Подготовка к ЕГЭ. Урок "Решение задач по теории вероятности".

• 1 слайд

  Урок по теории вероятности
  © Варнек Татьяна Викторовна, учитель математики,
  МОУ «СОШ №18» с углубленным изучением предметов,
  Саратов, 2015
  

• 2 слайд

  Содержание
  Классическое определение вероятности
  Теоремы сложения и умножения вероятностей, формула Бернулли
  Таблицы вариантов, полный граф, дерево вариантов
  Комбинаторика в вероятностных задачах
  Самостоятельная работа
  

• 3 слайд

  Классическое определение вероятности
  Случайные события – те, исход которых нельзя предугадать заранее
  
  Равновозможные события – те, которые в результате опыта не имеют бóльшую возможность появления, чем другие
  
  Пример: в урне лежит три шара – чёрный, белый, синий. Однократные изъятия шаров любого цвета – случайные равновозможные события.
  

• 4 слайд

  Обозначение
  Вероятность случайного события А (Р(А)) – отношение числа благоприятствующих ему событий (m) к общему число всех элементарных событий (n)
  Р(А) = m/n
  

• 5 слайд

  Схема решения
  Определить случайный эксперимент и его исходы. Убедиться, что они равновозможные.
  Найти общее число событий N
  Найти число благоприятствующих событий искомому событию А (N(A))
  Найти вероятность по формуле
  Р(А) = N(A)/N
  

• 6 слайд

  Пример
  Какова вероятность выпадения нечётной цифры при бросании игральной кости?
  Решение: пусть А – событие выпадения нечётной цифры. Всего элементарных событий n = 6 (т. к. 6 граней кубика); благоприятствующих событий m = 3 (цифры 1, 3, 5). По формуле Р(А) = m/n = 3/6 = 0.5
  Ответ: 0.5
  

• 7 слайд

  Сложение и умножение вероятностей
  Событие называют противоположным событию А, если оно происходит только тогда, когда не происходит событие А и обозначается Ā.
  Сумма вероятностей противоположных событий равна 1
  Р(А) + Р(Ā) = 1
  

• 8 слайд

  Два события называются несовместными, если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно
  

• 9 слайд

  Теорема о сумме вероятностей
  Если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или В, то вероятность событий С равна сумме вероятностей событий А и В:
  Р(С) = Р(А) + Р(В)
  

• 10 слайд

  Теорема о произведении вероятностей
  Если событие С означает совместное наступление двух независимых событий А и В, то вероятность события С равна произведению вероятностей событий А и В:
  Р(С) = Р(А) * Р(В)
  

• 11 слайд

  Пример
  В коробке 19 шаров: 10 белых, 4 чёрные и 5 синих.
  Из коробки наугад вынимают шар. Какова вероятность, что он окажется не белым?
  Решение: пусть событие А – шар оказался чёрным;
  событие В – шар оказался синим;
  событие С – вынутый шар не белый.
  Тогда по формуле находим
  Ответ:
  

• 12 слайд

  Пример
  В одном ящике 15 деталей, из которых 2 детали – нестандартные,
  а в другом ящике – 20 деталей, из которых 3 нестандартные. Из каждого ящика вынимают наугад по одной детали. Какова вероятность, что обе детали окажутся нестандартными?
  Решение: пусть событие А – из первого ящика вынули нестандартную деталь; событие В – из второго ящика вынули нестандартную деталь.
  Для события А - 15 исходов, 2 из которых благоприятные, а для события В – 20 исходов, 3 из которых благоприятные, значит
  Ответ: Р(С)=0,02
  

• 13 слайд

  Формула Бернулли
  Применяется для вычисления k успехов в серии из n попыток
  - число сочетаний
  p – вероятность успеха
  q = 1 - p – вероятность неудачи
  

• 14 слайд

  Пример
  При подбрасывании монеты (p = q = 0.5), формула Бернулли примет вид:
  

• 15 слайд

  Пример
  Монету бросают трижды. Какова вероятность, что орёл выпадет два раза из трёх?
  Решение: по формуле Бернулли находим, что
  

• 16 слайд

  Таблицы вариантов
  Для решения комбинаторных задач существуют различные средства, исключающие возможность потери какой-либо комбинации элементов. Для подсчёта числа комбинаций из двух элементов таким средство является таблица вариантов
  

• 17 слайд

  Пример
  Записать все возможные двузначные числа, используя при этом цифры: 1) 1, 2 и 3; 2) 0, 1, 2 и 3. Подсчитать их количество N.
  Ответ: 1) 9; 2) 12
  

• 18 слайд

  Правило произведения
  Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n*m различных пар с выбранными первым и вторым элементами.
  

• 19 слайд

  Графы
  Нередко подсчёт вариантов облегчают графы. Так называют геометрические фигуры, состоящие из точек (вершин) и соединяющих их отрезков (рёбер). При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов, людей, числовых и буквенных кодов и т. п.), а с помощью рёбер – определённые связи между этими элементами. Для удобства иллюстрации условия задачи с помощью графа его вершины-точки могут быть заменены, например, кругами или прямоугольниками, а рёбра-отрезки – любыми линиями.
  

• 20 слайд

• 21 слайд

  Пример
  Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
  Ответ: 6, т. к. в графе 6 рёбер
  

• 22 слайд

  Дерево вариантов
  Графы такого вида называют деревом вариантов. Вычерчивать дерево полезно, когда требуется записать все существующие комбинации из более, чем 2 элементов. Дерево вариантов даёт наглядное представление о том, как применяется правило произведения.
  
  

• 23 слайд

• 24 слайд

  Комбинаторика в решении вероятностных задач
  Перестановки из n элементов – комбинации n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов.
  
  Размещением из n элементов по k (k≤n) – любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.
  
  
  

• 25 слайд

  перестановка
  Pn = n!
  размещение
  

• 26 слайд

  Пример
  Учащиеся 2 класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?
  

• 27 слайд

  Решение: любое расписание на один день, составленное из 4 (k) различных предметов, отличается от любого другого набором предметов, либо порядком их следования. Значит, в этом примере речь идёт о размещениях из 9 (n) элементов по 4 (k).
  по формуле размещения
  

• 28 слайд

  Сочетание
  Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов в любом порядке.
  

• 29 слайд

  Пример
  Из набора, состоящего из 15 красок, надо выбрать 3 краски для окрашивания шкатулки. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
  

• 30 слайд

  Решение: каждый выбор трёх красок отличается от другого хотя бы одной краской. Значит, здесь речь идёт о сочетаниях из 15 элементов по 3
  по формуле сочетания
  

• 31 слайд

  Самостоятельная работа
  I вариант
  1. Монету бросают дважды. Какова вероятность, что орел выпадет оба раза?
  2. В конкурсе участвуют 20 человек: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Какова вероятность, что первая участница окажется из Китая?
  3. Из 1000 насосов подтекают пять. Какова вероятность, что один случайный насос не подтекает?
  II вариант
  1. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что 6 не выпадет ни разу?
  2. В соревнованиях участвуют 4 человека из России, 7 из Дании, 9 из Швеции и 5 — из США. Какова вероятность, что последним выступит Швед?
  3. На 100 сумок приходится восемь бракованных. Какова вероятность, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  

• 32 слайд

  Самостоятельная работа
  I вариант
  4. В кармане 4 монеты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Не глядя, переложили какие-то три монеты в другой карман. Какова вероятность, что двухрублёвые монеты теперь лежат в одном кармане?
  5. Стоят два автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого. Какова вероятность, что хотя бы один автомат исправен?
  II вариант
  4. В кармане 2 монеты по 5 рублей и 4 по 10 рублей. Не глядя, переложили какие-то три монеты в другой карман. Какова вероятность, что пятирублёвые монеты теперь лежат в разных карманах?
  5. Работает фонарь с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Какова вероятность, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит?
  

УРОК ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

                            Урок по теории вероятности

Цель: Повторить основные понятия и теоремы теории вероятности и    

            комбинаторики, необходимые при подготовке е ЕГЭ.

            Отработать решение задач.

I. Организационный момент.

               Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр.

Слово "азарт", под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего "случай", "риск". Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности.

Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных – алгебраиста Джероламо Кардано (1501 – 1576) и Галилео Галилея (1564 – 1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым – Блезу Паскалю (1623 – 1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность. Всё началось с игры в кости.

Азартные игры практиковались в ту пору главным образом среди знати, феодалов и дворян. Особенно распространенной была игра в кости. Было замечено. что при многократном бросании однородного кубика, все шесть граней которой отмечены соответственно числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 число очков от 1 до 6 выпадают в среднем одинаково часто, иными словами, выражаясь языком математики, выпадение определённого числа очков имеет вероятность, равную 1/6 (т.е. отношению числа случаев, благоприятствующих событию к общему числу всех случаев). Аналогично вероятность появления на верхней грани кости чётного числа очков равна 3/6, так как из шести равновозможных случаев чётное число появляется только в трёх.

Решение порой довольно сложных задач, с которыми обращались заинтересованные лица к Паскалю, Ферма, Гюйгенсу, способствовало разработке основных понятий и общих принципов теории вероятностей, в том числе и правил действия над ними. Отсюда не следует, конечно, заключать, что основоположники теории вероятностей рассматривали азартные игры как единственный или главный предмет разрабатывавшейся ими новой отрасли науки.

На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьёзные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах ещё в 16в. В 16-17вв. учреждение страховых обществ и страхование судов от пожара распространились во многих европейских странах.

Азартные игры были для ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понятий теории вероятности. Об этом заметил ещё Гюйгенс в своей книге "О расчётах в азартной игре" (1657), которая была первой книгой в мире по теории вероятностей. Он писал: "...при - внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы глубокой и весьма интересной". Гюйгенс впервые ввёл важное для теории вероятностей понятие математического ожидания, которое получило дальнейшее развитие а трудах Даниила Бернулли, Даламбера и др. Понятие математического ожидания находит немало применений а разных других областях человеческой деятельности.

Таким образом, в 60-е годы 17в. были выработаны первые понятия и некоторые элементы теории вероятностей. В последующие два века учёные столкнулись с множеством новых задач, связанных с исследованием случайных явлений.

Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

При проведении занятия доска делится на колонки, каждая из которых соответствует одному из модулей тренинга. По ходу повторения теории в колонки записываются основные формулы раздела и примеры решения задач по данному модулю. (Приложение 1)

II. Повторение теоретического материала.

1.     Классическое определение вероятности.

События называют случайными, если заранее нельзя предугадать

их результаты или исход.

Вероятностью случайного события А называют отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в полную группу событий.

Обозначение: Р(А).

Число событий, благоприятствующих событию А, обозначается m, а число событий в полной группе событий – n, тогда по определению имеем Р(А) = m/n

Решая такие задачи, нужно придерживаться общей схемы.

1.     Определить, в чём состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события (исходы). Убедиться, что они возможны.

2.     Найти общее число элементарных событий N.

3.     Определить, какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию А, и найти их число N(A). (Событие можно обозначить любой буквой)

4.     Найти вероятность события А по формуле Р(А) = N(A)/N.

Примеры:

Какова вероятность выпадения чётной при однократном выбрасывании игрального кубика?

Решение:

Обозначим событие «выпадение чётной цифры» буквой А. Всего элементарных событий n = 6; элементарных событий, благоприятствующих событию А m = 3. По формуле: Р(А) = m/n = 3/6 = 1/2 = 0.5

Ответ: 0.5

2.     Сложение и умножение вероятностей.

Событие называют противоположным событию А, если оно происходит только тогда, когда не происходит событие А. Обозначается 

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Два события называются несовместными, если в одном и том же испытании

Они не могут произойти одновременно, т.е. наступление одного из них

исключает наступление  другого.

Теорема о сумме вероятностей

Если событие С означает, что наступает одно из двух

 несовместных событий А или В, то вероятность события С

равна сумме вероятностей событий А и В.

 

Два события называются независимыми, если наступление одного из них

Не влияет на вероятность наступления другого события.

Теорема о произведении вероятностей

Если событие С означает совместное наступление двух

независимых событий А и В, то вероятность события С

равна произведению вероятностей событий А и В.

 

Пример 1.  В коробке находятся 19 шаров:10 белых, 4 красных и 5 зелёных.

Из коробки наугад вынимают шар. Какова вероятность, что он окажется не белым?

Решение: Пусть событие А – шар оказался красным;

                            событие В – шар оказался зелёным.

Тогда событие С – вынутый шар не белый (красный или зелёный).

Значит                                                 

 

Ответ:

Пример 2: В одном ящике 15 деталей, из которых 2 детали – нестандартные,

а в другом ящике – 20 деталей, из которых 3 нестандартные. Из каждого ящика вынимают наугад по одной детали. Какова вероятность, что обе детали окажутся нестандартными?

Решение: Пусть событие А – из первого ящика вынули нестандартную деталь; событие В- из второго ящика вынули нестандартную деталь.

Для события А -  15 исходов, 2 из которых благоприятные, а для события В – 20 исходов, 3 из которых благоприятные, значит

 

Р(С)=0,02

Ответ: 0,02

Таблицы вариантов

Для решения комбинаторных задач существуют различные средства, исключающие возможность «потери» какой-либо комбинации элементов. Для подсчёта числа комбинаций из двух элементов таким средством является таблица вариантов.

Задача: записать все возможные двузначные числа, используя при этом цифры: 1) 1, 2 и 3; 2) 0, 1, 2 и 3. Подсчитать их количество N.

Решение: для подсчёта образующихся чисел составим таблицы:

Ответ: 1) N – 9; 2) N – 12.

Для решения аналогичных задач можно использовать «правило произведения»:

Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n x m различных пар с выбранными первым и вторым элементами.

Графы

Нередко подсчёт вариантов облегчают графы. Так называют геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых рёбрами графа). При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов, людей, числовых и буквенных кодов и т. п.), а с помощью рёбер – определённые связи между этими элементами. Для удобства иллюстрации условия задачи с помощью графа его вершины-точки могут быть заменены, например, кругами или прямоугольниками, а рёбра-отрезки – любыми линиями.

1.     Полный граф

Задача 1.  Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Решение:  решим задачу с помощью так называемого полного графа с четырьмя вершинами А, Б, В, Г, обозначенными по первым буквам имён каждого из 4 мальчиков. В полном графе проводятся все возможные рёбра. В данном случае отрезки-рёбра обозначают шахматные партии, сыгранные каждой парой мальчиков. Из рисунка видно, что граф имеет 6 рёбер, значит, и партий было сыграно 6.

Задача 2. Сколько различных пар элементов (N), отличающихся лишь составом, можно образовать из n имеющихся различных элементов (n > 2)?

Решение: решим задачу с помощью полного графа, имеющего n вершин. Каждое ребро этого графа определяет искомую пару элементов. Из каждой вершины выходят (n-1) рёбер. Число (n-1) х n в 2 раза больше, чем число рёбер, так как при таком подсчёте каждое ребро учитывается дважды. Следовательно, число искомых пар (рёбер графа)

Ответ:

Дерево  вариантов

Графы такого вида называют деревом вариантов. Вычерчивать дерево

полезно, когда требуется записать все существующие комбинации

из более, чем 2 элементов. Дерево вариантов даёт наглядное

представление  о том, как применяется правило произведения.

Задача 3. Антон, Борис и Василий купили 3 билета на футбольный матч на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся три места?

Решение: на 1-е место может сесть любой из троих друзей, на 2-е – любой из двоих оставшихся, а на 3-е – последний. Сказанное изобразим с помощью дерева, помещая в вершины графа первые буквы имён друзей А, Б, В:

Применение графов при нахождении вероятности

Задача 4. В ящике имеется 3 одинаковых по размеру кубика: красный (к), чёрный (ч) и белый (б). Вытаскивая их наугад, кладём 3 кубика на стол последовательно один за другим. Какова вероятность того, что появится последовательность кубиков «ч б к»?

Решение: общее число n исходов расстановки в ряд вынутых из ящика 3 кубиков равно числу перестановок из 3 элементов: n = 6. Только один из этих исходов является благоприятствующим событию «ч б к», т. е. m = 1. Таким образом, вероятность интересующего нас события  P = 1/6.

Элементы комбинаторики при решении  вероятностных задач.

Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов.                                          

Размещением  из  n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Пример 1. Учащиеся 2 класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?

Решение: любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от любого другого набором предметов, либо порядком их следования. Значит, в этом примере речь идёт о размещениях из 9 элементов по 4. Имеем

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

В отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из nэлементов по k отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Пример 2. Из набора, состоящего из 15 красок, надо выбрать 3 краски для окрашивания шкатулки. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: каждый выбор трёх красок отличается от другого хотя бы одной краской. Значит, здесь речь идёт о сочетаниях из 15 элементов по 3. Имеем

Рассмотрим, как применяется  комбинаторика при решении  задач  на нахождение вероятности.

Пример 3. В урне находится 10 шаров, из них 6 белых и 4 черных шара. Вынули из урны 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара - белые?

Решение: рассмотрим событие А – оба вынутых шара белого цвета.

Число всевозможных исходов равно количеству выборок 2 шаров из 10. Выборка без возвращения и без повторения, поэтому .

Число исходов, благоприятствующих наступлению события А равно числу вариантов извлечения 2 белых шаров из 6, поэтому .

Тогда .

Ответ:           .

III .  Решение задач

 После повторения теории и рассмотрения примеров,  класс делится на 4 группы. Всем группам раздаются одинаковые  листы с задачами по модулям. Каждой группе предлагается решить  по 1 задаче из  каждого модуля  на соответствующем поле доски ( выходит 1 ученик от каждой группы и решает одну  задачу,  затем  ученики у доски  меняются местами и решают следующую, из другого модуля). Проверка осуществляется учителем и учениками этой группы. Другие группы слушают объяснение и записывают решения.

Самые сложные задания разбираются совместно.

По окончании тренинга подводятся его итоги.

Домашнее задание: решить  по  задаче из каждого модуля,

не рассмотренные в классе.

Литература:

1.Учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10 и 11 классы, профильный уровень, А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов, издательство «Мнемозина» 2009г.

2.Учебное пособие «Элементы статистики и вероятность», М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, издательство «Просвещение», 2005г.

3. Открытый банк заданий  ЕГЭ, сайт www.mathege.ru

4. сайт подготовки к ЕГЭ www.shpargalkaege.ru

Приложение

 Задачи на  классическое определение  вероятности

1). Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется делящимся на 5?

2). Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

3) Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее — получить в сумме 7 или 8?

4) В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 1 жёлтая и 4 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

5) Монету бросают трижды. Найдите вероятность того,что первые два броска окончатся одинаково

6) В среднем на 150 карманных фонариков приходится три неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.

7) В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в 12 из них встречается вопрос по круглым червям. Найдите вероятного того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику попадётся вопрос по круглым червям.

Ответы: 1) 0,2    2)1/6     3)5/36       4)0,1     5) 0,5     6) 0,98   7) 0,48

Задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей

1.     В денежно-вещевой лотерее на 100 000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность (для обладателя одного билета):

a.      вещевого выигрыша;

b.     денежного выигрыша;

c.      какого-либо выигрыша?

2.     Взяли четыре карточки. На первой написали букву «о», на второй – «т», на третьей – «с», на четвёртой – «р». Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад одну карточку за другой и положили их в ряд. Какова вероятность того, что в результате получилось слово «трос» или слово «сорт»?

3.     Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на одном кубике выпадет одно очко, а на другом – более трёх очков?

4.     В одной партии электролампочек 3% бракованных, а в другой – 4%. Наугад берут по одной лампочке из каждой партии. Какова вероятность того, что обе лампочки окажутся бракованными?

5.     На одной полке стоит 12 книг, 2 из которых – сборники стихов, а на другой – 15 книг, 3 из которых – сборники стихов. Наугад берут с каждой полки по одной книге. Какова вероятность того, что обе книги окажутся сборниками стихов?

6.     В мешке находится 5 белых и 3 чёрных шара. Из мешка наугад вынимают один шар. Его цвет записывают, шар возвращают в мешок и шары перемешивают. Затем снова из мешка вынимают один шар. Какова вероятность того, что оба раза будут вынуты:

a.      белые шары;

b.     чёрные шары?

7.     Монету бросают 3 раза. Какова вероятность того, что каждый раз выпадет орёл?

8.     При стрельбе по мишени на полигоне вероятность попадания одного из двух орудий равна 0.8, а другого – 0.75. Оба орудия выстрелили по мишени по одному разу. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

9.     В некоторой настольной игре игрок бросает сразу два кубика и делает столько ходов, какова сумма выпавших очков. Какова вероятность того, что игрок сделает менее 10 ходов?

10.  В некоторой местности утро в мае бывает либо  ясным, либо облачным. Наблюдения показали:

a.      если майское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0.2

b.     если майское утро облачное, то вероятность дождя в  этот день 0.6

c.      вероятность того, что утро в мае будет облачным, равна 0.4

Какова вероятность того, что в случайно взятый майский день дождя не будет?

Ответы:   1. а) 0.012 б) 0,008  в) 0,02     2.  1/12     3.  1/6     4.  0,0012     5. 1/30

6.  а)25/64    б) 9/64      7.  0.125     8.  0,95     9.  5/6     10.  0.64

Задачи на применение таблиц вариантов и графов.

Ответы:     

Задачи с применением элементов комбинаторики

1. На книжной полке стояло 30 томов. Ребенок уронил книги с полки, а затем расставил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что он не поставил 1-й и 2-й тома рядом?

2. На книжной полке находится собрание сочинений одного автора в 6 томах. Книги одинаково оформлены и расположены в произвольном порядке. Читатель берет наугад 3 книги. Какова вероятность того, что он взял первые три тома?

3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

4. В почтовом отделении имеются открытки 6 видов. Какова вероятность того, что среди 4 проданных открыток все открытки различны?

5. В секретном замке на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

Ответы: 1) 14/15      2) 0,05       3) 0,147      4) 5/42        5) 1/625

Решения задач на определение классической вероятности

1). Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется делящимся на 5?

Решение. Обозначим через A событие “число на взятой карточке кратно 5”. В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию A благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

.

2). Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Решение. Обозначим это событие буквой A. Событию A благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, в данном случае n = 62 = 36 (см. табл. 1). Значит, искомая вероятность

.

3). . Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее — получить в сумме 7 или 8?

Решение. Обозначим события: A — “выпало 7 очков”, B — “выпало 8 очков”. Событию A благоприятствуют 6 элементарных исходов, а событию B — 5 исходов (см. табл. 1, рис. 1). Всех равновозможных элементарных исходов — 36, что видно из той же таблицы. Значит:

, .

Итак, , т. е. получить в сумме 7 очков — более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков [14, 98].

Решение задач с применением комбинаторики

Задача 1.

На книжной полке стояло 30 томов. Ребенок уронил книги с полки, а затем расставил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что он не поставил 1-й и 2-й тома рядом?

Решение.

Сначала определим вероятность события А, состоящего в том, что ребенок поставил 1-й и 2-й тома рядом.
Элементарное событие - некая расстановка книг на полке. Понятно, что общее число всех элементарных событий будет равно общему числу всех возможных перестановок P₃₀=30!.
Число элементарных событий, благоприятствующих событию А, равно числу перестановок, в которых 1-й и 2-й тома стоят рядом, получили 2·29! перестановок.
Вероятность определяем делением числа благоприятствующих элементарных событий на число всех возможных элементарных событий:
P(A) = 2·29!/30! = 2·29!/(29!·30) = 2/30 = 1/15.
Событие В - ребенок не поставил 1-й и 2-й тома рядом - противоположно событию A, значит его вероятность P(B) = 1 − P(A) = 1−1/15 = 14/15 = 0,9333
Ответ: 0,9333.

Задача 2.

На книжной полке находится собрание сочинений одного автора в 6 томах. Книги одинаково оформлены и расположены в произвольном порядке. Читатель берет наугад 3 книги. Какова вероятность того, что он взял первые три тома?

Решение.

Событие A - у читателя первые три тома. Это 1-й, 2-й и 3-й тома. Без учета порядка, в котором он выбирал книги, а только по конечному результату, он мог взять их одним способом. Число благоприятствующих элементарных событий - 1.
Общее число возможных элементарных событий равно числу групп из 6-ти по 3, образованных без учета порядка следования элементов в группе, т.е. равно числу сочетаний С₆³ = 6!/3!/(6 - 3)! = 4·5·6/(1·2·3) = 4·5 = 20.
P(A) = 1/20 = 0,05.
Ответ: 0,05.

Задача 3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Решение. Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров, через А. Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12 + 8) по два: . Число случаев m, благоприятствующих событию А, составляет . По формуле Р (А) =  находим вероятность появления двух черных шаров: Р (А) =  =  =  = 0,147.

Задача 4.

В почтовом отделении имеются открытки 6 видов. Какова вероятность того, что среди 4 проданных открыток все открытки различны?

Решение: Пусть событие А - все проданные открытки различны.

Тогда число всевозможных исходов равно числу вариантов выбора 4 открыток. Эта выборка с возвращением (выбранные открытки могут быть одинаковые), неупорядоченная (так как важен лишь состав выборки, а не то, в каком порядке отобраны открытки). Значит Число исходов, благоприятствующих наступлению события А, есть число способов, которыми можно выбрать 4 различные открытки из 6 видов. Так как открытки теперь различны, то эта неупорядоченная выборка без повторения, значит Тогда

Ответ:

Задача 5.

В секретном замке на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

Решение: Рассмотрим событие А – замок будет открыт. Это событие равносильно тому, что цифры на дисках составляют определенное число.

Так как варианты набора цифр на дисках образуют выборку с возвращением (цифры могут повторяться) упорядоченную (при смене порядка цифр получается другое число), Благоприятный исход у этого события только один, поэтому

m = 1. Тогда