Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / По математике на тему "Формула Пика".

По математике на тему "Формула Пика".


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Формула Пика


Содержание


1. Введение

2. Формула Пика. Доказательство I.

Доказательство II.

Доказательство Ш.

3. Задачи.

4. Формула площади многоугольника через координаты вершин.

5. Задачи.

6. Литература



































Формула Пика.


1. Введение.



В истории черпаем мы мудрость,

в поэзии - остроумие,

в математике - проницательность.

Ф. Бэкон

Сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.

Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток - узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах и найдём его площадь.

hello_html_3e67a717.png



Искать её можно по - разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площади и сложить.

Но тут нас ждёт много хлопот. Фигура легко разбивается на прямоугольники, трапеции, и треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.

Хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади придется изрядно потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причуд­ливо? Оказывается, площади многоугольни­ков, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с коли­чеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.







2. Формула Пика.


Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки. Внутри его лежит В узлов решетки, а на границе Г узлов. Докажем, что его площадь равна В + hello_html_m4b3f19ec.gif – 1 (формула Пика).



Доказательство I.



Рассмотрим многоугольник, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки, то есть имеют целочисленные координаты.


hello_html_m4548210c.gif


Многоугольник разобьём на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах.

hello_html_m1fa3bef2.png


Обозначим:

n – число сторон многоугольника,

m – количество треугольников с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах,

В – число узлов внутри многоугольника,

Г – число узлов на сторонах, включая вершины.


Площади всех этих треугольников одинаковы и равны hello_html_649f8b7a.gif.

Следовательно, площадь многоугольника равна hello_html_m47e51fa9.gif.

Общая сумма углов всех треугольников равна 1800m.


Теперь найдём эту сумму другим способом.

Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 3600.

Тогда сумма углов с вершинами во всех внутренних узлах равна 3600 В.

Общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна 1800 (Г – n).

Сумма углов при вершинах многоугольника равна 1800 (n – 2) .

Общая сумма углов всех треугольников равна 3600 В + 1800 (Г – n) + 1800 (n – 2).


Таким образом, 1800 m = 3600 В + 1800 (Г – n) + 1800 (n – 2),

1800 m = 3600 В + 1800 Г – 1800 n + 1800n – 1800 ·2,

1800 m = 3600 В + 1800 Г– 3600 ,

hello_html_m47e51fa9.gif= В + hello_html_m41af5043.gif – 1 ,

откуда получаем выражение для площади S многоугольника:

S = В + hello_html_m41af5043.gif – 1 ,


известное как формула Пика.

На рисунке: В = 24, Г = 9, следовательно, S = 24 + hello_html_34fc342f.gif – 1 = 27,5.


hello_html_509fe34e.png










Найдём площадь первого многоугольника по формуле Пика:



hello_html_3ff07563.png


В = 28 (зеленые точки);

Г = 20 (синие точки).

Получаем, S = hello_html_2bc56a62.gif = 37 кв.ед.




Доказательство II.



Каждому многоугольнику M с вершинами в узлах целочисленной решетки поставим в соответствие число f (M) = hello_html_m4e84a693.gif, где суммирование ведётся по всем узлам решётки, принадлежащим M, а угол hello_html_m767945ca.gif определяется следующим образом: hello_html_23b31692.gif = hello_html_1e927244.gif для внутренней точки многоугольника, hello_html_m6289a755.gif = hello_html_18552d6e.gif для граничной точки, отличной от вершины, и hello_html_m6289a755.gif – угол при вершине, если данный узел – вершина. Легко видеть, что f (M) = hello_html_5c7da594.gif + hello_html_6255d84c.gif = В + hello_html_m41af5043.gif – 1. Остаётся проверить, что число f (M) равно площади многоугольника M.

Пусть многоугольник M разрезан на многоугольники M1 и M2 с вершинами в узлах решетки. Тогда f (M) = f (M1) + f (M2), поскольку для каждого узла углы складываются. Поэтому если формула Пика верна для двух из многоугольников M, M1 и M2, то она верна и для третьего.

Если M — прямоугольник со сторонами p и q, направленными по линиям решетки, то


f (M) = (p – 1)(q – 1) + hello_html_55ef6da5.gif = pq.


В этом случае формула Пика справедлива. Разрезав прямоугольник M диагональю на треугольники M1 и M2 и воспользовавшись тем, что f (M) = f (M1) + f (M2) и f (M1) = f (M2), легко доказать справедливость формулы Пика для любого прямоугольного треугольника с катетами, направленными по линиям решетки. Отрезав несколько таких треугольников от прямоугольника, можно получить любой треугольник.


hello_html_b137081.png


Для завершения доказательства формулы Пика остается заметить, что любой многоугольник можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.




Доказательство Ш.



Связь между площадью фигуры и количе­ством узлов, попавших в эту фигуру, особенно ясно видна в случае прямоугольника.


hello_html_m33aeda38.png


Пусть ABCD - прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки.

Обозначим через В количество узлов, лежа­щих внутри прямоугольника, а через Г - ко­личество узлов на его границе. Сместим сетку на пол клетки вправо и полклетки вниз.

hello_html_1e027540.png


Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещенной сетки, каждый из Г – 4 гра­ничных неугловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

hello_html_m24651ae8.gif


Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу hello_html_e116231.gif

Докажем, что эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки.

Обозначим через Sм площадь многоуголь­ника М с вершинами в узлах, а через Пм – величину hello_html_m5b9cd215.gif, где Вм – число узлов внутри М, а Гм — число узлов на границе. Тогда формулу Пика можно записать в виде hello_html_3b1a2de2.gif.


Доказательство формулы разобьем на не­сколько шагов.



Шаг 1.

Если многоугольник М с вершина­ми в узлах сетки разрезан на 2 многоугольни­ка М1 и М2, также имеющих вершины только в узлах сетки, то hello_html_m5ec97e93.gif. Пусть многоугольник М разрезан на много­угольники М1 и М2 с вершинами в узлах отрез­ком АВ. Все узлы, кроме тех, которые попадают на отрезок АВ, дают одинаковый вклад в левую и правую части формулы. Рассмотрим узлы, лежащие на отрезке АВ.


hello_html_m6f1af291.png


Если такой узел лежит между А и В (на­пример, С), то для многоугольника М он внутренний, а для многоугольников М1 и М2 – граничный. Поэтому его вклад в Пм равен 1, а в каждое из выражений hello_html_m2d465a98.gif и hello_html_m8a3eefb.gif– по 0,5, то есть вклады такого узла в Пм и hello_html_m1ecbb732.gifравны.

Рассмотрим узлы А и В. Они граничные как для М, так и для М1 , М2.

Поэтому вклад каждого из этих узлов в Пм равен 0,5 а в hello_html_m1ecbb732.gif- единице. Значит, суммарный вклад узлов А и В в Пм равен 1, что на 1 меньше, чем их вклад в hello_html_m1ecbb732.gif. Но hello_html_m7cf9cf53.gif, а hello_html_m1eb62561.gif.


Из общего «вклада» всех узлов Пм вычи­тается 1, а из hello_html_m1ecbb732.gif вычитается 2, и это компенсирует разницу вкладов узлов А и В.

Итак, hello_html_m5ec97e93.gif.


Шаг 2.

Если многоугольник М с вершинами в узлах сетки разрезан на два многоугольника М1 и М2 (тоже с вершинами в узлах) и формула верна для каких-то двух из многоугольников М, М1, М2, то она верна и для третьего многоугольника.

Пусть, например, она верна для М1 и М2 , то есть hello_html_239afa30.gif. Тогда (по первому шагу) hello_html_35303caa.gif, но (по перво­му шагу) последнее выражение равно Пм, а равенствоhello_html_6ef1df27.gif и есть формула Пика.


Шаг 3.

Докажем формулу Пика для пря­моугольного треугольника с вершинами в узлах сетки и катетами, лежащими на линиях сетки.

Треугольник АВС достроим до прямоуголь­ника ABCD .


hello_html_602212ed.png


Для прямоугольников формула Пика верна: SABCD = ПABCD. Согласно первому шагу ПABCD = ПABC + ПACD , ПABC = ПACD , так что ПABCD = 2ПABC . Но SABCD = 2 SABC . Поэтому SABC = ПABC.


Шаг 4.

Формула Пика верна для произволь­ного треугольника с вершинами в узлах сетки.

hello_html_4bda9cdb.png

Рассмотрев рисунок, легко понять: любой такой треугольник можно получить, «отрезав» от некоторого прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки, несколько прямо­угольников и прямоугольных треугольников с катетами на линиях сетки. А так как формула Пика верна для прямоугольников и прямоугольных треугольников, то (вспомним шаг 2) она верна и для исходного треугольника.

Мы доказали, что если многоугольник мож­но разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.
















3. Задачи.


Найдите площади фигур:


1hello_html_m2bc43f06.png
.

hello_html_m873a933.gif

hello_html_m71bf86de.png




hello_html_46f5e0b.png

hello_html_7613425f.png

B = 9

Г = 4

hello_html_786b0fbb.png


2.

hello_html_3b3a13fa.gifhello_html_m244aa453.png


hello_html_m188fc99d.png

hello_html_m5f172e18.png


hello_html_7613425f.png

B = 9

Г = 5

hello_html_4087218f.png


3.

hello_html_4e5b7fdf.gifhello_html_48a49e60.png



hello_html_m591d1258.gif


hello_html_2d1f12fa.png


hello_html_m3c87da8.gif

B = 10

Г = 7

hello_html_m17f810ac.gif



4.

hello_html_m753c12cf.gif hello_html_7fabd2a0.png


hello_html_m5e3e69df.gif


hello_html_103e2893.png


hello_html_m3c87da8.gif

B = 11

Г = 4

hello_html_3bf7708a.gif





















4. Формула площади многоугольника через координаты вершин.




В общем случае приходится довольствоваться формулой, выражающей площадь через координаты (х1; у1), (х2; у2), …, (хп; уп) последовательных вершин п-угольника:


hello_html_42a03b03.png(1)

Отличительной особенностью данной формулы является то, что площадь здесь выражается не через характеристики самого п-угольника (стороны, углы), а через координаты его вершин. Последние же зависят от расположения п-угольника относительно осей координат. А потому данную формулу считают не вполне «геометричной». Однако она достаточно удобна в практических задачах.



5. Задачи.

Найдите площади фигур:

1.


hello_html_mceb736b.pnghello_html_m279ad89.png

hello_html_m78be40ad.gif

По формуле (1):



hello_html_m51bec28e.png


hello_html_m3ffd912b.gif






2.

hello_html_m5adc3448.png

hello_html_m75b01574.gif

По формуле (1):

hello_html_m4d39c757.png

hello_html_173ff18c.gif


3.

hello_html_3070f997.png

hello_html_m7e27ecea.gif

По формуле (1):

hello_html_m7eef4eb0.png


hello_html_517637b9.gif



4.

hello_html_31193b1e.png

По формуле (1):

hello_html_m32a8a2f7.gif
































6. Литература.


1. Вокруг формулы Пика / Н. Б. Васильев // Квант. — 1974. — №12. — С. 39—43.

2. Многоугольники на клетчатой бумаге / В. Гальперин, В. Калинников // Квант. — 1978. — № 6. — С. 38—41.

3. Решетки и правильные многоугольники / А. А. Егоров // Квант. — 1974. — № 12. — С. 26—33.

4. А. Г. Кушниренко. Целые точки в многоугольниках и многогранниках // Квант. — 1977. — № 4. — С. 13—20.

5. В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001.

6. В.В. Вавилов, А.В. Устинов. Многоугольники на решетках. – М.: МЦНМО, 2006.

7. В.В. Вавилов, А.В. Устинов. Две знаменитые формулы. Журнал «Квант». — 2008. — № 2.

8. Газета Математика —2009. — № 23.

9. Открытый банк задач ЕГЭ по математике.









57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 02.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров931
Номер материала ДВ-026960
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх