Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / План-конспект урока по теме:"Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах"

План-конспект урока по теме:"Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах"



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

План-конспект

урока по теме

«Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах»


(Алгебра и начала анализа 11 класс)


Цель урока:

  1. Развитие и обобщение знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств;

  2. Подготовка к ЕГЭ.

Задачи:

  1. Рассмотреть применение алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств;

  2. Продолжить формирование навыков сознательного выбора способов решения;

  3. Развивать потребность в нахождении рациональных способов решения;

  4. Способствовать развитию умения видеть и применять рассмотренный материал в нестандартных ситуациях.

  5. Способствовать совершенствованию умения контролировать свои действия, вносить коррективы в план выполняемой работы;

  6. Способствовать развитию умения в ходе работы в группе учитывать позиции других учеников, обосновывать свою позицию, а также координировать в ходе сотрудничества разные точки зрения.

План урока:

Организационный момент 2 мин.

  1. Устная работа 9 мин.

  2. Лекционная часть урока (объяснение учителя алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств) 15 мин.

  3. Работа учащихся в группах с разноуровневыми заданиями 15 мин.

  4. Итог урока 3 мин.

  5. Домашнее задание (комментарий учителя) 2 мин.

Оборудование: интерактивная доска.

Ход урока:

I . Устная работа учащихся.

  1. Найдите область определения функции

у = log 0.5(3-2x)

Ответ: ( -∞; 1,5).

  1. Укажите и исправьте ошибки в решении

log 2 х 4 + log 2 х 2 = 6

Решение: 4 log 2 х + 2 log 2 х = 6,

6 log 2 х = 6,

log 2 х = 1,

х = 2.

Ошибка: переходы log 2 х 2 = 2 log 2 х и log 2 х 4 = 4 log 2 х могут привести (и ведут) к потере корней. Правильно:

log 2 х 4 + log 2 х 2 = 6,

4 log 2 х + 2 log 2 х = 6,

6 log 2 х = 6,

log 2 х = 1,

х = 2,

Ответ: ± 2.

  1. Решите неравенство

log 1/5( 1/5(х- 1))>1.

Решение: log 1/5 1/5 + log 1/5(х- 1)>1,

log 1/5(х- 1)>0,

log 1/5(х- 1) > log 1/51,

функция у = log 1/5t – убывающая, значит,

х- 1< 1,

hello_html_7fb3c877.gifх- 1> 0;


х < 2,

hello_html_7fb3c877.gifх > 1.

Ответ: (1;2).


Учитель использует (доску), компьютер и экран (заранее приготовлены слайды).


4. Вопрос: Какие методы использовались при решении логарифмических уравнений и неравенств?


При решении уравнений, содержащих логарифмические функции, иногда применяют различные преобразования, сводящие заданное уравнение к простейшему виду. При этом важно, чтобы ОДЗ не менялось.

Иногда встречаются уравнения, в которых фигурирует функция вида y=f(x)g(x), при этом f(x)>0. Такие уравнения удобно решать почленным логарифмированием.

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.


II. Решение некоторых логарифмических уравнений и неравенств сводится к алгебраическим с помощью замены переменных.

Рассмотрим этот способ решения. Объясняет учитель.

Пример 1. Решите уравнение

4-lg x = 3√ lg x.

Решение: Воспользуемся методом замены.

Пусть √ lg x= t, ≥0, тогда данное уравнение примет вид

t2 + 3t – 4 = 0, откуда t1=1,t2= - 4 ( посторонний корень).

Значит √ lg x= 1,

lg x= 1,

x= 10

Ответ: 10.

Пример 2. Решите уравнение

10* log 4хх + 21* log 16хх – 3* log х/2х 2 = 0.

Решение:

х >0,

х≠ 1/4,

х≠ 1/16,

hello_html_m248e259d.gifх≠ 2.

Переходя к логарифмам по основанию 2, получим

10* log 2 х / log 2 4х + 21* log 2 х / log 2 16х – 3* log 2х 2 / log 2 х/2 = 0,

10* log 2 х / (2 +log 2 х) + 21* log 2 х / (4 + log 2 х) – 3*2* log 2х / log 2 (х-1) = 0,

log 2 х (10/ (2 +log 2 х) + 21 / (4 + log 2 х) – 6 / log 2 (х-1)) = 0,

Это уравнение равносильно совокупности уравнений

hello_html_4fa5e20b.gif

log 2 х = 0,

10/ (2 +log 2 х) + 21 / (4 + log 2 х) – 6 / log 2 (х-1) = 0



Решением первого уравнения является x= 1.

Для решения второго уравнения сделаем замену t = log 2 х. После преобразования получим:

(25t2 + 15t – 30)/((2+ t)(4+ t)(t-1))=0,

hello_html_2ac7fd01.gif

25t2 + 15t – 30=0,

(2+ t)(4+ t)(t-1) ≠ 0;


hello_html_m7c55c9de.gift=2,

t= - 2,6;



hello_html_m7c55c9de.giflog 2 х =2,

log 2 х = - 13/5;



Ответ: 1; 4; 1/ 45√8.


Пример 3. Решите неравенство

2 log 3х-6 9 - log 3 (х-2) ≥ 1.


Решение: перепишем неравенство в виде:

2 log 3 9 / log 3 3(х-2) - log 3 (х-2) ≥ 1,

4 / (log 3 (х-2) + 1) - log 3 (х-2) ≥ 1.

Пусть а = log 3 (х-2), тогда

1/(1+а) – а ≥ 1,

(4 – (а + 1)2) / (1 + а) ≥ 0,

((а + 3)(1 - а)) / (1 + а) ≥ 0,

((а + 3)(а - 1)) / (1 + а) ≤ 0

Воспользуемся методом интервалов, получим

а ≤ - 3

hello_html_b5c7bb5.gif- 1 < a ≤ 1.


log 3 (х-2) ≤ - 3

hello_html_b5c7bb5.gif- 1 < log 3 (х-2) ≤ 1.


y= log 3 t – возрастающая функция,

hello_html_b5c7bb5.gif0 < х - 2 ≤ 1/27

1/3 < х - 23.


Ответ: ( 2; 55/27]U(7/3;5].


Итак, рассмотрели метод замены переменных, который будем использовать при решении логарифмических уравнений и неравенств.


III. Учащиеся класса разбиваются на группы ( по выбору).

1 группа: занимаются самостоятельно на оценку.

2 группа работает, используя консультации учителя, с последующей проверкой полного решения учениками через экран.


Задания для учащихся 1 группы.

1. Решите уравнение

log 4 х 2 + log х6 64 = 2.

2. Решите неравенство

log24(2х) + 3log 2х < 4.


Решение: 1) х≠ 1

2 log 4 ‌| х ‌| + 1/6 log | х |64 = 2,

2 log 4 ‌| х ‌| + 6*1/6 log | х |2 = 2,

2*1/2 log 2 ‌| х ‌| + 1/ log 2 ‌| х ‌| = 2,

Пусть log 2 ‌| х ‌| = t,

t + 1/t = 2,

t2 - 2t + 1=0,

(t - 1)2 =0,

t = 1.

log 2 ‌| х ‌| = 1,

| х ‌| = 2.

Ответ: ±2.

2) (1/2 log 2 (2х))² + 3log 2х < 4,

(1/2+1/2 log 2 х)² + 3log 2х < 4,

Пусть log 2х ‌= t,

(1/2 +1/2t)²+3t < 4,

1/4+1/2t+1/4t²+3t<4,

1/4 t²+7/2t-15/4<0,

t²+14t-15<0,

t²+14t-15=0

D1=64, t1=-15, t2=1

(t+15)(t-1)<0

-15

-hello_html_2ac7fd01.gif15< log 2х <1

log 2х <1,

log 2х >-15;


yhello_html_2ac7fd01.gif= log 2b – возрастающая функция,

0 < х <2,

х >2-15


Ответ: (1/215;2).


Задания для учащихся 2 группы


1. Решите уравнение

1/2* log25х + log 25х – 1=0

2. Решите неравенство

log20,5х < 1.


Решение . 1) ‌х >0, пусть log 5х ‌= t,

t2 + t - 2=0,

D=9, t1=2,t2= - 1


hello_html_m7c55c9de.giflog 5 х =2,

log 5 х = - 1


Ответ: 25; - 1/5.


2) Пусть log20,5х = а, ‌х >0

а2 < 1,

-1< a <1,

-1< log20,5х <1,

hello_html_2ac7fd01.giflog 0,5х <1,

log 0,5х >- 1

функция у= log 0,5t – убывающая,

хhello_html_2ac7fd01.gif >0,5

х <1


Ответ: (0,5; 1).


IV. 1 группа учащихся сдает тетради на проверку; решения для 1 и 2 группы демонстрируются на экране. Подводится итог урока: рассмотрев алгоритм введения новой переменной для решения логарифмических уравнений и неравенств, ученики должны развивать умение применять изученный материал, как один из рациональных способов решения.

Объявляются оценки.


V. Домашнее задание. Запись на экране. Ученик выполняет на выбор любые 4 примера.

1) 3lg2(х - 1) - 10lg (х - 1) + 3 = 0,

2) log 2х+1(5+8 х - 4 х²) + log 5-2х(1+4 х + 4 х²) = 4,

3) log 2 х + log х² 8 = 2,5,

4) 4 log24х - 8 log 4х – 5>0,

5) log 2 ‌√х - 2 log21/4х + 1>0


Решение:

1) ‌х >0, пусть lg (х - 1) ‌= t,

3t2 - 10t + 3=0,

D=25-9=16, t1=3,t2= 1/3

а) lg (х - 1) ‌=3,

х - 1 ‌=1000,

х ‌=1001

1001>1 (верно)

б) lg (х - 1) ‌=1/3,

х - 1 ‌=101/3,

х ‌=101/3 +1

3√10 +1>1 (верно)


Ответ: 1001; 3√10 +1.


2) log 2х+1(5-2 х)(2 х+1) + log 5-2х(2 х + 1)² = 4,

log 2х+1(5-2 х) + 2/ log 2х+1(5-2 х)= 3,

пусть у= log 2х+1(5-2 х), тогда

hello_html_m248e259d.gif2 х+1>0

2 х+1≠1,

5-2 х>0,

5-2 х1.


y+2/y=3,

y1=1,y2= 2


a) log 2х+1 (5-2 х)=2

5-2 х = (2 х + 1)²

х 1=1/2, х 2= - 2

-2 не удовлетворяет условию 2 х+1>0

б) log 2х+1 (5-2 х)=1

5-2 х = 2 х + 1

х 3=1

Ответ: 1/2; 1.


3) х>0, х≠ ±1.

log 2х + 3/2log х2 = 2,5,

1/log х2 + 3/2log х2 = 2,5.

Пусть у = log х2, тогда

3/2 у² - 5/2у + 1 = 0,

3 у² - 5у + 2 = 0,

D=1, у1=1,у2= 2/3

а) log х2=1

х ‌=2

б) log х2=2/3

х ‌=√8

Ответ: 2; √8.

4) х>0, пусть log 4х = t, тогда

4t2 - 8t – 5>0

4t2 - 8t – 5=0

D=16+20=36, t1=5/2,t2=- ½

hello_html_m7c55c9de.gif4(t-5/2)(t+1/2)>0

t< -1/2

t> 5/2


a) log 4х < -1/2

log 4х< log 41/2

y= log 4n - возрастающая функция,

х>0,

хhello_html_2ac7fd01.gif< 1/2

0< х <1/2

б) log 4х > 5/2

log 4х> log 4 32

y= log 4n - возрастающая функция,

х>32


Ответ: (0;1/2)U(32; +∞)


5) х>0,

1/2log 2х - 2 log22-2 х + 1>0,

1/2log 2х – 2*1/4 log22 х + 1>0,

log 2х log22 х + 2>0

Пусть log 2х = у, тогда - у² + у + 2 > 0

у² - у - 2 < 0

у² - у - 2 = 0

D=9, у1=2,у2= -1

(y-2)(y+1)<0

-1<y<2

y<2,

yhello_html_2ac7fd01.gif>-1

hello_html_2ac7fd01.gif

log 2х< log 24,

log 2х> log 2 ½


hello_html_2ac7fd01.gifх<4

х>1/2


1/2< х<4

Ответ: (1/2; 4).



Литература:

1. Пособие для учителя под ред. М.Л. Галицкого.

Углубленное изучение алгебры и математического анализа

2. А.П.Ершова, В.В.Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 10-11 класс

3. П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики-Москва: Педагогический университет «Первое сентября» 2012г.



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 15.08.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров240
Номер материала ДA-005811
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх