Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Планирование учебного материала по математике. Тема: «Степенная функция, её свойства и графики». Для учащихся техникума на базе основной школы.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Планирование учебного материала по математике. Тема: «Степенная функция, её свойства и графики». Для учащихся техникума на базе основной школы.

библиотека
материалов

hello_html_8551d6.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_m6e83de48.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_7ada266f.gifhello_html_m4158896d.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_m3182de2b.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_m38e6dc53.gifhello_html_m3182de2b.gifhello_html_m74d94ebf.gifhello_html_7e3dfb1c.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_7ef991a2.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_m3a88f75b.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_62719af.gifhello_html_62719af.gifhello_html_7e3dfb1c.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_m58579e33.gifhello_html_m58579e33.gifhello_html_m58579e33.gifhello_html_7ada266f.gifhello_html_m4158896d.gifhello_html_8551d6.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_m69f20feb.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_m439c3140.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_78c17baf.gifhello_html_m3182de2b.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_3fae468f.gifhello_html_m3a88f75b.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_m7e2b0dc1.gifhello_html_m3a88f75b.gifhello_html_m6e83de48.gifhello_html_m3182de2b.gifhello_html_76321f19.gifhello_html_671c1f3f.gifhello_html_236ad92d.gifhello_html_m6f1044f2.gifhello_html_789fb265.gifhello_html_35388bf4.gifhello_html_35388bf4.gifhello_html_m12034039.gifhello_html_m3b6d1571.gifТема: «Степенная функция, её свойства и графики».

Повторение опорных знаний учащихся .

Повторение основных свойств степеней можно провести в виде самостоятельной работы по индивидуальному раздаточному материалу. Воспроизведение в памяти учащихся знаний , умений и навыков, необходимых для успешного изучения нового материала.

Степень с действительным показателем и ее свойства

№№

Задания для работы

1.

Преобразовать выражения так, чтобы они не содержали дробных показателей степени.


для изучения

для самостоятельного выполнения


1) hello_html_ma140218.gif

2) hello_html_27fb2bfd.gif

3) hello_html_1368c337.gif

1) hello_html_5ed1414d.gif

2) hello_html_m521628de.gif

3) hello_html_m402fcccd.gif

2.

Преобразовать выражения так, чтобы они не содержали отрицательных показателей степени.


для изучения

для самостоятельного выполнения


1) hello_html_5405ce4c.gif

2) hello_html_31d65537.gif

1) hello_html_m7a69df90.gif

2) hello_html_m769c7a7f.gif

3)hello_html_m3b9e28e3.gif

3.

Вычислить.


для изучения

для самостоятельного выполнения


1) hello_html_204c4f8a.gif= hello_html_m164738d2.gif

2) hello_html_m74afb651.gif

= hello_html_m5c1d9392.gif


1) hello_html_2b3e8054.gif

2) hello_html_5e6936f6.gif

3) hello_html_df836cf.gif



4) hello_html_m12a58b98.gif

4.

Записать выражение так, чтобы оно не содержало корней.


для изучения

для самостоятельного выполнения


1) hello_html_62b91457.gif

2) hello_html_m53146eb.gif

3) hello_html_50c9040e.gif

1) hello_html_3f31db35.gif

2) hello_html_m39b7c97b.gif

3) hello_html_60ed8830.gif

4) hello_html_4387157f.gif


5.

Упростить выражение.


для изучения

для самостоятельного выполнения


1)hello_html_m34b8064c.gif

2) hello_html_7fdad446.gif



3) hello_html_7255848.gif

4) hello_html_m2400a0d4.gif

1) hello_html_m6915dd1e.gif

2) hello_html_136e218f.gif



3) hello_html_53a0e82a.gif



4) hello_html_m41a7ead3.gif

6.

Вставить пропущенные показатели степени.


hello_html_m4b3b39f1.gif; hello_html_1ec3e3b3.gif; hello_html_7e9ee3e9.gif; hello_html_m1d26ccea.gif; hello_html_m26f6df10.gif; hello_html_m639ca2e3.gif





Изложение материала по теме «Степенная функция, её свойства и графики».

Метод : объяснительно – иллюстративный, репродуктивный.

Объяснительно-иллюстративный метод информирует учащегося о новых элементах знаний данного занятия.

Репродуктивный метод характеризуется воспроизведением и повторением способа деятельности по заданиям преподавателя.

Самостоятельное применение знаний, умений и навыков нацелено на осознанное усвоение знаний, формирование математического мышления, повышение активности учащихся в процессе обучения, воспитание вдумчивого отношения к изучаемому материалу.

Домашнее задание выдаётся в конце занятия с пояснением наиболее сложных моментов, с рекомендациями литературы.

Степенная функция, ее свойства и графики


Степенной называется функция вида hello_html_m60dbfc49.gif, где р – заданное число, называемое показателем степени.

Иногда степенной функцией называют также функцию более общего вида hello_html_m22efda37.gif,hello_html_37879942.gif. Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, площадь квадрата S есть степенная функция от длины его сторон х: hello_html_313fab.gif. Известно, что закон движения S(t) тела, падающего вертикально вниз (начальная скорость движения равна нулю), определяется равенством hello_html_76a6784.gif, то есть является степенной функцией от времени t.

Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени р.

Исследуем сначала поведение функции при натуральном значении р, то есть функции hello_html_m39464e50.gif, hello_html_20dbb322.gif.

1. Областью определения функции является множество действительных чисел R, то есть D(y)=R.

2. Множеством значений функции при нечетном показателе степени n является множество действительных чисел R, а при четном n – множество неотрицательных чисел.

3. При нечетном показателе степени n функция является нечетной, а при четном значении n – четной, так как

hello_html_d0ad561.gifи hello_html_m566c5daf.gif, hello_html_m4b62ce7.gif.

4. При нечетном показателе степени функция возрастает на всей области определения, а при четном показатели убывает на множестве отрицательных чисел и возрастает на множестве положительных чисел.

5. Функция непрерывна на всем множестве действительных чисел.

6. Обращается в нуль при х=0, то есть у(0)=0.

7. График функции проходит через точку с координатами (1;1).

В качестве примера графиков функций с натуральным показателем степени мы можем привести графики функций hello_html_m382c8d.gif и hello_html_m6214dfbf.gif .

у у


2 2

1 1

0 1 2 х 0 1 2 3 х

-1





Если показателем степени является целое отрицательное число, то есть p = -n, hello_html_20dbb322.gif , то степенная функция определяется равенством hello_html_m7a8f583a.gif.

Исследуем свойства этой функции.

1. Областью определения функции являются все действительные числа, кроме х=0; в точке х=0 функция терпит разрыв второго рода.

2. Множеством значений функции является множество действительных чисел, отличных от нуля, в случае нечетного n и множество положительных чисел, в случае четного n.

3. При нечетном значении n функция является нечетной, при четном n – четной.

4. При нечетном показателе степени функция убывает на всей области определения; при четном показателе степени возрастает при х<0 и убывает при х>0.

5. График функции проходит через точку с координатами (1;1).

6. Функция непрерывна в каждом промежутке области определения.

В качестве примера графиков степенной функции с целым отрицательным показателем степени мы рассмотрим графики функцийhello_html_548b31d5.gif и hello_html_m165a5367.gif.


у у



2 2


1 1


0 1 2 х 0 1 2 х

-1 -1








Примечание.

1. Монотонность функций с показателем степени n =2; 3; -1; -2 была нами исследована ранее.

2. Если р=0, то по определению hello_html_m3f6e28e4.gif.


Исследуем функции с показателем hello_html_33faa14f.gif, то есть функции hello_html_5f9c9483.gif , nN.

1. Областью определения функции при четном n является множество неотрицательных чисел, а при нечетном n – все множество действительных чисел.

2. Множеством значений функций при нечетном n является множество действительных чисел, а при четном n – множество неотрицательных чисел.

3. Функция обладает свойством нечетности при нечетном n.

4. Функция возрастает на всей области определения.

5. Функция непрерывна на всей области определения.

6. Функция обращается в нуль при х=0, то есть у(0) = 0.

7. График функции проходит через точку с координатами (1;1).


В качестве примера графиков функций с показателем hello_html_33faa14f.gif, nN рассмотрим графики функций hello_html_75bc7886.gif и hello_html_m11a5f7ff.gif.


у у


2 2


1 1


0 1 2 х 0 1 2 х

-1 -1






Для рационального показателя hello_html_m8a6c1e8.gif, m Z, nN (hello_html_4b823660.gif – несократимая дробь) степенная функция определяется формулой hello_html_m21318d5a.gif.

В качестве примера рассмотрим графики функций hello_html_c1fd72a.gif ; hello_html_3bafc3b5.gif ; hello_html_2140dbbd.gif .


у у у

2 2 2

1 1 1


0 1 2 х 0 1 2 х 0 1 2 х





Задания для самостоятельного выполнения.

1. Построить в одной системе координат графики функций

а) hello_html_7d177a5.gif; hello_html_m495ad477.gif b) hello_html_m382c8d.gif; hello_html_m7fe55aea.gif

и указать их сходства и различия.

2. Построить графики функций hello_html_m25f6cbc7.gif; hello_html_m697aa3d4.gif.

Замечание. Для построения графика функции hello_html_mc98d639.gif нужно построить график функции hello_html_2497dd7d.gif , а затем отобразить относительно оси Ох те части графика, которые расположены ниже этой оси.


Домашнее задание.

1. Построить графики функций hello_html_2f1801ac.gif ; hello_html_3d9c6fae.gif и исследовать свойства этих функций.

2. Построить графики функций hello_html_7dc646d3.gif ; hello_html_2cfd67b0.gif .

3. Упростить выражения:


hello_html_m672f7618.gif; hello_html_12ef2e0d.gif .





Осуществление контроля знаний, умений и навыков можно провести как на занятии, так и вне его.

Например: Применим изученные на предыдущих занятиях свойства степеней и известные сведения о графиках и свойствах степенных функций - ответить на поставленные вопросы.

Даны функции:

  1. hello_html_m554417ef.gif; 2. hello_html_548b31d5.gif; 3. hello_html_m495ad477.gif; 4. hello_html_4badcb7c.gif

Выберите функции

      • определенные на всем множестве действительных чисел

      • множеством значений которых является все множество действительных чисел

      • непрерывные на всей области определения

      • четные

      • нечетные


Укажите, графики каких из данных функций

      • проходят через начало координат

      • проходят через точку с координатами (1;1)

      • расположены в верхней полуплоскости

      • расположены в правой полуплоскости


Постройте примерные графики функций hello_html_m382c8d.gif и hello_html_7abbdc37.gif.

Какими общими свойствами обладают эти функции?


Постройте примерные графики функций hello_html_m554417ef.gif и hello_html_m165a5367.gif.

Укажите различия в свойствах этих функций.


На рисунках представлены примерные графики функций, фигурирующих в предложенных выше заданиях. Для каждого графика попробуйте указать соответствующее уравнение функции.


у у у


2 2 2


1 1 1


0 1 2 3 х 0 1 2 х 0 1 2 х








у у у у


2 2 2 2


1 1 1 1


0 1 2 х 0 1 2 3 х 0 1 2 х 0 1 2 х

-1 -1





Предложить сделать домашнюю самостоятельную работу.


«Степенная функция, ее свойства и графики»


Цель проведения работы. Воспитание у студентов навыков построения графиков и чтения свойств степенных функций по их графикам. Применение знаний и умений при решении типовых примеров и задач; закрепление умений и навыков, полученных при изучении темы «Степенная функция и ее свойства».


Задание 1.

Выяснить, при каких значениях аргумента график функции hello_html_m6cdaf9.gif расположен ниже графика функции hello_html_m46670f85.gif . Решение проиллюстрировать графически.

Решение задачи

График функции f(x) находится ниже графика функции g(x) при тех значениях аргумента, при которых выполняется неравенство hello_html_5618366d.gif , поэтому решение задачи сводится к отысканию решения этого неравенства.

hello_html_m3c2a7b11.gif; hello_html_325c0af8.gif , так как hello_html_6d871fc9.gif , то решение задачи сводится к решению неравенства hello_html_7fb5dc2b.gif (*); теперь находим нули левой части hello_html_m8ef7e03.gif ; hello_html_7b17b6a1.gif; х=1. Наносим найденное значение на числовую прямую и исследуем знаки выражения (*):



- +

0 1 х


Решением неравенства является промежуток (0;1).

Проиллюстрируем решение графически, построив параболы hello_html_m6cdaf9.gif и hello_html_m46670f85.gif .



у



3


2


1


-2 -1 0 1 2 3



Задание 2.

Найти точки пересечения графиков функций hello_html_m6cdaf9.gif и hello_html_m5b03e186.gif . Решение проиллюстрировать графически.


Задание 3.

Выяснить, есть ли общие точки у графиков функций hello_html_7ceea73e.gif и hello_html_m36d1f8e1.gif . Решение проиллюстрировать графически.


Задание 4.

Выяснить, имеют ли графики функций hello_html_5a85d87e.gif и hello_html_6be10e8b.gif общие точки. Проиллюстрировать свой вывод графически.


Задание 5.

Выяснить, при каких значениях аргумента график функции hello_html_65fd8497.gif расположен ниже графика функции hello_html_38e9a731.gif. Найденное решение проиллюстрировать графически.










Краткое описание документа:

Из опыта работы представлена дидактическая структура перехода занятий по усвоению новых знаний, к занятиям по проверке знаний, умений и навыков.

Занятие по усвоению знаний включает работу над новым материалом, его изучение и применение.

Занятие по формированию умений и навыков – выполнение упражнений от простых до творческих; выполнение самостоятельной работы.

Общая информация

Номер материала: ДВ-233066

Похожие материалы