План
– конспект урока на обобщающее повторение алгебры в 11 (профильном) классе по
теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
Цель урока:
1)
повторение и обобщение знаний учащихся по
теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»;
2)
подготовка к ЕГЭ.
Задачи:
1)
рассмотреть решение тригонометрических
уравнений и неравенств с использованием неравносильных преобразований,
предлагаемых на школьном экзамене и на конкурсных олимпиадах в ВУЗах;
2)
продолжить формирование навыков
сознательного выбора способов решения;
3)
развивать потребность в нахождении
рациональных способов решения;
4)
способствовать развитию умения видеть и
применять рассмотренный материал в нестандартных, проблемных ситуациях.
План урока
Организационный
момент
2 мин
1.
Самостоятельная
работа учащихся по заданиям ЕГЭ
9 мин
2.
Работа
по теме урока
(Учителем
разбираются уравнения и неравенства с использованием неравносильных
преобразований)
15 мин
3.
Работа
учащихся в группах с разно-уровневыми заданиями
15 мин
4.
Итог
урока
2 мин
5.
Домашнее
задание (комментарий учителя).
2
мин
Ход
урока: I Самостоятельная работы учащихся по тестовым заданиям ЕГЭ (используются
компьютер и экран)
1)
Выбрать верный ответ
А)
Решите уравнение
1)
3)
2)
4)
Б)
Решите уравнение
1)
3)
2) 4)
В)
Решите уравнение
1)
3)
2)
4)
Г)
Решите уравнение 2
1)
3)
2)
4)
Д)
Решите уравнение
1)
3)
2)
4)
2)
Работа по заданиям ЕГЭ
Отдельные
записи выполняются учащимися в тетрадях; устное обсуждение решения, комментарий
учителя.
А) Укажите наименьший положительный корень уравнения
Ответ
запишите в градусах
Решение:
1 не
удовлетворяет условию
Ответ: 30
Б)
Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих
промежутку Ответ запишите в
градусах
Решение:
Ответ:
60
Повторим приемы решения простейших уравнений и неравенств и сводимых к ним.
II.
Рассмотрим более сложные уравнения и неравенства, при решении которых
выполняются неравносильные переходы, уделили внимание использованию замены
неизвестного – приему, позволяющему в некоторых случаях сложные уравнения и
неравенства свести к простейшим. Объясняет учитель.
Пример
1
Решим
уравнение
Возведем
уравнение в квадрат, получим следствие
, т. к , имеем
Так
как
то
все числа являются решениями
данного уравнения, а из чисел решениями уравнения
являются только те, для которых b=2m, то есть
Ответ:
Пример
2
Решим
уравнение
Перенося
все члены, уравнения в левую часть и приводя подобные члены, получим уравнение
являющееся
следствием данного уравнения.
Проверка
показывает, что число является корнем данного
уравнения, а число – нет. Следовательно,
уравнения имеет единственный корень
Ответ:
6.
Пример
3
Решим
уравнение
Возведем
уравнение в квадрат и приведем подобные слагаемые, получим уравнение , являющееся следствием
данного уравнения. Возведя в квадрат последнее уравнение, получаем
Проверим,
являются ли найденные решения корнями исходного уравнения.
Отсюда
следует, что если k=2m+1
– нечетное число, то число является корнем
уравнения, если k=2m
– четное число, то число не является корнем
уравнения, значит, .
Ответ:
Пример
4
Найдем
все решения неравенства
,
принадлежащие
отрезку
Перенося
все члены, неравенства в левую часть и применяя формулу синуса двойного угла,
перепишем неравенство в виде
Так
как все справедливо неравенство , то на неравенство (*)
равносильно неравенству
Решение
– промежуток, так как на исходное неравенство
равносильно неравенству , то искомые решения
составляют промежуток .
Ответ:
Отметим,
что при решении уравнений и неравенств не должен быть упущен вопрос о
возможности приобретения или потери корней.
III.
Учащиеся класса разбиваются на группы (по выбору)
1
группа: занимается самостоятельно на оценку
2
группа: работает, используя консультации учителя, с последующей проверкой
полного решения учениками через экран.
а)
Решить уравнение
б)
Решить уравнение 2
в)
Найти все решения неравенства
принадлежащих
отрезку
а)
Решение: Обе части уравнения определены и неотрицательны на множество всех
действительных х.
Поэтому
после возведения уравнения в квадрат получаем равносильное ему уравнение
Все
эти числа являются решениями исходного уравнения.
Ответ:
.
в)
Решение:
Из
них отрезку принадлежат те, для
которых
и
Следовательно,
надо найти целые k, которые удовлетворяют неравенству
Значит,
условию задачи удовлетворяют лишь х из промежутков ,
Ответ:
(Дополнительно)
б) Решение:
Решим
второе уравнение системы
D=25,
не удовлетворяет условию
имеем
Ответ:
Задания
для учащихся второй группы
а)
Решить уравнение
б) Решить неравенство
в)
Сколько корней имеет уравнение
Решение:
а) После потенцирования уравнения и применения формулы косинусы двойного угла,
получим
Проверка
показывает, что все числа серий и являются решениями
данного уравнения, но ни одно число серии не является решением
уравнения.
Ответ:
б)
Введем новое неизвестное , получим
Левая
часть неравенства имеет смысл для любых . Решим неравенство на . Сначала решим уравнение
удовлетворяют условию
Решим
неравенство
на
Так
как функция положительна, то
неравенство, равносильно >0, множество всех
решений которого составляет промежуток .
Решения
исходного неравенства есть и все
1) 2)
Ответ:;
[,
в)
1) 2)
Ответ:
; уравнение имеет пять
корней
IV.
1 группа учащихся сдает тетради на проверку; решения для 1 и 2 группы
демонстрируются не экране.
Подводится
итог урока: повторим решение тригонометрических уравнений и неравенств с
использованием неравносильных преобразований, в которых требуется находить все
решения и не упускать вопроса о возможном приобретении или потере корней.
Приведенные примеры весьма поучительны при подготовке к ЕГЭ. Объявляются
оценки.
V.
Домашнее задание. (Запись на экране)
1)
Решить неравенство
2)
Решите уравнение
3)
Решите уравнение
4)
Решите неравенство
1. Решение:
обозначим
Ответ:
2. Решение:
применив формулы двойного угла, получим
Ответ:
3. Решение:
Ответ: ;0;2.
4. Решение:
пусть tg x=t,
имеем
1) 2)
все все
Ответ: (
Проверочная
самостоятельна работа
(проводится
на следующем уроку)
1 вариант
1.Сколько
корней имеет уравнение на отрезке ?
2.
Решите неравенство
3.
Решите неравенство
4.
Решите уравнение
2 вариант
1.
Укажите корень уравнения , принадлежащий [2;3]
2.
Решите
неравенство
3.
Решите
неравенство
4.
Решите уравнение
Решение
1 вариант
1)
,
,
Ответ:
2.
2)
Ответ:
(
3)
,
,
, (верно при всех х)
Ответ:
[
4)
Ответ:
Решение:
2 вариант
1)
или
уравнение не имеет
решений,
Ответ:
2,5
2)
Ответ:
3)
Ответ:
4)
Ответ:.
Литература:
1)
Решетников Н.Н. «Тригонометрия в школе» Лекции.
Педагогический университет «Первое сентября» М2006г.
2)
Никольский С.М. , Потапов С.М., Решетников
Н.Н. Шевкин А.В. «Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 класса
общеобразовательных учреждений» М. Просвещение 2012г.
3) Никольский
С.М. , Потапов С.М., Решетников Н.Н. Шевкин А.В. «Алгебра и начала анализа:
Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений» М. Просвещение 2012г.
4)
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.Т.
и другие «Алгебра и начала анализа: учебник 10-11 классов общеобразовательных
учреждений» под редакцией А.Н. Колмогорова М : Просещение 2012г.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.