Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Подборка задач для работы на уроке по теме "Прямая Симсона"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Подборка задач для работы на уроке по теме "Прямая Симсона"

библиотека
материалов

Прямая Симсона

Теория.

Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.

C:\Users\1\Desktop\image043.gif

C:\Users\1\Desktop\Безымянный.png

Свойства

  • Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из произвольной точки плоскости на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка лежит на описанной окружности треугольника.

  • Пусть H —ортоцентр (ортоцентр— точка пересечения высот треугольника или их продолжений)треугольника ABC. Тогда прямая Симсона произвольной точки Pделит отрезок PH пополам.

  • Существуют обобщения прямой Симсона. Если из данной точки описанной окружности треугольника провести прямые под данным ориентированным углом к сторонам, то три полученных точки пересечения будут лежать на одной прямой.


Задача №1

Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точка Р вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников АВР, ВСР, АСР и точка Р лежат на одной окружности.

hello_html_4b04cc59.png

hello_html_mcfd4e58.png


Задача №2

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA1, PB1 и PC1 под данным (ориентированным) углом $ \alpha$ к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A1, B1 и C1 лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла
  90o на угол $ \alpha$ она повернется на угол  90o - $ \alpha$.

Решение

а) Решение задачи проходит без изменений и в этом случае.
б) Пусть
 A1 и B1 — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA, а точки A2 и B2 прямых BC и AC таковы, что  $ \angle$(PA2, BC) = $ \alpha$= $ \angle$(PB2, AC). Тогда  $ \triangle$PA1A2 $ \sim$$ \triangle$PB1B2, поэтому точки A1 и B1 переходят в A2 и B2 при поворотной гомотетии с центром P, причем  $ \angle$A1PA2 = 90o - $ \alpha$ — угол поворота.



Задача №3

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DB' и DC' на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой B'C', причем  DM $ \perp$BC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA1.

Решение

Пусть продолжение биссектрисы AD пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке P. Опустим из точки P перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на прямые BC, CA и AB; ясно, что A1 — середина отрезка BC. При гомотетии с центром A, переводящей P в D, точки B1 и C1 переходят в B' и C', а значит, точка A1 переходит в M, так как она лежит на прямой B1C1 и  PA1| DM.



Задача №4

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA1 и PB1 на прямые BC и AC. Докажите, что  PA . PA1 = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой A1B1.
б) Пусть
 $ \alpha$ — угол между прямыми A1B1 и BC. Докажите, что  cos$ \alpha$ = PA/2R.

Решение

а) Пусть угол между прямыми PC и AC равен $ \varphi$. Тогда  PA = 2R sin$ \varphi$. Так как точки A1 и B1 лежат на окружности с диаметром PC, угол между прямыми PA1 и A1B1 тоже равен $ \varphi$. Поэтому  PA1 = d /sin$ \varphi$, а значит,  PA . PA1 = 2Rd.
б) Так как
  PA1 $ \perp$BC, то  cos$ \alpha$ = sin$ \varphi$ = d /PA1. Остается заметить, что  PA1 = 2Rd /PA.



Точка P движется по описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой P.

Решение

Пусть A1 и B1 — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA. Тогда  $ \angle$(A1B1, PB1) = $ \angle$(A1C, PC) = $ \smile$BP/2. Ясно также, что для всех точек P прямые PB1 имеют одно и то же направление.





Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 17.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров333
Номер материала ДВ-463111
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх