Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Подборка задач для работы на уроке по теме "Прямая Симсона"

Подборка задач для работы на уроке по теме "Прямая Симсона"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Прямая Симсона

Теория.

Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.

C:\Users\1\Desktop\image043.gif

C:\Users\1\Desktop\Безымянный.png

Свойства

  • Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из произвольной точки плоскости на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка лежит на описанной окружности треугольника.

  • Пусть H —ортоцентр (ортоцентр— точка пересечения высот треугольника или их продолжений)треугольника ABC. Тогда прямая Симсона произвольной точки Pделит отрезок PH пополам.

  • Существуют обобщения прямой Симсона. Если из данной точки описанной окружности треугольника провести прямые под данным ориентированным углом к сторонам, то три полученных точки пересечения будут лежать на одной прямой.


Задача №1

Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точка Р вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников АВР, ВСР, АСР и точка Р лежат на одной окружности.

hello_html_4b04cc59.png

hello_html_mcfd4e58.png


Задача №2

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA1, PB1 и PC1 под данным (ориентированным) углом $ \alpha$ к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A1, B1 и C1 лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла
  90o на угол $ \alpha$ она повернется на угол  90o - $ \alpha$.

Решение

а) Решение задачи проходит без изменений и в этом случае.
б) Пусть
 A1 и B1 — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA, а точки A2 и B2 прямых BC и AC таковы, что  $ \angle$(PA2, BC) = $ \alpha$= $ \angle$(PB2, AC). Тогда  $ \triangle$PA1A2 $ \sim$$ \triangle$PB1B2, поэтому точки A1 и B1 переходят в A2 и B2 при поворотной гомотетии с центром P, причем  $ \angle$A1PA2 = 90o - $ \alpha$ — угол поворота.



Задача №3

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DB' и DC' на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой B'C', причем  DM $ \perp$BC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA1.

Решение

Пусть продолжение биссектрисы AD пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке P. Опустим из точки P перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на прямые BC, CA и AB; ясно, что A1 — середина отрезка BC. При гомотетии с центром A, переводящей P в D, точки B1 и C1 переходят в B' и C', а значит, точка A1 переходит в M, так как она лежит на прямой B1C1 и  PA1| DM.



Задача №4

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA1 и PB1 на прямые BC и AC. Докажите, что  PA . PA1 = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой A1B1.
б) Пусть
 $ \alpha$ — угол между прямыми A1B1 и BC. Докажите, что  cos$ \alpha$ = PA/2R.

Решение

а) Пусть угол между прямыми PC и AC равен $ \varphi$. Тогда  PA = 2R sin$ \varphi$. Так как точки A1 и B1 лежат на окружности с диаметром PC, угол между прямыми PA1 и A1B1 тоже равен $ \varphi$. Поэтому  PA1 = d /sin$ \varphi$, а значит,  PA . PA1 = 2Rd.
б) Так как
  PA1 $ \perp$BC, то  cos$ \alpha$ = sin$ \varphi$ = d /PA1. Остается заметить, что  PA1 = 2Rd /PA.



Точка P движется по описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой P.

Решение

Пусть A1 и B1 — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA. Тогда  $ \angle$(A1B1, PB1) = $ \angle$(A1C, PC) = $ \smile$BP/2. Ясно также, что для всех точек P прямые PB1 имеют одно и то же направление.




Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 17.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров209
Номер материала ДВ-463111
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх