Подготовка к олимпиаде по математике. Геометрические неравенства.

• 1 слайд

  Геометрические неравенства в планиметрии.
  Елабуга 2020
  Санникова Г.И.
  Учитель математики
  МБОУ «СОШ №10» РТ
  Г. Елабуги
  

• 2 слайд

  Задачи на геометрические неравенства достаточно редки, но как правило
  решение их вызывает наибольшее количество трудностей.
  Такие задачи часто встречаются в олимпиадных задачах, а так же содержатся
  в задачах ОГЭ и ЕГЭ (2 части).
  Для решения таких задач необходимо знать следующие теоремы.
  1. Неравенство треугольника:: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и следствие из теоремы:
  Для любых точек A, B и C не лежащих на одной прямой, справедливы
  неравенства: AB< AC+BC
  AC<AB+BC
  BC<AB+AC
  2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника:
  В треугольнике 1) против большей стороны лежит больший
  угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.
  
  3. Признаки подобия треугольников.
  Применять их при решении задач, в основном в задачах на доказательства.
  
  
  
  
  

• 3 слайд

  Задача №1
  
  В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к стороне BC пересекает
  Сторону AB в точке D и продолжение стороны AC в точке E.
  Докажите, что AD<AE.
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 4 слайд

  Доказательство: Треугольник CDM – равнобедренный, так как медиана DM является высотой и биссектрисой.
  ∠CDM=∠BDM,∠BDM=∠ADE (вертикальные углы)
  ∠CDM – внешний для треугольника CED.
  Значит ∠СDM=∠CDE+∠ECD,∠CDM<∠CED
  (∠CDN=∠BDM=∠ADE)
  В треугольнике ADE,∠ADE>∠AED+∠EAD
  Следовательно ∠ADE >∠AED, так как напротив большего угла лежит
  большая сторона, то AE>AD
  Что и требовалось доказать.
  
  
  

• 5 слайд

  Задача №2
  
  На сторонах угла A взяты точки B и C. Через середину отрезка BC проведена
  прямая, пересекающая стороны угла AB и AC в точках D и E соответственно.
  Докажите, что площадь треугольника ADE больше площади треугольника ABC.
  

• 6 слайд

  Доказательство: Рассмотрим отрезки DK и KE.
  D лежит между точками A и B.
  DK<KE, так как если бы DK=KE,то
  CDBE был бы параллелограммом ,т.е AM\\AN
  (если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник -параллелограмм)
  Значит,S DBK=1/2 ДК*ВК SinДКВ, S CKE=1/2СК*КЕ Sin СКЕ, S ДВК< SСКЕ
  S ABC=S ADKC+S DBK
  S ADE=S ADKC+S CKE
  
  Что и требовалось доказать.
  
  S ADE> S ABC
  
  

• 7 слайд

  Задача №3 (Олимп. 8 кл.)
  
  Докажите, что у равнобедренного треугольника, с углом напротив основания в 20°, боковая сторона больше удвоенного основания.
  

• 8 слайд

  Доказательство, в треугольнике ABC, А=20°,
  ∠В = ∠С,(180°-20°):2=80°
  На стороне АС отложили отрезок СК, СК=СВ
  Треугольник CDB-равнобедренный, BC=DC
  ∠CDB= ∠СDB = (180°- 80°):2=50°
  ∠ABD=80°- 50°=30°, ∠ABD > ∠А, AD>BD
  В треугольнике BDC, ∠С >∠BDC, BD>BC
  Итак, AD>BD, BD>BC, AD>BC, DC>BC
  AC=2BC , так как AC=AD+DC
  
  
  
  
  Что и требовалось доказать.
  
  
  

• 9 слайд

  Задача №4
  
  Отрезки AB и CD длиной, равные 1, пересекаются в точке O, ∠AOC=60°. Докажите,
  что AC+BD ≥ 1.
  

• 10 слайд

  Доказательство: Рассмотрим геометрическое
  решение. Пусть ACB1B-параллелограмм.
  AC=BB1, AB=CB1, AB//CB1 и ∠AOC=∠DCB1=60° (накрест лежащие углы при секущей OC)
  Треугольник DCB1- равнобедренный, CD=CB1,
  так как AB=CD=B1C=1,
  Треугольник DCB1- равносторонний, то есть
  DC=B1C=B1D=1, в треугольнике DBB1
  BB1+ BD ≥ B1D,
  но BB1=AC (противоположные стороны
  параллелограмма) или AC+BD ≥ 1
  Что и требовалось доказать.
  
  

• 11 слайд

  Задача №5
  
  Докажите, что сумма медиан треугольника больше полупериметра,
  но меньше периметра.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 12 слайд

  Доказательство: Обозначим стороны AB=c, BC=a, AC=b,
  AL=Ma, BM=Mb, CK=Mc
  Докажем: Ma+Mb+Mc=a+b+c
  D принадлежит медиане BM, BM=M,ABCD-параллелограмм,
  так как DD и AC диагонали), AD//BC, AD=BC=a, AB=CD=c
  В треугольнике ABC, BC+AB>AC, т.е a+c=2Mb
  В треугольнике MABC, AC+BC>AB,т.е. a+b=2Mc
  В треугольнике ABC, AC+AB>BC,т.е. b+c=2Ma
  a+c+a+b+b+c>2Mb+2Mc+2Ma  a+b+c>Mb+Mc+Ma
  В треугольнике ABM, AM+BM>AB, то есть Mb+b:2>с,
  В треугольнике ALC ma+a:2>b.
  В треугольнике BKC mc+c:2>a
  ma+mb+mc+(a+b+c):2> a+b+c  ma+mb+mc> (a+b+c):2
  
  Что и требовалось доказать.
  
  
  

• 13 слайд

  Задача №6
  
  Пусть точки B и C принадлежат отрезку AD.
  Докажите, что, если AB=CD, то для любой произвольной точки P верно неравенство PA+PD ≥ PB+PC.
  
  
  

• 14 слайд

  Доказательство: Если точка P лежит на AD, то неравенство очевидно.
  Рассмотрим, если P не принадлежит AD, O-середина AD и BC.
  C и B принадлежат отрезку AD. Точка Q симметрична точке P.
  CQ и PB параллельны, а четырёхугольник CPBQ-параллелограмм.
  Аналогично в четырёхугольнике APDQ, APDQ-параллелограмм.
  Параллелограмм CPBQ находится внутри параллелограмма APDQ
  Papdq>Pcpbq  PA+PD ≥ PC+PB.
  Что и требовалось доказать.
  
  
  

• 15 слайд

  Задача №7
  В треугольнике ABC
  ∠B= ∠С=40 °
  BD-биссектриса.
  Докажите, что BD+DA=BC.
  Соотношение между элементами треугольника. Подобие.
  
  

• 16 слайд

  Доказательство: Из условия задачи знаем, что треугольник
  ABC-равнобедренный. ∠B=∠С=40°
  BD-биссектриса угла B, D принадлежит AC.
  Треугольник DEC равнобедренный, так как DE=EC.
  Треугольник ABC подобен CDE  по свойству биссектрисы
  AB:BC=AD:DC, но так AB:BC=DE:DC(по двум пропорциональным
  сторонам и углу между ними)
  AB:BC=AD:DC=DE:DC  AD=DE=EC.
  Если рассмотреть углы треугольников, то выясним,
  что треугольник BDE-равнобедренный, BD=BE
   BD+DA=BE+EC=BC.
  Что и требовалось доказать.
  
  

• 17 слайд

  Задача №8
  В треугольнике ABC c углом B, равным 60°, проведены биссектрисы
  AD и CE, пересекающиеся в точке O.
  Докажите, что OD=OE.
  
  

• 18 слайд

  Доказательство: Если ∠B равен 60°, то сумма ∠A и ∠С
  равна 120°. Значит сумма углов AOC и EOD равна 60°.
  Следовательно по теореме о сумме углов треугольника ∠AOC
  и ∠EOD равны 120° (вертикальные).
  ON ⊥ AB, OD ⊥ BС. Отрезки OM и ON равны,
  как радиусы вписанной окружности.
  Угол MON=120°, потому что можно провести окружность описанную
  около четырёхугольника BMON.
  ∠EON=∠MOD и треугольники EON и DOM равны  OD=OE.
  
  
  
  
  Что и требовалось доказать.
  

• 19 слайд

  Задача №9
  
  Основание треугольника равно √98. Найдите длину отрезка, параллельного основанию, который делит треугольник
  На две равновеликие части.
  

• 20 слайд

  Доказательство: Пусть в треугольнике ABC сторона
  AC-основание, равна √98.
  Прямая, пересекающая стороны AB и BC соответственно в точках
  D и E, параллельна AC, делит треугольник ABC на две равновеликие
  фигуры  Sbde=Sadec.
  Треугольники BDE и BAC подобны (по двум равным углам)
  И их площади относятся как 1:2, DE:AC=1: √2  DE: √98=1: √2
  Или DE= √98: √2= √49=7.
  
  
  
  
  
  Ответ:DE=7.
  
  

• 21 слайд

  Задача № 10
  
  Стороны пятиугольника
  ABCDE равны. Если угол
  ACE равен половине угла
  BCD, то найдите угол ACE
  
  
  

• 22 слайд

  Доказательство: Обозначим угол BCA через α , а угол ECD через β. ∠ACE= α+β. Треугольники ABC и CDE равнобедренные, ∠BAC = α, ∠CED = β
  Сумма углов треугольника ACE равна 180 °
  ∠ACE +∠CAE+∠CEA = α+ β+∠CAE+∠CEA= 180° 
  ∠BAE+∠AED=180°
  AB параллельна ED ABDE-ромб, а треугольник BCD-равносторонний. ∠ACE=30°
  
  Ответ:∠ACE=30°
  
  
  

• 23 слайд