Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Подготовка к ОГЭ. "Углы на клетках"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Подготовка к ОГЭ. "Углы на клетках"

библиотека
материалов

Углы на клетках


-1-

Как построить прямой угол по клеткам? Очень просто! – скажете вы. – Отметим точку, вершину угла, от неё чертим вправо или влево луч, затем ещё один луч вверх или вниз. Угол между горизонталью и вертикалью – прямой. А можно и по диагоналям соседних клеток.

hello_html_m78640fba.pnghello_html_m1e42e255.png

Всё верно. А если один из лучей уже построен и он не горизонтальный, не вертикальный и не проходит по диагоналям клеток? Как начертить второй луч, чтобы угол между ними был прямым?

hello_html_295fcfd9.pnghello_html_m5d89d34e.pnghello_html_2c2bd44c.pnghello_html_mce57b96.pnghello_html_m274c41cc.png

Найдём узел сетки, через который проходит начерченный луч. На нашем рисунке до такого узла от начала луча нужно пройти 3 клетки ВЛЕВО и 1 клетку ВНИЗ. Поэтому чтобы получился прямой угол, надо от начала луча отсчитать 1 клетку ВЛЕВО и 3 клетки ВВЕРХ. Почему? Обозначим упомянутые нами точки – А, В и О. Построим векторы ОА и ОВ. Координаты вектора ОА равны (-3; -1), вектора ОВ (-1; 3). Их скалярное произведение равно 0, поэтому они перпендикулярны.


Можно отсчитывать клетки и так: 1 клетку ВПРАВО и 3 клетки ВНИЗ. Тогда вектор ОВ имеет координаты (1; -3), при этом скалярное произведение векторов ОА и ОВ также равно 0.

hello_html_m8e175b0.pnghello_html_m1453aea.png


Вывод. Векторы с координатами (a; b) и (-b; a), или (a; b) и (b; -a), - перпендикулярны.

Рассмотрим несколько задач, связанных с умением находить прямой угол на рисунке.


1. Найти угол АВС на рисунке.

hello_html_m4143768b.pnghello_html_m7c1e7cdf.pnghello_html_m36a214.png

Решение. На первом рисунке угол АОС построен на диагоналях соседних клеток. На втором рисунке векторы ОА и ОС имеют координаты соответственно (3; -4) и (4; 3). Поэтому на первом и втором рисунках центральный угол АОС – прямой, а вписанный угол АВС, опирающийся на ту же дугу, равен его половине, то есть 45°. На третьем рисунке угол АОС – половина прямого, то есть 45°, а угол АВС соответственно равен 22,5°.


2. Три квадрата расположены так, как показано на рисунке. Чему равен угол между прямыми АС и ВD?

C:\Documents and Settings\Администратор\Мои документы\выступления\2011-2012\симф урока Дек 12\рисунки\кл 1.bmpC:\Documents and Settings\Администратор\Мои документы\выступления\2011-2012\симф урока Дек 12\рисунки\кл2.bmp

Решение. Отрезок ВD переместим параллельно вниз на одну клетку. Появляется отрезок АМ, равный ВD. Угол между прямыми АС и ВD равен углу между АС и АМ на втором рисунке. Соединим отрезком точки С и М. Получается, что угол АМС – прямой и АМ = МС. Треугольник АСМ прямоугольный равнобедренный, поэтому искомый угол равен 45°.


3. Найти тангенс угла, изображенного на рисунке.

hello_html_m1b0178df.pnghello_html_m71e866bc.png

Решение. Выделим на этом рисунке узлы сетки – точки А и С. Рассмотрим треугольник АВС. Заметим, что он является прямоугольным, к тому же катет ВС в 2 раза больше катета АС. Отсюда следует, что тангенс угла В равен 1:2 = 0,5.


-2-

Правильный треугольник и описанная около неё окружность, построенные на клетках, несут в себе много интересных свойств. Известно, что радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной а, равен hello_html_m63c7bb99.gif, а радиус вписанной в него окружности - hello_html_m3eda8aa2.gif, то есть в два раза меньше. Отсюда следует, что хорда, перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через его середину, является стороной правильного треугольника. Другими словами, острый вписанный угол, опирающийся на хорду, перпендикулярную радиусу и проходящую через его середину, равен 60°, а центральный угол и тупой вписанный угол, опирающиеся на эту хорду, - 120°.

hello_html_m2d33be5b.png


Рассмотрим несколько примеров задач, решаемых на основе этого свойства.

  1. Угол АВС на рисунке равен 60°, так как хорда АС проходит через середину радиуса и перпендикулярна ему.

hello_html_m3f9906c7.png

  1. Угол АВС на рисунке является половиной угла в 60° из предыдущей задачи и равен 30°.

hello_html_m107540c4.pnghello_html_m27e4f03c.png

  1. Угол АВС на следующем рисунке равен 120°. При этом четырёхугольник АВСО является ромбом и его острый угол равен 60°.

hello_html_m44b66833.pnghello_html_m794cf879.png


-3-

Полезным при решении задач на клетках является знание углов правильных многоугольников. Рассмотрим правильный шестиугольник и правильный восьмиугольник. Около них описаны окружности. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°, угол между диагоналями-диаметрами равен 60°, угол между двумя соседними диагоналями, исходящими из одной вершины, равен 30°, меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне, а с другими соседними сторонами - угол 30°. Каждый угол правильного восьмиугольника равен 135°, угол между соседними диагоналями-диаметрами равен 45°.

hello_html_5616b6d6.pnghello_html_130902b0.png


Найдите на следующих рисунках градусные меры отмеченных углов.

hello_html_m609449fa.pnghello_html_80315da.pnghello_html_1de553a4.pnghello_html_m619a6cdb.pnghello_html_m7faa97b1.pnghello_html_m783f3406.png

hello_html_300ac396.pnghello_html_63ad2cd2.pnghello_html_m2a1726e.png

hello_html_m74988ad1.pnghello_html_4bc9ba26.pnghello_html_352aaad5.png

hello_html_1da38722.pnghello_html_594818b8.pnghello_html_c4df4b0.png


Мясникова Т.Ф.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Как увидеть прямой угол на клетках, если его стороны не горизонталь с вертикалью? Вписанный угол, опирающийся на хорду, перпендикулярную радиусу и проходящую через его середину. Углы правильных многоугольников в окружности. Всё это поможет выпускникам научиться без транспортира определять градусные меры некоторых углов на клетках.

Автор
Дата добавления 01.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1336
Номер материала ДВ-113025
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх