Подготовка к ГИА "Свойства прямоугольного треугольника" 8,9,11 кл

Свойства прямоугольного треугольника

в задачах ГИА

Прямоугольный треугольник  среди других плоских фигур выделяется благодаря множеству его интересных свойств. Всем известны теоремы Пифагора, она связывает длины катетов и гипотенузу прямоугольного треугольника. Теорема, обратная теореме Пифагора, позволяет по трем сторонам треугольника определить, каким он является – прямоугольным, остроугольным или тупоугольным. Заслуживает внимание формула для вычисления высоты, проведённой к гипотенузе. К сожалению, в учебниках геометрии Атанасяна и Погорелова эти важные знания отражены лишь в задачах.

Итак, важные свойства прямоугольного треугольника:

1.       В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).

2.       Если в треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный (теорема, обратная теореме Пифагора).

3.       Если квадрат большей стороны треугольника меньше суммы квадратов двух других сторон, то этот треугольник остроугольный.

4.       Если квадрат большей стороны треугольника больше суммы квадратов двух других сторон, то этот треугольник тупоугольный.

5.       Треугольник, стороны которого пропорциональны числам 3, 4 и 5, - египетский, а потому прямоугольный.

6.       Некоторые пифагоровы тройки:    5, 12 и 13;    8, 15 и 17;    7, 24 и 25.

7.       Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, вычисляется по формуле , где а и в – катеты, с – гипотенуза.

8.       Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в середине гипотенузы.

9.       Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

10.   Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два равнобедренных треугольника.

11.   Если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный и эта сторона – его гипотенуза.

Полезной при решении задач будет формула медианы треугольника со сторонами a, b и c:    ,  отсюда ;

а также свойство параллелограмма:

сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Несколько простых задач

Решения.

№ 1. В треугольнике АВС сторона АВ равна 10. Найти угол между медианами АМ и ВК, равными  12 и 9.

Решение.  Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому АО = 8 и ВО = 6. Получается, что стороны треугольника АОВ пропорциональны числам 3, 4 и 5, поэтому он египетский, т.е. прямоугольный с прямым углом О.                                                           Ответ: 90°.

№ 2. Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.

Решение. Пусть в треугольнике АВС медиана АМ в полтора раза больше стороны ВС. Если считать длину стороны ВС равной 2а, то АМ = 3а. Известно, что медианы треугольника, пересекаясь, делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть О – точка пересечения медиан треугольника, тогда ОА = 2а, ОМ = а. Получается, что в треугольнике ВСО медиана ОМ равна половине стороны ВС, к которой она проведена. Это значит, что треугольник ВСО – прямоугольный с прямым углом О, что в свою очередь означает: угол между двумя другими медианами равен 90°.                         Ответ: 90°.

№ 3. Стороны параллелограмма АВСД равны 3 и 5, а большая диагональ АС равна . Найти площадь круга, описанного около треугольника АВД.

Решение. Пусть ВД = х. По свойству параллелограмма, сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон., т.е. ()² + х² = 2∙(3² + 5²), отсюда х = 4. Итак, ВД = 4. В треугольнике АВД стороны равны 3, 4 и 5. Значит, треугольник АВД прямоугольный. В прямоугольном  треугольнике  радиус  описанной  окружности  равен  половине гипотенузы, поэтому R = 0.5АД = 2,5. Площадь круга равна πR², т.е. 6,25π.                                                          Ответ: 6,25π.

№ 4. В треугольнике АВС  АВ = 24, АС = 10, медиана АМ равна 13. Найти косинус угла А.

Решение. Из формулы медианы треугольника найдём сторону ВС.  ВС² = 2(24² + 10²) – (2·13)² = 676, отсюда ВС = 26. Получилось, что медиана АМ равна половине стороны ВС, а это значит, что треугольник АВС - прямоугольный с прямым углом А,

поэтому cos A = 0.                                                               Ответ: 0.

Мясникова Т.Ф.

___________________

PS. См также на сайте ИНФОУРОК мои статьи: 

Подготовка к ЕГЭ.  «Решение задач с помощью таблицы»,

Подготовка к ОГЭ.  «Углы на клетках».

Краткое описание документа:

Прямоугольный треугольник среди других плоских фигур выделяется благодаря множеству его интересных свойств. Всем известны теоремы Пифагора, она связывает длины катетов и гипотенузу прямоугольного треугольника. Теорема, обратная теореме Пифагора, позволяет по трем сторонам треугольника определить, каким он является – прямоугольным, остроугольным или тупоугольным. Заслуживают внимания формула для вычисления высоты, проведённой к гипотенузе, а также свойство медианы, проведенной к гипотенузе.