Подборка задач для работы на уроке по теме "Прямая Симсона"

Прямая Симсона

Теория.

Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.

Свойства

• Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из произвольной точки плоскости на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка лежит на описанной окружности треугольника.

• Пусть H —ортоцентр (ортоцентр— точка пересечения высот треугольника или их продолжений)треугольника ABC. Тогда прямая Симсона произвольной точки Pделит отрезок PH пополам.

• Существуют обобщения прямой Симсона. Если из данной точки описанной окружности треугольника провести прямые под данным ориентированным углом к сторонам, то три полученных точки пересечения будут лежать на одной прямой.

Задача №1

Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точка Р вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников АВР, ВСР, АСР и точка Р лежат на одной окружности.

Задача №2

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA₁, PB₁ и PC₁ под данным (ориентированным) углом  к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A₁, B₁ и C₁ лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла  90^o на угол  она повернется на угол  90^o - .

Решение

а) Решение задачи проходит без изменений и в этом случае.
б) Пусть A₁ и B₁ — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA, а точки A₂ и B₂ прямых BC и AC таковы, что  (PA₂, BC) = = (PB₂, AC). Тогда  PA₁A₂ PB₁B₂, поэтому точки A₁ и B₁ переходят в A₂ и B₂ при поворотной гомотетии с центром P, причем  A₁PA₂ = 90^o -  — угол поворота.

Задача №3

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DB' и DC' на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой B'C', причем  DM BC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA₁.

Решение

Пусть продолжение биссектрисы AD пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке P. Опустим из точки P перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на прямые BC, CA и AB; ясно, что A₁ — середина отрезка BC. При гомотетии с центром A, переводящей P в D, точки B₁ и C₁ переходят в B' и C', а значит, точка A₁ переходит в M, так как она лежит на прямой B₁C₁ и  PA₁| DM.

Задача №4

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA₁ и PB₁ на прямые BC и AC. Докажите, что  PA ^. PA₁ = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой A₁B₁.
б) Пусть  — угол между прямыми A₁B₁ и BC. Докажите, что  cos = PA/2R.

Решение

а) Пусть угол между прямыми PC и AC равен . Тогда  PA = 2R sin. Так как точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром PC, угол между прямыми PA₁ и A₁B₁ тоже равен . Поэтому  PA₁ = d /sin, а значит,  PA ^. PA₁ = 2Rd.
б) Так как  PA₁ BC, то  cos = sin = d /PA₁. Остается заметить, что  PA₁ = 2Rd /PA.

Точка P движется по описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой P.

Решение

Пусть A₁ и B₁ — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA. Тогда  (A₁B₁, PB₁) = (A₁C, PC) = BP/2. Ясно также, что для всех точек P прямые PB₁ имеют одно и то же направление.