Подборка задач для работы на уроке по теме "Касание окружностей"

Материал по теме «Касание окружностей»

Подборка задач для работы на уроке и самоподготовке по теме

«Касание окружностей»

Теория.

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

«окружности касаются внешним образом».

«окружности касаются внутренним образом».

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.

Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.

Концентрическими окружностями называются окружности с общим центром.

Если — расстояние между центрами окружностей радиусов и общая внешняя касательная касается окружностей в точках и общая внутренняя в точках и то

Если две окружности внешне касаются в точке С и их общая внутренняя касательная, проведённая через С, пересекается в точке D с другой общей внешней касательной АВ (А и В –точки касания), то АВ=2СD

Задача №1

Две окружности касаются в точке A. К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках C и B. Докажите, что  CAB = 90^o.

Решение

Пусть M — точка пересечения прямой CB и касательной к окружностям в точке A. Тогда MC = MA = MB (равенство отрезков касательных). Поэтому точка A лежит на окружности с диаметром CB.

Применить:

Внешняя касательная,

Равенство отрезков касательных,

Вписанный прямоугольный треугольник.

Задача №2

Окружности радиусов r и R (R > r) касаются внешним образом в точке K. К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью — A и D, с большей — B и C соответственно.

а) Найдите AB и отрезок MN общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.

б) Докажите, что углы AKB и O₁MO₂ — прямые (O₁ и O₂ — центры окружностей).

Решение

а) Опустим перпендикуляр O₁P из центра O₁ на O₂B. Из прямоугольного треугольника O₁PO₂ находим, что

O₁O₂ = r + R, O₂P = R - r, O₁P = = 2.

Поэтому AB = O₁P = 2.

Поскольку MK = MB и MK = MA, то

NM = 2MK = AB = 2.

б) Поскольку MO₁ и MO₂ — биссектрисы смежных углов AMK и BMK, то угол O₁MO₂ — прямой.

Поскольку MA = MK = MB, то точка K лежит на окружности с диаметром AB. Поэтому AKB = 90^o.

а) Опустим перпендикуляр O₁P из центра O₁ на O₂B. Из прямоугольного треугольника O₁PO₂ находим, что

O₁O₂ = r + R, O₂P = R - r, O₁P = = 2.

Поэтому AB = O₁P = 2.

Поскольку MK = MB и MK = MA, то

NM = 2MK = AB = 2.

б) Поскольку MO₁ и MO₂ — биссектрисы смежных углов AMK и BMK, то угол O₁MO₂ — прямой.

Поскольку MA = MK = MB, то точка K лежит на окружности с диаметром AB. Поэтому AKB = 90^o.

а) Опустим перпендикуляр O₁P из центра O₁ на O₂B. Из прямоугольного треугольника O₁PO₂ находим, что

O₁O₂ = r + R, O₂P = R - r, O₁P = = 2.

Поэтому AB = O₁P = 2.

Поскольку MK = MB и MK = MA, то

NM = 2MK = AB = 2.

б) Поскольку MO₁ и MO₂ — биссектрисы смежных углов AMK и BMK, то угол O₁MO₂ — прямой.

Поскольку MA = MK = MB, то точка K лежит на окружности с диаметром AB. Поэтому AKB = 90^o.

Теорема Пифагора (прямая и обратная)

Даны две концентрические окружности радиусов 1 и 3 с общим центром O. Третья окружность касается их обеих. Найдите угол между касательными к третьей окружности, проведёнными из точки O.

Решение

Пусть O₁ — центр третьей окружности, OA и OB — касательные к ней (A и B — точки касания). Тогда OO₁ — биссектриса угла AOB,

AO₁ = 1, OO₁ = 2, OAO₁ = 90^o.

Поэтому AOO₁ = 30^o, а AOB = 60^o.

концентрические окружности

Задача №3

В окружности радиуса R проведён диаметр и на нём взята точка A на расстоянии a от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке A и изнутри касается данной окружности.

Решение

Пусть O и O₁ — центры данных окружностей, x — искомый радиус. В треугольнике OO₁A известно, что

OA = a, OO₁ = R - x, O₁A = x.

По теореме Пифагора

OO²₁ = OA² + AO²₁, или (R - x)² = x² + a².

Отсюда находим, что x = .

Теорема Пифагора

Задача №4

Две окружности Ω₁ и Ω₂ с центрами O₁ и O₂ касаются внешним образом в точке O. Точки X и Y лежат на Ω₁ и Ω₂ соответственно так, что лучи O₁X и O₂Y одинаково направлены. Из точки X проведены касательные к Ω₂, а из точки Y – к Ω₁. Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку O.

Решение

  Обозначим через S точку пересечения XO₁ и YO₁ (см. рис.). Пусть r₁ и r₂ – радиусы соответствующих окружностей. Тогда    .   Значит,  SO || O₂Y  и    .

Пусть XZ – одна из касательных проведённых из точки X ко второй окружности, а Z' – проекция S на XZ. Тогда    .
  Аналогично доказывается, что расстояние от S до остальных касательных также равно SO, то есть S и есть центр требуемой окружности.

Касающиеся окружности

Вспомогательные подобные треугольники

Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

Дополнительные задачи

1.Две касающиеся окружности с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите периметр треугольника OO1O2.

Решение: Пусть A₁,A₂ и B- точки касания окружностей с центрами O и O₁,  O и O₂,  O₁ и O₂,. Тогда O₁O₂ = O₁B + BO₂ = O₁A₁ + O₂A₂. Поэтому OO₁ + OO₂ + O₁O₂ = (OO₁ + O₁A₁) + (OO₂ + O₂A₂) = OA₁ + OA₂ = 2R.

2. Окружности S1 и S2 касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причём одна из точек пересечения окружностей S1 и S2 лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S1 и S2 равна радиусу окружности S.

Решение: Пусть O,O₁ и O₂- центры окружностей S,S₁ и S₂;  C- общая точка окружностей S₁ и S₂, лежащая на отрезке AB. Треугольники AOB, AO₁C и CO₂B равнобедренные, поэтому OO₁CO₂- параллелограмм и OO₁ = O₂C = O₂B, а значит,  AO = AO₁ + O₁O = AO₁ + O₂B.

3 .На отрезке AB взята точка C. Прямая, проходящая через точку C, пересекает окружности с диаметрами AC и BC в точках K и L, а окружность с диаметром AB—в точках M и N. Докажите, что KM= LN.

Решение: Пусть O,O₁ и O₂ — центры окружностей с диаметрами AB,AC и BC. Достаточно проверить, что KO = OL. Докажем, что DO₁KO = DO₂OL. В самом деле,  O₁K = AC/2 = O₂O,  O₁O = BC/2 = O₂L и РKO₁O = РOO₂L = 180° – 2a, где a — угол между прямыми KL и AB.

4. Даны четыре окружности S1, S2, S3 и S4, причём окружности Si и Si+1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S5 = S1). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Решение: Пусть O_i- центр окружности S_i,  A_i- точка касания окружностей S_i и S_i + 1. Четырехугольник O₁O₂O₃O₄ выпуклый; пусть a₁,a₂,a₃ и a₄- величины его углов. Легко проверить, что РA_i – 1A_iA_i + 1 = (a_i + a_i + 1)/2, поэтому РA₁ + РA₃ = (a₁ + a₂ + a₃ + a₄)/2  =  РA₂ + РA₄.