Подготовка к ЕГЭ. решение задач по теории вероятностей

Подготовка к ЕГЭ.

Задачи по теории вероятностей.

Учитель математики

МОУ Левобережная СОШ

г. Тутаева Ярославский области

Борисова Елена Леонидовна

1.   Выбор одного объекта с дополнительным условием.

Задача.  В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Решение.  Старостой может быть выбран любой из 30 студентов, заместителем - любой из оставшихся 29, а профоргом – любой из оставшихся 28 студентов, т. е. n1=30, n2=29, n3=28. По правилу умножения общее число N способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно N=n1´n2´n3=30´29´28=24360.

2.   Задачи с подбрасыванием монет.

Задача.   Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Решение. Выписываем все возможные комбинации орлов и решек:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

Всего получилось n = 16 вариантов. Вроде, ничего не забыл. Из этих вариантов нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек. Следовательно, k = 1. Осталось найти вероятность:

3.   Задачи о бросании кубика.

Задача. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того,

что выпало нечетное число очков?

Решение. Здесь случайный эксперимент – бросание кубика.

Элементарное событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6.

Событию А={выпало нечетное число очков} благоприятствует 3

элементарных события: 1,3,5. Поэтому т = 3.

Поэтому Р(А) = т/п = 3/6 = 0,5.

4.    Задачи на несовместные события.

Задача №1. В урне 5 белых, 20 красных и 10 черных шаров, не отличающихся по размеру. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым или черным?

Решение. Пусть событие А – появление белого или черного шара. Разобьем это событие на более простые. Пусть В₁ – появление белого шара, а В₂ – черного. Тогда, А=В₁+В₂ по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В₁+В₂). Так как В₁ и В₂ – несовместные события, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий   Р(В₁+В₂) = Р(В₁)+Р(В₂).

Вычислим вероятности событий В₁ и В₂. В этом примере имеется 35 равновозможных (шары не отличаются по размеру) исходов опыта, событию В₁ (появлению белого шара) благоприятствуют 5 из них, поэтому . Аналогично, . Следовательно, .

Задача №2. Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. После поимки одно из них, в связи с увеличением количества сотрудников, занятых в поисках,  вероятность найти второго возрастает до 0,7. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружены оба преступника.

Решение. Пусть событие А – “обнаружены два преступника”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В₁ – обнаружен первый преступник, а В₂ – обнаружен второй преступник, после того, как пойман первый. Тогда, А=В₁В₂ по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(В₁В₂). Так как В₁ и В₂ – зависимые события, то по теореме о вероятности произведения зависимых событий (формула 4.8) Р(В₁В₂) = Р(В₁)Р(В₂/В₁) = 0,5 0,7=0,35.

5.    Задачи о стрельбе.

Задача.  Два стрелка стреляют по одной мишени. У одного вероятность попадания 0,8, у другого – 0,2. Какова вероятность поражения цели?

Решение. Пусть A – цель поражена, В – противоположное событие (цель не поражена). Неявно предполагается, что стрелки стреляют независимо друг от друга, тогда вероятность не поразить мишень равна Р(В)=0,2*0,8=0,16  Отсюда, вероятность поразить мишень  Р(А)=1-Р(В)=1-0,16=0,84

6.    Задачи об объединении  пересечении событий.

Задача.  Вам надо купить определенную книгу. Всего 3 магазина. Вероят-ность того, что книга будет куплена в первом магазине – 50%, во втором – 30%, в третьем – 20%. В первом магазине 40% книг пиратского издания, во втором 50% пиратских книг и в третьем – 20%. Какова вероятность, что купленная вами книга окажется пиратского издания?

Решение. Обозначим через В1,B2, B3 – события, заключающиеся в том, что мы попали в первый, второй и третий магазины соответственно, а событие A то , что купленная книга пиратская. По условию Р(В1) =0,5, P(B2)=0,3, и Р(В3)=0,2. События В1, В2,В 3 несовместны и образуют полную группу. Из условия известно также, что РВ1 (А)=0,4, PВ2(A)=0,5, PВ3(A)=0,2.  Используя формулу полной вероятности, найдем, что вероятность купить пиратскую книгу (не важно в каком магазине) равна

Р(А)=РВ1(А)Р(В1)+РВ2(А)Р(В2)+РВ3(А)Р(В3)= 0,5*0,4+0,3*0,5+0,2*0,2=0,39

7.    Задачи на частоту  событий.

8.   Независимые события. Задачи на вероятность пересечений событий.

Источники:

·        Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; под ред. С.А.Теляковского. – 16-е изд. – М.; Просвещение, 2009

·        www.mathege.ru

·        http://prezentacii.com/matematike/3120-reshenie-zadach-po-teorii-veroyatnostey.html

·        Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей; учеб. Пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк; под редакцией С.А.Теляковского. – 5-е изд. – М. : Просвещение, 2007. -78 с.