Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Подборка задач для работы на уроке по теме "Касание окружностей"

Подборка задач для работы на уроке по теме "Касание окружностей"



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Материал по теме «Касание окружностей»


Подборка задач для работы на уроке и самоподготовке по теме

«Касание окружностей»

Теория.

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

окружности касаются внешним образом

«окружности касаются внешним образом».

окружности касаются внутренним образом

«окружности касаются внутренним образом».

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.

Касательные, касающиеся окружности рис. 11

Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.

Концентрическими окружностями называются окружности с общим центром.

http://reshuege.ru/get_file?id=18111

Если http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png— расстояние между центрами окружностей радиусов http://reshuege.ru/formula/4b/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png и http://reshuege.ru/formula/74/74e414e196b0db4b1c3debd27acc9238.pngобщая внешняя касательная касается окружностей в точках http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png и http://reshuege.ru/formula/d6/d6f81c56fe7a3129122604426390ebda.pngобщая внутренняя в точках http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png и http://reshuege.ru/formula/e1/e14181e6d130ce861cf7b8fd3c47e695.png то

 

http://reshuege.ru/formula/98/98bc8cc22392e36f06c8ae9f466e1c1b.png


Если две окружности внешне касаются в точке С и их общая внутренняя касательная, проведённая через С, пересекается в точке D с другой общей внешней касательной АВ (А и В –точки касания), то АВ=2СD



Задача №1

Две окружности касаются в точке A. К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках C и B. Докажите, что  $ \angle$CAB = 90o.

Решение

http://problems.ru/show_document.php?id=1702742

Пусть M — точка пересечения прямой CB и касательной к окружностям в точке A. Тогда MC = MA = MB (равенство отрезков касательных). Поэтому точка A лежит на окружности с диаметром CB.




Применить:

Внешняя касательная,

Равенство отрезков касательных,

Вписанный прямоугольный треугольник.

Задача №2

Окружности радиусов r и R (R > r) касаются внешним образом в точке K. К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью — A и D, с большей — B и C соответственно.

а) Найдите AB и отрезок MN общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.

б) Докажите, что углы AKB и O1MO2 — прямые (O1 и O2 — центры окружностей).



http://problems.ru/show_document.php?id=1425806


Решение

а) Опустим перпендикуляр O1P из центра O1 на O2B. Из прямоугольного треугольника O1PO2 находим, что

O1O2 = r + RO2P = R - rO1P = $\displaystyle \sqrt{O_{1}O_{2}^{2} - O_{2}P^{2}}$= 2$\displaystyle \sqrt{rR}$.

Поэтому AB = O1P = 2$ \sqrt{rR}$.

Поскольку MK = MB и MK = MA, то

NM = 2MK = AB = 2$\displaystyle \sqrt{rR}$.

б) Поскольку MO1 и MO2 — биссектрисы смежных углов AMK и BMK, то угол O1MO2 — прямой.

Поскольку MA = MK = MB, то точка K лежит на окружности с диаметром AB. Поэтому $ \angle$AKB = 90o.

а) Опустим перпендикуляр O1P из центра O1 на O2B. Из прямоугольного треугольника O1PO2 находим, что

O1O2 = r + RO2P = R - rO1P = $\displaystyle \sqrt{O_{1}O_{2}^{2} - O_{2}P^{2}}$= 2$\displaystyle \sqrt{rR}$.

Поэтому AB = O1P = 2$ \sqrt{rR}$.

Поскольку MK = MB и MK = MA, то

NM = 2MK = AB = 2$\displaystyle \sqrt{rR}$.

б) Поскольку MO1 и MO2 — биссектрисы смежных углов AMK и BMK, то угол O1MO2 — прямой.

Поскольку MA = MK = MB, то точка K лежит на окружности с диаметром AB. Поэтому $ \angle$AKB = 90o.

а) Опустим перпендикуляр O1P из центра O1 на O2B. Из прямоугольного треугольника O1PO2 находим, что

O1O2 = r + RO2P = R - rO1P = $\displaystyle \sqrt{O_{1}O_{2}^{2} - O_{2}P^{2}}$= 2$\displaystyle \sqrt{rR}$.

Поэтому AB = O1P = 2$ \sqrt{rR}$.

Поскольку MK = MB и MK = MA, то

NM = 2MK = AB = 2$\displaystyle \sqrt{rR}$.

б) Поскольку MO1 и MO2 — биссектрисы смежных углов AMK и BMK, то угол O1MO2 — прямой.

Поскольку MA = MK = MB, то точка K лежит на окружности с диаметром AB. Поэтому $ \angle$AKB = 90o.


Теорема Пифагора (прямая и обратная)


Даны две концентрические окружности радиусов 1 и 3 с общим центром O. Третья окружность касается их обеих. Найдите угол между касательными к третьей окружности, проведёнными из точки O.

http://problems.ru/show_document.php?id=1458592


Решение

Пусть O1 — центр третьей окружности, OA и OB — касательные к ней (A и B — точки касания). Тогда OO1 — биссектриса угла AOB,

AO1 = 1, OO1 = 2, $\displaystyle \angle$OAO1 = 90o.

Поэтому $ \angle$AOO1 = 30o, а $ \angle$AOB = 60o.



концентрические окружности

Задача №3

В окружности радиуса R проведён диаметр и на нём взята точка A на расстоянии a от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке A и изнутри касается данной окружности.


http://problems.ru/show_document.php?id=1526170

Решение

Пусть O и O1 — центры данных окружностей, x — искомый радиус. В треугольнике OO1A известно, что

OA = a, OO1 = R - x, O1A = x.

По теореме Пифагора

OO21 = OA2 + AO21, или (R - x)2 = x2 + a2.

Отсюда находим, что x = $ {\frac{R^{2} - a^{2}}{2R}}$.

Теорема Пифагора

Задача №4

Две окружности Ω1 и Ω2 с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке O. Точки X и Y лежат на Ω1 и Ω2 соответственно так, что лучи O1X и O2Y одинаково направлены. Из точки X проведены касательные к Ω2, а из точки Y – к Ω1. Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку O.


http://problems.ru/show_document.php?id=1713119

Решение

  Обозначим через S точку пересечения XO1 и YO1 (см. рис.). Пусть r1 и r2 – радиусы соответствующих окружностей. Тогда   http://problems.ru/show_document.php?id=1713116 .   Значит,  SO || O2Y  и   http://problems.ru/show_document.php?id=1713117 .

Пусть XZ – одна из касательных проведённых из точки X ко второй окружности, а Z' – проекция S на XZ. Тогда   http://problems.ru/show_document.php?id=1713118 .
  Аналогично доказывается, что расстояние от S до остальных касательных также равно SO, то есть S и есть центр требуемой окружности.


Касающиеся окружности

Вспомогательные подобные треугольники

Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

Дополнительные задачи

1.Две касающиеся окружности с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите периметр треугольника OO1O2.

Решение: Пусть A1,A2 и B- точки касания окружностей с центрами O и O1,  O и O2,  O1 и O2,. Тогда O1O2 = O1B + BO2 = O1A1 + O2A2. Поэтому OO1 + OO2 + O1O2 = (OO1 + O1A1) + (OO2 + O2A2) = OA1 + OA2 = 2R.

2. Окружности S1 и S2 касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причём одна из точек пересечения окружностей S1 и S2 лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S1 и S2 равна радиусу окружности S.

Решение: Пусть O,O1 и O2- центры окружностей S,S1 и S2;  C- общая точка окружностей S1 и S2, лежащая на отрезке AB. Треугольники AOB, AO1C и CO2B равнобедренные, поэтому OO1CO2- параллелограмм и OO1 = O2C = O2B, а значит,  AO = AO1 + O1O = AO1 + O2B.

3 .На отрезке AB взята точка C. Прямая, проходящая через точку C, пересекает окружности с диаметрами AC и BC в точках K и L, а окружность с диаметром AB—в точках M и N. Докажите, что KM= LN.

Решение: Пусть O,O1 и O2 — центры окружностей с диаметрами AB,AC и BC. Достаточно проверить, что KO = OL. Докажем, что DO1KO = DO2OL. В самом деле,  O1K = AC/2 = O2O,  O1O = BC/2 = O2L и РKO1O = РOO2L = 180°  2a, где a — угол между прямыми KL и AB.

4. Даны четыре окружности S1, S2, S3 и S4, причём окружности Si и Si+1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S5 = S1). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Решение: Пусть Oi- центр окружности Si,  Ai- точка касания окружностей Si и Si + 1. Четырехугольник O1O2O3O4 выпуклый; пусть a1,a2,a3 и a4- величины его углов. Легко проверить, что РAi  1AiAi + 1 = (ai + ai + 1)/2, поэтому РA1 + РA3 = (a1 + a2 + a3 + a4)/2  =  РA2 + РA4.





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 17.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров448
Номер материала ДВ-463122
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх