ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА по алгебре и началам анализа Тема урока: «Производная» (10 класс)

Согласован:

Директор ГБОУ СОШ пос. Сокский

________________ Л.И. Аникина

«_____»_________2016

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Тема урока: «Производная»

Дата проведения: 30 января 2016 года

Ф.И.О: Яковлева Нина Васильевна

Место проведения: ГБОУ СОШ пос. Сокский м.р. Исаклинский Самарской области

Уровень: школьный

Предмет, класс: алгебра и начало анализа, 10 класс

Тема урока: «Производная».

Учебник: Алгебра и начало анализа. 10-11 класс: Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений А. Н.Холмогоров и др., М.:2013

Тема урока: «Производная»

Цели:

1. Образовательные.

·         Планируется, что к концу урока ученики будут знать, что такое производная и уметь использовать это понятие.

2. Развивающие.

·         создать условия для развития внимательности, наблюдательности и умение выделять главное.

3. Воспитательные.

·         содействовать развитию у учащихся чувства ответственности за личную и коллективную деятельность

·         создать условия, обеспечивающие воспитания внимательности.

Тип урока: урок введения нового понятия.

Ход урока.

Учитель. Изучая математику, мы то и дело вводим в рассмотрение различные новые понятия. Откуда они берутся? Как возникли, например, та­кие понятия, как «прямая», «цилиндр», «число», «множество», «функция» и многие другие?

Человек вглядывается в окружающий мир и начинает подмечать в разном (предметах, явле­ниях) что-то общее. Проанализировав, стремится описать «это общее», его формализовать, други­ми словами — построить его математическую модель.

Что свойственно траектории светового луча, направлению человеческого взгляда и натянутой нити? Прямизна! Отсюда и понятие — «прямая».

Что свойственно карандашам в коробке, стра­ницам в книге и рыбам в косяке? Множествен­ность! Отсюда понятие «множество».

За более простыми понятиями приходят более сложные (вспомните схему построения любой тео­рии, в частности геометрии: первичные понятия (ПП) → аксиомы (правила игры с ПП) → новые понятия и т.д.

За каждым новым понятием стоит человек, и подчас не один. Так получилось и с понятием «про­изводная функции»: И. Ньютон и Г. Лейбниц на рубеже XVII— XVIII веков, идя разными путями, практически одновременно ввели понятие произ­водной. По-разному ее описали и назвали, а потом яростно оспаривали друг у друга право первоот­крывателя. На описание этого понятия на при­нятом сегодня языке, языке бесконечно малых, ушло еще два века. Среди тех, кто это сделал, есть и ученый, учитель Софьи Ковалевской — Карл Вейерштрасс. Но это уже — другая история.

Сегодня мы с вами тоже попытаемся стать первооткрывателями.

Задачи и их решение

Учитель. Разберем вначале три задачи из разных областей знания: геометрии, физики и химии.

Задача 1. Найти угловой коэффициент ка­сательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x₀.

Учитель. Вы уже сталкивались с понятием касательной в курсе планиметрии. Скажите, как вы понимаете: что такое касательная?

Ученики. Касательная — это прямая, которая имеет одну общую точку с окружностью.

Учитель. Хорошо. А если мы возьмем пара­болу у = х² (рис. 1), то в ее вершине оси координат имеют с ней только одну общую точку. Какая из них будет касательной к параболе?

Рис. 1

Ученики. Конечно ось Ох. А ось Оу пересекает параболу.

Учитель. Значит, по вашему мнению, каса­тельная не может пересекать линию. А как вы думаете: чем будет являться ось Ох для кубиче­ской параболы у = х³, касательной или секущей?

Ученики. ??? Вроде бы секущая, но что-то в ней есть и от касательной.

Учитель. Значит, пока у нас нет четкого пред­ставления о касательной. Давайте посмотрим, как математики определили понятие касательной.

Рис.2

Ученики. Предел!

В точке М₀ проведем касательную к кривой так, как мы ее сейчас понимаем, и секущую М₀М₁ (рис. 2). Будем сдвигать точку М₁ по кривой, приближаясь к точке М₀, тогда секущая будет поворачиваться вокруг точки М₀ и стремиться к касательной. Теперь проведем другую секущую — М₀М₂. Приближая точку М₂ по кривой к точке М₀ с другой стороны, мы увидим, что и эта секущая, поворачиваясь вокруг точки М₀, будет стремить­ся занять положение касательной. Одна секущая слева, другая справа... Не напоминает ли это вам что-нибудь знакомое?

      Учитель. Верно! Равенство левого и правого пределов говорит о том, что предел в точке суще­ствует.

И математики, вводя определение касатель­ной, руководствовались тем же предельным переходом.

Какое бы определение вы теперь дали каса­тельной?

(Ученики вместе с учителем формулируют определение касательной.)

Определение. Касательной к непрерывной кривой в ее точке М₀ (точка касания) называется предельное положение секущей М₀М, проходя­щей через точку М₀, когда точка М неограничен­но приближается по кривой к точке М₀.

Учитель. Ну вот мы попутно ввели еще два новых понятия: «касательная» и «точка касания»! А вы не забыли, для чего мы это делали?

Ученики. Мы хотим решить задачу о касатель­ной.

Учитель. Точнее, об угловом коэффициенте касательной! А что это за коэффициент?

Ученики. Так ведь касательная — это прямая, а у прямой, если она не перпендикулярна к оси Ох, есть угловой коэффициент.

Учитель. Верно. Но что же это такое?

Ученики. Угловой коэффициент — это тангенс угла наклона прямой к оси Ох.

Учитель. Правильно. Вот теперь мы готовы решать нашу задачу.

(Далее учитель записывает решение первой задачи, оставляя место для записи решений второй и третьей задач. Причем делает это так, чтобы одни и те же шаги алгоритма рас­положились рядом — на одних горизонталях.)

Итак, нам дан график функции у = f(х) и точка М₀ с абсциссой х₀. Проведем через эту точку ка­сательную ТМ₀ и секущую М₁М₀. Углы наклона к оси Ох касательной обозначим α, а секущей — φ и выполним дополнительные построения (рис. 3).

Переходя от точки М₀ к точке М₁, мы меняем абсциссу точки графика функции с х₀ на х₁ и наоборот. Математики говорят, что мы даем зна­чению х₀ приращение Δx и получаем х₁ = х₀ + Δx. Соответствующие точкам х₀ и х₁ значения функ­ции будут у₀ = f(х₀) и y₁ = f(х₁). Принято говорить так: когда абсциссе х₀ мы даем приращение Δx = х₁ — х₀, то функция получает приращение Δy = y₁-y₀  Угловой коэффициент секущей на­ходится из треугольника M₀M₁K:

А теперь будем сдвигать по кривой точку M₁ в сторону точки М₀ . Видим, что:

1) М₁ → М₀ <=> Δx → 0;

2) М₁ → М₀ => φ→α=>tgφ→tgα=>k_сек→k_кас.

 Таким образом,

Задача решена.

Задача 2. Зная закон движения точки по прямой, найти скорость движущейся точки для любого момента времени.

Пусть закон движения задан формулой s = s(t), где s — расстояние, пройденное точкой, отсчитываемое от некоторого ее начального положения — точки О, а t — время движения. Найдем скорость точки в момент времени t₀, то есть мгновенную скорость в этот момент времени.

Пусть к моменту времени t₀ точка находилась на расстоянии s₀ от точки О — начала движения (рис. 4), а в некоторый следующий момент времени t₁ оказалась на расстоянии s₁. Какое время точка находилась в пути?

Ученики. t₁-t₀=Δt.

Учитель. Какое расстояние она прошла за это время?

Ученики. s₁-s₀=Δs.

Учитель. А с какой средней скоростью она двигалась на отрезке M₀M₁?

Ученики. V_ср   =

Учитель. Подчеркнем, что движение точки не обязательно равномерное (то есть ее скорость меняется от точки к точке). Очевидно, что средняя скорость точки на наблюдаемом промежутке отличается от ее скорости в момент времени t₀. Но если мы будем уменьшать промежуток наблюдения, что будет происходить?

Ученики. Значения средней скорости будут все меньше отличаться от истинной скорости движения в момент t₀!

Учитель. А тогда как можно связать среднюю скорость движения точки на промежутке с мгновенной скоростью в точке М₀?

Ученики.

Учитель. Таким образом, мы решили поставленную задачу. Посмотрите на решение этих двух задач: вы ничего не заметили?

Ученики. Их решение свелось к вычислению одинаковых пределов.

Учитель. Верно! И что удивительно: быстрота протекания физических, химических, биологических и других процессов также описывается при помощи аналогичных пределов.

Задача 3. Пусть масса вещества, образующегося в результате химической реакции (или в процессе размножения), изменяется по закону m = m(t) и нужно определить быстроту (скорость) его образования (размножения) в момент времени t₀.

Как бы вы решили такую задачу?

 Ученики:

— Проследили бы за ходом процесса некоторое время  Δt.

— Определили бы изменение массы за это время:

Δm= m(t₀ + Δt) — m(t₀).

— Нашли бы среднюю скорость образования вещества

V_ср   =

а потом мгновенную:

Введение нового понятия

Учитель. Надеюсь, вы поняли ход наших рассуждений. А теперь давайте абстрагируемся от конкретности наших задач и запишем то общее, что мы увидели.

1. Имеется функция у = f(x) и некоторая точка х. Функция определена в этой точке и некоторой ее окрестности.

2. Даем аргументу х приращение Δx и находим соответствующее приращение функции:

 Δy=f(x+Δx)-f(x)

3. Находим отношение

4. Вычисляем предел

Учитель. Поскольку полученный предел — часто повторяющийся объект (!), то он представляет большой интерес для математиков. А это значит, что теперь надо:

а) назвать его — присвоить термин;

б) ввести для него краткое обозначение;

в) изучить его свойства;

г) научиться его вычислять;

д) научиться применять к решению задач (иначе зачем он нам нужен?!).

Определение. Предел отношения приращения функции в данной точке к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, называется производной функции в данной точке.

Встречаются различные обозначения производной:

y^'≡f^'(x)≡y^'_x≡f^'_x≡

Мы чаще будем использовать первые два обозначения. Теперь можно записать определение производной в математических символах:

В каждой конкретной точке производная — число. Проводя рассуждения для произвольной точки х, мы получаем выражение, зависящее от х (новую функцию!). Операцию нахождения производной называют дифференцированием. Это новая операция, которую можно производить над функциями, знак «'» — символ операции, такой же как « + » для сложения или «:» для деления.

Первичное закрепление

(Учитель записывает на доске решения приме-ров, ученики говорят ему, что нужно писать.)

Пример 1. Продифференцировать функцию

Таким образом,

Обратим внимание:

—что найти производную функции — это значит ее продифференцировать, а продифференцировать функцию — это значит найти ее производную;

— в результате операции дифференцирования функции получается новая функция;

— дифференцируемая функция на некотором промежутке — это функция, имеющая производную в каждой точке этого промежутка.

Так вычисляется производная. Какие есть вопросы?

Ученики. И что, производная всегда находится так сложно?

Учитель. Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно поближе познакомиться с производной — этим новым математическим объектом, чем мы и займемся на следующих уроках. А сейчас давайте вернемся к нашим задачам.

Производная есть единая математическая модель различных задач, которая допускает различные толкования (интерпретации)!

Так, с точки зрения физики (задача 2): s'(t) = V_MГН(t) — производная от пути по времени — это мгновенная скорость прямолинейного движения в момент времени t (механический смысл производной).

С точки зрения геометрии (задача 1): f^'(х)  = k_кас(x) — производная функции — это угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке х (геометрический смысл производной).

Обратим внимание, что производную можно истолковать и как быстроту изменения функции (значений у при изменении значений х)! То есть с функциональной точки зрения производная — мгновенная скорость изменения значений функции.

Последняя интерпретация говорит нам о том, что при помощи производной мы в дальнейшем сможем исследовать функцию на монотонность и, возможно, определять и другие ее свойства. И то, что это будет так, мы убедимся в дальнейшем.

Итог

Учитель. Вот мы и прошли путь первооткрывателей:

— заметили «схожесть» и общность различных задач;

— формализовали эту «общность», то есть построили математическую модель;

— ввели новое понятие и обозначение для него;

— дали истолкование этой модели на разных языках.

Чем мы не Лейбницы и не Ньютоны?! Только есть одно маленькое отличие нас от них: я положил перед вами эти задачи рядом и нацелил на поиск общего в них, а ученые сами эти задачи увидели, положили их рядом и нашли их единообразное

решение! Мимо этих задач проходили многие и, возможно, даже их решали, но не увидели того, что увидели Ньютон и Лейбниц. Как здесь не сказать, что смотрят все, а видят немногие! В этом и проявляется гениальность первооткрывателей.

И я приглашаю вас вглядываться в то, что вы изучаете, в то, что вас окружает. На этом пути вас ждут удивительные открытия. Пусть и не столь значимые открытия! А это всегда — торжество человеческого духа!