План-конспект урока в 10 классе «Уравнение касательной к графику функции»

План-конспект урока в 10 классе

 «Уравнение касательной к графику функции»

Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний и формирования первоначальных предметных навыков, овладения предметными умениями.

Дидактическая задача урока: Обеспечение осознания и усвоения понятий, правил, алгоритмов; формирование умений применения теоретических положений в условиях решения учебных задач.

Цели урока: вывести уравнение касательной к графику функции, научить составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке.

 Планируемые результаты:

ЗУНы. Учащиеся должны

знать: уравнение касательной к графику функции в точке х₀;

уметь: составлять уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке.

формирование навыка составления уравнения касательной к графику заданной функции в заданной точке.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, учебники, тетради учащихся, письменные принадлежности.

Учитель: Нестерова Светлана Юрьевна

Основные этапы урока	Время	Формы работы	Виды работы	Действия учителя
Организационный момент	10.00-10.01			Здравствуйте, ребята! Все готовы к уроку? Можете садиться. 1 слайд. «Касательная к графику функции»
Устная работа, направленная на подготовку учащихся к восприятию новой темы (повторение ранее изученного материала)	10.01 – 10.03	Фронтальная	Устная работа	Для того чтобы качественно разобраться с темой сегодняшнего урока, нам необходимо вспомнить то, что мы с вами ранее изучали. Ответьте на следующие вопросы. 2 слайд. 1.     Графиком какой функции является прямая? (линейной) 2.     Каким уравнением задается линейная функция? (у = kх + b) 3.     Как называется число, стоящее перед «х»? (угловой коэффициент прямой) По-другому уравнение у = kх + b называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. 3 слайд. 4.     Чему равен угловой коэффициент прямой? (тангенсу угла наклона прямой, который эта прямая образует с положительным направлением оси Ох). 5.     Сформулируйте определение касательной: (прямая, проходящая через точку (хо; f(хо)), с отрезком которой практически сливается график дифференцируемой в точке хо функции f при значениях х близких к хо). 4 слайд. Если в точке xo существует производная, то существует касательная (невертикальная) к графику функции в точке xo. 5 слайд. Если же f’ (x0) не существует, то касательная либо ·       не существует (как у функции у = |х|), ·       либо вертикальная (как у графика у = 3√х). 6 слайд.  Вспоминаем, каким может быть взаимное расположение касательной с осью абсцисс? Прямая      возрастающая => угловой коэффициент k >0, tg > 0 => угол острый. Прямая // оси ОХ => угловой коэффициент k=0, tg = 0 => угол = 00 Прямая      убывающая => угловой коэффициент k <0, tg < 0 => угол тупой. 7 слайд. Геометрический смысл производной: Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке проведения касательной k = f `(xo). Хорошо, молодцы, повторение окончено.
Тема урока. Постановка цели урока	10.03-10.05		Обсуждение, беседа	Выполните следующее задание: Дана функция у = х3. Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке х0 = 1. ПРОБЛЕМА? Да.  Каким образом её решать? Ваши варианты? Где вы сможете найти помощь в решении этой проблемы? В каких источниках? Но проблема решаема? Так как вы думаете, какова будет тема нашего урока? Тема сегодняшнего урока «Уравнение касательной». Ну а теперь сформулируйте цели нашего урока (ДЕТИ): 1. Вывести уравнения касательной к графику функции в точке хо. 2. Научиться составлять уравнение касательной для заданной функции. Открываем тетради, записываем на полях число, «классная работа», тема урока.
Первичное восприятие и усвоение нового теоретического учебного материала	10.06- 10.12	Фронтальная	Поисково - исследовательская	8 слайд. Решим эту практическую задачу. Я пишу на доске – вы смотрите, рассуждаете вместе со мной. Дана функция у = х3. Необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х0 = 1. Рассуждаем: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = kх + b. Для того чтобы его написать, нам необходимо знать значение k и b. Найдем k (из геометрического смысла производной): k = f `(xo) = f `(1) = 3* 12 = 3, т.е. k = 3. Наше уравнение приобретает вид: у = 3х + b. Вспомните: если прямая проходит через заданную точку, то при подстановке координат этой точки в уравнение прямой должно получиться верное равенство. Значит, нам необходимо найти ординату точки – значение функции в точке х0 = 1: f (1) =13 =1. Точка касания имеет координаты (1; 1). Подставляем найденные значения в уравнение прямой, получаем: 1 = 3.1+ b; значит b = - 2. Подставим найденные значения k = 3 и b = - 2 в уравнение прямой: у = 3х - 2. Задача решена. 9 слайд. А теперь решим эту же задачу в общем виде. Дана функция у = f (x), необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х0. Рассуждаем по той же схеме: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = kх + b. Из геометрического смысла производной: k= f `(xo)=> у = f `(xo)* х + b. Значение функции в точке х0 есть f (xo), значит касательная проходит через точку с координатами (х0; f (xo))=> f (xo)= f `(xo)* xo+ b. Выразим из данной записи b: b= f (xo) - f `(xo)* xo . Подставим все выражения в уравнение прямой: у = f `(xo)* х + b= f `(xo)* х + f (xo) - f `(xo)* xo = f `(xo)*(х - xo)+ f (xo). СРАВНИТЬ С УЧЕБНИКОМ (стр. 131) Найдите, пожалуйста, в тексте учебника запись уравнения касательной и сравните с тем, что у нас получилось.  Запись немного отличается (чем?), но она верна. Принято записывать уравнение касательной в следующем виде: у = f (xo) + f `(xo)(х - xo) Запишите эту формулу себе в тетрадь и выделите – вы должны её знать! 9 слайд. А теперь давайте составим алгоритм нахождения уравнения касательной. Все «подсказки» у нас в формуле. •         Найти значение функции в точке хо •         Вычислить производную функции •         Найти значение производной функции в точке хо •         Подставить полученные числа в формулу              y = f(xo) + f `(xo)( x – xo) •         Привести уравнение к стандартному виду
Отработка первичных навыков	10.12-10.14	Фронтальная	Письменная + совместное обсуждение	Каким образом эта формула работает? Рассмотрим на примере. Записываем пример в тетрадь. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = х3 – 2х2 + 1 в точке с абсциссой 2. Выполняем вывод уравнения с записью на доске и в тетрадях. Ответ: у = 4х – 7.
Работа с источником информации	10.14-10.15	Индивидуальная	Чтение текста, обсуждение	Посмотрите в учебник на с. 131, пример 2. Прочитайте до п.3. О чем идет речь в данном примере? (можно составить уравнение для заданной функции в общем виде и потом найти уравнение касательной при любом значении х0, а ещё можно найти точку пересечения касательной к стандартной параболе с осью Ох
Динамическая пауза	10.15-10.16		Отдых	Минутка отдыха. Слайд – зарядка для тела, зарядка для глаз.
Применение теоретических положений в условиях выполнения упражнений и решения задач	10.16- 10.30	Фронтальная, индивидуальная	Письменная (доска + тетрадь)	Ну а теперь приступим к практической работе, цель которой – сформировать навык составления уравнения касательной. На доске записать №№ 255(а, б), 256(а, б), резерв 257 (а, б), *. * – задание следующего уровня сложности для наиболее подготовленных учеников: На параболе у = 3х2 - 4х + 6 найти точку, в которой касательная к ней // прямой у =2х+4 и написать уравнение касательной к параболе в этой точке. Для работы к доске приглашаются учащиеся (поочерёдно).  Ответы: №255 а) у = - 3х – 6, у = - 3х + 6                 б) у = 2х, у = - 2х +4 №256 а) у = 3, у = - 3х + 3π                 б) у = 2х + 1 – π/2 , у = 4х + √3 - 4 π/3 №257 (резерв) а) х = 1, у = 1, в т. (1; 1) касательная // Ох б) х = - 2, у = - 24, в т. (-2; -24) касательная // Ох Задание *ответы: А (1; 5), уравнение касательной у = 2х + 3.
Самостоятельное использование навыков	10.30-10.35	Групповая, индивидуальная, самостоятельная	Письменная (тетрадь), обсуждение работы в парах	Итак, чем мы занимались? Кому был понятен материал? У кого остались вопросы? Проведем самоконтроль понимания темы урока. Работать вы будете в парах - на столах у вас лежат карточки с заданиями. Внимательно прочитайте задание, на выполнение работы даётся 4-5 минут. Задание: Написать уравнение касательной к заданной функции f(x) в точке с заданной абсциссой. I:    f(x) = х2 – 2х – 8, в точке с абсциссой -1.                      Ответ: у = -4х – 9. II:   f(x) = 2х2 – 4х + 12, в точке с абсциссой 2.                   Ответ: у = 4х + 4. III:  f(x) = 3х2 – х – 9, в точке с абсциссой 1.                       Ответ: у = 5х –12. IV:  f(x) = 4х2 + 2х + 3, в точке с абсциссой -0,5.                Ответ: у = -2х + 2.
Проверка выполнения самостоятельной работы	10.35-10.37	Фронтальная, групповая	Осуществление самоконтроля по образцу, обсуждение	На доске (поворотной) ответы. Учащиеся проводят самоконтроль. У кого получились такие же ответы? У кого ответы не сошлись? Где вы допустили ошибку? Вопросы учащимся на закрепление геометрического смысла производной: ·       Назовите прямые, которые пересекают ось Ох под острым углом. ·       Назовите прямые, которые  // оси Ох. ·       Назовите прямые, которые образуют с осью Ох угол, тангенс которого является отрицательным числом.
Рефлексия деятельности	10.37-10.39	Фронтальная	Беседа	Подведение итогов урока. ·       Какая ПРОБЛЕМА возникла перед нами в ходе урока?  (нужно было написать уравнение касательной, а мы не знали, как это сделать) ·       Какие цели мы с вами ставили на этот урок? (вывести уравнение касательной, научиться составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке) ·       Достигли ли вы цели урока? ·       Кто из вас может сказать с уверенностью, что научился составлять уравнение касательной? ·       У кого ещё остались вопросы? Мы обязательно ещё будем работать над этой темой и, я надеюсь, проблемы Ваши будут решены на 100%!
Домашнее задание	10.39-10.40			Запишите домашнее задание - №№ 255(вг), 256(вг), 257(вг), *, формула!!! Посмотрите в учебник на задания вашей домашней работы. №№ 255(вг), 256(вг) – продолжение классной работы по отработке навыка написания уравнения касательной. * – задание следующего уровня сложности для тех, кто хочет себя проверить: На параболе у = х2 + 5х – 16 найти точку, в которой касательная к ней // прямой 5х+у+4 =0. Спасибо за работу. Урок окончен.