План-конспект урока по математике на тему "Формулы для вычисления площади правильного многоугольника и радиуса вписанной окружности"

Урок по геометрии на тему:

"Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности"

Цели урока:

·        Вывести формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

·        Научить учащихся применять указанные формулы в процессе решения задач.

Ход урока

I.                  Организационный момент

II.               Актуализация знаний учащихся

1.Теоретический опрос.

          Два ученика вызываются к доске для подготовки доказательства теорем о вписанной в правильный многоугольник и описанной около правильного многоугольника окружностях.                                                                                                                                                                                           Фронтальный опрос (проводится в то время, пока у доски идет подготовка к доказательству теорем).                                                                                            – Какая формула используется для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника?                                                                                                                                                                                                                                                                     - Назовите формулу для вычисления угла правильного n-угольника.                                     – Сформулируйте следствия из теорем о вписанной в правильный многоугольник и описанной около правильного многоугольника окружностях.                                                                                                                                                                                                             – Что вы понимаете под словами центр правильного многоугольника?          Заслушать доказательства теорем, подготовленных у доски.                                       2. Индивидуальная работа по карточкам (данный этап работы подходит в то же время, что и фронтальный опрос).

I уровень (карточка № 1)

1. Найдите углы правильного восемнадцатиугольника.                                       2. Угол правильного n-угольника равен 108 . Вычислите количество его сторон.                                                                                                                       3. Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна 45 ?

II уровень (карточка № 2)

1. Сумма углов правильного n-угольника равна 1440 . Чему равна сумма углов другого правильного многоугольника, если известно, что вершины первого многоугольника, взятые через одну, служат вершинами второго.

2. Докажите, что в правильном пятиугольнике ABCDE диагонали AC и AD делят угол BAE на три равные части.

III уровень (карточка № 3)

1. Вокруг правильного многоугольника описана окружность с радиусом, равным 10 см, и в этот же многоугольник вписана окружность с радиусом, равным 5 см. Чему равно число сторон этого многоугольника?

2. В правильном многоугольнике диагонали MN и KE пересекаются в точке F так, что MF=6 см, NF=8см, KE=16см. Найти KFи EF.

III. Изучение нового материала                                                                                                                                                                                   Вывод формул для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности можно организовать в два этапа.    а) Решение частной задачи (самостоятельно с последующим обсуждением решения).                                                                                                                                б) Вывод формул в процессе решения задач на доказательство (один из учеников решает у доски, остальные в тетрадях).

Задача.                                                                                                                        В правильный шестиугольник вписана окружность радиуса 8 см.                  Найдите: а) сторону шестиугольника; б) площадь шестиугольника; в) радиус описанной около него окружности.                                                                                При необходимости можно использовать следующие подсказки и наводящие вопросы:                                                                                                                                                                                    - Разбейте ABCDEF на треугольники с общей вершиной O.                                       - Чем является радиус OH вписанной в треугольник AOB окружности?                 - Чему равен угол AOB?                                                                                                    - Вычислите градусную меру угла AOH.                                                                - Перечислите все известные элементы треугольника AOH. Как найти его неизвестные элементы?                                                                                                     - Что можно сказать о площадях треугольников  AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA?  

IV. Закрепление изученного материала                                                                   1. Работа в рабочих тетрадях: решить задачу № 65.                                                       (Ответ: =8 см; R =8 см; P =48 см; S =96 см.)                                                      2. Разобрать задачу № 1089 учебника.                                                                           – Квадрат вписан в окружность. Что нужно знать для определения стороны квадрата? (Для определения стороны квадрата нужно знать радиус описанной около него окружности.)                                                                               - Как по известному периметру треугольника можно вычислить радиус описанной около него окружности? (Найдем сторону треугольника, а затем используем формулу R=2asin .)                                                                        Далее учащиеся самостоятельно записывают решение задачи:                                a= P : 3 = 18: 3 = 6 (см)                                                                                                 R=2asin  = 2*6*= 6(см)                                                                                       a=  =  =  = 3(см)                                                              Ответ : a= 3 см.                                                                                                     3. Решить самостоятельно задачи.                                                                                I уровень - № 66 из рабочей тетради, № 1087 (1, 2), 1088 (1, 3).                                II уровень - № 66 из рабочей тетради, № 1090, № 1091.                              Учащимся, успешно справившимся с решением предложенных задач, можно порекомендовать решить дополнительные задачи.

Дополнительная задача.                                                                                  Центры  двух окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды, которая в одной из окружностей является стороной вписанного правильного четырехугольника, а в другой – стороной вписанного правильного треугольника. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если длина указанной хорды равна 8 см.                                    Решение:                                                                                                                   Хорда CD является одновременно стороной правильного четырехугольника и правильного треугольника, вписанных в окружности с центрами O и O  соответственно. OK и OK   - радиусы окружностей, вписанных в данные четырехугольник и треугольник.

 , где R и R- радиусы окружностей, описанных около данных четырехугольника и треугольника, то есть

 (см),

 (см),

Тогда (см),

(см).

 (см).

Ответ: см.

V. Подведение итогов урока

Домашние задание

         П. 108; вопросы 5-7.

         Решить задачи № 67, 68 из рабочей тетради; задачи № 1087 (3, 5), 1088 (2, 5), 1093 из учебника.