План-конспект урока по теме:"Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах"

План-конспект

урока по теме

«Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах»

(Алгебра и начала анализа 11 класс)

Цель урока:

1)    Развитие и обобщение знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств;

2)    Подготовка к ЕГЭ.

Задачи:

1)    Рассмотреть применение алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств;

2)    Продолжить формирование навыков сознательного выбора способов решения;

3)    Развивать потребность в нахождении рациональных способов решения;

4)    Способствовать развитию умения видеть и применять рассмотренный материал в нестандартных ситуациях.

5)    Способствовать совершенствованию умения контролировать свои действия, вносить коррективы в план выполняемой работы;

6)    Способствовать развитию умения в ходе работы в группе учитывать позиции других учеников, обосновывать свою позицию, а также координировать в ходе сотрудничества разные точки зрения.

План урока:

 Организационный момент 2 мин.

1.     Устная работа 9 мин.

2.     Лекционная часть урока (объяснение учителя алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств) 15 мин.

3.     Работа учащихся в группах с разноуровневыми заданиями 15 мин.

4.     Итог урока 3 мин.

5.     Домашнее задание (комментарий учителя) 2 мин.

Оборудование: интерактивная доска.

Ход урока:

I . Устная работа учащихся.

1.     Найдите область определения функции

у = log _0.5(3-2x)

         Ответ: ( -∞; 1,5).

2.     Укажите и исправьте ошибки в решении

     log ₂ х ⁴ + log ₂ х ²  = 6

    Решение:  4 log ₂ х + 2 log ₂ х  = 6,

                      6 log ₂ х = 6,

                      log ₂ х = 1,

                      х = 2.

     Ошибка: переходы log ₂ х ²  = 2 log ₂ х  и  log ₂ х ⁴  = 4 log ₂ х могут привести (и ведут) к потере корней. Правильно:

log ₂ х ⁴ + log ₂ х ²  = 6,

4 log ₂ │х│ + 2 log ₂ │х│ = 6,

6 log ₂ │х│ = 6,

log ₂ │х│ = 1,

│х│ = 2,

Ответ: ± 2.

3.     Решите неравенство

log _1/5( 1/5(х- 1))>1.

Решение: log _1/5 1/5 + log _1/5(х- 1)>1,

                 log _1/5(х- 1)>0,

                 log _1/5(х- 1) > log _1/51,

функция у = log _1/5t – убывающая, значит,

  х- 1< 1,

  х- 1> 0;

 х < 2,

 х > 1.

Ответ: (1;2).

Учитель использует (доску), компьютер и экран (заранее приготовлены слайды).

     4. Вопрос: Какие методы использовались при решении логарифмических             уравнений и неравенств?

При решении уравнений, содержащих логарифмические функции, иногда применяют различные преобразования, сводящие заданное уравнение к простейшему виду. При этом важно, чтобы ОДЗ не менялось.

Иногда встречаются уравнения, в которых фигурирует функция вида y=f(x)^g(x), при этом f(x)>0. Такие уравнения удобно решать почленным логарифмированием.

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.

II.  Решение некоторых логарифмических уравнений и неравенств сводится к алгебраическим с помощью замены переменных.

Рассмотрим этот способ решения. Объясняет учитель.

    Пример 1. Решите уравнение

                       4-lg x = 3√ lg x.

     Решение: Воспользуемся методом замены.

                     Пусть √ lg x= t, ≥0, тогда данное уравнение примет вид

                     t² + 3t – 4 = 0, откуда t₁=1,  t₂= - 4 ( посторонний корень).

                     Значит √ lg x= 1,

                                    lg x= 1,

                                     x= 10

     Ответ: 10.

    Пример 2. Решите уравнение

10* log _4х х + 21* log _16х х – 3* log _х/2 х ² = 0.

  Решение:

   х >0,

   х≠ 1/4,

   х≠ 1/16,

   х≠ 2.

Переходя к логарифмам по основанию 2, получим

10* log ₂ х / log ₂ 4х + 21* log ₂ х / log ₂ 16х – 3* log ₂ х ² /  log ₂ х/2 = 0,

10* log ₂ х / (2 +log ₂ х) + 21* log ₂ х / (4 + log ₂ х) – 3*2* log ₂ х /  log ₂ (х-1) = 0,

log ₂ х (10/ (2 +log ₂ х) + 21 / (4 + log ₂ х) – 6 /  log ₂ (х-1)) = 0,

Это уравнение равносильно совокупности уравнений

 

      log ₂ х = 0,

     10/ (2 +log ₂ х) + 21 / (4 + log ₂ х) – 6 /  log ₂ (х-1) = 0

Решением первого уравнения является  x= 1.

Для решения второго уравнения сделаем замену t = log ₂ х. После преобразования получим:

(25t² + 15t – 30)/((2+ t)(4+ t)(t-1))=0,

    

    25t² + 15t – 30=0,

    (2+ t)(4+ t)(t-1) ≠ 0;

    t=2,

    t= - 2,6;

    log ₂ х =2,

    log ₂ х = - 13/5;

Ответ: 1; 4; 1/ 4⁵√8.

Пример 3. Решите неравенство

           2 log _3х-6 9 - log ₃ (х-2) ≥ 1.

Решение: перепишем неравенство в виде:

           2 log ₃ 9 / log ₃ 3(х-2) - log ₃ (х-2) ≥ 1,

          4 / (log ₃ (х-2) + 1) - log ₃ (х-2) ≥ 1.

Пусть а = log ₃ (х-2), тогда

1/(1+а) – а ≥ 1,

(4 – (а + 1)²) / (1 + а) ≥ 0,

((а + 3)(1 - а)) / (1 + а) ≥ 0,

((а + 3)(а - 1)) / (1 + а) ≤ 0

Воспользуемся методом интервалов, получим

    а ≤ - 3

    - 1 < a ≤ 1.

    log ₃ (х-2) ≤ - 3

    - 1 < log ₃ (х-2) ≤ 1.

y= log ₃ t – возрастающая функция,

     0 < х - 2 ≤ 1/27

     1/3 < х - 2  ≤ 3.

Ответ: ( 2; 55/27]U(7/3;5].

Итак, рассмотрели метод замены переменных, который будем использовать при решении логарифмических уравнений и неравенств.

III. Учащиеся класса разбиваются на группы ( по выбору).

1 группа: занимаются самостоятельно на оценку.

2 группа работает, используя консультации учителя, с последующей проверкой полного решения учениками через экран.

Задания для учащихся 1 группы.

1. Решите уравнение

     log ₄ х ² + log _х6 64 = 2.

2. Решите неравенство

    log² ₄  (2х) + 3log ₂ х < 4.

Решение: 1) х≠ 1

                 2 log ₄  ‌| х ‌| + 1/6 log _{| х  |}64 = 2,

                 2 log ₄  ‌| х ‌| + 6*1/6 log _{| х  |}2 = 2,

                 2*1/2 log ₂ ‌| х ‌| + 1/ log ₂ ‌| х ‌| = 2,

Пусть log ₂ ‌| х ‌| = t,

           t + 1/t = 2,

           t² - 2t + 1=0,

           (t - 1)²  =0,

           t = 1.

           log ₂ ‌| х ‌| = 1,

           ‌| х ‌| = 2.

Ответ: ±2.

2)  (1/2 log ₂ (2х))² + 3log ₂ х < 4,

     (1/2+1/2 log ₂ х)² + 3log ₂ х < 4,

Пусть log ₂ ‌х ‌= t,

(1/2 +1/2t)²+3t < 4,

1/4+1/2t+1/4t²+3t<4,

1/4 t²+7/2t-15/4<0,

t²+14t-15<0,

t²+14t-15=0

D₁=64, t₁=-15, t₂=1

(t+15)(t-1)<0

-15<t<1

-15< log ₂ ‌х <1

    log ₂ ‌х <1,

    log ₂ ‌х >-15;

y= log ₂ ‌b – возрастающая функция,

    0 < х <2,

    ‌х >2^-15

Ответ: (1/2¹⁵;2).

Задания для учащихся 2 группы

1. Решите уравнение

  1/2* log² ₅  х + log ₂₅ ‌х – 1=0

2. Решите неравенство

    log² _0,5  х < 1.

Решение . 1) ‌х >0, пусть log ₅ ‌х ‌= t,

                      t² + t - 2=0,

                      D=9, t₁=2,  t₂= - 1

                      log ₅ х =2,

                      log ₅ х = - 1

                     Ответ: 25; - 1/5.

                  2) Пусть  log² _0,5  х = а, ‌х >0

                                   а² < 1,

                                   -1< a <1,

                                   -1< log² _0,5  х <1,

                                         log _0,5  х <1,

                                         log _0,5  х >- 1

                                   функция у= log _0,5  t – убывающая,                                    

х >0,5

х <1

Ответ: (0,5; 1).

IV. 1 группа учащихся сдает тетради на проверку; решения для 1 и 2 группы демонстрируются на экране. Подводится итог урока: рассмотрев алгоритм введения новой переменной для решения логарифмических уравнений и неравенств, ученики должны развивать умение применять изученный материал, как один из рациональных способов решения.

Объявляются оценки.

V. Домашнее задание. Запись на  экране. Ученик выполняет на выбор любые 4 примера.

1) 3lg²  (х - 1) - 10lg (х - 1) + 3 = 0,

2) log _2х+1 (5+8 х - 4 х²) + log _5-2х (1+4 х + 4 х²) = 4,

3) log ₂ х + log _х² 8 = 2,5,

4) 4 log² ₄ х - 8 log ₄ ‌х – 5>0,

5) log ₂ ‌√х - 2 log² _1/4  х + 1>0

Решение:

1) ‌х >0, пусть lg (х - 1) ‌= t,

                      3t² - 10t + 3=0,

                      D=25-9=16, t₁=3,  t₂= 1/3

     а) lg (х - 1) ‌=3,

          х - 1 ‌=1000,

          х ‌=1001

         1001>1 (верно)

б) lg (х - 1) ‌=1/3,

          х - 1 ‌=10^1/3,

          х ‌=10^1/3 +1

        ^3√10 +1>1 (верно)

Ответ: 1001; ^3√10 +1.

2) log _2х+1 (5-2 х)(2 х+1) + log _5-2х (2 х + 1)² = 4,

log _2х+1 (5-2 х) + 2/ log _2х+1 (5-2 х)= 3,

 пусть у= log _2х+1 (5-2 х), тогда

   2 х+1>0

   2 х+1≠1,

   5-2 х>0,

   5-2 х≠1.

y+2/y=3,

y₁=1,  y₂= 2

a) log _2х+1 (5-2 х)=2

5-2 х = (2 х + 1)²

х ₁=1/2,  х ₂= - 2

-2 не удовлетворяет условию 2 х+1>0

б) log _2х+1 (5-2 х)=1

5-2 х = 2 х + 1

х ₃=1

Ответ: 1/2; 1.

3) х>0, х≠ ±1.

log ₂ х + 3/2log _х 2 = 2,5,

1/log _х 2 + 3/2log _х 2 = 2,5.

Пусть у = log _х 2, тогда

3/2 у² - 5/2у + 1 = 0,

3 у² - 5у + 2 = 0,

D=1, у₁=1,  у₂= 2/3

а) log _х 2=1

     х ‌=2

б) log _х 2=2/3

     х ‌=√8

Ответ: 2; √8.

4) х>0, пусть log ₄ ‌х = t, тогда

                      4t² - 8t – 5>0

                      4t² - 8t – 5=0

                      D=16+20=36, t₁=5/2,  t₂=- ½

                      4(t-5/2)(t+1/2)>0

                      t< -1/2

                      t> 5/2

a) log ₄ ‌х < -1/2

log ₄ ‌х< log ₄ ‌1/2

y= log ₄ ‌n -  возрастающая функция,

х>0,

х< 1/2

0< х <1/2

б) log ₄ ‌х > 5/2

log ₄ ‌х> log ₄ 32

y= log ₄ ‌n -  возрастающая функция,

х>32

Ответ: (0;1/2)U(32; +∞)

5) х>0,

1/2log ₂ ‌х - 2 log²₂-2  х + 1>0,

1/2log ₂ ‌х – 2*1/4 log²₂  х + 1>0,

log ₂ ‌х – log²₂  х + 2>0

Пусть log ₂ ‌х = у, тогда - у² + у + 2 > 0

                                         у² - у - 2 < 0

у² - у - 2 = 0

D=9, у₁=2,  у₂= -1

(y-2)(y+1)<0

-1<y<2

y<2,

y>-1

 

log ₂ ‌х< log ₂ ‌4,

log ₂ ‌х> log ₂ ½

‌х<4

‌х>1/2

1/2< х<4

Ответ: (1/2; 4).

Литература:

1. Пособие для учителя под ред. М.Л. Галицкого.

Углубленное изучение алгебры и математического анализа

2. А.П.Ершова, В.В.Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 10-11 класс

3. П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики-Москва: Педагогический университет «Первое сентября» 2012г.