План-конспект
открытого урока-практикума по алгебре
Тема: Решение задач
экономического содержания.
Дата проведения: 07.04.2015 г.
Класс: 10 «А».
Количество
учащихся:
27.
Учитель: Конистяпина Галина
Александровна.
Тип
урока:
Урок закрепления новых знаний.
Цели
урока
Образовательные:
- закрепить знания и умения учащихся по применению
формул сложных процентов;
- организовать самостоятельную деятельность учащихся
по переносу знаний в новую ситуацию;
Развивающие:
- формировать у учащихся понимание математики, как
реальное отражение действительности;
- использовать приобретенные знания и умения в
практической деятельности;
Воспитательные:
- воспитывать познавательную активность школьников,
умение участвовать в обсуждениях, развивать культуру речи;
Оборудование:
- ПК, проектор, экран;
- карточки с домашним заданием.
Ход урока
1. Организационный момент.
Актуализация знаний и
целеполагание.
Урок начинается с доклада ученика (приложение 1).
Учитель: задачи, которые будут рассмотрены сегодня на
уроке, взяты из жизни. Наша цель – научиться анализировать реальные ситуации с
помощью того математического аппарата, которым вы владеете. Очень важно, чтобы
при решении задач вы не только получили ответ, но и могли его использовать,
соотнести с действительностью.
2. Повторение изученного
материала путем фронтального опроса.
Учитель:
а) запишите на доске формулу сложных процентов и ее
частный случай:
An = A0 (1
± 0.01х1)*(1 ± 0.01х2)*…* (1 ± 0.01хn)
An
= A0 (1± 0.01x)
n
б) объясните смысл входящих в формулу символов
(А0 – начальное значение некоторой
величины;
Аn – значение, которое получилось в
результате изменения А0;
n – Количество изменений А0;
х – процент изменения);
в) когда применяется общая формула, а когда ее частный
случай?
(Частный случай применяется тогда, когда некоторая
величина А0 изменяется несколько раз на один и тот же процент.
Общая формула используется, если процент изменения не
остается одним и тем же)
г) в какие случаях в формуле сложных процентов
ставится знак «+», а в каких случаях знак «-»?
Приведите примеры.
(Знак «+» применяется в задачах о начислении процентов
по вкладу в банке, а также при увеличении цены товара. Знак «-» применяется при
подсчете снижения цены).
3. Проверка домашнего
задания.
Вызванные ученики оформили
свои решения во время фронтального опроса.
Домашняя задача №1 (слайд
№1)
Вкладчик положил на счет
13000 рублей, через 2 года он получил 15730 рублей.
Какой процент ежегодного
постоянного дохода давал банк?
Решение:
А2 = А0 (1+0.01х) 2
15730 = 13000 (1+0.01х) 2
(1+0.01х) 2 = 1.21
(1+0.01х) = 1.1 или (1+0.01х) = -1.1
Х1 =
10 х2 = -210 – не подходит
Ответ: банк давал 10% годового дохода.
Проверяя решение, учитель задает дополнительные
вопросы:
а) Почему не подходит корень х2 = -210?
(Сумма вклада увеличивается, и поэтому процент
изменения не может быть отрицательным)
б) Как вы думаете за счет чего банк имеет возможность
выплачивать вознаграждение вкладчику?
(Полученный от вклада деньги банк использует для
выдачи кредитов организациям и частным лицам под проценты и делится частью этой
прибыли с вкладчиком);
в) А если бы х2 был бы равен 210? Мы тоже
отбросили бы этот корень?
(Да, так как тогда банк выплачивает 210% годовых. Ни
один банк не будет выплачивать за год сумму, которая превышает сам вклад).
Учитель
оценивает работу ученика.
Домашняя задача №2 (Слайд №2)
Цена товара после двух
последовательных снижений на один и тот же процент уменьшилась со 125 до 80
рублей. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?
Решение:
А2 = А0
(1-0.01х) 2
80 = 25 (1-0.01х) 2
(1-0.01х) = 0.8 или (1-0.01х) =
-0.8
Х1 = 20 Х2
= 180 – не подходит
Ответ:
цена снижалась два раза на 20%.
Дополнительные вопросы:
а) Как реально выглядела бы ситуация, если бы цену
снизили на 180%?
(Покупатель получил бы товар бесплатно и еще 80% его
стоимости);
б) А если бы цену снизили бы сразу на 40%, то в итоге
цена была бы больше на 80 рублей?
(125-1.25*40=125-50=75
(рублей). Цена была бы меньше)
Учитель оценивает работу отвечающих и отмечает
наиболее активных учеников;
в) Я знаю, что многие из вас были в разных странах, и
в домашнем задании я попросила вспомнить: как звучат слова «скидка»,
«распродажа» на разных языках?
(«скидка» - «sale» по-английски);
г) Какое иностранное слово, связанное с этим термином,
вошло в наш язык?
(Дисконтные карты – карты, обеспечивающие скидки
постоянным клиентам).
4. Самостоятельная работа,
с последующей проверкой.
Слайд №3
1 вариант:
В осенне-зимний период цена на
свежие фрукты возросла трижды: на 10%, на 20%, на 25%. На сколько процентов
возросла зимняя цена по сравнению с летней?
Решение:
Обозначим
летнюю цену А0, а зимнюю А3, т.к. она установилась после
трех изменений, тогда по общей формуле сложных процентов:
А3
= А0 (1+0.01 * 10) * (1+ 0.01 * 20) * (1+0.01 * 25)
А3
= А0 * 1.1 * 1.2 * 1.25
А3
= А0 * 1.65
Значит,
зимняя цена А3 составляет от летней А0 165%, поэтому
165-100=65(%)
Ответ:
цена возросла на 65%.
Дополнительные вопросы
Учитель:
Итак, мы доказали, что зимняя цена больше летней на 65%. А можно ли сказать,
что летняя цена ниже зимней на 65%?
(Нет,
так сказать нельзя. В задаче зимняя цена сравнивается с летней, и летняя цена
берется за 100%. А если сравнить с зимней ценой, то ее придется взять за 100%.
А эта цена больше).
Слайд №4
2 вариант:
В начале первого года в банк был
внесен вклад величиной 1000 рублей, процентная ставка составляет 10% годовых
(доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу). На
сколько рублей возрастет величина вклада за третий год хранения?
Решение:
По
частной формуле сложных процентов величина вклада в конце второго года хранения
будет А2 = А0 (1+0.01 * 10) 2‑, то есть А2
= 1000 (1+0.01 * 10) 2 = 1000 * 1.21 = 1210 (рублей).
Величина
вклада в конце третьего года хранения равна
А3
= А0 1 (1+0.01 * 10) 3, А3 = 1000 * 1.13
= 1331 (рублей).
Разница
вкладов А3 – А2 = 1331 – 1210 = 121 (рубль).
Ответ:
за третий год хранения вклад возрастает на 121 рубль.
Дополнительные вопросы:
а)
Как найти увеличение вклада, (обозначим его ∆5) за пятый год
хранения?
(∆5 = А5 – А4;
∆5 = А0 (1+0.1)5 – А0 (1+0.1) 4);
б)
Как проще вычислить значение ∆ в этом случае?
(Можно вынести за скобку общий
множитель, тогда:
∆5 = А0
(1+0.1) 4 * (1+0.1 – 1) = А0 (1+0.1) 4 * 0.1)
5. Решение задач на определение
дохода по вкладу.
Учитель:
увеличение вклада за год иначе называется доходом.
Рассмотрим еще одну задачу. Слайд
№5
При условии ежегодного начисления
процентов сумма вклада в банке за второй год хранения увеличилась на 36 $,
а за четвертый год – на 81 $. На сколько рублей увеличился доход за
первый год?
Решение:
Пусть
А0 – первоначальный вклад в банк, тогда А2 = А0
(1+0.01х) 2 – размер вклада через 2 года, а ∆2 = А2
– А1 = А0 (1+ 0.01х) 2 – А0 (1+0.01х)
1 – доход ха 2-ой год хранения.
По
условию ∆2 = 36
Составим
первое уравнение:
А0
(1+0.01х) 2 = А0 (1+0.01х) 1 = 36
А0
(1+ 0.01х) * (1+0.01х -1) = 36
А0
(1+0.01х) * 0.01х = 36 (1)
Аналогично
∆4 = А4 – А3 = А0 (1+ 0.01х) 4
– А0 (1+0.01х) 3; ∆4 = 81.
Составим
второе уравнение:
А0
(1+ 0.01х) 3 * (1+ 0.01х – 1) = 81
А0
(1+0.01х) 3 +0.01х = 81 (2)
{A0 (1+ 0.01х) * 0.01х = 36
{А0 (1+ 0.01х) 3
* 0.01х = 81
Пусть
0.01х = у, тогда
{A0 (1+ у) * y = 36
{А0 (1+ у) 3 *
у = 81
=
=
(1 + y) 2 =
1 + y
= 1.5 или 1 + у = -1.5
У = 0.5 у = -2.5 –
не подходит
Значит
0.01х = 0.5, х=50%
Найдем
А0 из уравнения (1)
А0
(1+ 0.5) * 0.5 = 36
А0
* 1.5 * 0.5 = 36
А0 = = 48 (рублей) – первоначальный
вклад.
Вычислим
доход за первый год:
∆1
= А1 – А0 = А0 (1+0.01х) – А0
= А0 * 0.01х * 0.5 = 24 (рубля)
Ответ:
доход увеличился на 24 рубля.
Учитель:
Как
вы думаете 50% - это реальный ежегодный процент, начисляемый банком?
(Нет,
нереальный, так как выплачивая вкладчику 50% вклада, банк скорее всего
разориться, так как вряд ли он сможет вкладывать деньги под большие проценты).
6. Итог урока. Домашнее задание.
Учитель:
Сегодня на уроке мы рассмотрели несколько задач, где используются формулы
сложных процентов. Я надеюсь, что рассмотренный задачи помогут вам лучше
ориентироваться в повседневной жизни.
Домашнее
задание размещено на сайте лицея №51 в разделе «Домашнее задание по
математике».
Задача №1.
В
начале 2003 года Петя положил в сейф 1 млн. рублей и брал из него 9% суммы
каждые 3 года, а Вася положил 1млн. рублей в другой сейф и брал из него 6%
суммы каждые 2 года. Найти разницу содержимого сейфов в конце 2008 года.
Задача №2.
На
фабрике выработка продукции возросла за год на 4%, а на следующий год
повысилась еще на 8%. Найти средний годовой прирост за эти 2 года.
Приложение №1.
Понятие
«проценты» связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и
производственные сферы; оно буквально атакует нас в пору рыночных отношений в
экономике, в пору банкротств, инфляций и кризисов.
Зная
проценты, бедный может стать богатым, обманутый вчера в сделке покупатель
сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик учится жить на
проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело. Но надо с осторожностью и
пониманием относиться к многочисленным рекламным объявлениям, обещающим большие
проценты на вклад, которые не всегда корректны.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.