Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / План-конспект урока по математике. Тема: «Геометрическая вероятность»

План-конспект урока по математике. Тема: «Геометрическая вероятность»

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs


Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Цели конкурса: повысить интерес учеников к математике, усилить внутреннюю мотивацию, веру в себя и свои силы. Ученики отвечают на задания прямо на сайте конкурса, учителю не нужно распечатывать задания. Для каждого ученика конкурс по математике «Поверь в себя» - это прекрасная возможность проявить себя и раскрыть свой потенциал.

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

«Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики в основной школе» (36 часов) вариативный модуль.



Итоговая работа выполнена Ковалевой Галиной Александровной, учителем математики МОУ «СОШ №14 с УИОП», г. Сергиев Посад, гр. 199




ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА


Тема урока: «Геометрическая вероятность»


Цель урока: ввести определение геометрической вероятности

Задачи: рассмотреть определение геометрической вероятности при выборе точки из фигуры на плоскости, при выборе точки из отрезка, из дуги окружности, при выборе точки из числового отрезка; добиться качественного понимания этого определения; научиться применять его при решении задач.

Тип урока: лекционно-семинарский

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная


Ход урока:


  1. Организационный момент формулирование темы урока


  1. Постановка задачи (этап – интрига)


Учитель просит учеников дать классическое определение вероятности и предлагает задачу.


Задача о монете.

На тетрадный лист в линейку наудачу бросается рублевая монета. Расстояние между линейками равно 8 мм, диаметр монеты 20 мм. Какова вероятность того, что монета пересечет

а) две линии б) три линии?


hello_html_657ceaef.png Ученики должны рассмотреть все возможные элементарные события в этом опыте и убедиться, что монета пересекает 2 или 3 линии. Важно подвести учеников к мысли, что исходы опыта можно связать с расстоянием от центра монеты до ближайшей линейки.

Результатом работы с этой моделью должно быть, что количество возможных исходов (элементарных событий) в этом опыте бесконечно много! Это числа из отрезка [0; 4]. Благоприятствующих элементарных событий, соответствующих а) и б) тоже бесконечно много…

КАК ПОСЧИТАТЬ ВЕРОЯТНОСТЬ?


  1. Геометрическое определение вероятности при выборе точки из фигуры на плоскости


Ученикам предлагается рассмотреть следующую задачу (фронтальная работа с обсуждением, причем учителю следует вводить определение после попыток учеников самостоятельно ответить на вопрос задачи).

hello_html_m2c9087fa.png

Точку наудачу бросают в область F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадет в некоторую область G, которая содержится в фигуре F?

Если предположить, что попадание в любую точку области F равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в область G будет равна отношению площадей области G и области F, то есть


hello_html_35b44ce9.gif , где

A={точка попадет в область G}

Такое определение вероятности называется геометрическим.

Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому P (A)≤1.

Имеет смысл после введения определения поработать над качественным пониманием его, предложив следующий пример:

Выберем на географической карте мира случайную точку (зажмурили глаза и показали указкой).

- Какова вероятность что эта точка окажется в России? (Для ответа на вопрос нужно знать какую часть всей карты занимает Россия)

- Какова вероятность попасть в Гринвичский меридиан (Как ни странно, придется положить ее равной 0, так как площадь меридиана равна 0 – попасть указкой точно в меридиан невозможно)


4. Решение задач


Точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем hello_html_685d8d49.gif

Решение этой задачи провести при фронтальном обсуждении его. У доски может работать ученик или учитель (зависит от подготовленности аудитории)


Решение


SF=1 (площадь исходного квадрата)hello_html_m1f073023.png

Точка удалена от границы квадрата не более чем на hello_html_685d8d49.gif, если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G.

SG= SFSABCD= 1 - hello_html_685d8d49.gif = hello_html_m57c90caf.gif

Если A = {расстояние от точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем hello_html_685d8d49.gif}, то

P(A) = hello_html_m57c90caf.gif : 1 = hello_html_m57c90caf.gif

Ответ: hello_html_m57c90caf.gif


Ученикам предлагается самостоятельно по вариантам решить следующие задачи:


I Вариант

В квадрате случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка не принадлежит вписанному в этот квадрат кругу.


II Вариант

В круге случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит вписанному в этот круг квадрату.


После решения эти задачи необходимо проверить и обсудить решения (слайд презентации, или подготовленная запись решения на откидной доске)


Решения


I Вариант


Пусть сторона квадрата равна a, тогда r = hello_html_6eec8aff.gifahello_html_m250910d9.png

Sкв = a2 ;

Sкр = πr2 = hello_html_685d8d49.gif πa2

SA– площадь заштрихованной области квадрата


SA = Sкв - Sкр = a2 - hello_html_685d8d49.gif πa2 = a2hello_html_m4532b1cc.gif


P (A) = hello_html_4a216488.gif = hello_html_m4532b1cc.gif Ответ: hello_html_m4532b1cc.gif


II Вариант


Пусть радиус круга равен a. hello_html_12039a3.png

Тогда Sкр = πa2


AB = ahello_html_39f1b7ec.gif

Sкв = 2a2 A = {точка принадлежит квадрату}, тогда


P (A) = hello_html_m172fd6b2.gif = hello_html_m8acf1bb.gif

Ответ: hello_html_m8acf1bb.gif



Если темп урока позволяет, имеет смысл задать дополнительные вопросы по этим задачам (вероятности попадания в другие, указанные учителем, области)


  1. Геометрическое определение вероятности при выборе точки из отрезка, дуги окружности; при выборе точки из числового отрезка


5.1 Случайный выбор точки X из отрезка MN можно понимать так, будто точку X случайным образом «бросают» на отрезок MN. Элементарным событием в этом опыте может стать выбор любой точки отрезка. Рассмотрим пример:


hello_html_m7562228e.png

Пусть отрезок CD содержится в отрезке MN. Нас интересует событие A, состоящее в том, что выбранная точка X принадлежит отрезку CD.

Аналогично определению геометрической вероятности данному выше имеем

P (A) = hello_html_m7b478508.gif


Учителю стоит обратить внимание учеников на аналогию рассматриваемого примера с приведенным выше. Отличие состоит только в мерности объектов. И опять следует подчеркнуть, что P (A) – число неотрицательное и не превосходящее 1, как и полагается для вероятности случайного события. Далее предлагается пример для фронтальной работы с ним. Пример предлагается ученикам как задача. Цель работы с ним – качественное понимание данного определения. Не стоит давать рисунок вместе с текстом, так как в нем содержится подсказка.


Внутри отрезка MN случайным образом выбирается точка X. Найдите вероятность того, что точка X ближе к N чем к M.


Решениеhello_html_7fdc165b.png


Пусть O – середина отрезка MN. Обозначим указанное событие через A. Это событие наступит только тогда, когда точка X лежит внутри отрезка ON. То есть P (A) = hello_html_m2efd4c6a.gif = hello_html_6eec8aff.gif


    1. Ничего не меняется, если точка X выбирается не из отрезка, а из дуги некоторой кривой линии. Например, можно случайным образом выбирать точку X на окружности.


Пример: в окружность вписан квадрат ABCD. На окружности случайным образом выбирается точка M. Найдите вероятность того, что эта точка лежит на:

а) меньшей дуге AB

б) большей дуге AB


Учитель предлагает ученикам самостоятельно решить эту задачу. Проверка с помощью слайда или рисунка, заранее подготовленного на откидной доске.



Решениеhello_html_191f22b6.png


A – указанное событие


а) P (A) = hello_html_685d8d49.gif


б) P (A) = hello_html_m57c90caf.gif






5.3 Геометрическую вероятность можно применять к числовым промежуткам. Предположим, что случайным образом выбирается число x, удовлетворяющее условию

mxn. Этот опыт можно заменить опытом, в котором из отрезка [m; n] на числовой прямой выбирается точка с координатой x.

Рассмотрим событие, состоящее в том, что точка с координатой x выбирается из отрезка

[a; b], содержащегося в отрезке [m; n].

hello_html_4e4faf17.png

Это событие обозначим (axb). Его вероятность равна отношению длин отрезков [a; b] и [m; n].

P (a x b) = hello_html_m64893d9b.gif

Пример:

Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка [0; 1], принадлежит отрезку [hello_html_18eba7d5.gif]


Решение: P (hello_html_7f8f9891.gif x hello_html_6eec8aff.gif) = hello_html_1b58dbcf.gif = hello_html_m11f0fb5b.gif


Учитель подводит итог на этом этапе урока, задавая ученикам следующие вопросы:

- с какой вероятностью познакомились на этом уроке?

- для каких случаев была рассмотрена эта вероятность?

Учитель еще раз обращает внимание учеников на аналогичность определения геометрической вероятности во всех случаях и возвращает к началу урока, к задаче о монете, предлагая ученикам теперь ее решить.



  1. Решение задачи о монете


Вспомним, что положение монеты договорились оценивать по расстоянию от центра монеты до ближайшей линейке. Если обозначить это расстояние x, то множество всех исходов соответствует 0 ≤ x hello_html_m54ea4251.gif 4. Монета бросается на лист наудачу, это значит что все значения x из отрезка [0; 4] будут равновозможными.

Событие A = {монета пересекла две линии} соответствует 2 < x ≤ 4;

Событие B = {монета пересекла три линии} соответствует 0 ≤ x ≤ 2.

По формуле геометрической вероятности получим

P (A) = hello_html_435061e4.gif = hello_html_6eec8aff.gif


P (B) = hello_html_23ca48fe.gif = hello_html_6eec8aff.gif.

Ответ: hello_html_6cbce196.gif


Вероятности событий A и B получились одинаковыми. Стоит ученикам задать вопросы:

- можно ли это было предполагать с самого начала (нет)

- от чего эти результаты зависели (расстояние между линейками, размерами монеты).


Если темп работы аудитории позволяет, то хорошо бы успеть рассмотреть последним заданием урока задачу о встрече, как классический пример задачи, решение которой наглядно демонстрирует необходимость владения геометрическим определением вероятности.



  1. Задача о встрече


Илья и Женя договорились встретиться у памятника Пушкину с 17.00 до 18.00. Пришедший первым ждет другого в течение 30 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что они встретятся, если каждый из них с одинаковой вероятностью может прийти в любой момент времени в течении заданного часа?

Решение

Обозначим время прихода Ильи через X, а Жени - через Y (для удобства будем выражать время в минутах, прошедших после 17 часов). Тогдо точка с координатами (x, y) будет случайной точкой в квадрате на плоскости Oxy, изображенном на рисунке:


hello_html_m7a9be97a.png


Каждая точка этого квадрата – это один из возможных исходов нашего эксперимента. Эксперимент завершается встречей, если выполняется условие |x-y|<30. Множество таких точек закрашено на следующем рисунке:


hello_html_eb05504.png


Площадь закрашенной части можно найти, вычитая из площади квадрата площади двух равных треугольников:


S=602 – 2 ▪ hello_html_6eec8aff.gif ▪ 30 ▪ 30 = 3600 – 900 = 2700


Искомую вероятность встречи находим как отношение «благоприятной» площади ко всей площади квадрата:


P=hello_html_33939d30.gif=hello_html_m57c90caf.gif


Ответ: hello_html_m57c90caf.gif


  1. Подведение итогов урока




Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 01.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров623
Номер материала ДВ-023773
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх