Подборка задач и презентация по теме "Построение сечений многогранников" в рамках подготовки к ЕГЭ

1. На ребре АА₁  куба АBCDA₁B₁C₁D₁  отмечена точка К так, что АК=4,  КА₁=1. 

Точка О – центр грани АВСD куба.   

А) Постройте сечение куба плоскостью D₁ОК

Б) Найдите объем меньшей из  частей  куба, на которые он разбивается данной плоскостью.

2. В основании прямой призмы  АBCDA₁B₁C₁D₁  лежит квадрат АВСD  со стороной 2. Высота призмы равна  . Точка Е лежит на диагонали ВD₁ , причем ВЕ=2.   А) Постройте сечение призмы плоскостью А₁С₁Е

Б) Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости АВС.

3. В кубе АBCDA₁B₁C₁D₁  все ребра равны 7. На его ребре ВВ₁ отмечена точка К так, что КВ=4. Через точки К и С₁ проведена плоскость α, параллельная прямой ВD₁.

А) Докажите, что А₁Р:РВ₁=1:3, где Р – точка пересечения плоскости α с ребром А₁В₁

Б) Найдите объем большей из  частей  куба, на которые он делится данной плоскостью.

4. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁  взята точка

E так, что A₁E : EA =1: 2 , на ребре BB1₁ — точка F так, что B₁F : FB =1:5 ,

а точка T — середина ребра B₁C₁ . Известно, что AB = 4 , AD = 2, AA₁ = 6.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁ .

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

5 . Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 18.  Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁,   M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что

CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM — равнобокая  трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

6. В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD c вершиной М  стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку В и середину ребра МD, параллельно прямой АС.

• 1 слайд

  Построение сечений многогранников
  при решении задачи №14
  Учитель: Антонова И.М.
  г. Красноярск
  A
  А₁
  C₁
  С
  B₁
  B
  D
  D₁
  К
  О
  M
  N
  

• 2 слайд

  Основные теоретические сведения
  Аксиомы и следствия
  Свойства параллельных прямых и плоскостей
  

• 3 слайд

  4.
  ( МТА1)
  C1
  D1
  A1
  С
  А
  В
  М
  Т
  Р
  Р1
  Из презентации к уроку «Сечения параллелепипеда»
  

• 4 слайд

  Из презентации к уроку «Сечения параллелепипеда»
  (МТК)
  C1
  D1
  A1
  С
  А
  В
  М
  Т
  К
  Р
  Е
  Р1
  Р2
  6.
  

• 5 слайд

  Из презентации к уроку «Сечения параллелепипеда»
  (МТК)
  6.
  C1
  D1
  A1
  С
  А
  В
  М
  Т
  К
  Е
  Р
  Е1
  Е2
  Р1
  Р2
  

• 6 слайд

  A
  А₁
  C₁
  С
  B₁
  B
  D
  D₁
  К
  О
  №1. Построить сечение плоскостью D₁ОК
  
  D₁К∩АD=F (Fϵ D₁ОК, F ϵ ABC)
  FO ∩AB=M, FO∩CD=N
  (M, N ϵ D₁ОК)
  3. Соединим точки К, М, N и D₁. Т.к. АВВ₁ || СDD₁ , то КМ|| ND₁.
  4. Cечение – трапеция.
  F
  M
  N
  

• 7 слайд

  А₁С₁ – линия сечения, О₁ – точка пересечения диагоналей А₁С₁ и В₁D₁ принадлежит плоскости сечения
  О₁Е ∩ВВ₁=М (М ϵ А₁С₁ Е)
  А₁М ∩АВ=К, С₁М∩ВС=Т
  (К, Т ϵ А₁С₁ Е)
  А₁С₁ТК – трапеция (А₁С₁||ТК)
  
  A
  А₁
  C₁
  С
  D₁
  D
  B
  B₁
  Е
  О₁
  М
  К
  Т
  №2. Построить сечение плоскостью А₁С₁Е
  
  

• 8 слайд

  №3. Построить сечение плоскостью α
  Докажите, что А₁Р:РВ₁=1:3, где Р – точка пересечения плоскости α
  с ребром А₁В₁
  С₁К – линия сечения
  α||D₁B, α∩ВВ₁D=КМ, значит КМ|| D₁B, КМ ϵ α, где М – точка на диагонали D₁B₁
  С₁М ∩А₁В₁=Р
  Сечение С₁КР- треугольник
  МВ₁=3√2,
  D₁С₁: РВ₁= D₁М:В₁М,
  РВ₁=21/4, А₁Р=7/4,
  А₁Р:РВ₁=1:3
  A
  А₁
  C₁
  С
  D₁
  D
  B
  B₁
  К
  М
  М
  B₁
  D
  B
  К
  D₁
  Р
  D₁
  C₁
  A₁
  B₁
  M
  P
  

• 9 слайд

  №4. Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁ .
  A
  А₁
  C₁
  С
  D₁
  D
  B
  B₁
  Е
  F
  Т
  Соединим точки Е и F, Т и F.
  Т.к. АDD₁||ВСС₁, то прямая ЕК||FT
  В₁FТ= А₁ЕК, как углы с сонаправленными сторонами,
  → А₁ЕК=45⁰,
  → А₁Е= А₁К=2 → точка К совпадет с точкой D₁
  4. Сечением является трапеция D₁ТFЕ
  
  
  К
  

• 10 слайд

  №5. Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM — равнобокая трапеция.
  С
  D
  B
  S
  S₁
  M
  L
  1. Соединим точки В и S₁, М и S₁
  2. В Δ ВSS₁ Т – точка пересечения медиан ( Т ϵ S₁LM )
  3. Проводим прямую ТL. Она пересекает ВС в точке К.
  4. ΔВСD: ВВ₁=9√3/2, ВО=3√3,
  ΔВТТ₁ : ВТ=2√3, ТТ₁=ВТ Sin 30⁰=√3
  Δ DLL₁: DL=2, LL₁=2 sin 60⁰ =√3
  5. LL₁= ТТ₁ → KL||BD → KL||BSD→
  KL||MM₁ (М₁ϵSD, М₁ϵ S₁LM ) – свойство 1
  6. Соединяем М₁ и L, M и К. Сечение LM₁MK – равнобокая трапеция
  ( ΔDLM₁=ΔBKM →LM₁=KM)
  
  
  
  Т
  К
  М₁
  D
  В
  С
  В₁
  О
  L
  T
  K
  L₁
  Т₁
  D
  В
  С
  В₁
  О
  L
  T
  K
  L₁
  Т₁
  

• 11 слайд

  №6. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, проходящей
  через точку В и середину ребра МD, параллельно прямой АС.
  М
  А
  D
  В
  С
  Е
  О
  К
  Т
  R
  ВЕ∩МО=К( Кϵα )
  ΔВМD: МК:КО=2:1 (т.к. ВЕ и МО - медианы)
  4ВЕ²=2ВD²+2МВ²-МD², ВЕ=5
  Т.к. АС||α, то проведем через точку К прямую TR||AC (ТϵАМ, RϵСМ)
  ΔАМС ~ ΔТМR → ТR=2/3АС=2√2
  Соединяем точки В, Т, Е, R. Сечение – четырехугольник ВТЕR: ВЕ ḻ̲ ТR
  
  
  
  D
  М
  В
  О
  Е
  К
  М
  А
  С
  О
  К
  Т
  R
  

• 12 слайд

  Спасибо за внимание
  М
  А
  D
  В
  С
  Е
  О
  К
  Т
  R