Открытый урок алгебре в 9 классе на тему:
« Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии. Применение изучаемой темы к
решению задач в формате ЕГЭ»
Тип урока: урок изучения
нового материала
Оборудование: - компьютер, интерактивная доска,
проектор;
- презентация;
- распечатки с текстами задач.
Цели урока:
образовательные:
- выявить
степень сформированности знаний
и умений учащихся по теме
«Последовательности» на уровне
применения (задание последовательности;
перечисление членов последовательности;
использование формулы n-го члена и
рекуррентной формулы для нахождения
любого члена последовательности);
- познакомить учащихся с понятием
«арифметическая прогрессия», со
свойствами арифметической прогрессии,
способами задания арифметической
прогрессии; вместе с учащимися вывести
формулу n-го члена арифметической
прогрессии;
- формирование умений учащихся по
изучаемой теме на уровне знания и
понимания (уметь ответить на вопрос:
какая
последовательность называется
арифметической прогрессией, приводить
примеры, уметь находить члены
прогрессии);
развивающие:
развитие познавательного интереса,
умений
собраться на уроке, организоваться для
восприятия, понимания и ответа,
формирования логического мышления;
воспитывающие:
воспитание настойчивости, воли, характера
учащихся для достижения конечного
результата, терпеливой работы,
выдерживания временного бюджета, а
значит, научить работать быстро;
формирование культуры речи, умений давать
полные, математически грамотные ответы.
Методы и приёмы преподавания:
- фронтальная беседа;
- сообщение;
- тестирование;
- экспресс-опрос;
- упражнения -
демонстрация;
- математический диктант.
Организационная структура
урока
Этапы проведения урока
|
Задания для учащихся, выполнение которых приведёт к
достижению запланированных результатов, цель, результативность.
|
Форма организации учебных действий
|
УУД
|
Организационный
этап.
Нацеливание
учащихся – мотивация
|
Слайд 2
Закончился
двадцатый век.
Куда
стремится человек?
Изучены
космос и море,
Строенье
звезд и вся Земля,
Но
математиков зовет
Известный
лозунг:
«Прогрессио
– движение вперед»
Вступительное слово учителя:
Эта
история произошла давным-давно. В древнем городе жили добрый мудрец и злой
человек, который завидовал славе мудреца. И решил он придумать такой вопрос,
чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошел он на луг, поймал бабочку, сжал
ее между сомкнутых ладоней и подумал: "Спрошу-ка я: о, мудрейший, какая
у меня бабочка - живая или мертвая? Если он скажет, что мертвая, я раскрою
ладони - бабочка улетит, а если скажет - живая, я сомкну ладони, и бабочка
умрет". Так завистник и сделал: поймал бабочку, посадил ее между ладоней,
отправился к мудрецу и спросил его: "Какая у меня бабочка - живая или
мертвая?" Но мудрец ответил: " Все в твоих руках:"
Бывают
моменты в жизни, когда руки опускаются и кажется, что ничего не получится.
Тогда вспомните слова мудреца "Все в твоих руках:" и пусть эти
слова будут девизом нашего урока.
-- Вы перешли к изучению одной из
интересных тем алгебры 9 класса – «Числовые последовательности». Наше
познание курса алгебры можно сравнить с походом в горы и сегодня мы с вами
преодолеем ещё одну математическую вершину, а какую вы узнаете позже. А
теперь давайте проверим, готовы ли вы к восхождению.
|
Учащимся
выдан лист рефлексии, они заполняют Ф. И.
|
Личностные:
формирование мотивации, развитие
познавательного интереса
|
Актуализация
опорных знаний.
Теоретический опрос
|
Ребята, предыдущие два урока алгебры были посвящены теме
«Последовательности».
Слайд-4
1.Что
называется числовой последовательностью?
2.
Приведите примеры числовых последовательностей.
3.
Каким способом можно задать последовательность?
4. Какие члены последовательности (bn) расположены
между
B134 и b142 , bn -1 и bn + 2,
bn +3 и bn +6 ?
5.
Последовательность задана формулой :
an = 3n – 3.
Найдите: α ₅, α₁₀, αk .(Ответы: 12,27, 3k-3)
6.
с₁ =
- 10, сn+1 = сn + 10. Найдите : с₂,
с₃, с₄. (ответы 0,10,20)
|
Вспоминают
прошлый урок и отвечают (фронтальная работа)
|
коммуникативные
работа
с информацией.
Развивать
умение грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи.
|
Устная
работа. Создание проблемной ситуации, постановка темы и целей урока.
|
Слайд-5
На
доске записаны последовательности:
а) 4; 8; 12; … 16,20,24 г)
1; 2; 3; 4; …5,6,7,8
б) - 13; - 15; - 17; - 19; …-21,-23,-25 д) 2; 4; 6; 8; …10,12,14
в) - 2; -4; - 8; -16; …-32,-64,-128
Продолжите
их.
Какие
последовательности образованы с помощью одного и того же правила? (а,б,г,д)
Определение:Числовая
последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен
предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической
прогрессией.
Слайд 6
Как проверить, является ли
последовательность арифметической прогрессией?
Если разность между последующим и
предыдущим членами последовательности есть одно и тоже число, то данная
последовательность является арифметической прогрессией
|
Учащиеся
выполняют решение предложенных заданий .
(Учащиеся
пытаются сформулировать определения самостоятельно)
|
Личностные:
творчество
Осуществлять
анализ, синтез, проводить сравнение и классификацию по заданным критериям.
|
Что же
нам нужно для упрощения и рационализации этой работы?
Итак:
О чем пойдет речь сегодня на уроке?
Какие
цели мы должны поставить и реализовать на уроке?
Слайд 7
«
Определение арифметической прогрессии. Формула n-го
члена арифметической прогрессии.
Применение изучаемой темы к решению задач в формате ЕГЭ».
•
И наша цель сегодня на уроке: используя
определение арифметической прогрессии, находить любой член прогрессии ,
разность , порядковые номера членов арифметической прогрессии и свойство
арифметической прогрессии ,
подготовиться к ЕГЭ в ходе решения задач,активировать
умственную деятельность учеников, развивать критическое мышление, учить
оценивать свои знания.
•
Результативность: формирование
познавательной компетентности.
•
А сейчас мы снова сформулируем
определение, которое у нас получилось и запишем её в виде рекуррентной
формулы:
•
Слайд 8 Это наша формула –по определению
an+1 = αn + d, d – некоторое число
Выразим d , получим формулу d = αn+1 – αn,
верную при любом
значении n, она выражает разность арифметической прогрессии, обозначенная d.
Т.Е. если у нас
известно а1 и d
, то легко определить любой член прогрессии по схеме:
а1
(+d)
, а2 (+d) , а3 (+d) , а4(+d) , а5(+d) ……… аn-1 (+d), а n(+d), аn-2 (+d) ……
|
Все
формулируют тему и цели урока.
Записывают
тему урока в тетрадях.
|
Личностные:
формирование мотивации,
развитие познавательного
интереса.
|
Первичное
закрепление нового материала
|
Слайд 9
Решить устно:
1.Назовите
первые пять членов арифметической прогрессии:
Разбить
на три группы по рядам:
1
вариант а) α₁ = 5, d =
4; Ответы: а₁=5, а₂= 9, а₃ = 15, а₄=19, а₅=23
2 вариант. б) α₁ = 5, d = -
2 Ответы: а₁=5, а₂= 3, а₃ =1 , а₄=-1, а₅=-3.
3
вариант в) α₁ = 5, d =
0. Ответы: а ₁=5, а₂= 5, а₃ = 5, а₄=5, а₅=5
Слайд 10
Самостоятельная
работа №2- ответы занести в бланк.
Дано:
(аn)- арифметическая прогрессия.
1 вариант а) а₁ = 2, а₂=
6. Найти: d . Ответ: d = 4
2 вариант б) а₃ = 8, а₄=
5. Найти: d . Ответ: d = -3
3 вариант в) а₇ = 12, а₈ = -2.
Найти: d . Ответ: d = -14
|
Работа в
группах
|
Регулятивные: целеполагание,
действия по образцу
коммуникативные
работа
с информацией,
работа
в коллективе, в группе
|
мотивация
|
!!!
Если предложить вашему вниманию такую задачу : а₁ = 4, d = 1/2, а найти надо
а₁0 , а15, а100. и т.д..
Очень
неудобно вычислять подряд 10 членов прогрессии,
затем 15 членов и тем более 100-ый член арифметической прогрессии. Может,
есть другой?
|
Учащиеся
предлагают свои решения и способы.
|
Личностные:
формирование
мотивации, развитие познавательного
интереса
|
Исследовательская
работа в группах по выводу формулы
|
Сейчас вы
попробуете самостоятельно вывести некую формулу для вычисления n-члена
арифметической прогрессии.
Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии
(
вывод формулы провести на доске с помощью учащимися, затем показать Слайд -11 )
Дано:
(аn)
– арифметическая прогрессия, a1-
первый член прогрессии, d
– разность.
n a2
= a1 + d
n a3
= a2 + d =(a1 + d) + d = a1+2d
n a4
= a3 + d =(a1+2d) +d = a1+3d
n a5
= a4 + d =(a1+3d) +d = a1+4d
n .
. .
n an
= a1+ (n-1)d
Записать
в тетрадь формулу: an = a1+ d (n-1)
|
Коллективная
совместная работа по выводу формулы.
1-й ученик
2-й ученик
3-й ученик
4-й ученик
Сравнивают конечные результаты и делают
вывод.
|
Познавательные:
проведение
анализа.
Использовать
знаково – символьные средства при решении учебных задач. (П)
|
Защита
|
Каждая
группа представляет свое доказательство у доски. Сравниваем с доказательством
на слайде презентации.
Ура! Мы
с вами сделали открытие!
Цель: учить
оперировать знаниями, развивать гибкость использования знаний, учить краткой
рациональной записи, отрабатывать умение делать выводы и обобщения
Результативность: формирование
исследовательской, информационной, самообразовательной компетентностей
|
Учащиеся
оценивают предложенное доказательство. Сравнить полученную формулу и формулу
в учебнике. Каждый ученик записывает в тетрадь формулу.
|
Личностные:
развивать
умение грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи.
|
Анализ:
открытие
нового способа действий.
Создание
проблемной ситуации,
|
Слайд -12
Заметим
, что эту формулу можно записать иначе:
an
= a1+ d (n-1)
an
= a1+ dn-d
an
= dn+( a1-d),
обозначим
d через k
, а разность ( a1-d)
через b,
получим:
an=kn+b, где k и b некоторые числа
Таким образом, можно определить любой член арифметической прогрессии.
Но,
есть и другие задачи, когда нужно определить , является ли данное число
членом заданной арифметической прогрессии: например :задача из ОГЭ-15.
Содержит
ли арифметическая прогрессия : 17; 13; 9 ; 5 число:
а)-7,
б) -5
Решение:
а1=17, an
= a1+ d (n-1) an
= a1+ d (n-1)
d=
-4 17-4(n-1)=
-7 17-4(n-1)=
-5
аn=-7 -4n
= -28 -4n
= -26
n=
7 n=
-26/5
при n=7
(натур.число), следует, что а7= -7. Другой ответ не подходит, т.к.
индексом не может дробное число.
|
Учащиеся
вместе с учителем выводят новые формулы.
Совместноерешение задачи у доски.
|
Познавательные:
Освоение
нового способа деятельности.
Применение
способов действий (формул) к новым ситуациям
|
Вторичное
закрепление материала
|
Слайд -13
Самостоятельное решение с последующей проверкой.(на белой доске
решают два ученика)
№
575 (а, б),
Слайд -14
Комментированное решение с места
№ 576 (b7=
b1
+6d
, …….. b2k
= b1+d(2k-1)
Решить у доски:
№ 577 ( а) с5= с1
+4d
= 20+4*3=32
Самостоятельная
работа №3 –ответы занести в бланк.
слайд -15 1.Дано: (аn)-
арифметическая прогрессия,
1 Вариант а) а₁
= 4, а₃ = 6.
Найти: а₂
ответ: 5
2 Вариант б) а₃
= -5, а₅ = 5. Найти:
а₄ ответ:
0
3 Вариант в) а₇
= 10, а₉ = 6. Найти:
а₈ ответ:
8
|
Индивидуальное
самостоятельное решение с последующей проверкой.
Комментированное решение
Работа у доски.
Индивидуальная самостоятельная работа.
Ответы заносятся в бланки-ответов.
|
Личностные:
Развитие
креативных способностей
|
Физкультминутка
|
|
Выполнение
физкультминутки
|
|
Закрепление
нового материала
|
Слайд -16
3.Закрепление.
№
579 (а) ( решение у доски)
an
= a1+
d
(n-1)
№
591 (а) ( решение у доски) n=23
Задания встречающиеся на ОГЭ
Слайд -17 (решение)
•
условие а11<-11
•
а11= -11+2*11
=11
•
а11=22-2*11=0
•
а11=11-2*11 =-11
•
а11=19-3*11=-14<-11 ответ
|
Учащиеся
решают у доски (помощь учителя с затруднениями )
|
Личностные:
развивать
находчивость, активность при решении задач.
|
Контроль и оценка
решение заданий повышеннной
сложности
|
Слайд -18
Прогрессии
в жизни и быту .
Задача
1: При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке.
Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12
бревен?
Простой
способ:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=(1+12)+(2+11)+(3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7)=13*6=78
(бревен)
|
Учащиеся
совещаются в группах и предлагают свое решение.
|
Личностные:
развивать
креативность мышления, находчивость, активность при решении задач.
|
Пропедевтика
|
Согласно
легенде, маленький Карл Фридрих Гаусс, по праву называвшийся “королем
математиков” (princeps mathematicorum) решил за несколько минут
задачу: просуммировать все числа от 1 до 100. Ученики стали
последовательно прибавлять одно число к другому, а Гаусс быстро увидел, что
…? Это будет тема следующих наших уроков.
Слайд-19
|
После
обсуждения, учащиеся должны додуматься о рациональности вычисления, если нет,
то задание остается на дом.
|
познавательные:
осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и
познавательных задач.Создавать и преобразовывать модели
и схемы для решения задач.
|
Итог
урока.
Рефлексия.
|
Тест по теме « Арифметическая прогрессия»
Возвращаясь
к эпиграфу нашего урока, я хочу узнать, действительно ли был прав мудрец
"Все в твоих руках" ?
-
Что нового узнали на уроке?
-
Какова формула n-го члена арифметической прогрессии? Пользуясь данной
формулой что мы можем найти?
Трудным
ли для вас было покорение новой математической вершины, я бы хотела узнать
где вы находитесь - по-прежнему у подножия горы, на средине пути или на
вершине, изобразите себя на заранее приготовленных листа.
|
Учащиеся
записывают в бланки ответов (индивидуальная работа) и сдают учителю.
Учащиеся
заполняютт лист рефлексии.
|
Умение
адекватно оцениватьсвои знания и воспринимать оценку учителя. (Р)
|
Домашнее
задание.
|
п.25 знать обе формулы определения n-члена
арифметической прогрессии)
№ 575 (в.г) , №
577 ( б), № 579 (б, № 591 (б) .
Повторение: № 600(а)
Слайд-21
Цель: проверить
усвоение материала урока, формировать умение подбирать примеры
Результативность: формирование
самообразовательной компетентности
|
Возможность
оценки
достижения планируемых результатов.
|
Регулятивные:
контроль,
коррекция, оценка.
Формирование
способности
к
самосовершенствованию
|
Творческий
этап
применение
способа к новым ситуациям
Исследовательская
работа.
|
Ребята получили задание: подготовить
проектную работу «Арифметическая прогрессия вокруг нас»
|
Слово
предоставляется Валиевой Алине и ВалиевойЛиане с проектной работой.
|
Личностные
(творчество): умение самостоятельно планировать альтернативные пути
достижения целей, способности к саморазвитию и самообразованию
|
Литература для учителя:
1.
Брушлинский А. В. Психология мышления и проблемное обучение. —
М.: “Знание”, 1983. — 96 с..С.В. Кульневич, Т.П. Лакоценина “ Современный урок,
часть III. Проблемные уроки”;
2.
М. И. Махмутов, И. Я. Лернер, М. Н. Скаткин, А.М.Матюшкин;
“Теория проблемного обучения”;
3.
С. Г. Манвелов “ Конструирование современного урока математики”;
4.
И. Зильберберг “ Урок математики. Подготовка и проведение”
Литература для учащихся:
УМК: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова.
Приложение 2
Тест по теме « Арифметическая прогрессия»
1.Арифметичекая
прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член начиная со
второго, равен предыдущему
Выберите
правильный ответ
а)
сложенному с одним и тем же числом
б)
умноженному на одно и то же число
в)
разделенному на одно и то же число
г)
возведенному в квадрат
2.
Что бы найти разность арифметической прогрессии , надо:
Выберите
правильный ответ
а)
из первого члена вычесть второй
б)
второй член разделить на первый
в)
первый член умножить на второй
г)
из последующего члена вычесть предыдущий
3.
Укажите формулу n – го
члена арифметической прогрессии:
а) an =
a1 ∙ d (n-1)
б) an =
a1+ d (n-1)
в) an =
a1: d (n-1)
г) an =
d + a1 (n-1)
4.
Первый член арифметической прогрессии а₁;
а₂; 4; 8;…
равен
а)
1
б)
12
в)
-4
г)
-1
5.
Найдите разность арифметической прогрессии , если а₃ = 4,
а₄ = 8
а)
-4
б)
0,5
в)
6
г)
4
6.
Найдите четвертый член арифметической прогрессии , если
а₁ = 10; d = - 0,1
а)
97
б)
9,7
в)
-97
г)
– 9,7
Приложение 3
Проверка теста:
1 правильный ответ -1 балл.
1.(а)
2.(г )
3.(б)
4.(в)
5.(г)
6.(б)
Приложение
1
Лист рефлексии.
Фамилия, имя учащегося
Презентация
к уроку «« Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии. Применение изучаемой темы к
решению задач в формате ЕГЭ»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.