Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Подготовка к ЕГЭ. Банк задач по стереометрии

Подготовка к ЕГЭ. Банк задач по стереометрии

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

6



B9 № 901. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pngмедианы основания hello_html_m557f1692.pngпересекаются в точке hello_html_m69b69ca6.png. Площадь треугольника hello_html_m557f1692.pngравна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка hello_html_3c276105.png.

Решение.
отрезок hello_html_3c276105.pngвысотой треугольной пирамиды hello_html_m2e70b812.png, ее объем выражается формулой

hello_html_m3ab6e6fd.png

Таким образом,

hello_html_24f9b51.png

Ответ: 9.


Ответ: 9

9hello_html_mc12567a.png01

9


Bhello_html_m1b15b318.png9 № 902. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pngмедианы основания hello_html_m557f1692.pngпересекаются в точке hello_html_m69b69ca6.png. Площадь треугольника hello_html_m557f1692.pngравна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка hello_html_3c276105.png.

Решение.
отрезок hello_html_3c276105.pngвысотой треугольной пирамиды hello_html_m2e70b812.png, ее объем выражается формулой

hello_html_m3ab6e6fd.png

Таким образом,

hello_html_2d76d8b2.png

Ответ: 2.

Ответ: 2

902

2


B9 № 903. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pngмедианы основания hello_html_m557f1692.pngпересекаются в точке hello_html_m69b69ca6.png. Площадь треугольника hello_html_m557f1692.pngравна 2; объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка hello_html_3c276105.png.

Решение.
отрезок hello_html_3c276105.pngвысотой треугольной пирамиды hello_html_m2e70b812.png, ее объем выражается формулой

hello_html_m3ab6e6fd.png

Таким образом,

hello_html_m66d3acf0.png

Ответ: 7,5.

Ответ: 7,5

9hello_html_44c45b79.png03

7,5


B9 № 904. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pngмедианы основания hello_html_m557f1692.pngпересекаются в точке hello_html_m69b69ca6.png. Площадь треугольника hello_html_m557f1692.pngравна 2; объем пирамиды равен 4. Найдите дhello_html_m2b09f17b.pngлину отрезка hello_html_3c276105.png.

Решение.
отрезок hello_html_3c276105.pngвысотой треугольной пирамиды hello_html_m2e70b812.png, ее объем выражается формулой

hello_html_m3ab6e6fd.png

Таким образом,

hello_html_3967b128.png

Ответ: 6.

Ответ: 6

904

6


Bhello_html_364655b4.png9 № 905. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pngмедианы основания hello_html_m557f1692.pngпересекаются в точке hello_html_m69b69ca6.png. Площадь треугольника hello_html_m557f1692.pngравна 4; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка hello_html_3c276105.png.

Решение.
отрезок hello_html_3c276105.pngвысотой треугольной пирамиды hello_html_m2e70b812.png, ее объем выражается формулой

hello_html_m3ab6e6fd.png

Таким образом,

hello_html_m20313561.png

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

905

4,5


Bhello_html_m2a21eb17.png9 № 911. В правильной четырехугольной пирамиде hello_html_m1de2cc81.pngточка hello_html_m69b69ca6.png– центр основания, hello_html_3c5d7c8f.png– вершина, hello_html_m1d05b015.png, hello_html_me2d0f5f.png. Найдите боковое ребро hello_html_23c4a8bf.png.

Решение.
В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно hello_html_m71bb1c60.pngявляется высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора

hello_html_m24b0bfb0.png

Ответ: 17.

Ответ: 17

911

17


B9 № 912. В правильной четырехугольной пирамиде hello_html_m1de2cc81.pngточка hello_html_m69b69ca6.png– центр основания, hello_html_3c5d7c8f.png– вершина, hello_html_6fc50efb.pnghello_html_m2030ba20.pngНайдите длину отрезка hello_html_m71bb1c60.png.

Решение.
в правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно hello_html_m71bb1c60.pngявляется высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора

hello_html_mca6c128.png

Ответ: 5.

Ответ: 5

9hello_html_2c757308.png12

5


B9 № 913. В правильной четырехугольной пирамиде hello_html_m1de2cc81.pngточка hello_html_m69b69ca6.png– центр основания, hello_html_3c5d7c8f.png– вершина, hello_html_14f88676.png, hello_html_m670c3ab.png. Найдите боковое ребро hello_html_m58723dc6.png.

Решение.
в правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно hello_html_m71bb1c60.pngявляется высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора

hello_html_3f815f3e.png

Ответ: 17.

Ответ: 17

9hello_html_7e23143d.png13

17


B9 № 914. В правильной четырехугольной пирамиде hello_html_m1de2cc81.pngточка hello_html_m69b69ca6.png— центр основания, hello_html_3c5d7c8f.png— вершина, hello_html_22ac0908.png, hello_html_6a8ece85.png. Найдите длину отрезка hello_html_m1a25957c.png.

Решение.
В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно, SO является высотой пирамиды. Тогда по теореме Пифагора

hello_html_2eb5e461.png

Ответ: 16.

Ответ: 16

9hello_html_m668001f9.png14

16


B9 № 915. В правильной четырехугольной пирамиде hello_html_m1de2cc81.pngточка hello_html_m69b69ca6.png– центр основания, hello_html_3c5d7c8f.png– вершина, hello_html_m71bb1c60.png=12, hello_html_5045df34.png=18. Найдите боковое ребро hello_html_m6cddf624.png

Решение.
в правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно hello_html_m71bb1c60.pngявляется высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора

hello_html_464a686.png

Ответ: 15.

Ответ: 15

9hello_html_m508e3366.png15

15


B9 № 920. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pngточка hello_html_m4c433ae3.png– середина ребра hello_html_328e258c.png, hello_html_3c5d7c8f.png– вершина. Известно, что hello_html_m36e71481.png=3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка hello_html_maaf8ebf.png.

Решение.
Найдем площадь грани hello_html_m6f512343.png:

hello_html_m2c5a9b7b.png


Отрезок hello_html_maaf8ebf.pngявляется медианой правильного треугольника hello_html_m6f512343.png, а значит, его высотой. Тогда

hello_html_m57ee3f45.png

Ответ: 10.

Ответ: 10

9hello_html_m5cf3f4b6.png20

10


Bhello_html_66040ce2.png9 № 921. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.
Отрезок SL является медианой правильного треугольника SAC, а значит, и его высотой. Боковые грани пирамиды равны, поэтому

hello_html_26e9f597.png

Ответ: 45.

Ответ: 45

921

45


B9 № 922. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pnghello_html_m6a238a63.png– середина ребра hello_html_m36e71481.png, hello_html_3c5d7c8f.png– вершина. Известно, что hello_html_256e3818.png=4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра hello_html_m3bd2bdc0.png

Решение.
Найдем площадь грани hello_html_456dd629.png:

hello_html_m754ce0b8.png

Отрезок hello_html_256e3818.pngявляется медианой правильного треугольника hello_html_456dd629.png, а значит, и его высотой. Тогда

hello_html_8e8e22c.png

Ответ: 9.

Ответ: 9

9hello_html_3633238c.png22

9


B9 № 923. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pnghello_html_m1129a3ab.png– середина ребра hello_html_328e258c.png, hello_html_3c5d7c8f.png– вершина. Известно, что hello_html_m36e71481.png=5, а hello_html_6ac8f8ea.png=6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.
Отрезок hello_html_6ac8f8ea.pngявляется медианой равнобедренного треугольника hello_html_m6f512343.png, а значит, и его высотой. Тогда

hello_html_6377a207.png

Ответ: 45.

Ответ: 45

9hello_html_m5ae166db.png23

45


Bhello_html_m4a8e650d.png9 № 924. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pnghello_html_m7cc7d11d.png– середина ребра hello_html_328e258c.png, hello_html_3c5d7c8f.png– вершина. Известно, что hello_html_m36e71481.png=7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка hello_html_203425ed.png.

Решение.
Найдем площадь грани hello_html_m6f512343.png:

hello_html_m65de28c6.png

Отрезок hello_html_203425ed.pngявляется медианой правильного треугольника hello_html_m6f512343.png, а значит, и его высотой. Тогда

hello_html_m2c79c9bd.png

Ответ: 4.

Ответ: 4

924

4


B9 № 284348. В правильной четырехугольной пирамиде hello_html_m1de2cc81.pngточка hello_html_m69b69ca6.png— центр основания, hello_html_3c5d7c8f.pngвершина, hello_html_mc382cd5.png, hello_html_272e51ac.pngНайдите боковое ребро hello_html_m58723dc6.png.

Решение.
hello_html_m648073d9.pngРассмотрим треугольник hello_html_m805fc34.png. Он прямоугольный, т. к. hello_html_m71bb1c60.png— высота, она перпендикулярна основанию hello_html_4eeb2cf8.png, а значит, и прямой hello_html_m3bd2bdc0.pngТогда по теореме Пифагора

hello_html_m12c94f73.png

Ответ: 5.

Ответ: 5

284348

5


B9 № 284349. В правильной четырехугольной пирамиде hello_html_m1de2cc81.pngточка hello_html_m69b69ca6.png— центр основания, hello_html_3c5d7c8f.pngвершина, hello_html_704f0165.png, hello_html_b0d4d2c.png. Найдите длину отрезка hello_html_m71bb1c60.png.

Решение.
hello_html_m648073d9.pngРассмотрим треугольник hello_html_m805fc34.png. Он прямоугольный, т. к. hello_html_m71bb1c60.png— высота, она перпендикулярна основанию hello_html_4eeb2cf8.png, а значит и прямой hello_html_m1a25957c.png. Тогда по теореме Пифагора

hello_html_m7ffe772.png.

Ответ: 4.



Ответ: 4

284349

4


B9 № 284350. В правильной четырехугольной пирамиде hello_html_m1de2cc81.pngточка hello_html_m69b69ca6.png— центр основания, hello_html_3c5d7c8f.pngвершина, hello_html_mc382cd5.png, hello_html_704f0165.png. Найдите длину отрезка hello_html_m1a25957c.png.

Решение.
hello_html_m648073d9.pngРассмотрим треугольник hello_html_m805fc34.png. Он прямоугольный: т. к. hello_html_m71bb1c60.png— высота, она перпендикулярна основанию hello_html_4eeb2cf8.png, а значит и прямой hello_html_m1a25957c.png. Тогда по теореме Пифагора

hello_html_m7e47946a.png.


Ответ: 6

284350

6


B9 № 284351. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pnghello_html_2e2f2d71.png— середина ребра hello_html_m36e71481.png, hello_html_3c5d7c8f.png— вершина. Известно, что hello_html_m6e046a46.png, а hello_html_m2c18f992.png. Найдите площадь боковой поверхности.

Решение.
hello_html_7f5b566d.pngПлощадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:


hello_html_m29d55a91.png

Ответ:3.

Ответ: 3

284351

3


B9 № 284352. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pnghello_html_m214021b8.png— середина ребра hello_html_m36e71481.png, hello_html_3c5d7c8f.png— вершина. Известно, что hello_html_m6e046a46.png, а площадь боковой поверхности равна hello_html_412bf461.png. Найдите длину отрезка hello_html_91a9e50.png.

Решение.
hello_html_7f5b566d.pngПлощадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: hello_html_666e33fe.png. Тогда hello_html_m5d71acba.png.

Ответ: 2

284352

2


B9 № 284353. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pngточка hello_html_m1bcd8546.png— середина ребра hello_html_m36e71481.png, hello_html_3c5d7c8f.png— вершина. Известно, что hello_html_m334e803b.png, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка hello_html_328e258c.png.

Решение.
hello_html_m15263914.png
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению апофемы на полупериметр основания. Поэтому


hello_html_m2fb58ab4.png


Ответ: 1.

Ответ: 1

284353

1


B9 № 284354. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pngмедианы основания пересекаются в точке hello_html_m4c433ae3.png. Площадь треугольника hello_html_m557f1692.pngравна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка hello_html_7a40a70b.png.

Решение.
hello_html_m1ca4d7b4.pngОснование пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому, точка hello_html_m4c433ae3.pngявляется центром основания, а hello_html_7a40a70b.png— высотой пирамиды hello_html_m2e70b812.png. Ее объем вычисляется по формуле hello_html_4ea20816.png. Тогда

hello_html_311bab79.png.

Ответ: 1.

Ответ: 1

284354

1


B9 № 284355. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pngмедианы основания пересекаются в точке hello_html_m4c433ae3.png. Площадь треугольника hello_html_m557f1692.pngравна hello_html_412bf461.png, hello_html_3ff0e7ad.png. Найдите объем пирамиды.

Решение.
hello_html_m31949646.pngОснование пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому, hello_html_m4c433ae3.pngявляется центром основания, а hello_html_7a40a70b.png— высотой пирамиды hello_html_m2e70b812.png. Тогда

hello_html_29c09879.png.

Ответ: 1.

Ответ: 1

284355

1


B9 № 284356. В правильной треугольной пирамиде hello_html_m2e70b812.pngмедианы основания пересекаются в точке hello_html_m1129a3ab.png. Объем пирамиды равен hello_html_m61f84036.png, hello_html_m750d46bc.png. Найдите площадь треугольника hello_html_m557f1692.png.

Решение.
hello_html_m621f03e9.pngОснование пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому, hello_html_m4c433ae3.pngявляется центром основания, а hello_html_maaf8ebf.png— высотой пирамиды hello_html_m2e70b812.png. Ее объем вычисляется по формуле hello_html_4ea20816.png. Тогда

hello_html_4a7e3ce2.png.

Ответ: 3.

Ответ: 3

284356

3


B9 № 500249. Диагональ hello_html_m1a25957c.pngоснования правильной четырёхугольной пирамиды hello_html_m1de2cc81.pngравна hello_html_7b41fa19.png. Высота пирамиды hello_html_m71bb1c60.pngравна hello_html_mf3d4796.png. Найдите длину бокового ребра hello_html_655217.png.

Решение.
В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно hello_html_m71bb1c60.pngявляется высотой пирамиды. Тогда по теореме Пифагора

hello_html_70b3da15.png

Ответ: 5.

Ответ: 5

5hello_html_m6ce14fd.pnghello_html_m5182326c.png00249

5


B9 № 916. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_7844ef9b.pngизвестно, что hello_html_m93def0c.pnghello_html_m1861d636.pnghello_html_m41aec425.pngНайдите длину ребра hello_html_328e258c.png.

Решение.
hello_html_3ed0be83.pngПо теореме Пифагора

hello_html_2bf6e68f.png

Тогда длина ребра равна hello_html_328e258c.png

hello_html_28f58473.png

Ответ: 3.

Ответ: 3

916

3


B9 № 917. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_7844ef9b.pngизвестно, что hello_html_1b0071.pnghello_html_m60596a95.pnghello_html_6ec63072.pngНайдите длину ребра hello_html_m6caffd25.png.

Решение.
hello_html_m7ee70eaf.pngпо теореме Пифагора

hello_html_6c977dfd.png

Тогда длина ребра hello_html_m6caffd25.pngравна

hello_html_m456922d2.png

Ответ: 2.






Ответ: 2

9hello_html_m55b5927a.png17

2


Bhello_html_m5182326c.png9 № 918. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_7844ef9b.pngизвестно, что hello_html_m1d93e57d.pngНайдите длину ребра hello_html_2fbb70e1.png.

Решение.
hello_html_m2657e19e.pngПо теореме Пифагора

hello_html_m3224d742.png

Тогда длина ребра hello_html_2fbb70e1.pngравна

hello_html_m4050fb0.png

Ответ: 4.



Другое решение.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. По условию даны длины двух измерений и длина диагонали. Осталось подставить в формулу и сосчитать.

Ответ: 4

918

4


B9 № 919. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_7844ef9b.pngизвестно, что hello_html_m7a6bebce.pnghello_html_5ae9ded.pnghello_html_m1e6e1517.pngНайдите длину ребра hello_html_m5bab15d5.png.

Решение.
hello_html_4389b74e.pngПо теореме Пифагора

hello_html_m451cf9c9.png

Тогда длина ребра hello_html_m5bab15d5.pngравна

hello_html_m45e1ecab.png

Ответ: 5.



Приведем другое решение.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений: 36 = 4 + 7 + x2, откуда искомая длина ребра x равна 5.

Ответ: 5

9hello_html_m5182326c.png19

5


B9 № 245359. Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1=3.

Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_m1b37f35.pngв котором hello_html_6369c7a4.pngявляется гипотенузой. По теореме Пифагора

hello_html_6c4ad7a1.png

В прямоугольнике hello_html_4eeb2cf8.pnghello_html_m1a25957c.png– диагональ, hello_html_328e258c.png=hello_html_2fbb70e1.png. Значит,

hello_html_1730c775.png

hello_html_m20d450a.png

Ответ: 50.

Ответ: 50

2hello_html_m5f05d9a7.png45359

50


B9 № 245360. Найдите расстояние между вершинами А и Dhello_html_m757a1844.png прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AAhello_html_m757a1844.png = 3.

Решение.
Рассмотрим прямоугольник hello_html_40f296d7.pngв котором hello_html_17514de.pngявляется диагональю, hello_html_18e27596.png=hello_html_m644e95d.png По теореме Пифагора

hello_html_m246ed147.png


Значит, ADhello_html_m757a1844.png = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

2hello_html_20969e52.png45360

5


B9 № 245361. Найдите угол hello_html_m503eb276.pngпрямоугольного параллелепипеда, для которого hello_html_m7f1c86cb.png, hello_html_78249501.png, hello_html_m14b05209.png. Дайте ответ в градусах.

Решение.
В прямоугольнике hello_html_m42167436.pngотрезок hello_html_m4050b4ce.pngявляется диагональю, hello_html_1eddecfe.pngПо теореме Пифагора

hello_html_m1bf307ae.png

Прямоугольный треугольник hello_html_m6e2c3fc6.pngравнобедренный: hello_html_5e661f5b.png, значит, его острые углы равны hello_html_m5db9def5.png

Ответ: 45.

Ответ: 45

2hello_html_m6f69349.png45361

45


Bhello_html_m2488efed.png9 № 245362. Найдите угол hello_html_m2643ce86.pngпрямоугольного параллелепипеда, для которого hello_html_328e258c.png=5, hello_html_m6112cb3f.png=4, hello_html_c531770.png=4. Дайте ответ в градусах.

Решение.
грань hello_html_18e5ed07.pngявляется квадратом со стороной 4, а hello_html_m389e4850.png– диагональ этой грани, значит, угол hello_html_63eec4fe.pngравен hello_html_6033fe78.png

Ответ: 45.

Ответ: 45

245362

45


B9 № 245363. Найдите угол hello_html_m3592b121.pngпрямоугольного параллелепипеда, для которого hello_html_328e258c.png=4, hello_html_m6112cb3f.png=3, hello_html_c531770.png=5. Дайте ответ в градусах.

Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_2a741201.pngПо теореме Пифагора

hello_html_541cf81e.png

Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_626539ae.pngТак как hello_html_m69abf403.png=hello_html_c531770.png=hello_html_35ac102b.png то треугольник hello_html_m75c04548.pngявляется равнобедренным, значит, углы при его основании равны по hello_html_m5db9def5.png.

Ответ: 45.

Ответ: 45

2hello_html_m63eb5928.png45363

45


B9 № 245364. В правильной шестиугольной призме hello_html_5a184dcd.pngвсе ребра равны 1. Найдите расстояние между точками hello_html_1b725bfa.pngи hello_html_m2cbb5045.png.

Решение.
рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_5720473b.pngПо теореме Пифагора

hello_html_m3b1bf206.png

Угол между сторонами правильного шестиугольника равен hello_html_ede40ab.pngПо теореме косинусов

hello_html_7d69c292.png

Значит, hello_html_3483b5ed.png

Ответ: 2.


Ответ: 2

2hello_html_m663ba68d.png45364

2


B9 № 245365. В правильной шестиугольной призме hello_html_5a184dcd.pngвсе ребра равны 1. Найдите расстояние между точками hello_html_m1f48a352.pngи hello_html_6dfc92d0.png.

Решение.
Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна его удвоенной стороне. Поэтому

hello_html_m7674fd5f.png.

Ответ: 2.



Ответ: 2

2hello_html_7f68f16d.png45365

2


B9 № 245366. В правильной шестиугольной призме hello_html_5a184dcd.pngвсе ребра равны hello_html_m251ab22c.pngНайдите расстояние между точками hello_html_m1f48a352.pngи hello_html_m2c20d3c9.png

Решение.
рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_3da20205.pngПо теореме Пифагора:

hello_html_m243ed5e2.png

hello_html_m5df99abd.pngбольшая диагональ правильного шестиугольника, ее длина равна его удвоенной стороне. Поэтому hello_html_m25cdc06a.png. Поскольку hello_html_m66f2c662.pngимеем:

hello_html_m56e5c1c1.png

Ответ: 5.



Ответ: 5

2hello_html_m7be2b665.png45366

5


B9 № 245367. В правильной шестиугольной призме hello_html_5a184dcd.pngвсе ребра равны 1. Найдите тангенс угла hello_html_m28564a8d.png

Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_2c4c48c4.pngкатет которого является большей диагональю основания. Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна его удвоенной стороне: hello_html_2c41df52.png. Поскольку hello_html_3f177e5d.pngимеем:

hello_html_m5032932b.png

Ответ: 2.

Ответ: 2

2hello_html_68bb45fa.png45367

2


B9 № 245368. В правильной шестиугольной призме hello_html_5a184dcd.pngвсе ребра равны 1. Найдите угол hello_html_m5298f1fa.pngОтвет дайте в градусах.

Решение.
В правильном шестиугольнике углы между сторонами равны hello_html_m5bbb62dd.pngзначит,

hello_html_m1cdb1a78.png

Ответ: 60.

Ответ: 60

2hello_html_4c01da49.png45368

60


B9 № 245369. В правильной шестиугольной призме hello_html_5a184dcd.pngвсе ребра равны 1. Найдите угол hello_html_m418cac8c.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_66f252ae.png:

hello_html_m19048320.png

Осталось найти диагональ основания. В правильном шестиугольнике углы между сторонами равны hello_html_5feb93fc.png, тогда по теореме косинусов для треугольника АВС имеем:

hello_html_m37bad0dc.png

Так как hello_html_mdf0599.png— острый, он равен hello_html_413c2719.png

Ответ: 60.

Ответ: 60

2hello_html_1c48974b.png45369

60


B9 № 284357. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_7844ef9b.pngизвестно, что hello_html_21efb6e4.png, hello_html_m77beaa8.png, hello_html_2c41df52.png. Найдите длину ребра hello_html_4c04de87.png.

Решение.
hello_html_m36f5d535.pngНайдем диагональ hello_html_5045df34.pngпрямоугольника hello_html_4eeb2cf8.pngпо теореме Пифагора:

hello_html_3093abf2.png.


Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_3d87be5.png. По теореме Пифагора

hello_html_m5d84f28f.png.



Ответ: 1.

Ответ: 1

284357

1


B9 № 284363. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_7844ef9b.pngизвестно, что hello_html_3f177e5d.png, hello_html_m77beaa8.png, hello_html_m3e94337.pngНайдите длину диагонали hello_html_23e8e9ff.png

Решение.
hello_html_4bd98d87.pngНайдем диагональ hello_html_m1a25957c.pngпрямоугольника hello_html_m6544b0c8.pngПо теореме Пифагора

hello_html_7c0542be.png.


Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_m89596ea.pngПо теореме Пифагора

hello_html_204607b4.png.


Ответ: 3.

Ответ: 3

284363

3


B9 № 315130. В кубе hello_html_7844ef9b.pngточка hello_html_m6a238a63.png— середина ребра hello_html_4c04de87.png, точка hello_html_m1bcd8546.png— середина ребра hello_html_cf7ec0f.png, точка hello_html_m4c433ae3.png— середина ребра hello_html_305970ba.png. Найдите угол hello_html_m190bdcaa.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.
hello_html_35b6f5b0.png
Стороны сечения KM, KL, и LM равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников AKM, KLA, и LAM, которые равны друг другу по двум катетам. Таким образом, треугольник LKM является равносторонним. Поэтому угол MLK равен 60°.

Ответ:60.

Ответ: 60

315130

60


B9 № 315131. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_7844ef9b.pngребро hello_html_m5c0df35f.png, ребро hello_html_735d316e.png, ребро hello_html_741ffe8a.png. Точка hello_html_m6a238a63.png— середина ребра hello_html_m2fc827b9.pngНайдите площадь сечения, проходящего через точки hello_html_5fb4c5b2.pnghello_html_e6f9c9c.pngи hello_html_m6a238a63.png.

Решение.
hello_html_m30f99cac.png
Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому четырехугольник hello_html_5b152fa.png— параллелограмм. Кроме того, ребро hello_html_305970ba.pngперпендикулярно граням hello_html_3aea91e1.pngи hello_html_49a84129.png, поэтому углы hello_html_63324bc5.pngи hello_html_m8f156d6.png— прямые. Следовательно, сечение hello_html_5b152fa.png— прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника hello_html_cc7c4e0.pngпо теореме Пифагора найдем hello_html_mf0f3308.png


hello_html_m142b8e4c.png


Тогда площадь прямоугольника hello_html_5b152fa.pngравна:


hello_html_m5287e481.png

Ответ:5.

Ответ: 5

315131

5


B9 № 316552. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_7844ef9b.pngизвестны длины рёбер: hello_html_m5de45a42.png, hello_html_m6a14057.png, hello_html_m2e042efd.png. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины hello_html_1b725bfa.png, hello_html_m7938f978.pngи hello_html_32a0600b.png.

Решение.
hello_html_26d3b742.png
Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому сечение hello_html_27b92547.png− параллелограмм. Кроме того, ребро hello_html_42c7398b.pngперпендикулярно граням hello_html_4eeb2cf8.pngи hello_html_5003df84.png. Поэтому углы hello_html_m3e1e653a.pngи hello_html_m6f829089.png− прямые.Поэтому сечение hello_html_27b92547.png— прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника hello_html_m557f1692.pngнайдем hello_html_m41b707f.png


hello_html_2ac268ee.png


Тогда площадь прямоугольника hello_html_27b92547.pngравна:


hello_html_677f7c3b.png

Ответ:572.

Ответ: 572

316552

572


B9 № 316553. В правильной шестиугольной призме hello_html_m494b585a.png, все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми hello_html_d81bf7f.pngи hello_html_6884d5.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.
hello_html_545254d9.png
Отрезки D1E1, DE и AB лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми FA и E1D1 равен углу между прямыми FA и AB.

Поскольку угол FAB между сторонами правильного шестиугольника равен 120°, смежный с ним угол между прямыми FA и AB равен 60°.

Ответ:60.

Ответ: 60

316553

60


B9 № 316554. В кубе hello_html_7844ef9b.pngнайдите угол между прямыми hello_html_m4050b4ce.pngи hello_html_m36f5e357.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.
hello_html_283acfda.png
Поскольку hello_html_7844ef9b.png— куб, каждая из его граней является квадратом. Диагонали этих квадратов равны, поэтому hello_html_443a66a4.png

Тогда треугольник hello_html_m274743c9.png— равносторонний, следовательно, искомый угол равен 60°.

Ответ:60.

Ответ: 60

316554

60


B9 № 316558. В правильной треугольной призме hello_html_103b8d7c.png, все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми hello_html_4c04de87.pngи hello_html_m389e4850.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.
hello_html_6404f545.png
Отрезки A1A и BB1 лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A1A и BB1 равен углу между прямыми BB1 и BC1.

Из прямоугольного треугольника C1B1B по Теореме Пифагора получаем:


hello_html_m4e0d8a3f.png


По определению:

hello_html_m7f9843d.png


Следовательно, угол BB1 равен 45°.

Ответ:45.

Ответ: 45

316558

45


B9 № 318474. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_7844ef9b.pngизвестны длины рёбер hello_html_5ba0bd8d.png, hello_html_57065d2b.png, hello_html_4ceaf186.png. Найдите синус угла между прямыми hello_html_2fbb70e1.pngи hello_html_13833288.png.

Решение.
hello_html_m62b4d5e.png
Отрезки DC и D1C1 лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A1C1 и DC равен углу между прямыми A1C1 и D1C1.

Из прямоугольного треугольника A1C1D1 по получаем:


hello_html_m40649ee7.png


Тогда для угла A1C1D1 имеем:


hello_html_mf6fd504.png


Ответ:0,6.

Ответ: 0,6

318474

0,6


B9 № 318475. В правильной четырёхугольной призме hello_html_7844ef9b.pngизвестно, что hello_html_53b0ebdf.png. Найдите угол между диагоналями hello_html_m104c3b1c.pngи hello_html_23e8e9ff.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.
hello_html_m338fac08.png
Правильная четырёхугольная призма является прямоугольным параллелепипедом, диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, диагональное сечение является прямоугольником.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A1BC: в нем катет BC вдвое меньше гипотенузы A1C, поэтому угол A1CB равен 60°. Аналогично в треугольнике D1CB угол D1BC равен 60°.

Сумма углов треугольника BGC равна 180° получаем, поскольку углы два его угла равны 60°, третий угол тоже равен 60°.

Ответ: 60.

Ответ: 60

318475

60


B9 № 500145. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_7844ef9b.pngизвестно, что hello_html_6afef20e.png, hello_html_m5c0df35f.png, hello_html_28c01375.png. Найдите длину диагонали hello_html_m104c3b1c.png.

Решение.
hello_html_m5da1fb2d.pngПо теореме Пифагора

hello_html_m49bfdb72.png

Тогда длина диагонали равна hello_html_m104c3b1c.png

hello_html_m2eecd64b.png

Ответ: 15.

Ответ: 15

5hello_html_m698d2814.png00145

15


B9 № 500165. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_7844ef9b.pngизвестно, что hello_html_m287aa9db.png, hello_html_18f04449.png, hello_html_57065d2b.png. Найдите длину диагонали hello_html_23e8e9ff.png.

Решение.
hello_html_4bd98d87.pngНайдем диагональ hello_html_m1a25957c.pngпрямоугольника hello_html_m6544b0c8.pngПо теореме Пифагора

hello_html_m18ebb3ab.png.


Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_m89596ea.pngПо теореме Пифагора

hello_html_24368771.png.


Ответ: 11.

Ответ: 11

500165

11


B9 № 501209. Найдите расстояние между вершинами B и D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если известно, что hello_html_m817c835.png

Рhello_html_m5182326c.pngешение.
По теореме Пифагора

hello_html_1fd1efac.png

Тогда длина равна hello_html_m104c3b1c.png

hello_html_m79d99474.png



Ответ: 8.

Ответ: 8

B9 № 245370. Найдите расстояние между вершинами hello_html_1b725bfa.pngи hello_html_10406a26.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Рhello_html_m5a298f7c.pngешение.
hello_html_93fb9f.pngРассмотрим прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора

hello_html_4caea125.png

Ответ: 3.



Ответ: 3

245370

3


B9 № 245371. Найдите квадрат расстояния между вершинами hello_html_5fd13f2f.pngи hello_html_10406a26.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Рhello_html_mb97006c.pngешение.
hello_html_m118e61ce.pngРассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_mb298e9f.pngПо теореме Пифагора

hello_html_54ab875b.png

Ответ: 5.

Ответ: 5

245371

5


B9 № 245372. Найдите расстояние между вершинами hello_html_m51903388.pngи hello_html_50b853c.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Рhello_html_m64cac5c5.pngешение.
hello_html_mccbaffd.pngРассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_52db284f.pngПо теореме Пифагора

hello_html_5d63e342.png

Ответ: 3.




Ответ: 3

245372

3


B9 № 245373. Найдите угол hello_html_fc6dade.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Рhello_html_53d3f345.pngешение.
hello_html_7f40a62f.pngРассмотрим треугольник hello_html_m47c6d212.pngгде hello_html_m4ba4c53c.pngт. к. являются диагоналями в равных прямоугольниках. Следовательно, треугольник hello_html_fc6dade.png– равносторонний, поэтому все его углы равны hello_html_413c2719.png

Ответ: 60.

Ответ: 60

245373

60


B9 № 245374. Найдите угол hello_html_66247ecf.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Рhello_html_691ba659.pngешение.
hello_html_7bc62ef7.pnghello_html_4eeb2cf8.png— квадрат со стороной 2, а hello_html_5045df34.png— его диагональ. Значит, треугольник hello_html_66247ecf.png— прямоугольный и равнобедренный, hello_html_1404d95b.png. Угол hello_html_66247ecf.pngравен hello_html_6033fe78.png

Ответ: 45.

Ответ: 45

245374

45


B9 № 245375. Найдите тангенс угла hello_html_631984ff.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Рhello_html_m6f7569ed.pngешение.
hello_html_m58e41138.pngРассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_5910790f.png:

hello_html_m612d39f1.png

Ответ: 2.



Ответ: 2

245375

2


B9 № 245376. Найдите квадрат расстояния между вершинами hello_html_m5df4a134.pngи hello_html_m1186e18b.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы мhello_html_b25bf9d.pngногогранника прямые.

Решение.
hello_html_73e56250.pngрассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_m8a1c9c2.pngПо теореме Пифагора

hello_html_m29c830db.png

Ответ: 11.



Ответ: 11

245376

11


B9 № 245377. Найдите квадрат расстояния между вершинами hello_html_m1f48a352.pngи hello_html_50b853c.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Рhello_html_658d3825.pngешение.
hello_html_81c6bd7.pngРассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_m76891235.pngПо теореме Пифагора

hello_html_mb34bb53.png

Ответ: 14.




Ответ: 14

245377

14


B9 № 245378. Найдите квадрат расстояния между вершина-ми hello_html_1b725bfa.pngи hello_html_6650fa06.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Рhello_html_77f77c60.pngешение.
hello_html_2f7901fa.pngРассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_m5050302e.png. По теореме Пифагора

hello_html_27d73eb8.png

hello_html_m1e387883.png

Ответ: 17.


Ответ: 17

245378

17


B9 № 245379. Найдите тангенс угла hello_html_3a997548.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Рhello_html_m5e2d105d.pngешение.
hello_html_bc687ec.pngРассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_3a997548.png. В нем

hello_html_5a6de4a2.png

Ответ: 3.

Ответ: 3

245379

3


B9 № 245380. Найдите тангенс угла hello_html_23866e5a.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Рhello_html_74d05dff.pngешение.
hello_html_mc1ca42c.png
Опустим перпендикуляр hello_html_m684a0cea.pngиз точки hello_html_11198d1.pngна отрезок hello_html_328e258c.png. Угол hello_html_23866e5a.pngравен углу hello_html_m46f050a.png. В прямоугольном треугольнике hello_html_47b66035.pngимеем:

hello_html_41faf986.png

Ответ: 2.


Ответ: 2

245380

2


B9 № 245381. Найдите тангенс угла hello_html_m665321a6.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Рhello_html_m186d4ab5.pngешение.
hello_html_m138562fc.pngРассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_m73fa71b3.png. В нем

hello_html_1c1b0d2d.png

Ответ: 3.



Ответ: 3

245381

3


B9 № 245382. Найдите квадрат расстояния между вершинами hello_html_5fd13f2f.pngи hello_html_10406a26.pngмногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Рhello_html_m56464145.pngешение.
hello_html_20e70c03.pngПо теореме Пифагора

hello_html_m60231e75.png

Ответ: 6.



Ответ: 6

245382

6


B9 № 284360. Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей — 5. Найдите высоту конуса.Решение.
hello_html_7aeb73e2.pngРассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора

hello_html_5338304a.png.

Ответ: 4.


Ответ: 4

284360

4

B9 № 284361. Площадь боковой поверхности цилиндра равна hello_html_mb41d786.png, а диаметр основания — 1. Найдите высоту цилиндра.

Решение.
hello_html_3bff6d47.pngПлощадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле: hello_html_m425cc2b3.png, значит, hello_html_6252ee46.png.

Ответ: 2

284361

2

B9 № 284362. Площадь боковой поверхности цилиндра равна hello_html_mb41d786.png, а высота — 1. Найдите диаметр основания.

Решение.
hello_html_1c843f58.pngПлощадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле: hello_html_m425cc2b3.png,
значит, hello_html_m2ce28b92.png.

Ответ: 2

284362

2

B9 № 316555. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна hello_html_2758e47a.png. Найдите радиус сферы.

Решение.
hello_html_35326d8f.png
Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:


hello_html_m37928d22.png


Поскольку по условию образующая равна hello_html_1c7e716a.pngрадиус сферы равен 7.

Ответ:7.

Ответ: 7

316555

7

B9 № 316556. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен hello_html_m3f182d39.png. Найдите образующую конуса.

Решение.
hello_html_35326d8f.png
Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:


hello_html_m37928d22.png


Радиус сферы равен hello_html_m4246a9d6.pngпоэтому образующая равна hello_html_m6c8ef6c6.png

Ответ:56.

Ответ: 56

316556

56

B9 № 316557. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение.
hello_html_2642ec4a.png
Высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара (см. рис.).

Площадь основания цилиндра:


hello_html_m11053622.png


Площадь боковой поверхности цилиндра:


hello_html_m5f607a8a.png


Площадь полной поверхности цилиндра:


hello_html_m2bde0094.png


Поскольку площадь поверхности шара дается формулой hello_html_m5f66e09a.pngимеем: hello_html_48fa26c7.png

Ответ:166,5.

Ответ: 166,5

316557

166,5

B9 № 501542. Диаметр основания конуса равен 24, а длина образующей — 13. Найдите высоту конуса

B9 № 906. Высота конуса равна 8, а диаметр основания — 30. Найдите образующую конуса.

Решение.
образующая конуса по теореме Пифагора равна

hello_html_m16cf6bd1.png

Ответ: 17.

Ответ: 17

906

17

B9 № 907. Высота конуса равна 5, а диаметр основания – 24. Найдите образующую конуса.

Решение.
образующая конуса по теореме Пифагора равна

hello_html_m429484f9.png

Ответ: 13.

Ответ: 13

907

13

B9 № 908. Высота конуса равна 15, а диаметр основания – 16. Найдите образующую конуса.

Решение.
образующая конуса по теореме Пифагора равна

hello_html_m72c985b7.png

Ответ: 17.

Ответ: 17

908

17

B9 № 909. Высота конуса равна 6, а диаметр основания – 16. Найдите образующую конуса.

Решение.
образующая конуса по теореме Пифагора равна

hello_html_m4bfe5018.png

Ответ: 10.

Ответ: 10

909

10

B9 № 910. Высота конуса равна 12, а диаметр основания – 10. Найдите образующую конуса.

Решение.
образующая конуса по теореме Пифагора равна

hello_html_m65b8bc27.png

Ответ: 13.

Ответ: 13

910

13

B9 № 925. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 21hello_html_m7f0a6c93.png, а диаметр основания равен 7. Найдите высоту цилиндра.

Решение.
высота цилиндра равна

hello_html_5511327.png

Ответ: 3.

Ответ: 3

925

3

B9 № 926. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 18hello_html_m7f0a6c93.png, а диаметр основания равен 9. Найдите высоту цилиндра.

Решение.
высота цилиндра равна

hello_html_1b823e27.png

Ответ: 2.

Ответ: 2

926

2

B9 № 927. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 14hello_html_m7f0a6c93.png, а диаметр основания равен 2. Найдите высоту цилиндра.

Решение.
высота цилиндра равна

hello_html_b76e153.png

Ответ: 7.

Ответ: 7

927

7

B9 № 928. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 9hello_html_m7f0a6c93.png, а диаметр основания равен 3. Найдите высоту цилиндра.

Решение.
высота цилиндра равна

hello_html_m69facf3f.png

Ответ: 3.

Ответ: 3

928

3

B9 № 929. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15hello_html_m7f0a6c93.png, а диаметр основания равен 5. Найдите высоту цилиндра.Решение.
высота цилиндра равна

hello_html_m2c831dc6.png

Ответ: 3.

Ответ: 3

929

3

Автор
Дата добавления 12.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров121
Номер материала ДВ-332867
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх