План-конспект занятия по математике "Дифференциальное исчисление"

План-конспект занятия на тему:

«Дифференциальное исчисление»

1. Сведения из истории

Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением.

Дифференциальное исчисление было создано И.Ньютоном и Г.Лейбницем в конце XVΙΙ столетия. Термин «производная» ввел в 1797 г. Ж.Лагранж, он же ввёл современные обозначения производной , .

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь для определения скорости прямолинейного движения и построения касательной к кривой. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат исчисления, которым мы пользуемся в настоящее время. Ньютон исходил в основном из задач механики, а Лейбниц по преимуществу исходил из геометрических задач.

2. Понятие и определение производной

Пусть дана функция . Если ввести приращение аргумента  и приращение функции , то производная функции запишется в виде

Производной функции в точке   называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается одним из символов: , .

Функцию, имеющую производную в точке  называют дифференцируемой в данной точке.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Для того чтобы продифференцировать функцию у от х, надо:

1) вычислить значение функции у, соответствующее данному значению аргумента х;

2) придать данному значению аргумента приращение  и вычислить новое значение функции ;

3) вычесть прежнее значение функции из нового и тем самым определить приращение  функции ;

4) составить отношение ;

5) найти предел отношения при ; этот предел и дает искомую производную.

Пример. Найти производную функции у в любой точке х, найти производные данной функции в точках  и .

Решение.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Найдём значение производной в данных точках:

при  ,

при  .

3. Основные правила и формулы дифференцирования

С – постоянная,  – аргумент,  - функции от , имеющие производные.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной

,

2. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

3. Производная произведения равна

4. Производная частного равна

Формулы дифференцирования

Пример. Вычислить производную функции:

№ 1.

;

№ 2.

;

№ 3.

Задания для самостоятельной работы

Найти производные функций:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.

4. Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция , где .

Если функция  дифференцируема в некоторой точке х, а функция  определена на множестве значений функции  и дифференцируема в точке , то сложная функция  в данной точке х имеет производную, которая находится по формуле

.

Пример. Вычислить производную сложной функции:

№ 1.

;

№ 2.

;

№ 3.

Задания для самостоятельной работы

Найти производные сложных функций:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.

5. Вторая производная и производные высших порядков

Производная второго порядка (вторая производная) от функции  есть производная от её производной: у" = [f '(x)] '.

Производная третьего порядка (третья производная) от функции  есть производная от ее второй производной: у"' = [f ''(x)] ' и т.д.

Производная п-го порядка (п - ая производная) от функции  есть производная от ее (п – 1)- й производной: = [f (п-1)(x)] '.

Пример. Найти третью производную от функции у = х ∙ ln 2х в точке х = 2.

у' = ln 2х + х ∙ = ln 2х + 1. х 22

у'' = (у')' = . х1

у''' = (у'')

Задания для самостоятельной работы

№ 1. Найти производные второго порядка от указанных функций:

а)	б)
в)	г)

№ 2. Дана функция . Найти , .

№ 3. Дана функция . Найти , , .

6. Дифференциал функции. Дифференциал второго порядка

Дифференциалом функции  называется произведение её производной на приращение независимой переменной

Дифференциал функции можно вычислить по формуле , откуда .

Пример. Найти дифференциалы функций:

№ 1.

;

№ 2.

;

№ 3.

.

7. Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид  .

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания  называется нормалью к кривой.

Уравнение нормали записывается в виде .

Пример.

№ 1. Составить уравнение касательной к кривой  в точке с абсциссой .

Решение:

1) Найдем значение функции в заданной точке .

2) Найдем производную функции .

3) Найдем значение производной функции в заданной точке .

4) Подставив найденные значения  и  в формулу касательной, получим искомое уравнение касательной .

№ 2. Написать уравнение нормали к кривой f(x)= х3 в точке М(2;8).

8. Физический смысл производной

Механический смысл производной заключается в том, что скорость движения материальной точки в данный момент времени t равна производной пути S по времени t, т.е. .

Ускорение а(t) прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути S по времени t, т.е. .

Пример.

№ 1. Тело движется прямолинейно по закону .  Найти скорость и ускорение в момент времени  с.

Решение:

1) Находим скорость ,

2) Скорость в момент времени  равна  м/с,

3) Находим ускорение ,

4) Ускорение в момент времени   м/с².

№ 2. Тело движется прямолинейно по закону S (t) = 3t3 -12 t2 + 7 (S - в метрах,

t – время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения мгновенная скорость тела будет равна 72 м/с? Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет равно 36 м/с2?

Решение:

1) Скорость изменяется по закону V(t) = S' (t) =(3t3 -12 t2 + 7)' = 6 t2- 24 t.

2) Решим уравнение 6 t2- 24 t = 72; учитывая, что t > 0, получим, что

t = 6 с.

3) Ускорение изменяется по закону а(t) = V '(t) =(6 t2- 24 t)'= 12 t -24.

решим уравнение 12 t -24= 36, откуда t = 5 с.

Задания для самостоятельной работы

1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой у = х3 – 3х2 + 9х – 1 в точке М(1; 6).

2. Найти угловой коэффициент касательной к параболе у = х2 – 3 при х = 0,5.

3. Точка движется прямолинейно по закону S (t) = t2 + 2 t3 -4. Найти значения скорости и ускорения в момент времени t = 4.

4. Найти момент времени t, в который ускорение точки , движущейся прямолинейно по закону S (t) = – t3 + 3 t2 – 8, равно нулю. Какова при этом скорость точки?

8. Исследование функций и построение их графиков.

Исследование функций с помощью производной проводится по следующей схеме:

1. Область определения функции и точки разрыва, если они имеются;

D(f) – значения х, при которых функция существует.

2. Чётность и нечётность функции;

Функция чётная, если

3) исследовать функцию на периодичность;

4) определить точки пересечения с осями координат, если это возможно;

5) найти критические точки функции;

6) определить промежутки монотонности и экстремумы функции;

7) определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой и найти точки перегиба;

8) найти асимптоты графика функции;

9) используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной кривой; иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Например. Исследовать функцию у = х3 – 6х2 + 9х - 3 и построить еѐ график.