Подготовка к ОГЭ 2016 по математике.

Подготовка к ОГЭ 2016 по математике.

ТЕСТЫ ОГЭ (ГИА) - 2015 ПО МАТЕМАТИКЕ И.В. Ященко и др.

Вариант 5. Часть 2. Модуль «Геометрия» Задача 26.

Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Решение.

Рассмотрим трапецию ACO1O2
Данная трапеция прямоугольная, т. к. радиусы перпендикулярны касательной AC (по свойству касательной).
Проведем O2K параллельно AC, O2K=AC, т. к. ACKO2 -     прямоугольник. По теореме Пифагора:                                        
 (O1O2)2=(O2K)2+(KO1)2
 (R+r)2=(O2K)2+(R-r)2
 (55+45)2=(O2K)2+(55-45)2
 10000=(O2K)2+100
 (O2K)2=9900
O2K=30√11=AC 
Рассмотрим треугольники OAO2 и OCO1 (cм. Рис.1).
∠AOO2 - общий
∠OAO2=∠OCO1=90°
Следовательно эти треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда, R/r=OC/OA
55/45=OC/OA=(OA+AC)/OA
11/9(OA)=OA+30√11  2/9(ОА)=30√11 
OA=135√11
Из подобия этих же треугольников:
R/r=O1О/O2O
R/r=(O2O+R+r)/O2O
55/45=(O2O+55+45)/O2O
11/9(O2O)=O2O+100
2/9(O2O)=100
O2O=450
Обозначим угол ∠AOO2 как α
cosα=OA/ O2O =135√11/450=9√11/30=3√11/10=0,3√11
Посмотрим на треугольники OAE и OCF.
Они прямоугольные по второму свойству хорды ( если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде).
Тогда для треугольника OAE:
cosα=OE/OA
OE=OA*cosα=135√11*0,3√11=40,5*11=445,5
Для треугольника OCF:
cosα=OF/OC
OF=OC*cosα=(OA+AC)*cosα=(135√11+30√11)* 0,3√11=165√11 * 0,3√11=49,5*11=544,5
EF=OF-OE=544,5-445,5=99
Ответ: EF=99.