Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Физика / Конспекты / Подборка материала по физике "Производная"

Подборка материала по физике "Производная"

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Физика

Поделитесь материалом с коллегами:

Пояснительная записка


При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница. Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

В физике производная применяется  в основном для вычисления наибольших или наименьших значений каких-либо величин.  Рассмотрим на примерах применение производной. Таким образом, применение производной довольно широко, и его можно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные базовые моменты. В наше время, в связь с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более актуальными в решении как простых, так и сверхсложных задач.

В качестве примера рассмотрим две задачи.

Задача 1

Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 – b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние между частицами. Найти: а) значение r0соответствующее равновесному положению частицы; б) выяснить устойчиво ли это положение; в) Fmax значение силы притяжения; г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).

 Решение:  Для определения r0 соответствующего равновесному  положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.  Используя связь между потенциальной энергией поля

 U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (-2a/r3+b/r2) = 0; при этом r = r0;  2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:

d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r0+ 2b/r0= -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)<0;

равновесие устойчивое.

Дhello_html_m10a39e03.pngля определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:

F = 2a/r3— b/r2; dF/dr = -6a/r+ 2b/ r3 = 0;

при r = r= 3a/b; подставляяполучу Fmax = 2a/r31 — b/r31 = - b3/27a2; U(r) = 0;       при r = a/b;       U(r)min  при r = 2, a/b = r0; F = 0;          F(r)max при r = r= 3a/b

Ответ:  F(r)max при r = r= 3a/b

Задача 2

  Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна m кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью m кг/с.

Решение: Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу

Дhello_html_m10a6e6a0.pngвижение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:

dP/dt = FS

P – импульс системы платформа-песок, FS – сила, действующая на систему платформа-песок.

Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:

dp/dt = F

Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени Dt:            Dp = (M+m(t+Dt))(u+Du) – (M+mt)u =FDt;

где u – скорость платформы.

Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:

Dp = muDt + MDu+mDut+ mDuDt =FDt

Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0        

 Mdu/dt+mtdu/dt+mu=F             или                d[(M+mt)u]/dt = F

Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю:          (M+mt)u = Ft.

Следовательно:                 u = Ft/(M+mt)

Тогда, ускорение платформы:    a = du/dt = (F(M+mt)-Ftm)/(M+mt)2 = FM / (M+mt)2

Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.

Изменение импульса за малый промежуток времени:

Dp = (M-m(t+Dt))(u+Du) +mDtu – (M-mt)u = FDt

Слагаемое mDtu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время Dt. Тогда: Dp = MDu - mtDu - mDtDu = FDt. Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0

(M-mt)du/dt = F или a1=du/dt= F/(M-mt)

Ответ: a = FM / (M+mt)2 , a1= F/(M-mt)

Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R.

Решение: При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m; а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E, По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m) Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn; J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n); Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю. Jn-(kE(Rkr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0; n2 = kr/R; n = ?kr/R = ?3,6*0,4/0,9 = 4; m = k/n = 36/4 = 9; при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;

Ответ: n = 4, m = 9.


 Производные второго порядка

Когда мы дифференцируем функцию, каждой точке этой функции мы ставим в соответствие некоторое число – ее производную в данной точке. Таким образом, производная функции также является функцией.

Если функция hello_html_5d6b0a3b.png дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают hello_html_m43d1abdb.png

hello_html_m9a75f25.png

Вторая производная от параметрической функции x = x (t) и y = y (t) задается формулой: 

hello_html_m2a7aaae3.png

Вторую производную иногда обозначают: hello_html_m40de3e2a.png В физике вторую производную функции по времени нередко обозначают двумя точками: hello_html_4ee08da1.png

Вторая производная определяет скорость изменения скорости или ускорение. Так, если x – координата материальной точки, движущейся со скоростью hello_html_26c2d1d6.png то ускорение этой точки равно 

hello_html_m7675230b.png

Важным применением второй производной является анализ выпуклости функции.

Аналогичным образом задаются производные высших порядков. Если функция f (n–1) дифференцируема, то ее производную называют производной n-го порядка f (n) функции f.

Выпуклость функции и точки перегиба

Непрерывная на отрезке [ab] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x1 и x2 из этого отрезка 

hello_html_16b32df3.png


hello_html_m446f29f1.jpg

Другими словами, если для любых точек x1 и x2 отрезка [ab] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [ab] функция f (x) выпукла вверх, если для любого hello_html_402d4281.png

hello_html_79a2ca91.png

Дважды дифференцируемая на [ab] функция f (x) выпукла вниз, если для любого hello_html_402d4281.png

hello_html_8afc509.png

Так, вторая производная функции hello_html_4eccf411.png равна hello_html_39f56ee3.png откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке hello_html_2a1622f0.png и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка hello_html_2a1622f0.png называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если hello_html_2a1622f0.png – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то 

hello_html_m6f5bca7.png

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке hello_html_m4af5a3b5.png Если hello_html_1931aabf.png меняет знак при переходе через точку hello_html_454dc85c.png то hello_html_2a1622f0.png – точка перегиба функции f (x).

Если hello_html_752e2cc2.png hello_html_m6e6d513f.png то hello_html_2a1622f0.png – точка перегиба функции f (x).

 

В заключение приведем примеры, когда точка x0 не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту точку:

  • если функция разрывна в точке hello_html_2a1622f0.png (например hello_html_217bb348.png  hello_html_bfd3c77.png );

  • в случае угловой точки (например, hello_html_m19c9f1cd.png  hello_html_m58e9e863.png

Не являются точками перегиба и точки возврата, например точка hello_html_13e6d558.png у функции hello_html_1911ea9c.png

 

Все вышеперечисленные случаи изображены на рисунке.

hello_html_33924972.jpg


График 2

Точки, не являющиеся точками перегиба: точка разрыва, точка возврата, угловая точка

Урок по теме: Правила дифференцирования.

Ряд частных задач из различных областей наук. Задача № 1. Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулу для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.

Задача № 2. Радиус круга R изменяется по закону R = 4 + 2t2. Определите, с какой скоростью изменится его площадь в момент t = 2 с. Радиус круга измеряется в сантиметрах. Ответ: 603 см2/с.

Задача № 3. Материальная точка массой 5 кг движется прямолинейно по закону S(t) = 2t + , где S - путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t = 4 с. Ответ: Задача № 4. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол 3t - 0,1t2 (рад). Найдите: а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 7с; б) в какой момент времени маховик остановится. Ответ: а) 2,86 ; б) 150 с.

Примерами применения производной также могут служить задачи на нахождение: удельной теплоемкости вещества данного тела, линейной плотности и кинетической энергии тела и т.д.





















Памятка




hello_html_24dae786.gif















hello_html_3d232004.gif


















hello_html_58f269cb.gif








 

 


 





Задача 1.


Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t3-4t². Найти скорость и ускорение в момент t=5c.(Перемещение измеряется в метрах.)

Решение

Производная от координаты по времени есть скорость, а от скорости по времени – ускорение. v(t) – скорость: a(t) – ускорение; t0=5.

V(t) = x´(t) = (t³ - 4t²)´ = 3t² - 8t. V(5) = 3 ·5² -8 ·5 = 75 -40 = 35(м/c)

A(t) = v´(t) = (3t² -8t)´ = 6t – 8. a(5) = 6 ·5 – 8 = 30 -8 = 22(м/c).



Задача 2.


Вращение тела вокруг оси совершается по закону ф (t) = 3t² -4t +2. Найти угловую скорость w(t) в произвольный момент времени t и при t =4c.

( Ф(t) – угол в радианах, w(t)- скорость в радианах в секунду, t- время в секундах)

Решение


Скорость есть производная от расстояния по времени.

Ф(t)= 3t²- 4t + 2. w(t)= Ф´(t)= (3t² - 4t +2)´ =6t – 4(рад/с);

w(4) = 20(рад/с).


Задача 3.


Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол ф(t) =4t- 0,3 t². Найти: а) угловую скорость w(t) вращения маховика в момент времени t = 2с; б)такой момент времени, когда маховик остановится (ф(t)-угол радианах, t- время в секундах)

Решение


Скорость- производная от расстояния по времени.

ф(t)=4t-0,3t². w(t)=(4t-0,3t²)´=4-0,6t

1)w(2)=4-0,6·2-2,28(рад/с)

2)Маховик остановится, если w (t)= 0,т. е. 4-0, 6t=0, t=6 2/3 с


Задача 4.


Точка движения прямолинейно по закону X(t)=2t²+t-1. Найти ускорение в момент времени t. В какой момент времени ускорение будет равно:

а) 1см/c²; б)2см/с². Х(t)- перемещение в метрах, t- время в секундах)



Решение


Ускорение- вторая производная от расстояния по времени, т. е. производная от скорости по времени.

x(t)=2t³+t-1;V(t)=(2t³+t-1) ´=6t²+1; а(t)=(6t²+1) ´=12t.

А)а(t)=1см/с² если 12t=1,т. е.t=1/12 c

Б)а(t)=2см/с², если 12t=2, т. е. t=1/6 с.

Задача 5.


Точка движется прямолинейно по закону x(t)=-t³/6+3t²-5. (координата в метрах, t- время в секундах)

Найти: а) момент времени t, когда ускорение точки равно нулю;

б) скорость движения точки в этот момент.

Решение


Скорость - производная от расстояния по времени, а ускорение производная скорости по времени.

x(t)=-t³/6+3t²-5; v(t)=x ´(t)=-t²/2+6t; a(t)=v`(t)=-t+6

  1. a(t)=0 при –t+6=0; t=6;

  2. v(6)=-6²/2+6·6=-18+36= 18 (м/с).


Задача 6.


Точка движется прямолинейно по закону х(t)=√t. Покажите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.


Решение


x(t) = √t; v(t) = x`(t)= ½·t-½; v³(t)= (½·t-½)³= 1/8·t-³/²

a(t) = v ´(t) = (½·t-½) = -¼ · t-³/². Таким образом,

v³(t)/a(t) = 1/8 · t-³/² : (-¼ · t-³/²) =1/8 : (-¼) = -½

Вывод: ускорение пропорционально кубу скорости.


Задача 7.


Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону x(t)=2t³-t² при t=2.

Решение


Ускорение – есть производная от скорости по времени. F=m·a

x(t)=2t³-t²; v(t)=x'(t)=(2t³-t²)'=6t²-2t¸ a(t)=v'(t)=(6t²-2t)'=12t-2

F=m·a=m(12t-2); при t=2 F=m(12 · 2-2)=22m




Задача 8.


Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t²+t+1. Координата х измеряется в сантиметрах, время t – в секундах. Найдите:

а) действующую силу; б) кинетическую энергию Е тела через 2 с. после начала движения.

Решение


x(t)=t²+t=1; v(t)=(t²+t+1)`=2t+1 a(t)=(2t+1)´=2(c)

а)F=m·a=2 · 2 (кг · см/с²)= 4(кг · см/с²)=0,004(кг · см/с²)=0,04Н

б)Е=m·v²/2; при t=2c ; v(2)=2 · 2+1=5

E=2 · 5²/2 (кг ·см/с² )=0,0025 Дж.





Задача 9.

Известно, что для любой точки C стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А на расстояние l, масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле m(l) = 3t² + 5l.

Найдите линейную плотность стержня: а) в середине отрезка АВ; б) в конце В стержня.

Решение


Линейная плотность стержня d(l) есть производная от массы по длине.

m(l) = 3l² + 5l; d(l) = m´(l) = (3l² + 5l)´ = 6l + 5.

а) Линейная плотность в середине отрезка АВ = 20 см: d(10) = 6 · 10 + 5 = 65 (г/см).

б) Линейная плотность в конце В отрезка АВ: d(20) = 6 · 20 + 5 = 125 (г/см).


Задача 10.

По прямой движутся две материальные точки по законам x1(t) = 4t² - 3 и x2(t) = t³. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки?

Решение


x1(t) = 4t² - 3, значит, v1(t) = (4t² - 3) = 8t .

x2(t) = t³, значит v2(t) = (t³)´ = 3t².

Скорость первой точки больше скорости второй точки, поэтому:

8t > 3t² ,

3t/22 - 8t < 0 ,

t · (3t – 8) < 0 ,

t = 0 или t =2⅔ .




hello_html_eb740e5.gif0**223 t



Ответ: при t € (0 =2⅔).



Задача11.

Из пункта О по двум лучам, угол между которыми 60˚, движутся два тела: первое – равномерно со скоростью 5км/ч, которое – по закону s(t) = 2t² + t . С какой скоростью они удаляются друг от друга? (s измеряется в километрах, t – в секундах.)


Решение


hello_html_m25b05d49.gifhello_html_m75498e95.gif


S1(t)=S(t)


0 ) 600 S(t)



S2(t)=S(t)



hello_html_mb75b32a.gifПо теореме косинусов: s²(t) = (5t)² + (2t² + t)² - 2 · 5t · (2t² + t) · cos60˚ = 25t² + 4t² +4t³ + +t² - 10t³ - 5t² = 4t4 – 6t³ + 21t² , т.е. s(t) =t·√4t2 -6t + 21, где t > 0.

v(t) = s´(t) =(t · √4t2 -6t + 21)´=t ·√4t2 -6t + 21 + t · (4t2 -6t + 21) = 4t2-6t + 21 +t · ( 8t – 6 )

4t2 -6t + 21 1 2√4t2 -6t + 21

8t2 – 12t +42 + 8t2 – 6t 16t2 – 18t + 42 8t2 – 9t +21

2√4t2 -6t + 21 2√4t2 -6t + 21 √4t2 -6t + 21


при t > 0.




Применение производной в физике и технике


Задача 1. Материальная точка движется по прямой по закону S(t) =hello_html_4629ca19.gif. Найдите её скорость и ускорение в момент времени t = 3.


Указание: V(t) =hello_html_m61246cb5.gif, hello_html_m5ea2a68e.gif- ?

а(t) = hello_html_2546ee92.gif, а(3) - ?

Задача 2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью hello_html_m7501b51d.gif движется по закону hello_html_m5dda0fb8.gif, где hпуть в метрах, t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которую достигнет тело, если hello_html_m6ea73743.gif, g = 10м/с2.


hello_html_m4e60276c.gif,

hello_html_m1af05b7a.gift - ?

hello_html_3e43aac8.gif

Задача 3. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_m796a0a2f.gif (x измеряется в метрах, t в секундах).

Напишите формулу для вычисления скорости в любой момент времени и вычислите её при t = 2.


Указание: V(t) =hello_html_m7a5ecd0d.gif,

hello_html_m26441fa4.gif- ?

Задача 4. Основание параллелограмма а изменяется по закону hello_html_m28d96bd4.gif, а высота b по закону hello_html_17f60d19.gifВычислите скорость изменения его площади в момент t = 4c. (Основание а и высота b измеряются в сантиметрах).


Указание: S(t) =hello_html_391d3dba.gif,

hello_html_m5fb8f75f.gif- ?,

hello_html_m7c83cd81.gif- ? (см2)

Задача 5. Радиус круга R изменяется по закону hello_html_75f9567a.gif

C какой скоростью изменяется его площадь в момент t = 3cек, если радиус круга измеряется в сантиметрах.


Указание: S =hello_html_4a0fc5e1.gif,

hello_html_24137b8e.gif ?, V(t) =hello_html_m61246cb5.gif,

hello_html_m5ea2a68e.gif- ? (см2)

Задача 6. Материальная точка массой 2кг движется прямолинейно по закону hello_html_61936cc.gif, где S- путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на неё в момент t = 3 c.


Указание: hello_html_m42dc721b.gif,

a(t) = hello_html_m63551a9c.gif,

а(3) - ?,

F - ? (н).

Задача 7. Тело, выпушенное вертикально вверх с высоты h0 с начальной скоростью V0 движется по закону

hello_html_546fb733.gif, где hвысота в метрах, t – время в секундах. Найдите высоту тела в момент времени, когда скорость тела в 4 раза меньше первоначальной, если h0 = 3м,

V0 = 5м/с, g hello_html_3490ef8d.gif10 м/с2.


Указание:

V(t) = hello_html_4a9b5a9c.gif - скорость движения тела.

Найти момент времени t, когда hello_html_m63ab4ec6.gif < V0 в 4 раза. (из уравнения: 4V(t) = V0).

h(t) - ? (м)

Задача 8. Маховик задерживаемый тормозом, поворачивается за tc на угол α(t) = 4t – 0,2t2 (рад). Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6с;

б) в какой момент маховик остановится?


Указание: hello_html_m599b38e9.gif,

hello_html_6d8a72a0.gif - ? (рад/с).

hello_html_422e355d.gif, t - ?


Задача 9. Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) =hello_html_31eba552.gif, где Sпуть в метрах, tвремя в секундах. Найдите:

а) момент времени t, когда ускорение точки равно 0;

б) скорость, с которой движется точка в этот момент времени.

Задача 10. Точка массой m0 движется прямолинейно по закону S(t) =hello_html_m398b0d0f.gif. Докажите, что действующая на неё сила пропорциональна квадрату пройденного пути.


Указание: a(t) = hello_html_m63551a9c.gif;

а(t) = 0, t - ?,

V(t) = hello_html_m5fb8f75f.gif, hello_html_m5ea2a68e.gif- ? (м/с).





Указание: hello_html_m361e6cc8.gif.


Задача 11. Точка массой m0 движется прямолинейно по закону S(t) =hello_html_m32e9b0cc.gif. Докажите, что действующая на неё сила пропорциональна кубу пройденного пути.


Указание: hello_html_m361e6cc8.gif.

Задача 12. Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону hello_html_m3c22b3e6.gif. Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.

Указание: E(t)= hello_html_1c504393.gif ,

hello_html_62fb4b0b.gif, E(2) - ? (Дж)

Задача 13. Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением: hello_html_2f8cede3.gif. Найдите скорость изменения тока в момент времени t = 10с.


Указание:

hello_html_4f7e4edf.gif

hello_html_6889ef2a.gif (А/с)

Задача 14. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: hello_html_m749281e2.gifhello_html_175c55a.gif

В какой момент скорости их равны?


Указание:

V1(t) = hello_html_7e45ab00.gif, V2(t) = hello_html_3c8feba6.gif,

V1(t) = V2(t), t - ?

Задача 15. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: hello_html_60df5c18.gifhello_html_m6e923969.gif

В какой момент времени скорость первой точки будет в два раза больше скорости второй?


Указание:

V1(t) = hello_html_7e45ab00.gif, V2(t) = hello_html_3c8feba6.gif,

V1(t) > V2(t) в 2 раза. t - ?

Задача 16*. Под каким углом надо сделать въезд на мост, если его высота 10 м, пролёт 120 м ?

Указание:

необходимо ввести прямоугольную систему координат и рассмотреть график функции y = ax2 + b,

b = 10;

найти a, если x = 60;

найти y′ (x), y′ (60);

y′ (x) = tg φ,

tg φ = y′ (-60), φ ≈ ?



Критерии оценивания: 7 - 9 задач – оценка «3», 10 -13 задач – оценка «4», 14 - 15 задач – оценка «5»
Примечание: задача №16 выполняется по желанию учащегося, выполнившего первые 15 задач, и оценивается дополнительной оценкой.

Ответы к задачам:

1



2

3

4

5

6



7

8

9

10

11



12

13

14

15

16



Итог: правильно решено _________ задач. Оценка: __________


Задачи с решениями на нахождение производной

Задача 1. Исходя из определения производной, найти hello_html_m41e00dc9.gif.


hello_html_f27e504.gif

hello_html_m369d0af4.gif


Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 1-12) или уравнение касательной (в вариантах 13-31) к данной кривой в точке с абсциссой hello_html_55ad76ab.gif.


hello_html_m235fc94.gif

hello_html_m52159fbf.gif

hello_html_267a4c9e.gif-уравнение нормали,

hello_html_9fdb6f6.gif


Задача 3. Найти дифференциал hello_html_m674c679c.gif.


hello_html_5d5e8078.gif

hello_html_m3c4a87b5.gif



Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.


hello_html_m205fddc5.gif, hello_html_3153bd47.gif.


Выберем hello_html_ee9ea5c.gifследовательно hello_html_2191836e.gif

hello_html_m6df8fb1a.gif

hello_html_65aceec.gif

hello_html_m6c836956.gif


Задача 5. Найти производную.


hello_html_323fbb80.gif

hello_html_m5bcb51c5.gif


Задача 6. Найти производную.


hello_html_99c411.gif

hello_html_2408f72d.gif


Задача 7. Найти производную.


hello_html_m13958b7.gif

hello_html_m2061d2dc.gif


Задача 8. Найти производную.


hello_html_bcd544.gif

hello_html_m7954edef.gif


Задача 9. Найти производную.


hello_html_37208380.gif

hello_html_m462e1611.gif





Задача 10. Найти производную.


hello_html_5381e55.gif

hello_html_48f5534e.gif.


Задача 11. Найти производную.


hello_html_m314c1948.gif

hello_html_4ecd5bec.gif

Задача 12. Найти производную.


hello_html_m6dba3c36.gif

hello_html_m4b00d026.gif


Задача 13. Найти производную.


hello_html_m242accc4.gif

hello_html_52e56b8d.gif


Задача 14. Найти производную.

hello_html_m3d7001a0.gif

hello_html_m540438ed.gif


Задача 15. Найти производную hello_html_327781d0.gif.


hello_html_m37c25baa.gif

hello_html_mfe9e89c.gif

hello_html_m6f644d5b.gif


Задача 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра hello_html_m6ab15f09.gif.


hello_html_mabcaace.gif

hello_html_m7a733c4f.gif

hello_html_m32a856b3.gif

hello_html_m382db2de.gif

hello_html_29ed25f4.gif- уравнение касательной,

hello_html_m713b58cc.gif

hello_html_m7b45f54f.gif- уравнение нормали.




Задача 17. Найти производную hello_html_1ed71afd.gif-го порядка.

hello_html_1bc37ca0.gif

hello_html_1cc539e2.gif


Задача 18. Найти производную указанного порядка.


hello_html_4fd5c490.gif

hello_html_m2205da36.gif


Задача 19. Найти производную второго порядка hello_html_19003049.gif от функции, заданной параметрически.

hello_html_m255b351d.gif

hello_html_59329fd2.gif

hello_html_4167f1dd.gif

hello_html_m28648788.gif


Задача 20. Показать, что функция hello_html_6f36e2df.gifудовлетворяет данному уравнению.

hello_html_77f090eb.gifhello_html_m7c116465.gif.

hello_html_m24ab7dbb.gif

hello_html_m3a858e5d.gif


Задания повышенной трудности по теме

«Производная».

1. hello_html_m7eda972d.gif.

Решение:

hello_html_41c5fee4.gif2. y=hello_html_767f25bc.gif


Решение:

yhello_html_7560f3bb.gif.


3. y = hello_html_159dd085.gif


Решение:


yhello_html_20c1fee3.gif


hello_html_58193ee4.gif

Решение:

hello_html_5e736d2d.gif

5. hello_html_43e0d723.gif


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m549c76c.gif












6. Найти частные значения производных:


hello_html_m3aa4ae38.gif при x = 0; 1; π/4; √3.


Решение:


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2320e256.gif

7.Доказать, что функция hello_html_m48a2613f.gifудовлетворяет уравнение hello_html_m7ed7d718.gif


Решение:

hello_html_m419c7a7f.gif


hello_html_m5ecd2575.gif

hello_html_47aa7a01.gif


8. Доказать, что функция hello_html_7c4adae6.gif удовлетворяет уравнению hello_html_353fa8e7.gif


Решение:

hello_html_m4bc89ec5.gif

hello_html_28cd5e.gif
















ФИЗИКА


Задача 1. Точка совершает гармонические колебания по закону hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_6e5d3000.gif Найти мгновенную скорость точки в момент времени t0.

РЕШЕНИЕ


hello_html_mbedef26.gif



hello_html_3f5e002e.gif


Задача 2. Количество радиоактивного вещества в момент времени t выражается формулой


hello_html_m9b1fa51.gifhello_html_m53d4ecad.gifгде T- период полураспада, а М- первоначальное количество вещества


(количество вещества в момент времени t =0). Найти мгновенную скорость распада вещества в момент времени hello_html_m60299cd7.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifРЕШЕНИЕ

hello_html_m263a1fee.gifhello_html_1b2896a1.gifhello_html_m1ec75a3f.gif.




Ответы, тексты и решение задач практической части семинара-практикума

«Применение производной в физике, технике»


Критерии оценивания: 7 - 9 задач – оценка «3», 10 -13 задач – оценка «4», 14 - 15 задач – оценка «5»
Примечание: задача №16 выполняется по желанию учащегося, выполнившего первые 15 задач, и оценивается дополнительной оценкой.

Ответы к задачам:

1

v (3) = - 19,

a (3) = -18.


2

h (5) = 125

3

v(t) = 12 t 2+ 22t

v(2) = 92 м/с

4

S′(4) = 493 см2

5

v(3) =

132π см2

6

F = 8H


7

h(0,375) ≈ 4,2 м

8

ω(6) = 1,6 рад/с,

t =10c

9

t = 3 c,

v(3) = 13 м/с

10

F= 6m0S2(t)

11

F= 18m0S3(t)


12

E(2) = 40 Дж

13

I′(t) = 35 A/c

14

t = 2

15

t = 7

16

φ = arctghello_html_m6e88b152.gif

φ 18˚ 26′

Итог: правильно решено _________ задач. Оценка: ________



Задача 1. Материальная точка движется по прямой по закону S(t) =hello_html_4629ca19.gif. Найдите её скорость и ускорение в момент времени t = 3.

Решение:

S(t) =hello_html_m1d237d6d.gif.

V(t) =hello_html_m61246cb5.gif= 8 - 3hello_html_m5d29fecd.gif, hello_html_m5ea2a68e.gif= 8 – 27 = - 19;

а(t) = hello_html_2546ee92.gif= -6t, а(3) = - 18. Ответ: -19, -18.


Задача 2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью hello_html_m7501b51d.gif движется по закону hello_html_m5dda0fb8.gif, где hпуть в метрах, t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которую достигнет тело, если hello_html_m6ea73743.gif, g = 10м/с2.

Решение:

hello_html_m4e60276c.gif, hello_html_m3f5c557a.gif, hello_html_m6ea73743.gif, g = 10м/с2.

hello_html_m1af05b7a.gifhello_html_6e3a3027.gifhello_html_m1af05b7a.gif50-10t=0, t=5;

t - ?

hello_html_3e43aac8.gifhello_html_4dbe57c3.gif=125 Ответ: 125 м.


Задача 3. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_m796a0a2f.gif (x измеряется в метрах, t в секундах). Напишите формулу для вычисления скорости в любой момент времени и вычислите её при t = 2.

Решение:

V(t) =hello_html_m7a5ecd0d.gif, V(t) = hello_html_m7a5ecd0d.gif=12t2+22t;

hello_html_m26441fa4.gif- ? hello_html_m26441fa4.gif=92м/с Ответ: 12t2 + 22t; 92м/с.


Задача 4. Основание параллелограмма а изменяется по закону hello_html_m28d96bd4.gif, а высота b по закону hello_html_17f60d19.gif

Вычислите скорость изменения его площади в момент t = 4c. (Основание а и высота b измеряются в сантиметрах).

Решение:

S(t) =hello_html_391d3dba.gif, S(t) =(3+7t)(3+8t) =56t2 +45t +9;

hello_html_m5fb8f75f.gif- ?, hello_html_m5fb8f75f.gif=112t +45; hello_html_m7c83cd81.gif=493 см2/с.

hello_html_m7c83cd81.gif- ? (см2) Ответ: 493 см2/с.


Задача 5. Радиус круга R изменяется по закону hello_html_75f9567a.gif

C какой скоростью изменяется его площадь в момент t = 3cек, если радиус круга измеряется в сантиметрах.

Решение:

S =hello_html_4a0fc5e1.gif,

hello_html_24137b8e.gif ?, hello_html_6f1ab5f1.gifπ(2+t2)2;

V(t) =hello_html_m61246cb5.gif, V(t)= 2π(2+t2)( 2+t2)′= 4πt(2+t)2; V(3)=132 π (см2).

hello_html_m5ea2a68e.gif- ? Ответ: 132π см2.


Задача 6. Материальная точка массой 2кг движется прямолинейно по закону hello_html_61936cc.gif, где S- путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на неё в момент t = 3 c.

Решение:

hello_html_m42dc721b.gif,

a(t) = hello_html_m63551a9c.gif, a(t) = hello_html_m63551a9c.gif=(9 -2t+t2)′= -2+2t; а(3) = 4,

а(3) - ?, F = 4m, m=2 кг, F= 8(н).

F - ? Ответ: 8 н.


Задача 7. Тело, выпушенное вертикально вверх с высоты h0 с начальной скоростью V0 движется по закону

hello_html_546fb733.gif, где hвысота в метрах, t – время в секундах. Найдите высоту тела в момент времени, когда скорость тела в 4 раза меньше первоначальной, если h0 = 3м,

hello_html_m3cb1f99.gif = 5м/с, g hello_html_3490ef8d.gif10 м/с2.

Решение:

V(t) = hello_html_4a9b5a9c.gif - скорость движения тела. V(t) =hello_html_14c7dfdd.gif;

Найдём момент времени t, когда hello_html_m63ab4ec6.gif < V0 в 4 раза (из уравнения: 4V(t) = V0).

hello_html_m48ca1f34.gif

h(t) - ? (м) hello_html_m729e236.gif(м).

Ответ: 4,2м.


Задача 8. Маховик задерживаемый тормозом, поворачивается за tc на

угол α(t) = 4t – 0,2t2 (рад). Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6с;

б) в какой момент маховик остановится?

Решение:

а)hello_html_m5a9f0d2b.gif, ω hello_html_782a13.gif=hello_html_m135e5075.gift; ω(6)=hello_html_m3f17bb43.gif(рад/с),

б)hello_html_422e355d.gif, t - ? hello_html_m135e5075.gift=0, t=10(c).

Ответ: 1,6 рад/с, 10с.


Задача 9. Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) =hello_html_31eba552.gif, где Sпуть в метрах, tвремя в секундах. Найдите:

а) момент времени t, когда ускорение точки равно 0;

б) скорость, с которой движется точка в этот момент времени.

Решение:

a(t) = hello_html_m63551a9c.gif; а(t) =hello_html_2f02f723.gif

а(t) = 0, t - ?, hello_html_55678ecd.gif hello_html_4ac51233.gif

V(t) = hello_html_m5fb8f75f.gif, hello_html_m5ea2a68e.gif- ? (м/с). hello_html_m256d4c5e.gif hello_html_m687c964c.gif(м/с).


Ответ: 3с, 13м/с.

Задача 10. Точка массой m0 движется прямолинейно по закону S(t) =hello_html_m398b0d0f.gif. Докажите, что действующая на неё сила пропорциональна квадрату пройденного пути.

Решение:

a(t) = hello_html_m63551a9c.gif; hello_html_m361e6cc8.gif

hello_html_m2bf0f7d4.gif

hello_html_m31d2f962.gif.

Ответ: hello_html_1af89a8c.gif.



Задача 11. Точка массой m0 движется прямолинейно по закону S(t) =hello_html_m32e9b0cc.gif. Докажите, что действующая на неё сила пропорциональна кубу пройденного пути.

Решение:

hello_html_m361e6cc8.gif. hello_html_m185c4fe.gif

Ответ:hello_html_m2c901b04.gif


Задача 12. Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону hello_html_m3c22b3e6.gif. Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.

Решение:

E(t)= hello_html_1c504393.gif ,

hello_html_62fb4b0b.gif, E(2) - ? (Дж)

hello_html_m2c4cc577.gif

Если hello_html_9ae47f4.gif то Е(2)hello_html_31715d2f.gif


Ответ: 40 Дж.


Задача 13. Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением: hello_html_2f8cede3.gif. Найдите скорость изменения тока в момент времени t = 10с.

Решение:

hello_html_4f7e4edf.gif

hello_html_6889ef2a.gif (А/с) hello_html_683442ff.gif

Ответ: 35 А/с.


Задача 14. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: hello_html_m749281e2.gifhello_html_175c55a.gif

В какой момент скорости их равны?

Решение:

V1(t) = hello_html_7e45ab00.gif, V2(t) = hello_html_3c8feba6.gif, hello_html_627aa719.gif

V1(t) = V2(t), t - ? hello_html_22d24ba5.gif t=2.


Ответ: t = 2.


Задача 15. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: hello_html_60df5c18.gifhello_html_m6e923969.gif

В какой момент времени скорость первой точки будет в два раза больше скорости второй?

Решение:

V1(t) = hello_html_7e45ab00.gif, V2(t) = hello_html_3c8feba6.gif, hello_html_5dc6115.gif

V1(t) > V2(t) в 2 раза. hello_html_m2a11ae5e.gif

t - ?

Ответ: t = 7.


Задача 16. Под каким углом надо сделать въезд на мост, если его высота 10 м, пролёт 120 м ?

Решение: необходимо ввести прямоугольную систему координат и рассмотреть график функции hello_html_45026301.gif графиком является парабола, ветви направлены вниз;

b = 10; hello_html_9175a62.gifhello_html_270b13f5.gif

hello_html_m1a5de54b.gifhello_html_6a02d351.gifhello_html_m530b7165.gif; hello_html_6dfe761.gif.

Ответ :hello_html_1ef5c169.gif


График 1

Выпуклая вверх функция


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 23.08.2015
Раздел Физика
Подраздел Конспекты
Просмотров934
Номер материала ДA-012079
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх