- 01.02.2015
- 2261
- 4
Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №3 Карасукского района Новосибирской области
Алгебра и начала анализа
Производная показательной функции
Урок в 11 классе (базовый уровень).
Сердюков Валентин Иванович,
учитель математики
Карасук
Алгебра и начала анализа
Урок в 11 классе.
(базовый уровень)
Тема: Производная показательной функции.
Цели:
1. Обучающие: введение понятие числа е; изучение формул дифференцирования (ех)'= ех, (ах)′=ахlnа (без доказательства); показать применение этих формул при решении упражнений на дифференцирование функций; получение информации путем создания математической модели с помощью приложения Advanced Grapher.
2. Развивающие: развитие мышления, внимания, способности делать выводы из практического эксперимента.
3. Воспитывающие: воспитание наблюдательности, аккуратности, настойчивости.
Оборудование:
· учебник. Алгебра и начала анализа (под редакцией А. Н. Колмогорова), 2006 г.,
· компьютеры,
· прикладная компьютерная среда Advanced Grapher,
· мультимедийный проектор,
· презентация к уроку,
· карточки с инструкцией для проведения практической работы (на бумажных носителях, распечатать на карточки материал стр. 7 изданного плана урока).
План урока.
I.Постановка цели:
Объявляется тема урока: «Производная показательной функции»
На сегодняшнем уроке мы изучим формулы дифференцирования показателей функции. Для этого на I этапе урока мы будем выполнять практическую исследовательскую работу на компьютере с помощью приложении Advanced Grapher. В конце урока будет проведена срезовая работа по новому материалу.
II. Актуализация знаний
С помощью мультимедийного проектора демонстрируется слайд..
Вопрос1. Как связаны мы между собой угол α и значение производной функции у= f(х) в точке х0 - ?
Ответ. tg α = f ´(x0)
Ответ сопровождается демонстрацией слайда
Демонстрируется слайд.
Вопрос 2. График какой функции изображен на рисунке?
Ответ. Это график показательной функции y=ax с основанием a > 1
Вопрос 3. Как геометрически определить значение производной функции у=ах в точке х=0?
Ответ. Нужно построить касательную к графику функции y=ax в точке х=0 и найти тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси OX.
Демонстрируется слайд.
III. Изучение нового материала.
На сегодняшнем уроке вы выполните исследовательскую работу на компьютере: с помощью приложения Advanced Grapher
Среди функций у=1,5х;1,7х; 1,9х; 2х; 2,1х; 2,3х; 2,5х; 2,7х; 2,9х; 3,1х ( путем последовательного построения их графиков) найти ту, для графика которой прямая у=х+1 является касательной в точке х0.=0
Демонстрируется слайд.
Под каким углом наклонена прямая к оси ОХ?.
Выясняется, что прямая наклонена к оси ОХ под углом 450
Демонстрируется слайд и выясняется, что прямая у=х+1 имеет 2 общих точки с графиком показательной функции при a=1,5: А и В
Исследовательская практическая работа за компьютером.
Примечание. На каждом компьютерном столе лежит лист с инструкцией к выполнению работы.
Инструкция к выполнению работы:
1. Запустить программу Advanced Grapher.
2. Построить график функции у=х+1.
3. В той же системе координат построить график функции у=ах; где а= 1,5. Сделать запись в таблице:
|
Значение a |
Число точек пересечения с прямой y= x+1 |
|
1,5 |
2 |
|
1,7 |
|
|
1,9 |
|
|
2,1 |
|
|
2,3 |
|
|
2,5 |
|
|
2,7 |
|
|
2,9 |
|
|
3,1 |
|
4. Проделать пункты 1, 2. и 3. этого алгоритма для a=1,5; 1,7; 1,9;2,1; 2.3; 2.5; 2,7; 2,9; 3,1, наблюдая, как изменяется положение точек пересечения графиков.
5. Записать в рабочей тетради то значение а, при котором прямая y=x+1 имеет только одну общую точку с графиком функции y=ax., т. е. является касательной к этому графику.
1. Ответить на вопрос: При каком а для функции у=ах выполняется условие:
a. у´(о)= tg450=1 ?
Ответ._____________ При а≈2,7
Примечание. Ответ в инструкции не пишется
Продолжение изучения нового материала (фронтальная беседа с классом)
Давайте сделаем вывод: из проведенного эксперимента мы выяснили, что для функции у=2,7х касательная к ее графику в точке х0=0 составляет угол 450 с осью ОХ. А это значит, что
при х=0 значение производной (2,7х)′ равно tg450 и равно1.
Значение основания а≈2,7 показательной функции у=ах имеет большое значение в математике.
Примем без доказательства теорему:
Существует такое число большее 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция у=ех в точке 0 и имеет производную, равную 1, т.е.
В анализе доказано, что число е иррациональное и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. С помощью ЭВМ у этого числа найдено более 2-х тысяч десятичных знаков после запятой. Первые знаки таковы: е=2,718281828459045….
Давайте еще раз посмотрим, как выглядит график показательной функции с основанием e. Демонстрируется слайд. Учитель дает пояснения к рисунку
Показательную функцию у=ех называют экспоненциальной функцией.
График функции у=ех называют экспонентой
logе=lnх – натуральный логарифм.
Учащимся предлагается построить график функции y=ex в приложении Advanced Grapher .
Продолжение объяснения учителя
На сегодняшнем уроке мы примем без доказательства формулы
:Демонстрируется слайд с формулами:
(ех)′=ех.
(еu)′=eu∙u´
(ах)′=ахlnа
(аu)′=au u′lna
Учащиеся переписывают формулы и тетрадь.
Далее демонстрируется слайды:
(Перед учащимися по очереди появляются слайды сзаписями образцов решений)
Каждое решение разбирается с привлечением учащихся (фронтально).
Образцы решений:
1. (5ех)' = 5(ех)' = 5ех;
2. (е5х)´=е5х(5х)´=5е5х;
3. (еsinх)'= еsinx(sinx)´=cosхеsinx:
4. (25x)'=25x∙ln2(5x)´=5∙25x ln2;
5. (2sinx)'=2sinxln2(sinx)´= 2sinxln2 cosx.
IV. Закрепление: №538-540 (а, б) из учебника – учитель разбирает у доски.
V. Срезовая работа
(выполняется на отдельных листах в двух вариантах).
Демонстрируется слайд:
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
Найти производные функций 1. у=е-7х 2. у=1,25х 3. у=7ех+5х 4. у=ехcosx |
Найти производные функций 1. у=е-2х 2. у=2,35х 3. у=9ех+4х 4. у=ехsinх |
Выполняется самопроверка.
|
№ п/п |
Правильные ответы I варианта |
№ п/п |
Правильные ответы II варианта |
|
1 |
-7е-7х |
1 |
-2ex |
|
2 |
5.1,25хln1,2 |
2 |
3.2,35хln2,3 |
|
3 |
7ех + 5хln5 |
3 |
9ex + 4xln4 |
|
4 |
ех(cosx - sinx) |
4 |
ех(sinx + cosx) |
|
№ правильного ответа |
Оценка |
|
№1 |
3 |
|
№№ 1,2 |
4 |
|
№№ 1,2,3 |
4 |
|
№№ 1,2,3,4 |
5 |
Выясняется (поднятием рук), какие учащиеся получили оценку «3», «4», «5».
Учитель поощряет справившихся учащихся похвалой, одобрительным кивком головы, и т.д. Важно отметить каждого – похвалить, подбодрить, или выразить порицание.
V. Итог урока:
Как вы поняли, что такое число е?
(Это иррациональное число, примерно равное 2,71… Оно является основание такой показательной функции y=ax, для которой касательная в точке х0 образует угол в 450 с осью ОХ).
VI. Домашнее задание. А. Н, Колмогоров Алгебра и начала анализа Просв 2004 п.41. Прочитать. Выучить формулы и формулировки теорем. №538-540 (в, г)
Дополнительные индивидуальные задания
для сильных учащихся. п.41. Теорема 1, теорема 2 с доказательством..
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
План урока по алгебре и началам анализа "Производная показательной функции" (11 класс. Базовый уровень) Учебник А. Н. Колмогоров и др. Алгебра и начала анализа Изд. Москва "Просвещение" 2004. Приводится подробный план урока, с описанием всех его этапов. кроме этого на странице сайта ниже размещена презентация по одноименной теме. для удобства ипользования при проведении урока.
6 663 584 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Сердюков Валентин Иванович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.