План-конспект урока геометрии в 8 классе "Теорема Пифагора"

Тема урока: Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к решению задач.

Цель урока:

1. Создать условия для формирования у обучающихся знаний теоремы Пифагора

2.Существенно расширить круг задач, решаемых школьниками.

3.Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора.

4.Осуществление межпредметной связи алгебры с географией, историей, литературой, геометрией, следственной практикой.

Прогнозируемый результат:

1. Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.

2. Уметь доказывать теорему Пифагора.

3. Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Учебное исследование. Практическая работа по построению треугольника.

4. Работа над теоремой.

5. Сообщение учащихся о жизни Пифагора Самосского и истории открытия теоремы.

6. Физкультминутка для глаз.

7. Закрепление изученного материала.

8. Домашнее задание

9. Рефлексия. Подведение итога урока.

Оборудование и дидактические материалы:

1. Чертежные инструменты.

2. Презентация Microsoft Office PowerPoint.

3. Диаграмма «Результаты усвоения»

4. Плакаты с изображением Пифагора, его заповедей.

5. Карточки для работы в группах. Поле чудес.

Ход урока:

1. Оргмомент.

2. Актуализация знаний учащихся.

Сегодня ребята у нас будет не простой урок, а урок – путешествие. Мы с вами познакомимся с самой важной теоремой в математике и совершим круиз не только в разные страны, но и в разные времена.

Предлагается повторить ранее изученный материал при решении следующих задач по готовым чертежам:

∠BAC=30°, ∠ADC=45°. Найти:

В

2 2

С А

D

α β Найти:β

β

α γ Найти: β

4. Вычислите:

;.

5. Вычислить площадь прямоугольника, если длина его диагонали равна 12 см и угол между диагональю и стороной прямоугольника, равной 60°.

Вспоминая формулу площади прямоугольника, приходим к необходимости вычисления второй стороны прямоугольника. (Можно найти с помощью определения тангенса угла. А как по другому? Ученики предлагают свои способы решения).

4. Возникла проблема (учебное исследование):
З а д а ч а: Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м., другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50м троса для крепления мачты?

Попробуем выполнить практическую работу: начертите прямоугольный треугольник со сторонами 12 см и 5см и измерьте его гипотенузу. Она получилась примерно 13 см.

Решение задачи: длина одного троса=13м, 13*4=52 м. Ответ: нет.

Давайте обратим внимание на полученные числа. Что вы заметили?

Формулируем гипотезу: «квадрат гипотенузы = сумме квадратов катетов». Действительно, мы с вами пришли к открытию очень важной теоремы – теоремы Пифагора, наверное, самой важной в математике - и в алгебре, и геометрии, которую и попробуем сейчас доказать.

4. Изучение нового материала. Работа над теоремой.

Дано: прямоугольный треугольник

Доказать: a² + b² = с²

Доказательство:

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b,

S = (a + b)²

S = S1 + 4 S2

(a + b)² = 4 * 1/2 ab + с²

a² + 2 ab + b² = 2 ab+ с²

a² + b² = с² . Теорема доказана

Также учитель говорит, что найдено около 200 доказательств этой теоремы. А в фильме «Приключение Электроника» Электроник доказывал эту теорему 25 способами. И в домашнем задании вам надо будет отыскать несколько доказательств.

5. Историческая справка Сообщения о Пифагоре Самосском и истории открытия теоремы (её делает 1 ученик, подготовивший сообщение).

Сейчас мы совершим путешествие в далёкое прошлое, узнаем о том, кто такой Пифагор и почему эта теорема была названа его именем.

ПИФАГОР САМОССКИЙ

(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей - полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

• теорема о сумме внутренних углов треугольника;

• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;

• геометрические способы решения квадратных уравнений;

• деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;

• создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

2 учащийся: Как утверждают все античные авторы, Пифагор первый дал полноценное доказательство теоремы, носящей его имя. К сожалению, мы не знаем, в чем оно состояло, потому что древние математики и писатели об этом умалчивают, а от самого Пифагора и ранних пифагорейцев до нас не дошло ни одного письменного документа. Только позже у Евклида было обнаружено доказательство этой теоремы.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Рассказывают – это, конечно, лишь легенда, – что, когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, он отблагодарил богов, принеся им в жертву сто быков. Этот рассказ о жертвоприношении, сообщаемый Диогеном и Плутархом, скорее всего, вымышлен, ибо, как известно, Пифагор был вегетарианцем и непримиримым противником убоя и пролития крови животных.

Учитель: В настоящее время их насчитывается более двухсот.

Большинство способов её доказательства сводятся к разбиению квадратов на более мелкие части. На сайте http://th-pif.narod.ru вы сможете познакомиться с 30 доказательствами этой теоремы, некоторые из которых мы будет чуть позже рассматривать в рамках недели математики.

6. Физкультминутка для глаз.

Учащимся предлагается выполнить следующие упражнения:

1) вертикальные движения глаз вверх – вниз (4-6 раз);

2) горизонтальное: вправо – влево (4-6 раз);

3) вращение глазами по часовой стрелке и против часовой стрелки;

4) закрыть глаза и представить по очереди цвета радуги как можно отчетливее.

7. Закрепление изученного материала.

а) задачи для устного решения по готовым чертежам.

В древнем Египте в то время активно велось строительство храмов, гробниц и даже была такая профессия -гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они использовали этот треугольник в "правиле верёвки" для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей.

б) Вернёмся к задачам, которые решим, применяя теорему Пифагора.

1. Вычислить площадь прямоугольника, если длина его диагонали равна 12 см и угол между диагональю и стороной прямоугольника, равной 60°.

2. Задача о креплении мачты.

3. Случай из следственной практики.

Получив сообщение о краже, следователь выехал на место происшествия. Заявитель утверждал, что преступник проник в помещение, где хранились ценности, через окно. Осмотр показал, что подоконник находится на расстоянии124 см от земли, поверхность земли на расстоянии 180 см от стены покрыта густой порослью, не имеющей никаких следов повреждений.

Возникло предположение, что преступник проник в помещение через окно, каким-то образом преодолел расстояние между наружным краем поросли и подоконником. Оно было определено с применением теоремы Пифагора.

? с = = ≈ 219 см.

124см

180 см

Очевидно, что преодолеть такое расстояние без какого-либо средства, например, лестницы, невозможно. Поиски этого средства не увенчались успехом.

С учётом этого обстоятельства и некоторых других данных, следователь выдвинул версию об инсценировке кражи, которая в ходе дальнейшего расследования подтвердилась.

Так школьная геометрия помогла следствию.

8. Домашнее задание. П. 54, №483 (в,г), 484 (в,г). Поиск других доказательств т. Пифагора.

9.Поле чудес (работа в группах). Учащимся предлагаются задания на применение теоремы Пифагора, полученные результаты заменяют буквами и выписав их в указанной последовательности, получают одну из Пифагоровых заповедей. Например: « Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания».

9. Подведение итога урока. Рефлексия.

И закончить урок я бы хотела словами Пифагора:
  «Как хорошо, когда благоденствие человека основано на законах разума».

 Будьте благоразумными.

   Урок окончен. Всем спасибо.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя школа № 8

Г. Ярцево Смоленской области

Урок

по геометрии в 8 классе

Тема: «Теорема Пифагора»

Учителя математики:

Борисенкова О.В.

Сечкина Л.Ю.

1. Ответы: 1. 2+ 2. 180° - 𝛂 3. 180° - ( ∝ + 𝛃 ) 4. 36

• 1 слайд

  Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя школа № 8 г. Ярцево Смоленской области Урок по геометрии в 8 классе Тема: «Теорема Пифагора» Учителя математики: Борисенкова Ю.В. Сечкина Л.Ю.

• 2 слайд

  С В А D 2 2 ∠BAC=30°, ∠ADC=45°. Найти: αβНайти: β 4.Вычислите: Решите устно: 1. 2. 3. β αγНайти: β ; ; ; ; ;

• 3 слайд

  Задача: Вычислить площадь прямоугольника, если длина его диагонали равна 12 см и угол между диагональю и стороной прямоугольника, равной 60°.

• 4 слайд

  З а д а ч а :Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м., другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50м троса для крепления мачты?

• 5 слайд

  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. a b c b a b a

• 6 слайд

  Древнегреческий философ и математик (580 - 500 г. до н.э.) Пифагор Пифагор — это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину так же постоянно, как дельфийский оракул (Пифагор означает «убеждающий речью». Этимология связывает наречение с культом Апполона Пифийского).

• 7 слайд

  Пифагор на фреске Рафаэля (1509 г.)

• 8 слайд

• 9 слайд

  Открытия пифагорейцев Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе: теорема о сумме внутренних углов треугольника; построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них; геометрические способы решения квадратных уравнений; деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел; доказательство того, что корень из 2 не является рациональным числом; создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

• 10 слайд

  Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

• 11 слайд

  Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный , гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные.

• 12 слайд

• 13 слайд

  В древнем Египте в то время активно велось строительство храмов, гробниц и даже была такая профессия -гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Египетский треугольник

• 14 слайд

  1. Вычислить площадь прямоугольника, если длина его диагонали равна 12 см и угол между диагональю и стороной прямоугольника, равной 60°. 2. Задача о мачте С= = = =13 13∙4 = 52 (м)<50м. Не хватит.

• 15 слайд

  3. Случай из следственной практики. Получив сообщение о краже, следователь выехал на место происшествия. Заявитель утверждал, что преступник проник в помещение, где хранились ценности, через окно. Осмотр показал, что подоконник находится на расстоянии124 см от земли, поверхность земли на расстоянии 180 см от стены покрыта густой порослью, не имеющей никаких следов повреждений. Возникло предположение, что преступник проник в помещение через окно, каким-то образом преодолел расстояние между наружным краем поросли и подоконником. Оно было определено с применением теоремы Пифагора.

• 16 слайд

  124см 180 см ? с= Очевидно, что преодолеть такое расстояние без какого-либо средства, например, лестницы, невозможно. Поиски этого средства не увенчались успехом. С учётом этого обстоятельства и некоторых других данных, следователь выдвинул версию об инсценировке кражи, которая в ходе дальнейшего расследования подтвердилась. Так школьная геометрия помогла следствию. Решение = ≈ 219 см. с

• 17 слайд

  Поле чудес «Будь с теми, кто ношу взваливает, а не с теми, кто её сваливает» Заповедь Пифагора

• 18 слайд

• 19 слайд

    «Как хорошо, когда благоденствие человека основано на законах разума»  Будьте благоразумными.    Урок окончен. Всем спасибо.