План-конспект урока по алгебре на тему "Формулы сокращенного умножения" (7 класс)

План-конспект урока с учащимися 7 класса

Тема: « Изучение формул сокращённого умножения в 7 классе»

Назначение: изучить формулы, понять их геометрический смысл, выработать навыки использования их при выполнении заданий.

                                 Содержание.

I.                   Организационный момент.

II.                Актуализация знаний и формулирование темы и целей урока

III.             Закрепление материала

IV.             Итоги урока, рефлексия

V.                Домашнее задание

I.                     Организационный момент

  Учитель приветствует учащихся, проверяет готовность к учебному занятию, организует внимание детей.                

II.                  Знакомство с формулой квадрат суммы (разности) двух выражений – исследовательская деятельность учащихся.

 Перед изучением данной темы продумать и провести подготовительную работу в виде устных упражнений.

1.Найдите квадраты выражений:

   а;  -7;   2с;   5x²y³.

2.Найдите произведение выражений:

   p и q       4x и  7y      a  и  6b²c.

3.Чему равно удвоенное произведение  этих выражений?

4.Прочитайте выражения:

   а) а+3;  б) m-n;  в) (х+у)²;  г) (а- b)².

5.Упростить выражения:

   с · с;     х² · х²;    (a + b)(a + b).

6.Повторить правило умножения многочлена на многочлен.  Выполнить умножение:

    (x+3)(x+2);          (а-5)(а+6). 

Затем предложить учащимся выполнить умножение двух одинаковых двучленов и самим сделать выводы:

  а) (m+n)(m+n);           (a+b)(a+b)

  б) (m-n)(m-n);           (a-b)(a-b)

Вывод: а) (m+n)(m+n)= (m+n)² = m²+2mn+n²

                     (a+b)(a+b) = (a+b)² = a²+2ab+b².

                 б) (m-n)(m-n)= (m-n)² = m²-2mn+n²

                     (a-b)(a-b) = (a-b)² = a²-2ab+b².

Далее учащимся сообщается, что ещё в древности было подмечено, что два одинаковых двучлена можно перемножить короче. Так появились формулы квадрат суммы (разности) двух выражений (квадрат двучлена).  Эти формулы называются формулами сокращённого умножения.

Провести обсуждение полученных результатов. Вывод: результатом умножения двух одинаковых двучленов является трёхчлен, у которого первый член – квадрат первого слагаемого данного двучлена, а второй – удвоенное произведение первого и второго слагаемых данного двучлена, а третий – квадрат второго слагаемого данного двучлена.

Далее предложить учащимся сделать вывод: чем отличается формула квадрат суммы от формулы квадрат разности (проговариваются знаки перед удвоенным произведением).

7. Для того, чтобы было легче запомнить эти формулы, распознать их в различных заданиях используем следующую схему:

(    ±     )² =    ² ± 2·  ·   +  ² 

Учителем даётся прочтение формулы квадрат суммы и квадрат разности.

Чтобы научиться преобразовывать квадрат суммы  (разности) в трёхчлен с помощью формул сокращённого умножения будем придерживаться следующего плана:

1.                  Устанавливаем, что выражение является квадратом двучлена, а именно – квадратом суммы (разности);

2.                  Применяем формулу. Записываем правую часть формулы.

3.                  Приводим многочлен к стандартному виду.

      (  3х  +     2у )²  =   (3х)² + 2 · 3х · 2у    + (2у)²

     (  3х  +     2у )²  =    9х²  +    12х у    +   4 у²

         Формула полного квадрата.

 При выполнении некоторых заданий удобно преобразовывать трёхчлен в квадрат двучлена. Например: как рациональнее выполнить вычисления: (3,7)² -2·3,7·3,6 +(3,6)²; как рациональнее решить уравнение: x² + 7x + 12,25 = 0? Предложить учащимся ответить на эти вопросы.

Оказывается, удобно использовать уже известные формулы квадрата двучлена только в виде:

                     a²  + 2ab + b² = (a + b)²

             Имя этой формулы – формула полного квадрата, её схема:

    ² ± 2·  ·   +  ² = (    ±     )²

Предложить учащимся задание на применение формулы полного квадрата: используя схему выясните, являются ли данные выражения полными квадратами:

1) x² + 10x + 25;  2) x² - x +1;  3) 64 + m² + 16m; 4) 73² + 17²+17·73.

 Ученики, выполняя эти и другие задания  на формулу полного квадрата, должны пользоваться следующими признаками:

1. Выражение должно состоять из трёх слагаемых.

2. Два из них представляют или могут быть представлены как квадраты дух выражений с положительными знаками.

3.Третий  член – удвоенное произведение двух выражений, квадраты которых найдены выше, знак перед этим произведение любой.

III.             Закрепление материала. «Учимся работать по формулам»

 Задание 1

а) преобразовать в многочлен стандартного вида:

1) (х+3у)²;  (2с- 3d)² ;  ( m- 2n)²;  (4a+b)²;

  (  p + 3q)²; (x²+y²)²;

2) 5m²+ 10mn - 5(m-n)²;

  4(a-b)²+ (a²-4)(b²-4);

  (a³+b³)² - b⁶+a⁶ - a³b³.

б) решить уравнения:      (4-х)² - х(х-5) = 4

                     3х +6 +(2х-1)² = 4х²

                     (х-2)(5-х) +(х-3)² = 5

в) заполните пропуски одночленами так, чтобы получилось тождество:

  (9m² - ?)² = ? - ? + 4k²

  (6a³ +?)² = ? + 60а³b +?

  (? – 4b²)² = ? – 24a³b² + ?

  (? + 5k²)² = 4m² + ? + ?

     Применение формул квадрата двучлена в различных ситуациях.

  Учащимся предлагается рассмотреть квадрат трёхчлена, дав подсказку: опираться на формулу квадрат суммы и предложить учащимся показать геометрическую интерпретацию этого равенства.

(a + b + c)² =( (a +b) +c)² = (a+b)² + 2· (a+b) · c + c² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²  = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Задание 2

1 уровень. Представить трёхчлен в виде квадрата двучлена:

      m² - 2mn + n ;     p² - 20pq + 100p².

2 уровень.

 а) При каком значении p трёхчлен можно представить в виде квадрата трёхчлена?

     1,44x² - 12xy + py²;    pb² - 8ab + 0,16a²;

 б) К данным многочленам прибавить такой одночлен из предложенных вариантов, чтобы выражение стало полным квадратом:

                             1) a² + 2a + 2

                     а) -3;   б) -1;   в) 2;   г) 1.

                             2) 1 +х² -6х

                     а) 2;   б) 35;   в) 8;   г) -9.

                            3) 49 + p²

                    а) 14p;   б) ;   в) ;   г) 18p.

3 уровень. Докажите, что многочлен c² - 2ab + a² + b² принимает неотрицательные значения при любых значениях a, b и c.

IV.             Итоги урока, рефлексия

Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых. Учитель задает вопросы: «Что мы сегодня узнали нового?», «Достигнута ли цель урока?», «Какие задания были самыми сложными?», «Как бы вы оценили свою работу?».

V.                Домашнее задание