Подборка материала по математике "Решение неравенств с двумя переменными"

Решение неравенств с двумя переменными

Графическое решение неравенств

Неравенство с двумя переменными х и у f(x;y) > (х;у) можно записать в виде F(x;y)>0 (1), где f(x;y),(x;y), F(x;y) - многочлены с указанными переменными. Неравенства, содержащие неизвестные, могут быть и другого вида:

F(x;y) < 0,F(x;y)  0,F(x;.y)  0.

Решением неравенства (1) называется упорядоченная пара действительных чисел (х₀; у₀), обращающая это неравенство в верное числовое неравенство. Графически это соответствует заданию точки (х₀; у₀) координатной плоскости. Решить неравенство - значит, найти множество всех его решений. Совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству (1), называется областью его решений.

Неравенства называются равносильными, если они имеют одну и ту же область решений.

Полезно будет напомнить здесь одно простое
утверждение: график уравнения F(x;y) = y - f(x) = 0, где f(x) - многочлен, делит координатную плоскость на две области так, что при переходе из одной области в другую значение выражения F(x;y) меняет знак на противоположный.



Рис. 1cnh 62

Действительно, если взять любую точку (рис. 1), лежащую выше графика, то ее ордината будет больше, чем ордината точки, имеющей такую же абсциссу, но лежащей на графике. То есть множество точек плоскости, расположенных выше графика, будет геометрическим изображением решения неравенства у > f(x), т.е. F(x;y) > 0 . Для точек, лежащих ниже графика, имеет место неравенство F(x;y) < 0.

Аналогично можно сформулировать утверждение для графика уравнения F(y,x) = х – (у) = 0, где  (у) -многочлен.

Многочлен можно заменить на элементарную функцию. Например, для выражений F(x;y) = y - log₂x иF(x;y) = y -  (k>0) на рисунках 2 и 3 соответственно представлены решения неравенства F(x;y) 0.



Рис. 2



Рис. 3

Указанные утверждения удобно использовать, если в неравенстве удается выразить переменную у(или х) в явном виде, то есть уединить эту переменную в одной из частей неравенства. 

Области знакопостоянства линейного многочлена F(x;y) =px + qy + r

Уравнение px + qy + r = 0, где p²+q², задает прямую линию. Геометрической интерпретацией решения линейного неравенства с двумя переменными является следующая теорема.

Теорема 1. Прямая px + qy + r = 0, где p²+q², разбивает координатную плоскость на две открытые полуплоскости так, что координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют неравенству рх + qy + r > 0, а другой - неравенствуpx + qy + r <0.

Исходя из теоремы 1, можно сформулировать свойство чередования знака для линейного многочлена Ф(х;у) = px + qy + r (p²+q²,): 

при переходе через точку прямой px + qy + r = 0 из одной полуплоскости в другую знак значения многочлена Ф(х;у) меняется на противоположный.

• 
  Если прямые F₁(x;y) = a₁x + b₁y + c₁ = 0 и F₂(x;y) = a₂x + b₂y + c₂ = 0 пересекаются, то каждая из систем неравенств

 задает на координатной плоскости множество внутренних точек угла, включая границы. Например, совокупность  соответствующая системе неравенств задает оставшуюся часть, исключая границы (координатную плоскость с «вырезанным» углом). Аналогичные утверждения верны и для других пар систем и совокупностей неравенств. Другими словами, в алгебре указанные совокупность и система неравенств являются логическими отрицаниями друг друга, а на координатной плоскости им соответствующие множества точек являются дополнениями друг друга до всей плоскости.

• Неравенство (a₁x + b₁y +c₁)(a₂x + b₂y + c₂) 0 (или (a₁x + b₁y +c₁)(a₂x + b₂y + c₂) 0), где a_i² +b_i² 0 (i = 1; 2), задает на координатной плоскости множество внутренних точек вертикальных углов, включая границы.

Метод областей и его обобщения

• Рассмотрим выражение F(x;y)=F₁(x;y)× F₂(x;y) × ... × F_n(x;y), (2)

где F_i (х; у) = p_ix + q_iy + r_i, причем прямые p_ix + q_iy + r_i =0 и p_jx + q_jy + r_j =0 попарно различны (i = 1,2,...,n; у = 1,2,...,n; i  

Выражению (2) соответствует разбиение плоскости на области прямыми линиями p_ix + q_iy + r_i =0 (i = 1,2,...,n). Точки пересечения прямых будем называть особыми точками границы области, другие точки -обыкновенными. Метод областей опирается на следующее свойство чередования знака выражения (2): при переходе через обыкновенную точку прямой p_ix + q_iy + r_i =0 (границы области) из одной области в смежную знак значения выражения (2) меняется на противоположный.

Действительно, при переходе через прямую линию p_ix + q_iy + r_i =0 в выражении (2) меняет знак только один множитель p_ix + q_iy + r_i.

Пример . Решите графически неравенство (у + х)(х – у - 1)(х + 2)0.

Решение. На координатной плоскости хОу строим сплошными линиями график уравнения (у + х)(х – у - 1)(х + 2) = 0, состоящий из трех прямых у = -х, у = х - 1 и х = -2 (рис.4). Многочлену F(x; у) = (у + х)(х - у - 1)(х + 2) соответствует разбиение плоскости (х;у) на семь областей. Возьмем пробную точку (3;0) и определим знак значения выражения F(x;y) в этой точке: F(3;0) = 30; 30 > 0. Ставим знак плюс в области, содержащей точку (3;0). Далее, используя свойство чередования знака выражения F(x;y) вида (2), расставляем знаки в остальных областях. Нумерация областей на рисунке показывает последовательность их обхода (последовательность обхода может быть и другой). Выбираем области, содержащие знак плюс и решения уравнения F(x;y) = 0.



Рис. 4

• Пусть дано выражение вида F(x;y) =(x;y) ×(x;y) × ... × (x;y) (3), где F_j{x;y) = p_ix + q_iy + r_i , причем прямые p_ix + q_iy + r_i =0 и p_jx + q_jy + r_j =0 попарно различны (i = 1,2,...,n; у = 1,2,...,n; i k₁,k₂,...,k_n - фиксированные натуральные числа и выражению F(x;y) соответствует разбиение плоскости на области.

Для решения неравенства (1), где выражение F(x; у)имеет вид (3), используется обобщенный метод областей, который опирается на следующее правило чередования знака выражения: при переходе через обыкновенную точку прямой p_ix + q_iy + r_i =0(границы области) из одной области в смежную знак значения выражения (3) меняется на противоположный, если к_i - нечетное число, и не меняется, если k_i - четное число.

Области знакопостоянства многочленов F(x; у) второй степени

Рассмотрим кривые второго порядка: эллипс (в частности, окружность), гиперболу, параболу.

Теорема 2. Окружность (х - т)² +(у - n)² = R² (с центром в точке А(т;n) и радиуса R > 0) делит координатную плоскость на две части так, что координаты точек, лежащих вне окружности, удовлетворяют неравенству (х - т)² +(у - n)² > R²,а расположенных внутри окружности неравенству (х - т)² +(у - n)² <R².

Рис. 5 

Теорема 3. Эллипс, заданный каноническим уравнением = 1, делит координатную плоскость на две части так, что координаты точек, лежащих вне эллипса, удовлетворяют неравенству  а расположенных внутри эллипса - неравенству  1. 

Для эллипса аналогично формулируется утверждение о знакочередовании значения выражения F(x; y) = .



Отсюда как следствие вытекает теорема 2. 

Теорема 4. Гипербола ху - k = 0 (k  0) делит координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной области в смежную выражение F(x;y) = ху - k меняет знак на противоположный.





Аналогичное свойство знакочередования формулируется для гиперболы (х - т)(у - n) - k = 0 (k 0)

Теорема 5. Гипербола, заданная каноническим уравнением  = 1), делит координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной области в смежную значение выражения F(x; y) =  (F(x; y) =  1) меняет знак на противоположный.



Аналогичное свойство формулируется для гипербол  и 

Теорема 6. Парабола, заданная каноническим уравнением у²= 2рх (р > 0 или р < 0), делит координатную плоскость на две области так, что при переходе из одной области в другую значение выражения F(x;y) = у² -2рх меняет знак на противоположный.

Аналогичное свойство формулируется для параболы (у - n)²= 2р(х - т).



Области знакопостоянства выражений, содержащих знак модуля

Для решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля, обычно разбивают координатную плоскость на отдельные области так, чтобы на каждой из них можно было записать неравенство, не используя знака абсолютной величины.

В некоторых случаях удобно использовать известные области знакопостоянства выражений с модулями.

Теорема 7. Ромб, заданный уравнением = 1, где k > 0, l > 0, делит координатную плоскость на две части так, что координаты точек, лежащих вне ромба, удовлетворяют неравенству  > 1, а расположенных внутри ромба - неравенству .

По аналогии с существующей терминологией «уравнение прямой в отрезках», уравнение = 1, где k > 0, l > 0, можно назвать «уравнением ромба в отрезках».



Теорема 8. Фигура, заданная уравнением , где k> 0, l > 0, делит координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной области в смежную значение выражения F(x; y) =  меняет знак на противоположный.



Теорема 9.Фигура, заданная уравнением или k, делит координатную плоскость на две области так, что при переходе из одной области в другую значение выражения F(x; y) =  меняет знак на противоположный.



Теорема 10. Неравенство ÷a₁x + b₁y +c₁÷  a₂x + b₂y + c₂,где a_i² + b_i² 0 (i = 1; 2), , задает на координатной плоскости множество внутренних точек угла, включая границы.



Теорема 11.Неравенство ÷a₁x + b₁y+c₁÷ ÷a₂x + b₂y +c₂÷ , где a_i² +b_i² 0 (i = 1; 2),, задает на координатной плоскости множество внутренних точек вертикальных углов, включая границы.



Теорема 12. Пара параллельных прямых, заданных уравнением разбивает координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной плоскости в другую значение выражения F(x; y) = ÷ax + by + c÷ - m меняет знак на противоположный.

Конкретизируем данную теорему: неравенство  задает на координатной плоскости множество внутренних точек «полосы», включая границы. В частности, «полоса» параллельна оси Ох, а «полоса»  параллельна оси Оу.



Теорема 13. Неравенство ÷a₁x + b₁y +c₁÷  ÷a₂x + b₂y + c₂÷ , где m  a_i²+ b_i² 0 (i = 1; 2), , задает на координатной плоскости множество внутренних точек параллелограмма, включая границы.

Пример. Решить неравенство .

Решение. Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю: , , , . Заменим неравенство вида дроби на равносильное неравенство вида произведения: . Найдем корни многочлена :, . Определим знак выражения  в интервалах , , . Если , то ; если , то , если , то .

Ответ: .

Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств. Решением системы неравенств являются те значения переменной (или переменных), при которых каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство. Множество решений системы неравенств – это пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Таким образом, чтобы решить систему неравенств, надо решить каждое из неравенств этой системы, а затем выбрать область, в которой все неравенства системы выполняются одновременно.

Решение двойных неравенств  также сводится к решению системы неравенств .

Пример. Решить систему неравенств .

Решение. Рассмотрим первое неравенство системы и решим его: , , . Теперь перейдем ко второму неравенству и получим его решение: , , , . Областью решения обоих неравенств системы является отрезок  или .

Ответ: .

Пример. Решить систему неравенств .

Решение. Рассмотрим первое неравенство системы  и решим его. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: . Квадратный трехчлен имеет два действительных корня , . Согласно формуле разложения на линейные множители, квадратное неравенство примет вид . Обозначим на числовой оси точки ,  и проверим знак выражения  в промежутках, на которые разбивают действительную ось найденные значения корней. Если , то ; если , то ; если , то . Поэтому решением первого неравенства будут значения переменной . Перейдем ко второму неравенству  и найдем его решение: , , . Запишем неравенство в виде , обозначим на числовой оси точки ,  и проверим знак выражения  в промежутках, на которые разбивают действительную ось найденные значения корней. Если , то ; если , то ; если , то . Решением второго неравенства будут значения переменной . Общей областью решения двух неравенств является интервал .

Ответ: .

6.2. Задания для самостоятельного решения.

Найдите решения неравенств:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Найдите решения систем неравенств:

1) ;

2) ;

3) .

7. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

7.1. Теоретические сведения и примеры

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала (корня), называется иррациональным. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней, поэтому при использовании указанного метода следует проверять найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

При решении уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель радикала четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно, при этом значение радикала также является неотрицательным;

2) если показатель радикала нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом, в этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения.

Таким образом, при решении иррациональных уравнений надо сначала определить область допустимых значений переменной, перейти от иррационального уравнения к рациональному, решить его и проверить подстановкой полученные корни.

Пример. Решить уравнение .       

Решение. Найдем область допустимых значений переменной. Поскольку в уравнении имеется корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно: . Возведем обе части уравнения в квадрат, получим: , , . Найдем дискриминант квадратного трехчлена: . Квадратный трехчлен имеет два действительных корня , . Оба корня удовлетворяют допустимым значениям. Проверим, удовлетворяют ли эти корни заданному уравнению. Если , то левая часть уравнения , а правая часть . Левая часть равна правой, следовательно, значение  является корнем уравнения. Если , то левая часть уравнения , а правая часть . Левая часть не равна правой, следовательно, значение  не удовлетворяет уравнению и является посторонним корнем.

Ответ: .

Пример. Решить уравнение .   

Решение. Найдем область допустимых значений переменной. Поскольку в уравнении имеется корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно: . Найдем дискриминант квадратного трехчлена: . Квадратный трехчлен имеет два действительных корня , . Область допустимых значений уравнения . Исходное уравнение содержит всего один знак корня (радикал). Оставим его в левой части уравнения, а все остальные слагаемые перенесем в правую часть уравнения: . Возведем обе части уравнения в квадрат: , . Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные члены: , , откуда . Выполним проверку. Если , то . Корень удовлетворяет уравнению.

Ответ: .

Пример 4

Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства (у - х2)(у - х - 3) ≤ 3.

Сначала построим график уравнения (у - х2)(у - х - 3) = 0. Им является парабола у = х2 и прямая у = х + 3. Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения (у - х2)(у – х - 3) происходит только на этих линиях. Для точки А(0; 5) определим знак этого выражения: (5 - 02)(5 - 0 - 3) > 0 (т. е. данное неравенство не выполняется). Теперь легко отметить множество точек, для которых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).

Как видно из рассмотренных примеров, для построения множества решений неравенства с двумя переменными используется метод интервалов на координатной плоскости.