Муниципальное
образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №3 Карасукского
района Новосибирской области
Алгебра и начала анализа
Производная
показательной функции
Урок в 11 классе (базовый уровень).
Сердюков Валентин Иванович,
учитель математики
Карасук
Алгебра и начала анализа
Урок в 11 классе.
(базовый уровень)
Тема: Производная показательной
функции.
Цели:
1. Обучающие: введение
понятие числа е; изучение формул дифференцирования (ех)'=
ех, (ах)′=ахlnа (без доказательства); показать
применение этих формул при решении упражнений на дифференцирование функций;
получение информации путем создания математической модели с помощью приложения Advanced Grapher.
2. Развивающие: развитие
мышления, внимания, способности делать выводы из практического эксперимента.
3. Воспитывающие: воспитание наблюдательности,
аккуратности, настойчивости.
Оборудование:
·
учебник. Алгебра
и начала анализа (под редакцией А. Н. Колмогорова), 2006 г.,
·
компьютеры,
·
прикладная
компьютерная среда Advanced Grapher,
·
мультимедийный
проектор,
·
презентация
к уроку,
·
карточки
с инструкцией для проведения практической работы (на бумажных носителях, распечатать
на карточки материал стр. 7 изданного плана урока).
План
урока.
I.Постановка цели:
Объявляется тема урока: «Производная
показательной функции»
На сегодняшнем уроке мы изучим
формулы дифференцирования показателей функции. Для этого на I этапе урока мы будем выполнять
практическую исследовательскую работу на компьютере с помощью приложении Advanced Grapher. В конце урока будет проведена срезовая работа по новому
материалу.
II. Актуализация знаний
С помощью мультимедийного проектора демонстрируется
слайд..
Вопрос1. Как связаны мы между собой угол α и значение
производной функции у= f(х) в точке х0 - ?
Ответ. tg α = f ´(x0)
Ответ сопровождается демонстрацией
слайда
Демонстрируется слайд.
Вопрос 2. График какой функции изображен на рисунке?
Ответ. Это график показательной
функции y=ax с основанием a > 1
Вопрос 3. Как геометрически определить значение
производной функции у=ах в точке х=0?
Ответ. Нужно построить касательную к графику функции y=ax в точке х=0 и найти
тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси OX.
Демонстрируется слайд.
III. Изучение нового материала.
На сегодняшнем уроке вы выполните
исследовательскую работу на компьютере: с помощью приложения Advanced Grapher
Среди функций у=1,5х;1,7х;
1,9х; 2х; 2,1х; 2,3х; 2,5х;
2,7х; 2,9х; 3,1х ( путем последовательного
построения их графиков) найти ту, для графика которой прямая у=х+1
является касательной в точке х0.=0
Демонстрируется слайд.
Под каким углом наклонена прямая к
оси ОХ?.
Выясняется, что прямая наклонена к
оси ОХ под углом 450
Демонстрируется слайд и выясняется,
что прямая у=х+1 имеет 2 общих точки с графиком показательной функции
при a=1,5: А и В
Исследовательская практическая работа за компьютером.
Примечание. На каждом компьютерном столе лежит лист с
инструкцией к выполнению работы.
Инструкция к выполнению
работы:
1. Запустить программу Advanced Grapher.
2. Построить график функции у=х+1.
3. В той же системе координат
построить график функции у=ах; где а= 1,5. Сделать
запись в таблице:
Значение a
|
Число точек пересечения с
прямой y= x+1
|
1,5
|
2
|
1,7
|
|
1,9
|
|
2,1
|
|
2,3
|
|
2,5
|
|
2,7
|
|
2,9
|
|
3,1
|
|
4. Проделать пункты 1, 2. и 3.
этого алгоритма для a=1,5; 1,7; 1,9;2,1; 2.3; 2.5; 2,7; 2,9; 3,1, наблюдая,
как изменяется положение точек пересечения графиков.
5. Записать в рабочей тетради то
значение а, при котором прямая y=x+1
имеет только
одну общую точку с графиком функции y=ax., т. е. является касательной к этому графику.
1. Ответить на вопрос: При каком
а для функции у=ах выполняется условие:
a. у´(о)= tg450=1 ?
Ответ._____________ При а≈2,7
Примечание.
Ответ в инструкции не пишется
Продолжение изучения нового материала (фронтальная
беседа с классом)
Давайте сделаем вывод: из
проведенного эксперимента мы выяснили, что для функции у=2,7х
касательная к ее графику в точке х0=0 составляет угол 450
с осью ОХ. А это значит, что
при х=0 значение производной (2,7х)′
равно tg450 и равно1.
Значение основания а≈2,7 показательной
функции у=ах имеет большое значение в математике.
Примем без доказательства теорему:
Существует такое число большее 2 и
меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция у=ех
в точке 0 и имеет производную, равную 1, т.е.
В анализе доказано, что число е
иррациональное и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной
непериодической дроби. С помощью ЭВМ у этого числа найдено более 2-х тысяч
десятичных знаков после запятой. Первые знаки таковы: е=2,718281828459045….
Давайте еще раз посмотрим, как
выглядит график показательной функции с основанием e. Демонстрируется слайд. Учитель дает
пояснения к рисунку
Показательную
функцию у=ех называют экспоненциальной функцией.
График функции у=ех
называют экспонентой
logе=lnх – натуральный
логарифм.
Учащимся предлагается построить график
функции y=ex в приложении Advanced Grapher
.
Продолжение
объяснения учителя
На сегодняшнем уроке мы примем без доказательства
формулы
:Демонстрируется слайд с формулами:
(ех)′=ех.
(еu)′=eu∙u´
(ах)′=ахlnа
(аu)′=au u′lna
Учащиеся
переписывают формулы и тетрадь.
Далее демонстрируется
слайды:
(Перед учащимися
по очереди появляются слайды сзаписями образцов решений)
Каждое решение
разбирается с привлечением учащихся (фронтально).
Образцы
решений:
1.
(5ех)' = 5(ех)' = 5ех;
2.
(е5х)´=е5х(5х)´=5е5х;
3.
(еsinх)'= еsinx(sinx)´=cosхеsinx:
4.
(25x)'=25x∙ln2(5x)´=5∙25x ln2;
5.
(2sinx)'=2sinxln2(sinx)´=
2sinxln2 cosx.
IV. Закрепление: №538-540 (а, б) из учебника
– учитель разбирает у доски.
V. Срезовая работа
(выполняется на отдельных
листах в двух вариантах).
Демонстрируется слайд:
Вариант 1
|
Вариант 2
|
Найти производные функций
1. у=е-7х
2. у=1,25х
3. у=7ех+5х
4. у=ехcosx
|
Найти производные функций
1. у=е-2х
2. у=2,35х
3. у=9ех+4х
4.
у=ехsinх
|
Выполняется
самопроверка.
№ п/п
|
Правильные ответы I варианта
|
№ п/п
|
Правильные ответы II варианта
|
1
|
-7е-7х
|
1
|
-2ex
|
2
|
5.1,25хln1,2
|
2
|
3.2,35хln2,3
|
3
|
7ех + 5хln5
|
3
|
9ex + 4xln4
|
4
|
ех(cosx - sinx)
|
4
|
ех(sinx + cosx)
|
№ правильного ответа
|
Оценка
|
№1
|
3
|
№№ 1,2
|
4
|
№№ 1,2,3
|
4
|
№№ 1,2,3,4
|
5
|
Выясняется (поднятием рук), какие
учащиеся получили оценку «3», «4», «5».
Учитель поощряет справившихся
учащихся похвалой, одобрительным кивком головы, и т.д. Важно отметить каждого –
похвалить, подбодрить, или выразить порицание.
V. Итог урока:
Как вы поняли, что такое число е?
(Это иррациональное число, примерно равное 2,71… Оно является
основание такой показательной функции y=ax, для которой касательная
в точке х0 образует угол в 450 с осью ОХ).
VI. Домашнее задание. А. Н, Колмогоров Алгебра и
начала анализа Просв 2004 п.41. Прочитать. Выучить формулы и формулировки
теорем. №538-540 (в, г)
Дополнительные индивидуальные задания
для сильных учащихся. п.41. Теорема 1, теорема 2 с доказательством..
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.