План-конспект урока по теме "Первообразная"

Тема урока: «Первообразная»

Дата:

Класс:

ФИО обучающегося:

ФИО учителя: Барагунова Л.А.

Тип урока: изучение нового материала.

Цель:  

·        повторить понятие производной функции, ее физический смысл, основные формулы дифференцирования; ввести понятие первообразной функции, научить учащихся определять является ли функция F(x) первообразной для функции f(x).

Задачи:

·       Образовательные:  на основе имеющихся у учащихся знаний по теме: «Производная» подвести учащегося к понятию первообразной, определить вместе с ними это понятие;

·       Развивающие: формирование приемов обобщения, алгоритмизации;

·       Воспитательные:  воспитание умения участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение, показ практической применимости математических знаний.

 УМК: Алгебра и начала анализа под редакцией А.Г. Мордковича для 10-11 классов (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2008- 2010гг.

План урока

1.     Организационный момент

2.     Актуализация знаний
  а) опрос (по формулам и правилам)

      б) вычисление производных (устно)

3.     Объяснение нового материала.

4.     Первичное закрепление

5.      Историческая справка

6.     Итоги урока

7.     Домашнее задание

Ход урока:

I.Организационный момент (постановка цели и задач урока). 

Эпиграф к уроку: «Открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии»   (Г.В. Лейбниц)

II.  Актуализация знаний

 (Слайд 4)

1. Что называется производной?

2.  Как называется процесс нахождения производной?

3. Назовите основные формулы дифференцирования:

   а) Чему равна производная степенной функции.

          Назовите производную функции   х⁸,  х^-9.

   б) производные тригонометрических функций;

   в) производная сложной функции.

4. Сформулируйте правила вычисления производных.

2. Вычислите производные функций, изображенные на слайде.

  y=2sin x-4x

 

III Объяснение нового материала

Задача 1. (Слайд 7)

Материальная точка движется прямолинейно по закону

                 s(t) = t³ +2t² – 5t.

                 Найти функцию,  выражающую закон изменения скорости движения  v(t)

Решение:  

                     

Учащимся предлагается составить задачу, обратную по отношению к решенной задаче.

 Задача 2. (Слайд 8)

Скорость прямолинейно движущейся точки изменяется по закону

                                               .

Найти функцию s(t), выражающую зависимость перемещения точки от времени.

Решение. Так как, , то из условия следует, что

                                                   

Значит, по заданной производной    требуется восстановить функцию s(t).

Искомая функция s(t) называется первообразной для данной функции v(t), если

                                                     для всех t.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке Х, если для всех х из этого промежутка  (Слайд 9)

Определение интеграла: Если у функции y = f(x) на промежутке X есть первообразная y = F(x), то все множества функций вида y = F(x)+C называют неопределенным интегралом от функции y = f(x).(Слайд 11)

Обозначается как  ∫f(x)dx  неопределенный интеграл f (эф) от x (икс) d (дэ) x (икс).

Основные правила интегрирования  (Слайд 12)

   

Постоянный множитель выносится за знак интеграла.

   

Интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых.

   

В частности,

   

где k и b — числа.

Таблица неопределенных интегралов (Слайд 13)

IV.  Первичное закрепление : 

Вопрос: как проверить, что полученные функции F(x) являются первообразными для соответствующих функций f(x)?

(нужно найти ; если  для каждого х из указанного промежутка, то F(x) – первообразная для f(x) на этом промежутке.

 V.  Закрепление материала: (Слайд 15-16)

Найти одну из первообразных для следующих функций

1) f(x) = 4

2) f(x) = -1

3) f(x) = x³

4) f(x) = sin x

5) f(x) = x² + 3cos x

Решить с комментариями:

№48.1 (а,в), 48.5 (а,б), 48.8 (б,в)

Резерв: №48.6, 48.10(а)

VI. Историческая справка.

Математический анализ имеет две главные составляющие его части: дифференциальное и интегральное исчисления. С элементами дифференциального исчисления мы познакомились в 10-м классе, впереди – изучение интегралов.

 «интеграл»- «интегрирование» - «интеграция»… Однокоренные слова, вышедшие за пределы математики и ставшие почти «обиходными». В газетах мы читаем об интеграции наук, культур, интеграции экономики, политики также ведут речь об интеграционных процессах.

 Идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления, еще на заре развития математики.   Греческие математики Евдокс (IV в.до н.э.), а затем Архимед (III в. до н.э.) для решения задач на вычисление площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно  уменьшающихся частей и искомую площадь (или объем) вычислять как сумму площадей (объемов) полученных элементарных кусочков.

    Идея Евдокса и Архимеда была гениальной. Говоря современным языком, искомую величину предлагалось вычислять как предел бесконечно большого числа бесконечно малых ее частей. Однако реализация этой идеи была чрезвычайно сложна, т.к. появилась за 19 веков до построения теории пределов, метода координат и даже просто буквенного исчисления. И все же с помощью этой идеи Архимед получил формулы объема пирамиды, шара и т.д.

      На протяжении следующих 19 столетий идея вычисления целого как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых его частей. Не раз возникала в умах многих ученых. Особенно «богатыми» оказались 16 и 17 века. Иоганн Кеплер, Галилео Галилей, Бонавентура Кавальери Блез Паскаль, Пьер Ферма и другие мыслители разрабатывали и применяли эту идею в самых разных задачах, ранее не поддававшихся решению.

    Великий немецкий астроном и математик И.Кеплер (1572-1630) решил задачу об измерении объема бочек, которую до него не рассматривал ни один из математиков прошлого.

   Г.Галилей (1564-1642) подсчитывал путь, пройденный при равноускоренном движении, суммируя бесконечно малые отрезки пути, пройденные за бесконечно малые промежутки времени.

  Б. Кавальери (1598-1647), ученик Г. Галилея, не только вычислял объемы отдельных тел, но и создал «метод неделимых», который до сих пор известен в геометрии как принцип Кавальери.

    Однако только во второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предыдущим развитием математики и остро востребованные к тому времени наукой и обществом, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему в работах двух великих ученых: английского физика и математика Исаака Ньютона (1643-1727) и немецкого математика, физика и философа, юриста, дипломата, организатора и первого президента берлинской Академии Наук Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716).

   Они обобщили все, что лежало в основе решенных задач и создали стройную систему понятий и выработали алгоритмы, по которым можно вычислять. Главная формула так и называется: «формула Ньютона – Лейбница»

   Г. Лейбниц ввел  в науку термин «интеграл» (от латинского слова «интегер» - «целый») и обозначения интеграла в виде вытянутой буквы S (первой буквы слова Summa), производной в виде .

   Итак, дифференцировать – значит «разделять» процесс, например, находить его мгновенную скорость в каждой отдельно взятой точке; интегрировать – значит «соединять», суммировать бесконечно малые части искомого целого.

   Таким образом, операции дифференцирования («разделения») и интегрирования («суммирования») оказываются взаимно обратными (как, например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня).

    Инструментом для вычисления интегралов служит понятие первообразной функции. Операция нахождения первообразной является обратной по отношению к операции дифференцирования функции.

      Овладев понятием первообразной функции, а затем и интеграла, мы сможем решать самые разнообразные алгебраические, геометрические и физические задачи.

VII. Итог урока:  «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».   Ян Амос Коменский.

VIII. Домашнее задание П. 48,  № 48.1(б), 48.5 (в, г), 48.8 (а)