выражение 
принимает наибольшее значение.
Рассмотрим векторы 
наибольшее
Ответ: 
, 
, 
, 
IV Домашнее задание:
1)
2)
Найти все а, при которых неравенство 
имеет хоты бы одно отрицательное решение
3)
Найти все а, при которых любое решение
неравенства 
удовлетворяет неравенству 
4)
Найти наибольшее значение функции 
5) Решить №7 методом оценки
6) Решить №12, используя тригонометрическую подстановку
7) Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист?
Тема: Нестандартные методы решения систем уравнений и неравенств
Цели: продолжить формирование умения решать системы уравнений и неравенств с параметром, применять нестандартные методы, уметь давать геометрическую интерпретацию, ознакомить с новыми методами их решений, развитие логического мышления, речи, памяти, умения применять имеющиеся знания в новой ситуации, развития интереса к предмету умение работать в команде, эстетическое воспитание.
Содержание урока
І. Постановка цели урока
II. Проверка д/з
1)
2)
Условию удовлетворяет положение графика 
между графиками 
и
.
1)
случай 
2)
случай 
и 
имеют одну общую точку 
Значит: 
.
№4
наибольшее
.
№6
наибольшее
№7
~
коэффициент подобия равен 2
~
III. Устный счет
1)
Найти площадь фигуры, заданной системой
неравенств: 
Сегмент, 
; 
центр
2) Решить систему:
3) Решить уравнение:
Ответ: 
.
4)
Найти все а, при которых система имеет
единственное решение: 
Система имеет единственное решение 
IV. Решение систем уравнений, неравенств, содержащих параметр
№1
Найти значения 
, при
которых система имеет четыре различных решения
При наименьшем а найти площадь фигуры,
заданный неравенством: 
ромб
Система имеет 4 различных решения 
и еще случай, когда окружность вписана 
наименьшее
№2
Найти минимальное значение произведения 
, где х и у удовлетворяют
системе уравнений:
достигает минимума при 
.
Обязательно проверить, удовлетворяют ли данной
системе х и у, входящие в произведение ху при 
.
по т., обратной т.
Виета,
корни уравнения 
при 
решили верно! или
решить систему при .
№3
При каких значениях а система уравнений
имеет хотя бы одно решение.
Решение существует, если хотя бы один (больший) корень положителен
.
№4
Найти все решения системы 
при которых выражение 
принимает
наименьшее значение
Напишем уравнение прямой 
, проходящей через точку 
и перпендикулярной прямой 
уравнение прямой .
Искомым решением является решение системы:
№5
Найти все а, при которых система 
имеет ровно два различных решения 
т.к. имеет два различных решения, то вершина
параболы находится на прямой 
между точками 
и 
№6
Решить систему неравенств (метод проверки): 
№7 (устно)
Решить систему: 
№8
Найти а, при которых система имеет
единственное решение: 
(симметричная система)
т.к. система имеет единственное решение 
.
№9
Решить систему неравенств: 
.
№10
Найти площадь фигуры: 
.
№11
Решить систему уравнений (сведение к
однородной): 
.
№12
Найти все значения параметра а, при каждом из
которых система имеет единственное решение: 
(свойство
инвариантности).
Т.к. система содержит 
,
то 
, (система имеет единственное решение) 
1)
единственное решение.
2)
имеет несколько решений!
Ответ: 
.
№13
Найти все значения параметра а, при каждом из
которых система имеет единственное решение 
Система имеет единственное решение и содержит 
, 
1) 
единственное решение.
2) 
т.е. система имеет несколько решенииЙ.
Ответ: 
.
№14.
Решить уравнение
Рассмотрим векторы: 
,
Ответ: 
, 
.
V. Объяснение темы урока
Циклические системы
Системы вида 
называются
циклическим. Часто в подобных системах функция 
обладает
свойством монотонности. Если функция 
возрастает, то решения
системы возможны только равенстве между собой всех переменных.
№1
Очевидно 
. Т.к.
правая часть неотрицательна, то далее считаем, что 
, 
, 
.
.
Аналогично 
, 
Ответ: 
.
№2
Если 
нет
решений. Если 
нет решений.
Ответ: 
№3
Второй способ:
Перемножить уравнения 
и т.д.
№4
все функции возрастающие.
Пусть 
, 
, 
, 
.
.
Получим противоречие 
и
т.д.
, 
, 
, 
, 
.
VI. Решение систем нестандартными методами
№15
№16
Найти все значения параметра а, при которых система имеет три различных решения
№17
Найти значения параметра а, при которых
система 
имеет три различных решения.
Решим как квадратное относительно у
Прямая 
проходит
через точку 
.
1)
ось 
2)
3)
Касательные, проходящие через 
к параболам 
и 
, две из них изображены на чертеже – это 
, 
.
Значит 
и 
имеют
одну общую точку 
имеет 
.
.
Аналогично, 
и 
имеют одну общую точку 
.
Ответ: 
.
VII. Домашнее задание: решить оставшиеся задачи.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Данная разработка урока содержит геометрические методы решения различных задач высокого уровня сложности. Разобраны графический способ решения иррац. уравнений с параметром,решения систем уравнений ,содержащие модуль и параметр,смешанные системы уравнений и неравенств, показан метод областей,применение скалярного произведения векторов при решении иррац. уравнений,применение теоремы косинусов при решении систем уравнений,тригонометрическая подстановка при решении систем.Представляет большой интерес решение задач на движение с использованием геометрических сообржений.
6 662 946 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Омарова Рауза Буркатовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.