Инфоурок / Математика / Конспекты / Подборка исторического материала за курс 8 класса по алгебре и геометрии

Подборка исторического материала за курс 8 класса по алгебре и геометрии

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

34


Пока алгебра и геометрия развивались врозь, их прогресс был медленным, применение – ограниченным; когда же эти две науки были соединены, они стали помогать друг другу и быстро шагать к совершенству.

Лагранж


АЛГЕБРА


ДРОБИ


Ньютон об алгебраической дроби


Во «Всеобщей арифметике» Ньютона понятие дроби вводится следующим образом: «Запись одной из двух величин под другой, ниже которой между ними проведена черта, обозначает частное или же величину, возникающую при делении верхней величины на нижнюю.

Так, hello_html_106814fb.gif означает величину, возникающую при делении 6 на 2, т.е. 3, аhello_html_m3308d649.gif– величину, возникающую при делении 5 на 8, т.е. восьмую долю числа 5. Далее, hello_html_m42527247.gif есть величина, возникающая при делении а на b. Если, например, а есть 15 и b есть 3, тоhello_html_m42527247.gif будет 5. Точно так жеhello_html_25c6bb00.gif означает величину, получающуюся при делении abbb на a + x и т.д. Величины такого рода называются дробями».

Далее Ньютон обращает внимание читателей на следующие два обстоятельства:

  1. В то время как запись целого числа перед арифметической дробью означает их сумму, запись целого числа перед алгебраической дробью означает их произведение, например: hello_html_m14050adc.gif=hello_html_17c16fe9.gif, но hello_html_6e398423.gif=hello_html_33767267.gif

  2. Следует различать алгебраическую дробь от того или иного ее числового значения, а именно: числовое значение алгебраической дроби может выражаться в зависимости от тех или иных значений входящих в нее букв дробным либо целым числом. Например, числовое значение дроби hello_html_m42527247.gif есть hello_html_16da0880.gif при а=3, b=5 или же 4 при а=8, b=2.

hello_html_766cfe39.jpg

Алгебраические сведения в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого


«Арифметика» Магницкого, изданная в 1703 г., наряду с подробным и систематическим изложением арифметики содержала также сведения из алгебры, геометрии, тригонометрии, астрономии и навигации. По книге Магницкого русский читатель впервые знакомился с действиями над многочленами, с правилами решения уравнений первой и второй степени. Хотя в целом Магницкий не употреблял еще алгебраической символики, он все же был знаком с нововведением Виета, следуя которому обозначал неизвестные величины прописными гласными, а известные – согласными буквами. Подобно английскому математику Т. Гарриоту, он еще пишет bb, bbb, … вместо современных b2, b3, … .

В левом нижнем углу заглавного листа « Арифметики» Магницкого изображена доска со следующей записью: 2R + 1


3R ÷2

¯¯¯¯¯

6q + 3R


÷4R÷2

¯¯¯¯¯¯¯¯¯

6q÷1R÷2

Это не что иное, как умножение «столбиком» двух многочленов. Буквой R (начальная в латинском слове Radix – корень) обозначено неизвестное (наш х), буквой q – неизвестное в квадрате. Черточка с точками ÷ служила знаком вычитания.

Задание ученикам. Задача 1. Переписать запись Магницкого современными символами и проверить умножение.




Алгебраические дроби у Диофанта

В «Арифметике» Диофанта содержится много примеров действий над алгебраическими дробями.

Вот два из них, записанных в современных символах.

0

Х0 — М

Х1 Ѕ

Х2 Δγ

Х3ΔγΔ

Х4ΔγΔ

Х5 ΔΚγ

Х6ΚγΚ

Задача 2.

hello_html_10045d05.gif=hello_html_m18273f90.gif

Задача 3.

hello_html_m5e2d7af7.gif=hello_html_5d5e0675.gif

Проверьте!


Зачатки алгебраической символики у Диофанта




Одно тождество Эйлера


Среди многих тождеств, принадлежащих знаменитому математику, члену Петербургской академии наук Л. Эйлеру, имеется следующее:

Задача 4.

hello_html_5fc6c796.gif=hello_html_4ce609cb.gif

Проверьте!


О буквенных коэффициентах. Задача Ариабхатты


Обозначение неизвестных величин буквами восходит, как известно, по крайней мере, к Диофанту. Однако полное значение буквенной символики выявилось лишь после того, как Виет впервые применил ее для обозначения известных величин и коэффициентов. Благодаря введению буквенных коэффициентов стало возможным исследование алгебраических уравнений в общем виде и применение общих формул.

Виет применял в качестве коэффициентов латинские прописные согласные буквы B, D, G, ... , а прописные гласные А, Е, J, … - для обозначения неизвестных.

Декарт ввел для обозначения коэффициентов строчные начальные буквы латинского алфавита a, b, с, ...; для неизвестных же – последние буквы: x, у, z.

Задачи, сформулированные в общем виде, без конкретных числовых данных, встречаются уже в древности и в средние века.

В астрономическом трактате «Ариабхаттиам» индийского ученого Ариабхатты (род. в 476 г.) имеется следующая задача:

Задача 5. «Два лица имеют равные имущества, причем каждое состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Однако, как число вещей, так и сумма денег у них различны. Какова стоимость вещи?»



НЕРАВЕНСТВА И ПРИМЕНЕНИЕ ИХ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ


О знаках равенства и неравенства


При исследовании корней квадратного уравнения по дискриминанту и при построении графиков мы часто применяем наряду со знаками равенства и знаки неравенства.

В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующим образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда стал, однако, общеупотребительным лишь в XVIII в., после того, как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи.

Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые поныне знаки неравенства, обосновывая (в «Практике аналитического искусства», вышедший в 1631 г. Посмертно) нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (<).В первом случае образованный знак неравенства будет обозначать «больше», во втором – «меньше».

Несмотря на то, что знаки неравенства были предложены через 74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вошли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства (=) у них не было, а изготовлять его тогда было нелегко.

О понятии неравенства


Знаки неравенства (>, <) появились впервые в 1631 г., но понятие неравенства, как и понятие равенства, возникло в глубокой древности.

В развитии математической мысли без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения. Приближенные вычисления (в том числе и вычисление π, метод исчерпывания, современное понятие предела и др.) связаны с понятием неравенства.

Некоторые неравенства древности.

В V книге «Начал» Евклида доказывается:

Задача 6. «Если а – наибольшее число в пропорцииhello_html_m42527247.gif =hello_html_75514565.gif, где а, b, c, d, - положительные числа, то существует неравенство

а + d > b + с.

Докажите!»

В основном труде Паппа Александрийского, названном «Математическое собрание» и написанном в III в., доказывается:

Задача 7. «Еслиhello_html_4f09ffd5.gif, то аd > bс (а>0, b>0, с>0, d>0).

Докажите!»


Строгие и нестрогие неравенства. Неравенство Коши


В теории и в практических задачах встречаются знаки неравенства, соединенные со знаком равенства ≥ (не меньше) или ≤ (не больше). Такие неравенства называются нестрогими. Символы ≥ и ≤ были введены в 1734г. Французским математиком Пьером Буге (Р. Bouguer). Позже их стали записывать так: ≥, ≤.

Еще более 2000 лет назад было известно следующее неравенство: hello_html_m51414d46.gif, (1) где а, b≥0. Словами оно выражается так: среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел.

Задача 8. «Проверьте неравенство (1) на двух примерах».

Доказательство (1)основывается на фундаментальном неравенстве, которое выражает неотрицательность квадрата любого числа: (l ─ m)²≥0. (2)

Здесь (l ─ m)²=0 только при условии l=m.

Из неравенства (2) вытекает: + m²≥2lm, (3) или

hello_html_m49367868.gif. (3´)

Положив = а2, = , получим неравенство (1).

Обобщив неравенство (1) на 3, 4, 5, …, n неотрицательных чисел, знаменитый французский математик Огюстен Луи Коши доказал в 1821г. Следующее неравенство: hello_html_ma57f54b.gif, (4)

т.е. среднее геометрическое n неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел. (Равенство существует при условии, если только все n чисел равны между собой.)

Задача 9. «Проверьте неравенство (4) на примерах для n = 3, 5, 6».

Классическое доказательство неравенства (4), данное Коши, основано на методе математической индукции. Ныне известно более десятка различных доказательств.


ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ


О происхождении приближенных чисел


Арифметика родилась из практических нужд человека, из необходимости считать предметы, измерять величины. Числа, получаемые в результате измерения, всегда приближенные. Это объясняется главным образом следующими двумя обстоятельствами: а) измерительные инструменты никогда не бывают совсем точными и б) при различных измерениях на практике всегда допускаются те или иные неточности. Различные измерения длины пути или взвешивание тела дают очень близкие друг другу, но не одинаковые результаты.

Все геодезические измерения, относящиеся к площади поверхности и объему Земли, как бы тщательно они ни производились, выражаются приближенными числами. То же имеет место в точнейших измерениях современной физики и астрономии. Так, например, астрономы установили, что расстояние до наиболее далеких галактик – грандиозных звездных систем, доступных для наблюдения современными телескопами – составляет около 3·1022км, или 3 млрд. световых лет. Конечно, это число приближенное.

Во многих случаях и счет предметов приводит к приближенным числам, например, когда речь идет об определении числа деревьев в лесу или числа жителей большого города.

При составлении планов развития народного хозяйства нашей страны в любой отрасли сельского хозяйства и промышленности, в науке и технике мы пользуемся приближенными числами. Поэтому приближенные вычисления имеют особенно важное значение в настоящее время.


Правило А.Н. Крылова


Рассмотрение математических задач, решавшихся в Древнем Египте и Вавилоне, показывает, что еще в глубокой древности возникли некоторые приемы приближенных вычислений. Под влиянием запросов техники в настоящее время разработаны разные методы приближенных вычислений.

Большие заслуги в развитии теории приближенных вычислений имеет академик Алексей Николаевич Крылов (1863 – 1945). Он в 1942г. писал: «Во всех справочниках, как русских, так и иностранных, рекомендуемые приемы численных вычислений могут служить образцом, как эти вычисления делать не надо… Вычисление должно производиться с той степенью точности, которая необходима для практики, причем всякая неверная цифра составляет ошибку, а всякая лишняя цифра – половину ошибки».

Для того, чтобы в приближенных вычислениях можно было бы из самой записи приближенного числа судить о степени его точности, Крылов предложил следующее правило: «Приближенное число следует записать так, чтобы все цифры, кроме последней, были бы надежными», т.е. верными.

Пример: Записывая 142,35, мы должны быть уверенными в том, что абсолютно верна не только целая часть дроби, но и три десятых. Сомнительным может быть только число сотых – 5.

А.Н. Крылов был не только видным математиком, но и выдающимся механиком-кораблестроителем, сделавшим ряд важнейших технических открытий. Он отличался большим умением применять математическую теорию к решению практических и технических задач.

За большие заслуги в деле развития отечественной математики и советского кораблестроения А.Н. Крылов был награжден тремя орденами Ленина, ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда.



О приближенном и графическом решении уравнений


Одной из важнейших заслуг Декарта явилось введение общих методов графического решения уравнений, которое основывается на применении изложенного им в «Геометрии» метода координат. Отдельные уравнения решались с помощью геометрических построений и в древности, и в средние века, до Декарта. Однако благодаря введению системы координат графический метод решения уравнений стал общеприменимым. В дальнейшем методы графического решения задач были развиты Ньютоном, Яковом Бернулли и другими учеными.

Издавна ученые сталкивались с решением уравнений третьей и высшей степеней. Отдельные виды кубических уравнений решали геометрическими способами (Архимед и другие в древности, Омар Хаяйям, ал-Каши и другие в средние века). Однако общего алгебраического решения уравнений третьей степени, т.е. правила для выражения корней через коэффициенты уравнения, не нашли ни древние греки, ни индейцы, ни арабские и среднеазиатские ученые.

Формула для решения общего уравнения третьей степени была открыта лишь в XVI в. итальянскими математиками Ферро, Тартальей и Кардано.

Тогда же итальянский математик Феррари открыл формулу для решения общего уравнения четвертой степени. Однако эти формулы очень громоздкие, в практике ими мало пользуются, предпочитая способы приближенных вычислений корней уравнений степени выше второй.

Поиск общих формул для решения уравнений пятой или более высокой степени оказались безуспешными.

Вот почему важное значение имеет приближенное вычисление корней уравнений высших степеней с точностью, удовлетворяющей нужды науки и практики.

Разработкой методов приближенного решения алгебраических уравнений занимались еще ученые Древнего Китая, арабские и среднеазиатские ученые, среди которых был и ал-Каши. Первым европейским математиком, который систематически решал числовые уравнения приближенным путем, был Виет. Известен также «метод Ньютона» и многие другие методы приближенных вычислений корней уравнений. Один из лучших методов был найден независимо друг от друга тремя математиками в 20-30-х годах XIX в.: Данделеном (Бельгия), Лобачевским (Россия) и Греффе (Швейцария).

Методы численного (приближенного) решения уравнений применяются в настоящее время в различных вопросах науки и техники.

КВАДРАТНЫЕ КОРНИ


Извлечение квадратного корня из положительного числа


Потребность в действиях возведения в степень и извлечения корня была вызвана, как и другие четыре арифметических действия, практической жизнью. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона которого а известна, с давних времен встречалась обратная задача: какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась в?

Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли наряду с таблицами умножения и таблицами обратных задач (при помощи которых деление чисел сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа. Вавилонский метод извлечения квадратного корня можно иллюстрировать на следующем примере, изложенном в одной из найденных при раскопках клинописных табличек.

Найти квадратный корень из 1700.

Для решения задачи данное число разлагается на сумму двух слагаемых:

1700 = 1600 + 100 = 402 + 100,

первое из которых является полным квадратом. Затем указывается, что

hello_html_635f40b2.gif=hello_html_5c72be22.gif=hello_html_m70683192.gif

Правило, применявшееся вавилонянами, может быть выражено так: чтобы извлечь корень из числа с, разлагают его на сумму а2 + b (b должно быть достаточно малым в сравнении с а2) и вычисляют по приближенной формуле:

hello_html_26493eb7.gif= hello_html_m4024484f.gif= hello_html_m57495ac6.gif. (1)

Вавилонский метод извлечения квадратного корня был заимствован греками. Так, например, у Герона Александрийского находим:

hello_html_4ddaea94.gif=hello_html_m3fca06de.gif=hello_html_m3f32086f.gif=hello_html_2e641e77.gif . (1')

Задание ученикам. Задача 10. Вычислить hello_html_635f40b2.gif с помощью счетной линейки и по таблицам и сравнить с приведенным результатом (1`).



О знаке корня


Начиная с XIII в. итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R. В XV в. Н. Шюке писал: R212 вместоhello_html_709e0341.gif.

Ныне применяемый знак корня произошел от обозначения, которое применяли немецкие математики XV – XVI вв., называвшие алгебру «Косс», а алгебраистов «коссистами». (Математики XII – XV вв. писали свои произведения на латинском языке. Они называли неизвестное res – вещь. Итальянские математики перевели res словом cosa. Последний термин был заимствован немцами, откуда и появились «Косс» и «коссисты».)

Некоторые немецкие коссисты XV в. обозначали квадратный корень точкой впереди числа или выражения. В скорописи точки заменяли черточками, позже перешедшими в символ ♦. Так, в рукописи, написанной в 1480 г. на латинском языке, один такой символ точки перед числом (♦) означал квадратный корень, два таких знака (♦♦) – корень четвертой степени, а три (♦♦♦) – кубический корень.

Вероятно, из этих обозначений впоследствии и образовался знак V, близкий к современному символу корня, но без верхней черты. Этот знак встречается впервые в немецкой алгебре «Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс», изданной в 1525 г. в Страсбурге. Автором этой книги был уроженец Чехии, учитель математики в Вене Криштоф Рудольф из Явора (княжество, принадлежавшее в то время богемскому королевству). Книга пользовалась успехом и переиздавалась на протяжении XVI в. и вплоть до 1615 г. Знаком корня пользовались в XVI в. М. Штифель, С. Стевин и др.

В 1626 г. нидерландский математик А. Жирар, сочетая знак Рудольфа с показателями Шюке, ввел близкое к современному обозначение V2, V3 ит. д. Это обозначение стало вытеснять знак R. Однако долгое время писали, например, Vhello_html_d41f7d3.gif (вместо современного hello_html_3c438c34.gif). Лишь в 1637 г. Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии» современный знак корня √.

Однако запись у Декарта несколько отличается от современной. У него, например, записано:

hello_html_m1f719eef.gif,

где буква С поставлена вместо латинского слова cubicus, что означает кубический. В современной записи это выражение будет выглядеть так:

hello_html_m6b5282b1.gif.

Еще ближе к современному применял обзначение радикала Ньютон в «Универсальной арифметике» (1685 г.). Впервые запись корня, точно совпадающая с ныне принятой, встречается в книге француза Ролль «Руководство алгебры», написанной в 1690 г. Современный знак корня окончательно вошел во всеобщее употребление лишь в начале XVIII в.


КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ


Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне


Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. Вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

hello_html_50cd1672.gif=hello_html_m298a9aa6.gif, hello_html_m453d2163.gif=hello_html_20900733.gif.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.


Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения


В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 – х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение

(10 + х)(10 – х) = 96,

или же

100 – х2 = 96,

х2 – 4=0. (1)

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решаем эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения:

у(20 – у) = 96,

у2 – 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел. Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадрата уравнения (1)

Задание ученикам

Задача 12. «Решить следующие квадратные уравнения из «Арифметики» Диофанта:

1) 12х2 + х = 1; 2) 630х2 + 73х = 6».



Квадратные уравнения в Индии


Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах2 + вх = с, а>0. (1)

В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

А двенадцать по лианам…

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?»

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче 13 уравнение

hello_html_5b85420e.gif=hello_html_4e6386ec.gif

Бхаскара пишет под видом

х2 – 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляя к обеим частям 322, получая затем:

х2 – 64х + 322 = -768 + 1024,

(х – 32)2 = 256,

х – 32 = ±16,

х1 = 16, х2 = 48.




Квадратные уравнения у ал-Хорезми


В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

  1. «Квадраты равны корням», т.е. ах2 = вх.

  2. «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.

  3. «Корни равны числу», т.е. ах = с.

  4. «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = вх.

  5. «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + вх = с.

  6. «Корни и числа равны квадратам», т.е. вх + с = ах2.

Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Харезми, как и все математики до XVII в., не учитывая нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Приведем пример.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7. это тоже есть корень.

Трактат ал-Хорезми является первой дошедший до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.


Квадратные уравнения в Европе XIII – XVII вв.


Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI – XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

х2 + вх = с,

при всех возможных комбинациях знаков коэффициентов в, с было сформулировано в Европе лишь в 1554 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.


О теореме Виета


Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D, умноженное на А минус А2, равно BD, то А равно В и равно D».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означала у него неизвестное (наше х), гласные же B, D – коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + в) хх2 = ав,

т.е.

х2 – (а + в) х + ав = 0,

то

х1 = а, х2 = в.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.


От «Начал» Евклида шли все замыслы дальнейшего, более совершенного обоснования геометрии.

В.Ф. Кагаев

ГЕОМЕТРИЯ


МНОГОУГОЛЬНИКИ


О параллелограмме


В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырехугольников: квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции. В частности, в клинописных математических табличках встречаются прямоугольные треугольники, рассеченные параллелями к одному из катетов на прямоугольные трапеции.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.

В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в XVII в. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида.

Термин «диагональ» происходит от сочетания двух греческих слов «диа» (через) и «гониос» (угол), т.е. прямая, проходящая через вершины углов. Однако Евклид и большинство древнегреческих математиков пользовались почти всюду, в частности для прямоугольника, не этим, а другим термином – «диаметр». Это объясняется тем, что первые геометры мыслили прямоугольник вписанным в круг. В средние века были в ходу оба термина. Фибоначчи и Региомонтан еще пользовались термином «диаметр». Лишь в XVIII в. термин «диагональ» входит в общее употребление.

Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.

Термин «квадрат» происходит от латинского quadratum (quadrare – сделать четырехугольным), перевод с греческого «тетрагонон» - четырехугольник.

«Первый четырехугольник, с которым познакомилась геометрия, был квадрат», - пишет Д.Д. Мордухай-Болтовский.


О трапеции


«Трапеция» - слово греческое, означавшее в древности «столик» (по-гречески «трапедзион» означает столик, обеденный стол. Сравните трапеза, трапезная).

В «Началах» термин «трапеция» применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония (I в.). В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (не параллелограмм); лишь в XVIII в. это слово приобретает современный смысл.

Предложение о том, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, было известно древним египтянам, оно содержится в папирусе Ахмеса и фигурирует в виде инскрипции (II в. до н.э.) на стенах храма Эдфу в Верхнем Египте. Это предложение было известно также вавилонским землемерам, оно содержится и в трудах Герона Александрийского.


Вычисление площадей в древности


Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Еще 4 – 5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко построить, ими можно заполнить плоскость без пробелов.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади S четырехугольника со сторонами а, b, с, и d (рис. 4) применялась формула

S =hello_html_m574d09f9.gif, (1)

тhello_html_m33c29cdd.gif.е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь таких четырехугольников, у которых углы близки к прямым.

Для определения площади S равнобедренного треугольника АВС, в

котором |АВ| = |АС|, египтяне пользовались приближенной формулой:

S =hello_html_4b0a5ad2.gif. (2)

Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной |АВ| и высотой |АD| треугольника, иными словами, чем ближе вершина В (и С) к основанию D высоты из А. Вот почему приближенная формула (2) применима лишь для треугольников со сравнительно малым углом при вершине.

Задание ученикам

Задача 15. Доказать, что египетская формула (1) для вычисления площади четырехугольника верна для прямоугольника.


Измерение площадей в Древней Греции


В своих «Началах» Евклид не употребляет слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой. Например:

Задача 16. «Параллелограммы, находящиеся на равных основаниях и между теми же параллельными, равны между собой, т.е. равновелики. Докажите!»

Задача 17. «Если параллелограмм АВСD имеет с треугольником ВСЕ одно и то же основание |ВС| и находится между теми же параллельными, то параллелограмм будет вдвое больше треугольника. Докажите!»

Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Так, в «Началах» решается задача о построении квадрата, равновеликого любому данному многоугольнику. При этом Евклид оперирует самими площадями, а не числами, которые выражают эти площади. То, что мы получаем с помощью алгебры, Евклид получал геометрическим путем. Извлечение квадратного корня из числа означало для Евклида построение стороны квадрата, площадь которого равна площади данного многоугольника.


«О земном верстании, как земля верстать»


Потребность измерения расстояний и площадей привела к созданию на Руси рукописей геометрического содержания чисто практического характера. Первые сведения о таких рукописях относятся к XVI в. О промерах расстояний на Руси сохранились более древние памятники. В Государственном Эрмитаже хранится камень с надписью: «В лето 6576 Глеб князь метил морем по льду от Тмутороканя до Корчева 14 тысяч сажен». Эта запись означает, что в XI в., точнее в 1068 г., было измерено расстояние между городами Таманью и Керчью через Керчинский пролив по льду.

В старейшем русском памятнике XII в. «Русская правда» говорится о межах, т.е. о границах земельных владений.

Многие рукописи, существовавшие в Древней Руси, до нас не дошли. В высказываниях историков XVIII в. имеются заслуживающие доверия указания о том, что им были известны математические рукописи XVI в. Так, В.Н. Татищев (1686 – 1750) – автор «Истории Российской с древнейших времен…» - утверждал, что он читал наказ, данный в 1556 г. писцам о том, как следует измерять землю. К наказу, по его словам, прилагались «землемерные начертания» - чертежи. Однако этот наказ бесследно пропал.

Также бесследно исчезли математические рукописи XVII в., принадлежавшие писателю и известному историку Н.М. Карамзину (1766 – 1862). В настоящее время известны 2 – 3 рукописи XVII в., посвященные целиком арифметике или геометрии, и несколько сборников естественнонаучного содержания, в которые включены и арифметико-геометрические сведения.

В 1775 г. в Оружейной палате был найден «Устав ратных и других дел, касающихся до воинской науки», составленный в начале XVII в. (после того как он был перепечатан, подлинник устава также был утерян). В этом уставе имеются (правда, довольно туманные) правила рецептурного характера для определения расстояний между предметами.

В сохранившейся рукописи «Книга сошного письма», написанной в 1629 г., имеется глава «О земном верстании, как земля верстать». По-видимому, оригинал этой рукописи был создан значительно раньше, а сохранилась до наших дней одна из копий, переписанная с большим числом ошибок.

В главе «О земном верстании» собраны правила измерения площадей фигур различной конфигурации и приведен ряд примеров, как этими правилами пользоваться. Но выводов или обоснований указанных правил нет. В рукописи рекомендуется производить измерение и вычисление площадей различных фигур посредством измерения площадей простейших фигур: квадрата, прямоугольника и трапеции.

Площадь прямоугольника согласно указаниям в этой рукописи следует вычислять путем выделения из прямоугольника наибольшего квадрата, а площадь оставшегося после отсечения квадрата прямоугольника вычислить, узнав, какую долю наибольшего квадрата составляет его площадь, посредством сравнения длины стороны квадрата и малого прямоугольника.

Для вычисления площади треугольника в рукописи рекомендуется произведение большей и меньшей сторон разделить на два. Это правило дает лишь приближенное значение истинного размера площади.

Площадь равносторонней трапеции в главе «О земном верстании» считается равной полусумме оснований, умноженной на большее основание. По-видимому, здесь вкралась ошибка при переписке рукописи. К этому заключению приводит сопоставление данного правила с аналогичным правилом в рукописях более поздних, в которых площадь трапеции выражается произведением полусуммы оснований на «хобот», т.е. на боковую сторону, что тоже неверно, но значительно ближе к истинной величине.

Из сказанного можно заключить, что точного измерения и вычисления площадей треугольников и трапеций составители этой рукописи не знали.

В ряде более поздних геометрических рукописей правила измерения площадей даются также догматически и разъясняются рядом примеров. В них тоже встречается немало ошибочных утверждений. Например, при измерении площадей указано, что фигуры с равными периметрами имеют равные площади. Однако даже неглубокий анализ таких ошибочных утверждений показывает, что они получились в результате недостаточно обоснованного применения частного правила к более общим случаям.

Вопреки сохранившимся рукописям создание «русскими мастерами каменных дел» различных грандиозных сооружений (кремлевских стен и башен, храмов) говорит о том, что эти мастера обладали довольно основательными знаниями в области геометрии, хотя возможно чисто рецептурного характера. Без таких знаний сооружение прекрасных зданий, как храм Василия Блаженного в Москве [1560 г., мастера Постник (Яковлев) и Барма], вряд ли можно было совершить.


ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ


Об окружности и ее радиусе


Самая простая из кривых линий – окружность. Это одна из древнейших геометрических фигур. Философы древности придавали ей большое значение. Согласно Аристотелю, небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии – окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь XVII в. учением Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона.

Еще вавилоняне и древние индийцы считали самым важным элементом окружности – радиус. Слово это латинское и означает «луч». В древности не было этого термина. Евклид и другие ученые говорили просто «прямая из центра». В одной латинской рукописи XI в., названной «Искусство геометрии» и приписываемой римскому автору Боэцию, встречается впервые термин «полудиаметр». Его употребляли также Фибоначчи и Неморарий (XIII в.), Региомонтан (XV в.) и Тарталья (XVI в.).

Термин «радиус» впервые встречается в «Геометрии» французского ученого Рамуса, изданной в 1569 г., затем у Ф. Виета. Последний писал, что «радиус» - это «элегантное слово», которое знаменитые римские поэты Овидий и Виргилий употребляли в смысле «луч». Известный римский оратор Цицерон как-то сказал: «Шар образован равными радиусами (лучами), выходящими из его центра». Термин «радиус» становится общепринятым лишь в конце XVII в. Термин « хорда» (от греческого «хорде» - струна) был введен в современном смысле европейским учеными XII - XIII вв.

Тот факт, что диаметр делит круг и окружность на две равные части, был, как говорит Прокл, открыт Фалесом Милетским. На самом же деле этот факт был известен задолго до Фалеса.

Теоремы о зависимости между хордами и расстоянием их от центра изложены в III книге «Начал» Евклида.


О касательных к окружности. Архит Таренский


Определение касательной как прямой, имеющей с окружностью только одну общую точку, встречается впервые в учебнике «Элементы геометрии» французского математика Лежандра (1752 – 1833). В «Началах» Евклида дается следующее определение: прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает его.

То, что касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, было известно еще Архиту Таренскому (430-365 гг. до н.э.)

Архит – один из талантливейших греческих математиков - пифагорейцев, астроном и государственный деятель. В настоящее время некоторые историки считают его автором VIII книги «Начал» Евклида, в которой изложена арифметическая теория пропорций. Древнеримский архитектор Витрувий (I в.) рассказывает, что Архит был также замечательным инженером-механиком, строил разные машины, в том числе летающего деревянного голубя, детскую трещотку и др. В трудах Архита тесно переплетаются теория чисел, геометрия, теория музыки. Идеи Архита оказали большое влияние на Платона и на дальнейшее развитие греческой математики.

Одной из знаменитых задач древности, решение которой принесло большую славу Архиту, была задача об удвоении куба.

Доказательство того, что отрезки касательных, проведенных к окружности из внешней точки, равны, отсутствует у Евклида и приписывается комментаторами «Начал» Герону Александрийскому. Предложение: центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного касательными из данной точки, содержится в одном из произведений греческого математика III в. Паппа.


ВЕКТОРЫ


Из истории векторов


Под векторной величиной или вектором (в широком смысле слова) понимают величину, обладающую направлением, как, например, сила, скорость, ускорение и т. п.

Величину, не имеющую направления, называют скалярной или скаляром.

Интерес к векторам и векторному исчислению пробудился у математиков в XIX в. в связи с потребностями механики и физики. Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком прошлом. В Древней Греции пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями (например: hello_html_m92cfef1.gif, hello_html_m81d156c.gif и др.), не решились ввести более широкое толкование числа. Математики того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408-355 гг. до н.э.), а позднее «геометрической алгебре». В геометрическом исчислении, изложенном в труде Евклида «Начала», сложение и вычитание сводились к сложению и вычитанию отрезков, а умножение – к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям.

Впоследствии в XVI-XVII вв. Геометрическая алгебра из-за ограниченности своих средств исследования стала тормозом развития науки.

Однако геометрические исчисления сыграли значительную роль в развитии математики, в том числе и для теории векторов, послужив истоком развития этой теории.

В 1587 г. был опубликован на голландском языке трактат фламандского ученого С. Стевина «Начала статистики». В нем автор, рассматривая сложение сил, приходит к выводу, что для нахождения результата сложения двух сил, действующих под углом 90º, необходимо воспользоваться «параллелограммом сил», при этом для обозначения сил С. Стевин ввел стрелки. Иначе говоря, С. Стевин впервые ввел сложение двух векторов, перпендикулярных друг другу.

Значительно позже французский математик Луи Пуансо (1777-1859) в книге «Элементы статистики», вышедшей в 1803 г., разрабатывает теорию векторов, которой пользуется при рассмотрении сил, действующих в различных направлениях.

Термин «вектор» происходит от латинского слова vector, что означает несущий или ведущий, влекущий, переносящий.

Продолжительное время вектор рассматривался только как направленный отрезок, один из концов которого называли началом, а второй – его концом. С разработкой теории преобразований вектор стали рассматривать не только как направленный отрезок, но и как параллельный перенос, заданный парой точек – точкой О и точкой О'.

В современной математике раздел, в котором излагается учение о действиях с векторами, называют векторной алгеброй, так как эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями.

ПОДОБИЕ


Отношение и пропорциональность отрезков


Идея отношения и пропорции зародилась в глубокой древности. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса и знаменитых пирамид в Гизе (ΙΙΙ тысячелетие до н.э.), вавилонские зиккураты (ступенчатые культовые башни), персидские дворцы, индийские и другие памятники древности. Многие обстоятельства, в том числе особенности архитектуры, требования удобства, эстетики, техники и экономичности при возведении зданий и сооружений, вызывали возникновение и развитие понятий отношения и пропорциональности отрезков, площадей и других величин.

В «Московском» папирусе при рассмотрении отношения большего катета к меньшему в одной из задач на прямоугольный треугольник применяется специальный знак для понятия «отношение».

В «Началах» Евклида учение об отношениях излагается дважды. В VII книге содержится арифметическая теория. Она относится только к соизмеримым величинам и к целым числам. Эта теория создана на основе практики действия с дробями. Евклид применяет ее для исследования свойств целых чисел. В V книге излагается общая теория отношений и пропорций, разработанная Евдоксом. Она лежит в основе учения о подобии фигур, изложенного в VI книге «Начал».


О делении отрезка в данном отношении


В VI книге «Начал» Евклид так решает задачу о делении отрезка в данном отношении.

Задача 18. «Пусть (рис. 9) требуется рассечь отрезок |АВ| в отношении, представленном данными тремя отрезками».

Решение. Строим угол <ВАС и откладываем на стороне |ΑC| данные три отрезка: |AD|, |DE|, |EC|. Соединив C и B, проведем через точки E и D отрезки |EH| и |DJ|, параллельные |BC|. На основании теоремы о пропорциональности отрезков, образующихся на прямых, пересеченных параллельными прямыми, получаем:

|AJ|: |JH|: |HB| = |AD|: |DE|: EC|.

Симон Стевин дал следующий способ деления отрезка AB на равные части.

На прямой (MN), параллельной (AB), откладываем заданное число, допустим шесть равных между собой отрезков:

|MD| = |DF| = |FH| = |HK| = |KL| = |LN|.

Соединим М с А, N с B и продолжим до пересечения в точке P. Теперь соединяем точку P с D, F, H, K, L. В пересечении прямых соединения с отрезком |АВ| и получим искомые точки деления: D’, F’, H’, K’, L’.


О подобии

Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Пропорциональность отрезков, образующихся на прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя некоторые приписывают это открытие Фалесу Милетскому. До наших дней сохранилась клинописная табличка, в которой речь идет о построении пропорциональных отрезков путем проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорции было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н.э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида, начинающейся следующим определением: «Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».


«Деление в данном отношении» Аполлония


Одним из величайших геометров Древней Греции был Аполлоний Пергский, живший в III-II вв. до н.э. Математике он учился в Александрии. Его учителями были ученики Евклида.

В знаменитом произведении Аполлония «Конические сечения» изложено учение о фигурах, получаемых при сечении плоскостью полного конуса, - эллипсе, параболе, гиперболе.

Сохранилось еще одно из многих произведений Аполлония: «О делении в данном отношении». В нем среди других рассматривается следующая задача.

Задача 19. «Прямой, проходящей через данную точку H, требуется отсечь на двух пересекающихся прямых (ОР) и (ОQ) два отрезка |OM| и |ON|, находящихся в данном отношении m:n».


О построении подобных фигур. Пропорциональный циркуль. Галилей


Свойства подобных фигур издавна применяются на практике при составлении географических карт, планов, чертежей, при землемерных работах на местности (так называемой мензульной съемке) и т.п.

Для практики всегда имели большее значение сравнительно простые и общедоступные методы построения подобных фигур. Одним из них является «способ палетки», который обычно применяется при копировании рисунков, картин и портретов. Желая сделать копию рисунка, мы накрываем его палеткой (от французского palette), т.е. прозрачной пластинкой или бумагой с нанесенной на нее сеткой квадратов. На месте, предназначенном для копии, чертится временная квадратная сетка, которая по окончании работы стирается. Сторона квадрата временной сетки больше, меньше или равна стороне квадрата палеточной сетки в зависимости от того, требуется ли увеличить, уменьшить или оставить рисунок без изменений. Отношение стороны квадрата временной сетки к стороне квадрата палеточной сетки будет коэффициентом подобия.

Пусть некоторая точка (деталь) рисунка находится в вершине (или в центре) одного из квадратов палеточной сетки. Отмечаем на копии соответствующую точку в вершине (или в центре) соответствующего квадрата временной сетки и т.д. Этот метод копирования при помощи квадратной сетки был известен еще древним египтянам. Палетку применяют также для вычисления площадей на планах и картах.

Для уменьшения или увеличения чертежа в произвольном отношении служит также пропорциональный циркуль. Это простой инструмент, в котором шарнир устанавливается так, чтобы черта, нанесенная на нем, совпала с определенным делением K шкалы 1 на одной из ножек. Тогда отношение расстояний |ab|: |AB| тоже будет равно К. Этот циркуль, который особенно широко используется в картографии, был изобретен великим итальянским ученым Галилео Галилеем (1564-1642), тем самым, который открыл закон инерции, законы падения тел, колебаний маятника и др. Галилей впервые в истории астрономии с помощью им же изготовленной зрительной трубы наблюдал небесные светила. Он открыл горы на Луне, 4 спутника Юпитера, фазы Венеры, пятна на Солнце. За то, что Галилей блестяще развил учение Коперника о движении Земли, католическая церковь его жестоко преследовала, он был в 1633 г. осужден римским католическим судом.

Опубликованное Галилеем описание пропорционального циркуля (Построение геометрическим и военным циркулем. Падова, 1606) дало возможность ученым и техникам использовать новый инструмент для быстрого производства различных построений и расчетов. Еще в юношестве Галилей увлекался геометрией. Архимед стал его подлинным учителем. Галилей утверждал, что настоящая философия «написана в величайшей книге, которая постоянно открыта нашим глазам». Эта книга – сама Вселенная, природа, которую нужно научиться читать. «Написана же она на языке математики…»


Из истории преобразований. Преобразование подобия


Искусство изображать предметы на плоскости с древних времен привлекало к себе внимание человека. Попытки таких изображений появились значительно раньше, чем возникла письменность. Еще в глубокой древности люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. При этом человек стремился к тому, чтобы изображение правильно отражало естественную форму предмета. Основное требование к изображению сводилось к соответствию точек натурального объекта с точками его изображения на плоскости или либо другой поверхности.

Длительная практика подсказала людям, каким правилам надо следовать, чтобы правильно выразить на плоскости желаемый предмет. Так возникли зачатки учения о соответствии и преобразовании. Раньше других свойств при изображении различных предметов на плоскости были подмечены и изучены законы перспективы. Многие из этих законов были известны в Древней Греции. Как утверждает римский архитектор Витрувий (I в. До н.э.), уже Демокрит (ок. 460-370 гг. до н.э.) и Анаксагор (ок. 500-428 гг. до н.э.) соблюдали некоторые правила перспективы при подготовке декорации для постановки трагедий Эсхила (525-456 гг. до н.э.) «Прикованный Прометей» и др.

Особенное внимание исследованию и применению в живописи и зодчестве законов уделяли художники и архитекторы эпохи Ренессанса. Первая известная нам работа о перспективе талантливого архитектора и ученого Альберти (1402-1472) была напечатана в 1511 г., а написана около 1446 г.

Более подробно и основательно исследовал и описал свойства перспективы немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471-1528).

Превосходный для своего времени трактат о перспективе написал гениальный художник Леонардо да Винчи (1452-1519). Художники Рафаэль, Микеланджело, Тициан, Веронезе и др. в своих бессмертных творениях строго следовали законам перспективы.

Инженер и архитектор Дезарг в 1630 г. разработал (впервые) основы математической теории перспективы. Своими трудами он положил начало изучению проективных преобразований, под которыми впоследствии стали понимать отображение фигуры, данной в одной плоскости, на другую плоскость посредством центрального проектирования или ряда последовательных проектирований.

Перспективные изображения обеспечивали достаточно хорошую наглядность, но для техники этого было мало. Растущие потребности технического прогресса требовали научной разработки теории преобразований, обеспечивающей точность отображения объектов на плоскость с соблюдением размеров. Возникшая проблема решалась усилиями многих талантливых людей. Честь завершения основ метода, позволяющего точно, с соблюдением размеров переносить изображение объекта на плоскость, принадлежит французу Гаспару Монжу (1746-1818).

Большой вклад в дело исследования взаимно однозначного соответствия на плоскости и в пространстве сделал немецкий геометр Мёбиус (1790-1868). Он исследовал преобразования, в которых не только точка отображалась в точку, а прямая – в прямую, но и более сложные соответствия.

Позже Ф. Клейн (1849-1925) положил различные группы преобразований в основу классификации различных геометрий: аффинной (группа аффинных преобразований), проективной (группа проективных преобразований) и т.д. Частным случаем аффинного преобразования является преобразование подобия, в котором растяжение ил сжатие происходит равномерно, т.е. одинаково вдоль каждой координатной оси.

Подобие есть некоторое взаимно однозначное точечное преобразование плоскости. Если между двумя плоскостями установлено подобное соответствие, то любой угол между прямыми в одной плоскости равен соответственному углу в другой плоскости, а отношение двух соответственных отрезков равно коэффициенту подобия.

Символ, обозначающий подобие фигур, есть не что иное, как повернутая латинская буква S – первая буква в слове similis, что в переводе означает подобие.

Свойства подобия, установленные из опыта, издавна широко использовались на практике при составлении планов, карт, при выполнении архитектурных чертежей и чертежей различных деталей машин и механизмов.

Подобные фигуры с соблюдением определенного коэффициента подобия можно вычерчивать с помощью особого прибора – пантографа.

Общая информация

Номер материала: ДВ-193535

Похожие материалы