Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / "Подготовка к ЕГЭ :Задачи с параметрами"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

"Подготовка к ЕГЭ :Задачи с параметрами"

библиотека
материалов

Доклад на ГМО учителя математики МБОУ СОШ №9

Молчановой Елены Владимировны

«Подготовка к ЕГЭ по математике: задачи с параметрами ».

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, я предлагаю взять за основу следующий его простейший вариант.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Что означает «решить задачу с параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Более прозрачное понимание того, что означает решить задачу с параметром, у читателя сформируется после ознакомления с примерами решения задач на последующих страницах.

 Какие основные типы задач с параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаю внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

 Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий.  Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейду теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром, так как это мой любимый метод решения заданий данного типа.

Проанализировав все задания с параметрами, решаемыми графическим методом, я знакомство с параметрами начинаю с заданий ЕГЭ В7 2002 года :

При каком целом значении к уравнение 45х – 3х2 – х3 + 3к = 0 имеет ровно два корня ?

Эти задания позволяют, во первых, вспомнить как строить графики с использованием производной, а во-вторых, объяснить смысл прямой у = к.

На последующих занятиях я пользуюсь подборкой легких и средних по уровню конкурсных задач с параметрами для подготовки к ЕГЭ, уравнений с модулем. Эти задания можно рекомендовать учителям по математике в качестве стартового комплекта упражнений для обучения работе с параметром, заключенным под знак модуля. Большинство номеров решаются графическим способом и предоставляют учителю готовый план урока (или двух уроков) с сильным учеником. Начальная подготовка к ЕГЭ по математике на упражнениях, близких по сложности к реальным номерам С5. Многие из предложенных заданий взяты из материалов для подготовки к ЕГЭ 2009 года, а некоторые – из интернета из опыта коллег.

1) Укажите все значения параметра p, при которых уравнение p-|x^2+6x|=8 имеет 4 корня?
Ответ:
p= \in (8;17)

2) При каких значениях параметра а уравнение 2x+3+|x^2-1|=aне имеет решений?
Ответ:
a \in (-\infty;1)

3) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение hello_html_m36db0a68.gif имеет ровно 3 корня?
Ответ: а=2

4) При каких значениях параметра b уравнение |x+3|=x+bимеет единственное решение? Ответ: b \in (-\infty;-1] \cup {0} \cup (1;+ \infty)

5) Найдите все значения m, при которых уравнение 2|x-4|-mx+1=0не имеет решений.
Ответ:
m \in [-2;0,25]

6) Найдите все значения а, при которых уравнение hello_html_m13bde0eb.gif имеет ровно 3 различных корня. (Если значений а более одного, то в ответе запишите их сумму.)

Ответ: 3

7) При каких значениях b уравнение |x-1|-|x-2|=x+bимеет ровно 2 решения?
Ответ:
b_1=-2; b_2=-1

8) Укажите такие параметры k, при которых уравнение |x-1|-|x+2|+x-b=0имеет не менее двух решений.
Ответ:
k \in [-2;1]

9) При каких значениях параметра p уравнение |x-1|-|x-2|= kx имеет только одно решение?
Ответ:
p \in (-\infty;0] \cup (0,5; +\infty)

10) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение (х + 1)hello_html_m60659470.gif имеет ровно 2 корня? Если значений а окажется несколько, то в ответ запишите их сумму.

Ответ: - 3

11) Найдите все значения а, при которых уравнение hello_html_68caf315.gifимеет ровно 3 корня? (Если значений а более одного, то в ответ запишите их сумму).

Ответ: 4

12) При каком наменьшем натуральном значении параметра а уравнение hello_html_10c63bd9.gif hello_html_m1bbbb1c4.gif= 11 имеет только положительные корни?

Ответ: 19

13) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение hello_html_4b1e591a.gif= 1 имеет ровно 3 корня? (Если значений а более одного, то в ответе запишите их сумму).

Ответ:- 3

14) Укажите такие значения параметра t, при которых уравнение x^2-(4t-6) |t| + 3t^2-6t=0 имеет 4 различных решения. Ответ: m \in (2;3) \cup (3;+\infty)

15) Найдите такие параметры m, при которых уравнение x^2-(5m-9) |x| + 4m^2-9m=0 имеет два различных решения. Ответ: m \in (0;2,25) \cup {3}

16) При каких значениях параметра p уравнение x^2-6|x-p|+17=0 имеет ровно 3 экстремума? Ответ: p \in (-3;3)

17) Укажите все возможные параметры n, при которых функция y=-x^2-8|x+n|+11=0 имеет ровно одну точку минимума. Ответ: p \in (-4;4)

Опубликованный комплект регулярно используется мной для работы со способным, но не самым сильным учеником, претендующим, тем не менее, на высокий балл ЕГЭ за счет решения номера С5. Подготовку такого ученика учитель проводит в несколько этапов, выделяя для тренировки отдельных навыков, необходимых для поиска и реализации длинных решений, отдельные уроки. Эта подборка подходит для стадии формирования представлений о плавающих рисунках в зависимости от параметра. Номера 16 и 17 составлены по образцу реального уравнения с параметром на ЕГЭ 2011г. Задачи выстроены в порядок возрастания их сложности.



Задание C5 по математике ЕГЭ 2012

    Здесь мы имеем традиционную задачу с параметром, требующую умеренного владения материалом и применения нескольких свойств и теорем. Это задание является одним из самых сложных заданий Единого государственного экзамена по математике. Оно рассчитано, прежде всего, на тех, кто собирается продолжать образование в вузах с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Для успешного решения задачи важно свободно оперировать изученными определениями, свойствами, теоремами, применять их в различных ситуациях, анализировать условие и находить возможные пути решения.

На сайте подготовки к ЕГЭ Александра Ларина с 11.05.2012 года были предложены тренировочные варианты №1 – 22 с заданиями уровня «С», С5 некоторых из них были аналогичны тем заданиям, которые были на реальном экзамене. Например, найдите все значения параметра а, при каждом из которых графики функций f(х) = hello_html_m185d1955.gif и g(х) = а(х + 5) + 2 не имеют общих точек?

Разберем решение задания С5 из экзамена 2012 года.

Задание С5 из ЕГЭ-2012

При каких значениях параметра a уравнение delim{|}{5/x-3}{|}=ax-1имеет не менее двух корней.

Решим эту задачу графически. Построим график левой части уравнения: y=delim{|}{5/x-3}{|}  и график правой части: y=ax-1   и сформулируем вопрос задачи так: при каких значениях параметра  a графики функций y=delim{|}{5/x-3}{|} и y=ax-1  имеют две или более общих точки.

В левой части исходного уравнения параметр отсутствует, поэтому мы можем построить график функции y=delim{|}{5/x-3}{|}.

Будем строить это график с помощью линейных преобразований графика функции y=5/x:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/06/fr2.jpg

1. Сдвинем график функции y=5/x на 3 единицы вниз вдоль оси OY, получим график функции y=5/x-3:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/06/fr11.jpg

2. Построим график функции y=delim{|}{5/x-3}{|}. Для этого часть графика функции y=5/x-3, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/06/fr21.jpg

Итак, график функции y=delim{|}{5/x-3}{|} имеет вид:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/06/fr3.jpg

График функции y=ax-1  представляет собой семейство прямых с переменным коэффициентом наклона, равным а, сдвинутых на 1 единицу вниз вдоль оси OY. То есть точка с координатами (0;1) представляет собой центр вращения этого семейства прямых:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/06/fr4.jpg

Рассмотрим положения прямой y=ax-1 , в которых она имеет более одной точки пересечения с графиком функции y=delim{|}{5/x-3}{|}:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/06/fr6.jpg

Прямые АВ и АС имеют две точки пересечения с графиком функции. Все прямые, расположенные между ними имеют 3 точки пересечения с графиком функции  y=delim{|}{5/x-3}{|}.

Чтобы найти коэффициент наклона прямой АВ, найдем абсциссу  точки  В.

Точка В – это точка пересечения графика функции y=5/x-3 с осью ОХ. В этой точке у=0. Получим уравнение: 0=5/x-3, отсюда x=5/3. Коэффициент а наклона прямой АВ равен тангенсу угла BAD треугольника ABD и равен a={BD}/{AD}=1/{5/3}=3/5

Найдем коэффициент наклона прямой АС. Точка С – это точка, в которой прямая y=ax-1  касается графика функции y=3-5/x (точка С принадлежит части графика функции y=5/x-3, отображенной симметрично относительно оси ОХ). То есть это точка, в которой графики функции  y=ax-1   и y=3-5/x имеют одну общую точку.

Теперь нам нужно найти значение параметра а, при котором уравнение  ax-1=3-5/x имеет одно решение.

Умножим обе части уравнения на х и перенесем все слагаемые влево. Получим квадратное уравнение ax^2-4x+5=0 Это уравнение  имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю.

D=16-20a=0a=4/5

Таким образом,

уравнение delim{|}{5/x-3}{|}=ax-1 имеет два решения, если a=3/5   или a=4/5

Уравнение имеет три решения, если 3/5<a<4/5

Несколько советов при обучении решению задач с параметрами (тезисы коллег):

1) Для обучения решению сложных задач на модули графическим образом желательно провести хотя бы один урок на подготовку к выполнению необходимых построений. Нужно разобрать темы «построение графика функции», «построение множества точек, заданных уравнением с двумя переменными».

2) Перед тем, как приступить к задачам С5 хорошенько подумайте, стоит ли тратить время и силы на задания, успех в выполнении которых зависит в первую очередь от количества решенного математического материала без параметра. Ученик должен иметь отличную подготовку по уравнениям с одной переменной и уметь представлять себе весь процесс их решения от начала до самого конца. Если таких навыков нет — не тратье лишнее время на профильную подготовку к ЕГЭ. Уделите лучше время простой математике, без параметров.

3) Никогда не задавайте ученику того, что не было разобрано на занятии и предостерегайте его от потерь случаев. Параметры — коварная тема! Очень легко запутаться в многообразии случаев и какой-нибудь из них упустить.





Автор
Дата добавления 12.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1419
Номер материала ДВ-332803
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх