Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Планирование к уроку алгебры на тему " Логарифмические уравнения "
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Планирование к уроку алгебры на тему " Логарифмические уравнения "

библиотека
материалов

17.12.15Урок-лекция по теме "Логарифмические уравнения. Основные методы их решения"

1 урок

Лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”.

Слайд 1.

Эпиграфом своей сегодняшней лекции я привожу слова Ричарда Олдингтона (1892 – 1962гг., английский поэт, прозаик, критик): “Ничему тому, что важно знать, научить нельзя, - всё, что может сделать учитель, это указать дорожки”.

Слайд 2.

А так же – русскую народную пословицу: “Кто говорит – тот сеет, кто слушает – тот собирает”.

В самом начале моей лекции я хотела бы обратить ваше внимание на следующее. При решении логарифмических уравнений применяют преобразования, которые не приводят к потере корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений. Здесь возможны два подхода:

Проверка путём подстановки полученных решений в исходное уравнение.

Нахождение области допустимых значений уравнения (ОДЗ). Тогда корнями могут быть только те числа, которые принадлежат этой области.

В своей лекции я буду использовать оба этих подхода, а ваше право уже самим выбирать, какой лично вам больше нравится. Следует отметить, что при решении логарифмических неравенств возможен только один из них: ОДЗ!

Основные методы решения логарифмических уравнений.

Слайд 3.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.

Определение логарифма: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b. Т. е. http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6417.gif

Таким образом, применяя его к нашей теме, мы получим следующее:

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6418.gifпри этом http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6419.gif

Пример 1http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6420.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6421.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6422.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6423.gif

Число 16 удовлетворяет ОДЗ, значит 16 – корень исходного уравнения.

Ответ: 16.

Слайд 4.

Пример 2http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6424.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6425.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6426.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6427.gif

Проверкаhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6428.gif http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6429.gif http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6430.gif- верно, значит число 4 – корень исходного уравнения.

Ответ: 4.

Пример 3: http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6431.gif

По определению логарифма http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6432.gif значит http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6433.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6434.gif

Слайд 5.

А сейчас мы рассмотрим пример, в котором в основании логарифма уже не число, а выражение, содержащее переменную. Т. е. уравнение будет иметь вид http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6436.gifпри этомhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6437.gif Хочу отметить особо, что рассуждения НЕ ИЗМЕНИЛИСЬ!

Пример 4http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6438.gif

ОДЗ:http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6439.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6440.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6441.gif.

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6438.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6442.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6443.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6444.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6445.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6446.gif

С учётом ОДЗ получим, что решением данного уравнения является число 2.

Ответ: 2.

Как мы видим, наличие выражения с переменной в основании влияет лишь на ОДЗ, а не на ход рассуждений. Кроме того, данное уравнение можно решать, не прибегая к нахождению ОДЗ, а просто в конце выполнить проверку.

Метод потенцирования.

Слайд 6.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их.

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6447.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6448.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6449.gif, где http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6450.gif

Пример 5http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6451.gif

 http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6452.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6453.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6454.gif

Проверка:

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6455.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6456.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6457.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6458.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6459.gif - верно.

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6460.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6456.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6461.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6462.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6463.gif - не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

Ответ:1.

Слайд 7.

Если же в основании – выражение с переменной, то рассуждения не меняем! В этом случае уравнение будет иметь вид

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6464.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6448.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6449.gif, где http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6465.gif

И пример такого уравнения можно разобрать на предыдущем примере 5.

Пример 6http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6466.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6452.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6453.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6454.gif

Проверка:

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6455.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6456.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6467.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6458.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6468.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6458.gif http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6469.gif- верно.

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6460.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6456.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6470.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6462.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6471.gif - не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

Ответ:1.

ОДЗ для данного уравнения выглядит следующим образом:

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6472.gif

Мы видим, что в этом уравнении рациональнее выполнить проверку, а не искать ОДЗ. Но ещё раз повторюсь, что при решении неравенств ОДЗ находить придётся ОБЯЗАТЕЛЬНО.

Рассмотрим пример, который, на первый взгляд, не может относиться к данному типу уравнений.

Слайд 8.

Пример7http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6473.gif

Сделаем замену http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6474.gif, получим http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6475.gif воспользовавшись свойством логарифма (сумма логарифмов равна логарифму произведения подлогарифмических выражений: http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6476.gif), получим уравнение http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6477.gifкоторое в свою очередь замечательно решается методом потенцирования, т.е. http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6478.gif А это линейное уравнение, решив которое, получим http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6479.gif

Проверка: http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6480.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6481.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6482.gif - верно.

Ответ: 0.

Замечу, что часто перед применением какого-либо метода решений, необходимо преобразовать уравнение, применив различные свойства логарифмов. Предыдущий пример, тому подтверждение.

Метод подстановки.

Слайд 9.

Данный метод мы достаточно часто встречаем в математике, вспомните тригонометрические или показательные уравнения. Поэтому применение его при решении логарифмических уравнений я вам покажу на примере.

Пример 8http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6483.gif.

В этом уравнении рациональней найти ОДЗ: http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6484.gif

Пусть http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6485.gif, тогда уравнение примет вид

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6486.gif,

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6487.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6488.gif

Значит http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6489.gif или http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6490.gif. А это уравнения, которые мы решим, используя определение: 1) http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6491.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6492.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6493.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6494.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6495.gif

2) http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6496.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6492.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6497.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6494.gifhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6498.gif

Мы видим, что оба корня удовлетворяют ОДЗ, значит оба числа являются решениями исходного уравнения.

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6499.gif

Слайд 10.

Если в основании логарифма лежит выражение с переменной, то уравнение в общем виде будет выглядеть следующим образом:

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6500.gif, где http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6501.gif

И опять, вы сами выбираете: ОДЗ или проверка.

Пример 9: http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6502.gif.

ОДЗ:http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6503.gif

Приведём логарифмы к одному основанию – 7, пользуясь свойством перехода к новому основанию http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6504.gif, получим:

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6505.gif, выполним подстановку http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6506.gif, получим уравнение

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6507.gif,

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6508.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6509.gif

Значит,

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6510.gif

или

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6511.gif.

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6512.gif


http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6513.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6514.gif


http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6515.gif

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6516.gif

Метод логарифмирования.

Слайд 11.

Данный метод является “обратным” методу потенцирования, т. е. мы от уравнения без логарифмов переходим к уравнению, их содержащему.

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6517.gif, при этомhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6518.gif

Этот метод обычно используется, если в уравнении есть показательные функции, логарифмы – в показателе. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 10http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6519.gif

ОДЗhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6520.gif

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6521.gif а теперь воспользуемся свойством логарифмов http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6522.gif, получим

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6523.gif

Выполним подстановку http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6524.gif, получим уравнение

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6525.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6526.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6527.gif

Значит,

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6528.gif

или

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6529.gif.

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6530.gif


http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6531.gif

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6532.gif


http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6533.gif

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 3, 27.

Этот пример показывает, что при решении логарифмических уравнений, возможна комбинация нескольких методов. А значит необходимо уметь пользоваться каждым из них. Научиться этому – теперь ваша задача.

Слайд 12.

Итак, сегодня мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений:

  • На основании определения логарифма.

  • Метод потенцирования.

  • Метод постановки.

  • Метод логарифмирования.

Главным, по моему мнению, является метод, основанный на определении логарифма. Практически в каждом их других методов происходит “выход” на него. Кроме того, на примерах мы увидели, что все методы взаимосвязаны, в “чистом” виде при решении уравнений не используется ни один из них. Поэтому вам необходимо уметь пользоваться КАЖДЫМ!

Для отработки навыков решения логарифмических уравнений, я вам предлагаю следующее домашнее задание. Уравнения являются базовыми, т. е. решать их должен уметь решать каждый. Отмечу, что подборка сделана из открытого банка заданий для экзамена по математике ЕГЭ http://mathege.ru .

п/п

Уравнения

Комментарии (даётся для слабых учащихся)

1

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6534.gif

Пользуясь определением

2

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6535.gif

Пользуясь определением

3

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6536.gif

Потенциирование

4

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6537.gif

Потенциирование

5

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6538.gif

Потенциирование

6

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6539.gif

Потенциирование

7

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6540.gif

Применить свойства логарифмов и затем потенциировать

8

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6541.gif

Применить свойства логарифмов и затем потенциировать

9

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6542.gif

Пользуясь определением

10

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6543.gif

Пользуясь определением, выход на показательное уравнение

11

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6544.gif

Показательное уравнение, выход на логарифмическое

Замечание: домашнее задание распечатано на листах для каждого ученика.

Слайд 13.

2, 3 урок

Решение задач по теме “Логарифмические уравнения”. Зачёт.

Уравнения (примерные, зависит от математической подготовки учащихся).

Обязательный уровень

Повышенный уровень

1

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6545.gif

1

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6546.gif

2

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6547.gif

2

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6548.gif

3

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6549.gif

3

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6550.gif

4

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6551.gif

4

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6552.gif

5

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6553.gif

5

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6554.gif

6

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6555.gif

6

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6556.gif

7

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6557.gif

7

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6558.gif

8

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6559.gif

8

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6560.gif

9

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6561.gif

9

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6562.gif. Найти все корни, принадлежащие отрезку http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6563.gif. ЕГЭ, 2013

10

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6564.gif

10

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6565.gif. Найти все корни, принадлежащие отрезку http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6566.gif. ЕГЭ, 2012.

11

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6567.gif

11

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6568.gif

12

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6569.gif

12

http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6570.gif

Подборка уравнений к уроку, зачёту проводится на сайтах www.fipi.ru , http://mathege.ru ,http://mathus.ru/ , http://reshuege.ru/ , http://www.math.md/school/praktikum/logr/logr.html (Виртуальная школа юного математика).

Тест к зачёту.

п/п

Задание

Ответ

1

Обязательный уровень

Найдите корень уравнения http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6571.gif.

 

2

Найдите корень уравнения http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6572.gif.

 

3

Найдите корень уравнения http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6573.gif.

 

4

Найдите корень уравнения http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6574.gif.

 

5

Найдите корень уравнения http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6575.gif.

 

6

Найдите корень уравнения http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6576.gif.

 

7

Найдите корень уравнения http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6577.gif.

 

8

Найдите корень уравнения http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6578.gif. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

 

9

Найдите корень уравненияhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6579.gif.

 

10

Найдите корень уравненияhttp://festival.1september.ru/articles/650348/Image6580.gif 

 

11

Повышенный уровень

(решать по выбору)

Решить уравнение  log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3.

Развёрнутое решение

12

Решить уравнение log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.

13

Решить уравнение 16log4(1 - 2x) = 5x2 - 5.

14

Решить уравнение 2log3(x - 2) + log3(x - 4)2 = 0.

15

Решить уравнение log2x + log3x = 1.

16

Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6581.gif

17

Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6582.gif.

18

Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/650348/Image6583.gifНайти произведение корней.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 20.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров172
Номер материала ДВ-472709
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх