План-конспект урока по геометрии в 10 классе по теме "Пирамида"

План - конспект урока по геометрии по теме « Пирамида».

Цель: систематизировать и обобщить знания, умения и навыки учащихся по теме «Пирамида»;

 формировать умение  анализировать, исследовать задачи, выделять существенное;

развивать логическое мышление, коммуникативные компетенции; воспитывать заинтересо-ванность к изучению геометрии, внимание, настойчивость, самостоятельность.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний, умений. 

Эпиграф: Среди равных умом при одинаковых других условиях преобладает тот, кто знает геометрию.                                                                                                      Б.Паскаль.

 ХОД УРОКА:

 I. Организационный момент

II. Проверка домашней контрольной работы

Учитель собирает тетради с выполненной домашней контрольной работой. С помощью мультимедийной доски проверяем основные моменты решения задач контрольной работы.

           Задача 1. Постройте сечение четырёхугольной пирамиды SABCD плоскостью MNK, если МAS, NSD. KSB.

Решение

                                       Рис.1

Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен β.  Определить площадь боковой поверхности пирамиды, если радиус  окружности, вписанной в боковую грань, равен r. Вычислить при см.

План решения.

Рис. 2

1 ) S_{бок.пов} =4S   _DSC =2SN CD.

2 )  Из    SOK: SO= .

3) SN = SO +  ON  = r   .

4) Из      SDN:  CD =  2r  .   S_{бок.пов} = 8r² ; 432 cм² .

Ответ: 8r² ;  432 cм² .                                              

Задача 3. В основании пирамиды лежит треугольник с углами α и β.  Радиус окружности, описанной вокруг основания, равен R. Все боковые грани пирамиды образуют с основанием угол γ.  Определить площадь полной поверхности пирамиды. 

План решения.

                     Рис.3

1 ) S_{пол.пов.} = S_{бок.пов.} + S   _АВС = + S    _{АВС  =} S   _АВС (1+)

2 )  По теореме синусов

, .

Ответ: .

Задача 4. Стороны оснований правильной  треугольной пирамиды относятся как 1:2, высота пирамиды равна 3 см, боковое ребро образует с большим осно­ванием пирамиды угол 45°. Найти площадь полной по­верхности пирамиды.

Рис. 4

План решения.

1 )  S_{пол.пов.} = S_{бок.пов.} + S   _АВС +   .

2 ) Рассмотрим правильную треугольную пирамиду KABC, из которой образована усечённая пирамида АВСА₁В₁С₁. Так как  В₁С₁ : ВС = 1:2  и 

О₁ 0₂ = 3 см, то КО₁ = 6 см.
Из треугольника  КO₁С :  0₁С = 6 см, КС =  см.

Так как ВС =  см (находим сторону пра­вильного треугольника, зная радиус описанной окружности), то

 см²  и   см².

3) Высоту равнобедренной трапеции ВВ₁С₁С найти несложно, поскольку знаем все её стороны

.

Ответ:   cм²                     .

III. Актуализация опорных знаний

1. Сформулируйте определение пирамиды, усечённой пирамиды.

2. Что такое основание пирамиды, боковые грани, ребра и высота пирамиды?

3. Как найти площадь поверхности произвольной пирамиды?

4. Как найти площадь поверхности произвольной усечённой пирамиды?

5. Какой фигурой является сечение пирамиды плоскостями, которые проходят через ее вершину? Что такое диагональное сечение пирамиды?

6. Какой фигурой является сечение пирамиды плоскостями, которые параллельны основанию и пересекают боковые ребра пирамиды?

7. Какая пирамида называется правильной; правильной усечённой пирамидой ?

8. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды; правильной усечённой пирамиды?

9. Что такое апофема?

10. Куда проектируется вершина пирамиды, если все ее боковые ребра образуют с основанием равные углы?,  все боковые ребра равны?, все боковые ребра образуют с высотой пирамиды равные углы?

11. Куда проектируется вершина пирамиды, если все ее двугранные углы при основании равны ?

12. По какой формуле можно найти площадь боковой поверхности пирамиды, если все её боковые грани наклонены к основанию под равными углами?

IV. Закрепление знаний учащихся при решении упражнений

 Устное решение задач

1. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна Зa, высота - 2а. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. ( Ответ: 24 а² )

2. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 5а, высота - За. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. ( Ответ: )

3. Все боковые ребра пирамиды, в основе которой лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой с, наклонены к основанию под углом 45°. Найдите высоту пирамиды. ( Ответ. )

4. Площадь основания пирамиды равна Q. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды, если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60°. ( Ответ: 3 Q )

Письменное решение задач

1. В правильной четырехугольной пирамиде угол между апофемой и плоскостью основания равен α. Биссектриса этого угла пересекает высоту пирамиды в точке, которая расположена на расстоянии d от апофемы. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. ( Ответ:  )

2. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием а  и углом α при вершине. Боковая грань, которая содержит основание этого треугольника, перпендикулярна к основанию, а две другие - наклонены к ней под углом β. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

( Ответ:      )

V. Подведение итогов урока

С целью подведения итогов проводится самостоятельная работа в тестовой форме.

Замечание. В зависимости от уровня математической подготовки учеников (если уровень большинства учеников класса средний), можно задания варианта 1 рассмотреть с учащимися в классе, домой задать вариант 2.

Вариант 1

1. (1 балл) Если сторона основания правильной треугольной пирамиды равна Зсм, а апофема - 1 см, то площадь боковой поверхности пирамиды равна...

а) 1см²; б) 3 см²; в) 1,5 см²; г) 4,5 см².

2. (1 балл) Если ребро правильного тетраэдра равняется 2 см, то площадь его полной поверхности равна...

а)  см²; б)  см²; в) 4 см²; г)  см².

3. ( 2 балла ) Если площадь боковой поверхности правильной n - угольной пирамиды составляет площади полной поверхности, то двугранный угол при основании пирамиды равен...

а) 30°; б) 60°; в) ; г)  .

4. (2 балла) Высота правильной n - угольной пирамиды равняется 1 см. Для того, чтобы секущая плоскость, которая параллельна основанию пирамиды, разделила площадь ее боковой поверхности пополам, её надо провести от вершины пирамиды на расстоянии...

а) 0,5 см; б) см; в)  см; г)  см.

5. (3 балла) Расстояние между скрещивающимися рёбрами правильного тетраэдра с ребром 2 см равно...

а) 1см; б) см; в) 2 см; г)   см.

6. (3 балла) Если в правильной четырехугольной пирамиде сторона основания вдвое больше высоты пирамиды, то двугранный угол между соседними боковими гранями равен…

а) 90°;  б) 60°; в) 120° ; г) 30°.

 Варіант 2

1. (1 балл) Если пирамида имеет п многогранных углов, то у неё...

а) п рёбер; б)2n рёбер; в) (2n-1) рёбер;  г)(2n-2) рёбер.

2. (1 балл) Сторону основания и высоту правильной треугольной пирамиды уменьшили в 2 раза. При этом площадь полной поверхности пирамиды уменшится в...

а)  раз; б) 2 раза; в) 4 раза; г) 8 раз.

3. (2 балла) Если площадь полной поверхности правильной n - угольной пирамиды в 3 раза больше, чем площадь её основания, то двугранный угол при основании пирамиды равен...

а) 30° ;  б) 60° ;  в)  ;  г) .

4. (2 балла) Если боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равна стороне основания, то боковое ребро образует с плоскостью основания угол...

а)  30⁰ ;  б)  45⁰  ;  в) 60⁰ ;  г) .

5. (З балла) Высота правильного тетраэдра с ребром З см равна...

а)  1 см;  б)  см;  в)  см;  г)   см.

6. (З баллаи)Если в правильной четирёхугольной пирамиде апофема равна стороне основания, то двугранный угол между противолежащими боковыми гранями равен...

а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°.

Ответы к  тестовым заданиям

Вариант 1. 1. г); 2. г); 3. б); 4. г); 5. б); 6. в).

Вариант 2. 1. г); 2. в); 3. б); 4. б); 5. г); 6. в).

VI. Домашнее задание

1.     Основание пирамиды - равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона - 10 см. Боковые грани пирамиды образуют с её осно­ванием равные двугранные углы в 45°. Найти высоту и площадь боковой поверхности пирамиды.

2.     Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро равно 13 см. Найти высоту пирамиды.

3.     У правильной треугольной пирамиде с высотой h че­рез сторону основания а проведена плоскость, которая пе­ресекает протилежащее боковое ребро под прямим углом. Найти площадь сечения.

4.     У правильной четирёхугольной усечённой пирамиде сто­роны оснований равны 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.