899380
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыПодборка задач для работы на уроке по теме "Прямая Симсона"

Подборка задач для работы на уроке по теме "Прямая Симсона"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Прямая Симсона

Теория.

Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.

C:\Users\1\Desktop\image043.gif

C:\Users\1\Desktop\Безымянный.png

Свойства

  • Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из произвольной точки плоскости на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка лежит на описанной окружности треугольника.

  • Пусть H —ортоцентр (ортоцентр— точка пересечения высот треугольника или их продолжений)треугольника ABC. Тогда прямая Симсона произвольной точки Pделит отрезок PH пополам.

  • Существуют обобщения прямой Симсона. Если из данной точки описанной окружности треугольника провести прямые под данным ориентированным углом к сторонам, то три полученных точки пересечения будут лежать на одной прямой.


Задача №1

Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точка Р вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников АВР, ВСР, АСР и точка Р лежат на одной окружности.

hello_html_4b04cc59.png

hello_html_mcfd4e58.png


Задача №2

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA1, PB1 и PC1 под данным (ориентированным) углом $ \alpha$ к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A1, B1 и C1 лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла
  90o на угол $ \alpha$ она повернется на угол  90o - $ \alpha$.

Решение

а) Решение задачи проходит без изменений и в этом случае.
б) Пусть
 A1 и B1 — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA, а точки A2 и B2 прямых BC и AC таковы, что  $ \angle$(PA2, BC) = $ \alpha$= $ \angle$(PB2, AC). Тогда  $ \triangle$PA1A2 $ \sim$$ \triangle$PB1B2, поэтому точки A1 и B1 переходят в A2 и B2 при поворотной гомотетии с центром P, причем  $ \angle$A1PA2 = 90o - $ \alpha$ — угол поворота.



Задача №3

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DB' и DC' на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой B'C', причем  DM $ \perp$BC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA1.

Решение

Пусть продолжение биссектрисы AD пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке P. Опустим из точки P перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на прямые BC, CA и AB; ясно, что A1 — середина отрезка BC. При гомотетии с центром A, переводящей P в D, точки B1 и C1 переходят в B' и C', а значит, точка A1 переходит в M, так как она лежит на прямой B1C1 и  PA1| DM.



Задача №4

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA1 и PB1 на прямые BC и AC. Докажите, что  PA . PA1 = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой A1B1.
б) Пусть
 $ \alpha$ — угол между прямыми A1B1 и BC. Докажите, что  cos$ \alpha$ = PA/2R.

Решение

а) Пусть угол между прямыми PC и AC равен $ \varphi$. Тогда  PA = 2R sin$ \varphi$. Так как точки A1 и B1 лежат на окружности с диаметром PC, угол между прямыми PA1 и A1B1 тоже равен $ \varphi$. Поэтому  PA1 = d /sin$ \varphi$, а значит,  PA . PA1 = 2Rd.
б) Так как
  PA1 $ \perp$BC, то  cos$ \alpha$ = sin$ \varphi$ = d /PA1. Остается заметить, что  PA1 = 2Rd /PA.



Точка P движется по описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой P.

Решение

Пусть A1 и B1 — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA. Тогда  $ \angle$(A1B1, PB1) = $ \angle$(A1C, PC) = $ \smile$BP/2. Ясно также, что для всех точек P прямые PB1 имеют одно и то же направление.




Общая информация

Номер материала: ДВ-463111

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.