Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Подбор задач по теории вероятност и для экзаменов 9-11 класс 11 класс векторы
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Подбор задач по теории вероятност и для экзаменов 9-11 класс 11 класс векторы

библиотека
материалов

32


Теория вероятности. Задачи про такси, игральные кости!

hello_html_72cb2f5a.png

  Здравствуйте, Дорогие друзья! В состав ЕГЭ по математике с 2012 включены задачи по теории вероятности. Это задачи самого простого уровня, на классическую вероятность. Большинство из них решаются в одно действие, и для решения понадобятся лишь самые основные понятия.

Практически все эти задачи можно решить исходя из простых логических рассуждений. В 2013 году добавились задачи посложнее, в них необходимо знать и  понимать теоремы сложения и умножения вероятностей. И те и другие задачи представлены на сайте, регулярно добавляются новые.

Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет. Дадим математическое определение вероятности. Приведём простые примеры.

Монета

hello_html_50a36796.png

Бросаем монетку. Орел или решка? Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называютиспытанием. Орел и  решка — два возможных исхода испытания (все варианты событий, которые только могут произойти, монета не может ни зависнуть, ни встать на ребро).

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятностьтого, что монетка упадет орлом, равна ½. Так же вероятность выпадения решки   ½.

Игральная кость

hello_html_7a4532.png

У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов шесть (кубик упадёт на одну из шести граней).  

Выпадение одного очка это один исход из шести возможных. Выпадение двух очков, это один исход из шести возможных. В теории вероятности такой исход называется благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки  так же равна 1/6 (один благоприятный исход из  шести возможных). Вероятность четверки  — тоже 1/6. А вот вероятность появления восьмёрки равна нулю. Ведь грани с восьмью точками на кубике нет.

Карты

hello_html_m6f030a42.png

Возьмём колоду из 36 карт. Вероятность того, что вытащите из колоды карт одну, которую загадали, равна один к тридцати шести или 1/36, тридцать шесть это число возможных исходов, которые могут произойти (число всех карт), один это число благоприятных исходов (загаданная карта).

Вероятность того, что вы вытащите из колоды карт туза, равна 4 к 36 или  4/36. Четыре это число благоприятных исходов (в колоде четыре туза), тридцать шесть — число возможных исходов.

Вероятность того, что вы вытащите из колоды карт красную карту (черви или буби) равна 1 к 2 или ½. Число благоприятных исходов 18 (красных карт ровно половина), возможных исходов также 36, 18/36=½.

Таким образом:

hello_html_m2fe14c0c.png

Понимания этого определения достаточно, чтобы решить практически все задачи в этой части. Важно безошибочно определить число всевозможных и благоприятных исходов.

Формально это можно выразить следующим образом:

hello_html_7952e86a.png

где m  — число благоприятных исходов

   n — число всевозможных исходов

Понимания этого определения вполне достаточно, чтобы решить задачи В10.  Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

В урне 34 шара одинакового размера, из них 8 — красные, остальные — зеленые. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете один. Вероятность вытащить красный шар равна 8/34, а зеленый — 26/34.

Вероятность достать красный либо зеленый шар равна 8/34 + 26/34 = 1.  Вероятность равна единице – это означает, что событие (вы достанете либо красный либо зелёный шар) произойдёт в любом случае. 

 

hello_html_7c2f17e6.png

В фирме такси в данный момент свободно 25 машин: 10 черных, 2 желтых и 13 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет не зеленое такси.

Возможное число исходов 20 (число всех машин). Сказано, что приедет не зелёное такси. Это означает, что приедет либо черное либо жёлтое такси. Таким образом, число благоприятных исходов 10+2=12. Искомая вероятность равна 12 к 25  или  0,48

Ответ: 0,48

hello_html_7c2f17e6.png

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.

В подобных задачах для удобства следует составить таблицу сумм для двух костей (все варианты сумм, которые могут выпасть):

hello_html_m175bdf72.png

Всего исходов 36 (6 на 6). Благоприятных исходов 3 (легко подсчитать в таблице). Вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков, равна 3 к 36 или 0,08333333…. Округляем до сотых, получаем 0,08.

Ответ: 0,08

*Если в подобных задачах (на две игральные кости) будет в вопросе идти речь о сумме выпавших очков, или их произведении, то обязательно составьте таблицу. По ней вы легко определите число благоприятных исходов.

hello_html_7c2f17e6.png

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 150 качественных сумок приходится 12 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется некачественной. Результат округлите до сотых.

Сказано, что  «на 150 качественных» сумок приходится 12 с дефектами. Значит, число возможных исходов 150+12=162. Число благоприятных исходов 12 (некачественные сумки). Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной равна 100 к 108 или

hello_html_mb8fb800.png

Округляем до сотых, получаем 0,07.

Ответ: 0,07


1.Стрелок делает по мишени выстрел. Вероятность попадания равна 0,7. Если он промахивается, то делает повторный выстрел. Какова вероятность того, что стрелок попадёт в мишень либо с первого, либо со второго выстрела?

Исходя из того, как поставлен вопрос, понятно, что необходимо найти сумму вероятностей событий:

«Стрелок попадёт по мишени первым выстрелом»

«Стрелок попадёт по мишени со второго выстрела»

Вероятность попадания первым выстрелом равна 0,7.

Вероятность попадания вторым выстрелом равна 0,3∙0,7 = 0,21 (то есть, стрелок первый выстрел делает мимо мишени – вероятность промаха равна 0,3; а вторым выстрелом поражает мишень).

Таким образом, вероятность того, что стрелок попадёт в мишень либо с первого, либо со второго выстрела равна:  0,7 + 0,21 = 0,91.

Ответ: 0,91 

 №2.При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,6, а при каждом последующем — 0,8. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,95?

Сколько бы не было сделано выстрелов, все эти события (каждый отдельный выстрел) будут независимыми. При совершении независимых событий (в данном случае группы выстрелов) одновременно вероятность такого события будет равна произведению вероятностей этих независимых событий.

Вероятность поразить цель при первом выстреле равна 0,6.

Значит, вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,4.

Вероятность поразить цель при каждом последующем выстреле (втором ит.д.) равна 0,8.

Значит, вероятность промаха при каждом последующем выстреле равна 0,2.

Необходимо поставить  вопрос: каким образом может быть поражена цель?              

Цель может быть поражена либо при первом выстреле, либо вторым выстрелом, либо третьим, либо четвёртым, либо пятым выстрелом и т.д. …

Все перечисленные события независимые. Найдём их вероятности.

При первом:

Вероятность поражения равна 0,6.

При втором:

Вероятность поражения равна  0,4 ∙ 0,8 = 0,32 (мимо-попал).

То есть, вероятность поражения цели не более, чем двумя выстрелами равна  0,6 + 0,32 = 0,92 < 0,95

При третьем:

Вероятность поражения равна  0,4 ∙ 0,2 ∙ 0,8 = 0,064 (мимо-мимо-попал).

То есть, вероятность поражения цели не более, чем тремя выстрелами равна  0,6 + 0,32 + 0,064 = 0,984 > 0,95

Таким образом, необходимо сделать три выстрела, чтобы мишень была поражена  с вероятностью не менее  0,95.

Ответ: 3

hello_html_m6e30308d.png



hello_html_6fc907f8.png













hello_html_m6d41b5d7.png













hello_html_m1d81c9d2.png















hello_html_3d0da045.png

hello_html_m638f10f9.png



hello_html_1662ff2b.png



















hello_html_m3909a3f8.png









































hello_html_m5269b97e.png



















hello_html_37be66f3.png





























































hello_html_57066790.png



















hello_html_m7bec7db2.png









































hello_html_m6e30308d.png



















hello_html_245cc053.png





















hello_html_4bf6ae11.png



















hello_html_7a36526.png























hello_html_49e3b22e.png





















hello_html_m5acc738.png















hello_html_m4d74d76e.png





















но есть в курсе школьной математики задачи немного сложнее (будут на ЕГЭ), для их решения  необходимо знать и понимать: правило сложения вероятностей, правило умножения вероятностей, понятие – условная вероятность.

В этой статье мы с вами именно такие задачи и рассмотрим.

Немного теории (самое необходимое):

Определение: События называются несовместными (независимыми), если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.  

Классический пример: при бросании игральной кости (кубика) может выпасть только единица, либо только двойка, либо только тройка и т.д. Каждое из этих событий происходит независимо от  других и совершение одного из них исключает совершение другого (в одном опыте).

О сумме вероятностей

Если происходят независимые события, то вероятность таких событий равна сумме вероятностей этих событий:

hello_html_m77f16f58.png

Пример с игральной костью:

Бросаем игральную кость. Какова вероятность выпадения числа меньшего четырёх?

Числа меньшие четырёх это 1,2,3. Мы знаем, что вероятность выпадения единицы равна 1/6, двойки 1/6, тройки 1/6. Это несовместные события. Можем применить правило сложения. Вероятность выпадения числа меньшего четырёх равна:

hello_html_703e8cc4.png

Действительно, если исходить из понятия классической вероятности: то число всевозможных исходов равно 6 (число всех граней кубика), число благоприятных исходов равно 3 (выпадение единицы, двойки или тройки). Искомая вероятность равна 3 к 6 или 3/6  = 0,5.

Об умножении вероятностей

Пусть происходят два несовместных события А и В, их вероятности   соответственно равны Р(А) и Р(В). Тогда вероятность совершения событий А и В одновременно равна произведению вероятностей. Вычисляется по формуле:

hello_html_m5e7fe231.png

Пример с той же игральной костью:

Бросаем игральную кость два раза. Какова вероятность выпадения двух шестёрок?

Вероятность выпадения шестёрки первый раз равна 1/6. Во второй раз так же равна  1/6. Оба эти события несовместные (независимые). Вероятность выпадения шестёрки в первый раз и во второй раз равна произведению:

hello_html_m5cca8043.png

Говоря простым языком: когда происходит событие, и ПРИ ЭТОМ происходит(ят) другое (другие), то вероятности этих событий перемножаются.

Задачи с игральной костью мы решали, но пользовались только логическими рассуждениями, формулу произведения не использовали. В рассматриваемых же ниже задачах без формул не обойтись, вернее с ними будет получить результат проще и быстрее.

Стоит сказать ещё об одном нюансе. При рассуждениях при решении задач используется  понятие ОДНОВРЕМЕННОСТЬ совершения независимых событий. Независимые события происходят ОДНОВРЕМЕННО — это не означает, что они происходят в одну секунду. Это значит, что они происходят в оговоренный промежуток времени или при одном испытании.

Например:

Две лампы перегорают в течение года (одновременно в течение года)

Два автомата ломаются в течении месяца (одновременно в течение месяца)

Игральная кость бросается три раза (очки выпадают одновременно при одном  испытании)

Биатлонист делает пять выстрелов. События (выстрелы) происходят одновременно во время одного испытания.

Рассмотрим задачи:

hello_html_7c2f17e6.png

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 % этих стекол, вторая –– 65%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая –– 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Первая фабрика выпускает 0,35 продукции (стёкол). Вероятность купить бракованное стекло с первой фабрики равна 0,04.

Вторая фабрика выпускает 0,65 стёкол. Вероятность купить бракованное стекло со второй фабрики равна 0,02.

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике И при этом оно окажется бракованным равна  0,35∙0,04 = 0,0140.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике И при этом оно окажется бракованным равна  0,65∙0,02 = 0,0130.

Покупка в магазине бракованного стекла подразумевает, что оно (бракованное стекло) куплено ЛИБО с первой фабрики, ЛИБО со второй. Это независимые события, то есть полученные вероятности складываем:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Ответ: 0,027

hello_html_7c2f17e6.png

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,62. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,2. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза. То есть, выиграть первый раз И при этом ещё выиграть ещё второй раз. В случае, когда происходят независимые события при условии того, что они выполняются определённым образом (происходят одновременно), то вероятности этих событий перемножаются (используется правило умножения).

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:  0,62∙0,2 = 0,124.

Ответ: 0,124

hello_html_7c2f17e6.png

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

То есть необходимо найти вероятность того, что школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Вписанная окружность», ЛИБО по теме «Параллелограмм». В данном случае вероятности складываются, так как это события несовместные (независимые) и произойти может любое из этих событий:  0,3 + 0,25 = 0,55.

*Несовместные (независимые) события – это события, которые не могут произойти одновременно.

Ответ: 0,55

hello_html_7c2f17e6.png

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний промахнулся. Результат округлите до сотых.

Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,9, то он промахивается с вероятностью   1 – 0,9 = 0,1   (промах и попадание это  события, которые при одном выстреле не могут произойти одновременно, сумма вероятностей этих событий равна 1).

Если речь идёт о совершении нескольких (независимых) событий при условии, что произойдёт одно событие из них и при этом другое (последующие) событие в одно время, то вероятности каждого отдельного такого события перемножаются.

Это правило называется – правилом умножения:

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Таким образом, вероятность события «попал, попал, попал, попал, промахнулся» равна 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Округляем до сотых, получаем 0,07

Ответ: 0,07

hello_html_7c2f17e6.png

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата.

Эти события независимые, значит вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,07∙0,07 = 0,0049.

Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0049 = 0,9951. 

*Исправны оба и какой-то один полностью – отвечает условию  «хотя бы один».

Можно представить вероятности всех (независимых) событий для проверки:

1.    «неисправен-неисправен»  0,07∙0,07 = 0,0049

2.    «исправен-неисправен»      0,93∙0,07 = 0,0651

3.    «неисправен-исправен»      0,07∙0,93 = 0,0651 

4.    «исправен-исправен»          0,93∙0,93 = 0,8649

Чтобы определить вероятность того, что исправен хотя бы один автомат, необходимо сложить вероятности независимых событий 2,3 и 4:

0,0651 + 0,0651 + 0,8649 = 0,9951

Оhello_html_m2db8e2e7.pngтвет: 0,9951

hello_html_m3672dfbb.png






















hello_html_m2442d964.png



























































hello_html_m29222932.png



























































hello_html_20101d5b.png







































Есть ещё два определения (из основ теории вероятности):

Определение: Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называетсяневозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение: События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

В следующей статье мы рассмотрим ещё задачи, где используется сумма и произведение вероятностей событий, не пропустите!







р 1. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Р е ш е н и е. Вероятность появления герба первой монеты (событие А)

Р (А) = 1 / 2.



Вероятность появления герба второй монеты (событие В)

Р (В) = 1 / 2.



События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна

Р (АВ) = Р (А) Р (В) = 1 / 2 * 1 / 2 = 1 / 4.



Пример 2. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Р е ш е н и е. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А),

P (A) = 8 / 10 = 0,8.



Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В),

Р (В) = 7 / 10 = 0,7.



Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С),

Р (С) = 9 / 10 = 0,9.



Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Р (АВС) = Р (А) Р (В) Р (С) = 0,8 * 0,7 * 0,9 = 0,504.



Приведем пример совместного применения теорем сложения и умножения.

Пример 3. Вероятности появления каждого из трех независимых событий A1, A2, A3 соответственно равны p1, р2, р3. Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Р е ш е н и е. Заметим, что, например, появление только первого события A1равносильно появлению события

hello_html_m260376e3.png



(появилось первое и не появились второе и третье события). Введем обозначения:

B1 — появилось только событие A1, т. е.


hello_html_m5d84450d.png


В2 — появилось только событие A2, т. е.


hello_html_538e500d.png


B3 — появилось только событие A3, т. е.


hello_html_607838f5.png



Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий A1, A2, А3, будем искать вероятность Р (B1 + B2 + B3) появления одного, безразлично какого из событий B1, B2, B3.

Так как события B1, B2, B3 несовместны, то применима теорема сложения

Р (B1 + B2 + B3) = P (B1) + P (B2) + P (B3).     (*)



Остается найти вероятности каждого из событий B1, B2, B3.

События A1, A2, A3 независимы, следовательно, независимы события

hello_html_71ce075b.png


поэтому к ним применима теорема умножения

hello_html_690f127c.png



Аналогично,

hello_html_6161ecc0.png



Подставив эти вероятности в (*), найдем искомую вероятность появления только одного из событий A1А2A3:

hello_html_175233f5.png





Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы:p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Р е ш е н и е. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A1(попадание первого орудия), А2 (попадание второго орудия) и A3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям A1, А2 и А3 (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

q1 = l — p1 = l — 0,8 = 0,2; q2 = l — p2 = l — 0,7 = 0,3;


q3 = 1 — p3 = 1 — 0,9 = 0,l.


Искомая вероятность

P (A) = 1 — q1q2q3 = 1 — 0,2 * 0,3 * 0,1 = 0,994.


Пример 2. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Р е ш е н и е. События "машина работает" и "машина не работает" (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

р + q = 1.


Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна

q = l — p = l — 0,9 = 0,1.


Искомая вероятность

Р (A) = 1 — q4 = 1 — 0,14 = 0,9999.

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример 3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Р е ш е н и е. Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз". События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула (**)

Р (A) = l — qn.


Приняв во внимание, что, по условию, Р (А) > = 0,9, р = 0,4 (следовательно,q = 1 — 0,4 = 0,6), получим

1 — 0,6n > = 0,9; отсюда 0,6n < = 0,1.


Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

n lg 0,6 < = lg 0,l.


Отсюда, учитывая, что lg 0,6 < 0, имеем

n > = lg 0,l / lg 0,6 = — l / 1,7782 = — l / (— 0,2218) = 4,5.


Итак, n > = 5, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Пример 4. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

Р е ш е н и е. Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула (**)

Р (А) = l — qn.


По условию, P (A) = 0,936; n = 3. Следовательно,

0,936 = 1 — q3, или q3 = 1 — 0,936 = 0,064.


Отсюда

hello_html_323a2a6f.png

Искомая вероятность

p = 1 — q = 1 — 0,4 = 0,6.






Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие A) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.

Р е ш е н и е. События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность

Р (АВ) = Р (А) Р (В) = 0,7 * 0,8 = 0,56.



ер 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

Р е ш е н и е. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A),

Р (А) = 3 / 10.



Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т. е. условная вероятность

РA (В) = 7 / 9.



По теореме умножения, искомая вероятность

Р (АВ) = Р (А) РA (В) = (3 / 10) * (7 / 9) = 7 / 30.



Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р (В) = 7 / 10, РB (А) = 3 / 9, Р (В) РB (А) = 7 / 30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства (***).

Пример 2. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие A), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С).

Р е ш е н и е. Вероятность появления белого шара в первом испытании

Р (A) = 5 / 12.



Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность

PA(B) = 4 / 11.



Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность

РAB (С) = 3 / 10.



Искомая вероятность

Р (ABC) = Р (A) PA (В) РAB (С) = (5 / 12) * (4 / 11) * (3 / 10) = 1 / 22.



.


В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Р е ш е н и е. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

РA (В) = 3 / 5.


Этот же результат можно получить по формуле

РA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р (А) > 0). (*)

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании

Р (А) = 3 / 6 = 1 / 2.

Найдем вероятность Р (АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений A26 = 6 * 5 = 30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 * 3 = 9 исходов. Следовательно,

Р (AВ) = 9 / 30 = 3 / 10.

Искомая условная вероятность

РA (В) = Р (АВ) / Р (А) = (3 / 10) / (1 / 2) = 3 / 5.


Как видим, получен прежний результат.


Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В — 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Р е ш е н и е. События "пакет получен из города А", "пакет получен из города В", "пакет получен из города С" образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

0,7 + 0,2 + p =1.



Отсюда искомая вероятность

р = 1 — 0,9 = 0,1.


Пример 1.
 В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Р е ш е н и е. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)

Р (А) = 10 / 30 = 1 / 3.



Вероятность появления синего шара (событие В)

Р (В) = 5 / 30 = 1 / 6.



События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

P (A + B) = P (A) + P (B) = l / 3 + l / 6 = l / 2.



Пример 2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую — 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Р е ш е н и е. События А — "стрелок попал в первую область" и В — "стрелок попал во вторую область" — несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) = 0,45 + 0,35 = 0,80.


Пример 1.
 На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Р е ш е н и е. Площадь кольца (фигуры g)

Sg =  (102 — 52) = 75.



Площадь большого круга (фигуры G)

SG = 102 = 100.



Искомая вероятность

Р = 75 / (100) = 0,75.


   

Пример 2. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого.Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t < T). Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за время T, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

Р е ш е н и е. Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств соответственно через х и у. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства: 0 <= x <= Т, 0 <= y <= Т. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки квадрата ОТ AT. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов поступления сигналов.

Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t, т. е. если 
у — х < t при у > х и х — у < t при х > у, или, что то же,

y < x + t при у > х,     (*)



y > х - t при y < х.     (**)



Неравенство (*) выполняется для тех точек фигуры G, которые лежат выше прямой у = х и ниже прямой y = x + t, неравенство (**) имеет место для точек, расположенных ниже прямой у = х и выше прямой у = х - t.

Все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (*) и (**), принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими моментами времени х и у. Искомая вероятность

Р = Пл.g / Пл.G = (Т2 — (Т — t)2) / T2 = (t (2T — t)) / T2.



ПРимер 1. По данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев, ничиная с января): 0,486; 0,489; 0.490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек.

Заметим, что статистические данные различных стран дают примерно то же значение относительной частоты.

Пример 2. Многократно npoводились oпыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления "герба". Результаты нескольких опытов приведены в таб.1.

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. Например, при 4040 испытаниях отклонение равно 0,0069, а при 24000 испытаний - лишь 0,0005. Приняв во внимание, что вероятность появления "герба" при бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеждаемся, что относительная частота колеблется около вероятности.

Число бросаний

Число появлений "герба"

Относительная частота

4040

2048

0,5069

12000

6019

0,5016

24000

12012

0,5005


Пример 1.
 Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Р е ш е н и е. Обозначим через А событие — набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Р (А) = 1 / 10.



Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Р е ш е н и е. Обозначим через В событие — набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т. е. A210 = 10 * 9 = 90. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Р (В) = 1 / 90.



Пример 3. Указать ошибку "решения" задачи: "Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие A)".

Р е ш е н и е. Всего возможны 2 исхода испытания: сумма выпавших очков равна 4, сумма выпавших очков не равна 4. Событию А благоприятствует один исход: общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность

P (A) = 1 / 2.



Ошибка этого решения состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными.

П р а в и л ь н о е   р е ш е н и е. Общее число равновозможных исходов испытания равно 6 * 6 = 36 (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (1; 3), (3; 1), (2; 2) (в скобках указаны числа выпавших очков). Следовательно, искомая вероятность

Р (A) = 3 / 36 = 1 / 12.



Пример 4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Р е ш е н и е. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов (С610).

Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди шести взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей C47 способами; при этом остальные 6 - 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 - 7 = 3 нестандартных деталей можно С23 способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно C47 * C23.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

P (A) = (C47 * C23) / C610 = 1 / 2.


Пример перестановок.
 Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Р е ш е н и е. Искомое число трехзначных чисел

P3 = 3! = 1 * 2 * 3 = 6.



Пример размещений. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Р е ш е н и е. Искомое число сигналов

А26 = 6 * 5 = 30.



Пример сочетаний. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Р е ш е н и е. Искомое число способов

С 210 = 10! / (2! 8!) = 45.


Примеры несовместных событий.

Пример 1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — несовместные.

Пример 2. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» — несовместные.

Примеры полной группы.
Пример 3. Приобретены два билета денежно - вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример 4. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

Примеры равновозможных событий.
Пример 5. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты — равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Пример 6. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости — равновозможные события. Действительно, предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.




ример 1. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Р е ш е н и е. Вероятность появления герба первой монеты (событие А)

Р (А) = 1 / 2.



Вероятность появления герба второй монеты (событие В)

Р (В) = 1 / 2.



События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна

Р (АВ) = Р (А) Р (В) = 1 / 2 * 1 / 2 = 1 / 4.



Пример 2. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Р е ш е н и е. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А),

P (A) = 8 / 10 = 0,8.



Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В),

Р (В) = 7 / 10 = 0,7.



Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С),

Р (С) = 9 / 10 = 0,9.



Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Р (АВС) = Р (А) Р (В) Р (С) = 0,8 * 0,7 * 0,9 = 0,504.



Приведем пример совместного применения теорем сложения и умножения.

Пример 3. Вероятности появления каждого из трех независимых событий A1, A2, A3 соответственно равны p1, р2, р3. Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Р е ш е н и е. Заметим, что, например, появление только первого события A1равносильно появлению события

hello_html_m260376e3.png



(появилось первое и не появились второе и третье события). Введем обозначения:

B1 — появилось только событие A1, т. е.


hello_html_m5d84450d.png


В2 — появилось только событие A2, т. е.


hello_html_538e500d.png


B3 — появилось только событие A3, т. е.


hello_html_607838f5.png



Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий A1, A2, А3, будем искать вероятность Р (B1 + B2 + B3) появления одного, безразлично какого из событий B1, B2, B3.

Так как события B1, B2, B3 несовместны, то применима теорема сложения

Р (B1 + B2 + B3) = P (B1) + P (B2) + P (B3).     (*)



Остается найти вероятности каждого из событий B1, B2, B3.

События A1, A2, A3 независимы, следовательно, независимы события

hello_html_71ce075b.png


поэтому к ним применима теорема умножения

hello_html_690f127c.png



Аналогично,

hello_html_6161ecc0.png



Подставив эти вероятности в (*), найдем искомую вероятность появления только одного из событий A1А2A3:

hello_html_175233f5.png


НАПРИМЕР 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы:p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Р е ш е н и е. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A1(попадание первого орудия), А2 (попадание второго орудия) и A3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям A1, А2 и А3 (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

q1 = l — p1 = l — 0,8 = 0,2; q2 = l — p2 = l — 0,7 = 0,3;


q3 = 1 — p3 = 1 — 0,9 = 0,l.


Искомая вероятность

P (A) = 1 — q1q2q3 = 1 — 0,2 * 0,3 * 0,1 = 0,994.


Пример 2. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Р е ш е н и е. События "машина работает" и "машина не работает" (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

р + q = 1.


Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна

q = l — p = l — 0,9 = 0,1.


Искомая вероятность

Р (A) = 1 — q4 = 1 — 0,14 = 0,9999.

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример 3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Р е ш е н и е. Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз". События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула (**)

Р (A) = l — qn.


Приняв во внимание, что, по условию, Р (А) > = 0,9, р = 0,4 (следовательно,q = 1 — 0,4 = 0,6), получим

1 — 0,6n > = 0,9; отсюда 0,6n < = 0,1.


Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

n lg 0,6 < = lg 0,l.


Отсюда, учитывая, что lg 0,6 < 0, имеем

n > = lg 0,l / lg 0,6 = — l / 1,7782 = — l / (— 0,2218) = 4,5.


Итак, n > = 5, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Пример 4. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

Р е ш е н и е. Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула (**)

Р (А) = l — qn.


По условию, P (A) = 0,936; n = 3. Следовательно,

0,936 = 1 — q3, или q3 = 1 — 0,936 = 0,064.


Отсюда

hello_html_323a2a6f.png

Искомая вероятность

p = 1 — q = 1 — 0,4 = 0,6.







ЗАДАЧИ

В ЕГЭ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ


11 КЛАСС


( 9 КЛАСС)


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 09.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров482
Номер материала ДВ-139108
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх