Подготовка учащихся к решению олимпиадных задач на делимость (7-9 классы)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное автономное учреждение дополнительного профессионального образования

«Саратовский областной институт развития образования»

Кафедра математического образования

Подготовка учащихся к решению олимпиадных задач

(7-9 классы)

Выпускная творческая работа

слушателя курсов повышения квалификации

по дополнительной профессиональной программе

«Теоретические основы и методика обучения математике

в общеобразовательных организациях (с использованием ДОТ)»

учителя математики МОУ – Лицей №2  Октябрьского района г.Саратова

Сычук Валентины Дмитриевны

Саратов 2016

                                      Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

Делимость чисел………………………………………………………………….5

Признаки делимости……………………………………………………………..6

Делимость суммы и произведения……………………………………………..13

Деление с остатком……………………………………………………………...15

Простые и составные числа…………………………………………………….20

Каноническое разложение простых чисел…………………………………….20

Заключение……………………………………………………………………... 24

Литература…………………………………………………………………….. ..25

Приложения…………………………………………………………………..….26

                                 Введение

В последние годы в России проводят много различных математических соревнований. Наибольшей популярностью пользуются олимпиады. Основными целями проведения олимпиад являются: 

·        повышение интереса к изучению математики;

·        выявление наиболее интеллектуально одаренных учащихся по математике;

·        содействие целенаправленному выбору профессии;

·        воспитание организованности, дисциплинированности, воли;

·        привитие навыков к систематическим занятиям внеклассной и внешкольной работой;

·        пробуждение желания учащихся самостоятельно приобретать знания и применять их на практике.

Так как одной из основных целей олимпиады является отбор наиболее одаренных учащихся, то необходим специальный инструмент для реализации этой цели. Таким инструментом является текст олимпиады, в котором особое место занимают задачи на делимость. Задачи на делимость присутствуют и в ЕГЭ (задача 19 - КИМ ЕГЭ 2015 года, базовый уровень). Для их решения требуется умение доказывать, умение рассуждать. Поэтому  традиционный курс школьной математики следует расширить за счет занятий  кружка, факультативных занятий, где  больше времени выделить на изучение свойств чисел.

С понятиями НОД и НОК чисел, признаками делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 учащиеся знакомятся еще на уроках в 6 классе. В 7 и 8 классах в разделе «Задачи повышенной трудности» встречаются задачи на делимость. Такие задачи необходимо решать с учащимися, проявляющими интерес к математике и не только. Дальнейшее развитие темы осуществляется на занятиях математического кружка, где можно рассмотреть более широко понятие простого и составного числа, основную теорему арифметики, признаки делимости на 4, 7, 8, 11,13. На занятиях кружка учащиеся углубляют и расширяют знания, получаемые на уроках, приобретают умения решать более трудные и разнообразные задачи.

В настоящее время ситуация такова, что подобные задачи вызывают серьезные затруднения и у учителей, и подавляющего большинства учащихся. В предлагаемых же сборниках по подготовке к ЕГЭ или сборниках по подготовке к олимпиадам такие задачи не сопровождаются подробным решением или необходимым пояснением. Среди задач на делимость встречаются как достаточно несложные, так и задачи хорошего олимпиадного уровня.

В данной работе предлагаются задачи различной степени трудности, классификация задач и методы их решения, а так же педагогический и методический опыт, накопленный  при обучении решению задач на делимость. При отборе задач учтена их прикладная значимость. Степень проработки, предусмотренная программой кружка, учитывает также возможности их углубленного рассмотрения в доступной, занимательной форме, обеспечение содержательными задачами.

          Весь материал рассматривается с учетом возрастных особенностей детей среднего школьного возраста, требует своеобразных форм, средств, приемов обучения, соответствующих возрасту и интересам учащихся дидактических игр и экспериментов, живых наблюдений и предметной деятельности.

Данная  программa частично может быть использована в классах с углубленным изучением математики.

Основная часть

   Делимость  чисел.

Изучение темы можно начать с рассмотрения следующих вопросов:

·        делимость натуральных чисел;

·        деление с остатком;

·        простые и составные числа;

            Каждая тема сопровождается минимумом теоретических сведений,

необходимых для успешного решения задач. Задачи условно разделены на

три уровня: первый – условно простой – включает задачи одношаговые,

 решаемые на основе теоретических сведений. Эти задачи могут быть использованы при работе с учениками 7-9 классов. Второй – повышенный уровень – включает в себя задачи, предлагавшиеся в материалах школьных олимпиад  для учащихся 7-9 классов. Третий же уровень соответствует задачам ЕГЭ.

В настоящее время свойства чисел, действия над ними изучаются разделом математики - «теория чисел». Основной объект теории чисел - натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, - это  делимость чисел. Для быстрого выяснения делимости одного числа на другое существуют  признаки делимости.

Признак делимости – это правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системе исчисления (обычно десятичной). Теорией  чисел занимались К.Ф.Гаусс, П. Ферма, Л Фибоначчи, П.Л.Чебышев и И.М.Виноградов.

         Определение 1. Числа, употребляемые при счѐте предметов, называются натуральными.

       Определение 2. Натуральные числа, им противоположные и число 0

называются целыми числами.

       Определение 3. Говорят, что натуральное число a делится на натуральное  число b (пишут a:b) , если существует натуральное число q, такое, что b·q=a. При этом число a называется делимое, число b – делитель,

число q – частное. Число a называют также кратным числу b.

Приведем классификацию признаков делимости:

·        признаки делимости, основанные на последних цифрах числа;

·        признаки делимости, основанные на сумме цифр числа;

·        признаки делимости, основанные на последней цифре числа и сумме цифр числа;

·        признаки делимости, связанные с разбиением цифр числа на группы  (метод остатков).

Признаки делимости.

1) Признаки делимости, основанные на последних цифрах числа (признаки делимости на 2,  4, 5, 8, 10, 25). 

         Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4. 

Доказательство. Возьмем некоторое четырехзначное  число abcd и представим его в виде суммы разрядных единиц:  abcd=1000a+100b+10c+d. Так как число 1000, 100 делятся на 4, то делится на 4 и сумма 1000a+100b. Если двузначное число 10c+d делится на 4, то и число abcd делится на 4; если же 10c+d не делится на 4,то и abcd, не делится на 4. Например, число 23412 делится на 4, так как число 12  делится на 4.Число 372514 не делится на 4,так как 14 не делится на 4.     

2) Признаки делимости, основанные на сумме цифр числа  (признаки делимости на 3, 9) .

Признак делимости на 3. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.                                                                                                                           Доказательство. Пусть abcdef  будет число, имеющее f единиц, е десятков, d сотен и т.д.: abcdef  = a • 10⁵ + b • 10⁴ + c • 10³ + d • 10² + e • 10 + f.

. . . 10⁸   10⁷    10⁶      10⁵     10⁴     10³     10²    10    1

  1      1       1       1        1       1        1       1      1  (остатки от деления на 3).

Умножая цифры числа 3 303 033 021на остатки и, складывая почленно все  значения, получаем:

3   3  0  3  0  3   3  0  2  1

1  1  1  1  1  1  1  1  1  1

3+3+0+3+0+3+3+0+2+1 = 18: 3 = 9: 3 = 3 (делится нацело)

Таким образом, натуральное число имеет тот же остаток от деления на 3, что и сумма его цифр. Из этого и вытекает сформулированный выше признак делимости на 3.

 3) Признаки делимости, основанные на последней цифре числа и сумме цифр числа (признаки делимости на 6, 12,15).   

  Как узнать, не производя деления, делится ли число на 6, на 12, на30? Можно предположить, что число будет делиться на 6, если оно делится на 2 и на 3, но это предположение нуждается в доказательстве.

Признак делимости на 6. Для того чтобы число Х  делилось  на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно  делилось на 2 и на 3.

Доказательство. Пусть число Х делится на 6. Тогда из того, что Х6 и 2, следует, что Х2, а из того, что Х6 и 63, следует, что Х3.

Например,126 делится на 6, так как оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 12. Для того чтобы число Х  делилось  на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно  делилось на 3 и на 4.

Доказательство этого признака аналогично предыдущему.

Признак делимости на15. Для того чтобы число Х  делилось  на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно  делилось на 3 и на 5.

  Список признаков делимости на  составные  числа можно продолжить. Их обобщением является следующая теорема.

 Теорема. Для того чтобы натуральное число   делилось  на составное число n=bc, где числа b и c таковы, что НОД(b,c)=1, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на b и c.

4) Признаки делимости, связанные с разбиением цифр числа на группы  (признаки делимости на 7, 11, 13).

Признак делимости на 11.  На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11. 

Докажем признак делимости на 11(аналогичным способом как и на 3).

 . . .  10⁸         10⁷     10⁶     10⁵     10⁴     10³     10²    10    1

        1         -1       1        -1      1        -1        1      -1     1   (остатки от деления на 11). При делении 10 на 11 не хватает 1,  поэтому  пишем -1. При делении 100 на 11 в остатке получается  1, поэтому пишем 1 и т.д.

Проведем те же действия (умножим цифры числа на остатки и сложим все значения). Например:      а)    4  5  9   1   4  4  5

                                                 1 -1  1 -1   1 -1  1

                                                  4 -5+9 -1+4 -4+5 = 22 – 10 = 12:11=1 (остаток 1, не делится нацело на 11, значит и число 4591445 не делится на 11 нацело)

    б)  4   4  5  5

        -1   1 -1  1   

  -4+4 -5+5 = 9 – 9 = 0:11=0 (делится нацело на 11, значит и число 4455 делится на 11 нацело). Натуральное число имеет тот же остаток от деления на 11, и что разница между суммой цифр этого числа стоящих на четных местах и суммой цифр, стоящих на нечетных местах.

    Таким же способом можно получить признак делимости на 7. Мы имеем:

. . . 10⁹     10⁸      10⁷     10⁶      10⁵      10⁴    10³     10²  10 1

   -1        2         3         1        -2        -3      -1       2      3    1   (ост. от дел. на 7).

В результате мы получаем следующее правило: чтобы узнать остаток  от деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить каждую цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить. Найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7,  что и взятое число.

     Возьмем для примера числа 4591 и 4907 и, действуя, как указано в правиле, найдем результат.  Например:

    а)  4   5     9   1

        -1   2    3    1   

        -4+10+27+1 = 38 – 4 = 34: 7 = 4 (остаток 6, не делится нацело на 7)

       б) возьмем число 8 546 216.

                 8   5    4    6     2  1  6

                 1  -2   -3   -1    2  3  1

                 8  -10 -12 -6+ 4+3+6 = 21 – 28 = -7:7= -1 (делится нацело на 7)

          Таким же способом можно получить признак делимости на 13. Мы имеем:

           …  10⁸     10⁷     10⁶    10⁵    10⁴    10³     10²     10    1

           …  -4       -3       1        4       3        -1       -4      -3     1      (ост. от дел. на 13). По тому же правилу как при делении на 7 нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить каждую цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 13,  что и взятое число.

  Например: числа 872 232 325 и 260 390 265 265.

1)       8   7     2     2    3   2   3   2   5

         -4  -3    1     4    3  -1  -4  -3   1

       -32 -21 +2  +8  +9  -2 -12 -6 +5=24 – 73 = - 49:13= -3 (остаток -10, не делится нацело на 13)

2)      2    6    0   3     9    0   2   6     5   2   6     5

         4    3   -1  -4   -3    1   4   3    -1  -4  -3    1

         8 +18 -0 -12 -27 +0 +8 +18 -5  -8  -18 +5  = 57 – 70 = -13:13= -1 (делится нацело на13)

   Этим способом можно найти признак делимости на любое число т. Надо только найти, какие коэффициенты (остатки от деления) следует подписывать под цифрами взятого числа. А для этого нужно каждую степень  десяти 10 заменить по возможности имеющим тот же остаток при делении на т, что и число 10. При т = 3 или т = 9 эти коэффициенты получились очень простые: все они равны 1. Поэтому и признак делимости на 3 или на 9 получился очень простой. При т = 11 коэффициенты тоже были не сложными: они попеременно равны +1 и – 1. А при  т =7 коэффициенты получились сложнее, поэтому и признак делимости на 7 получается более сложный.

    Заметим еще, что иногда признак делимости можно получить проще.

   Число 268 513 можно записать следующим образом:

      268 513 = 2 · 10⁵ + 6 · 10⁴ + 8 · 10³ + 5 · 10²  + 1· 10 + 3.

 В этой записи каждая цифра умножается на соответствующую степень десяти. Если же мысленно разбить цифры числа (начиная справа) на группы, по две в каждой группе, то число запишется по-другому. Например:

        1) 268 513 = 26 · 100² + 85 · 100 + 13

        2) 3 785 493 = 3 · 100³ + 78 · 100²  + 54 · 100 + 93.

    Для произвольного шестизначного числа мы можем написать:

              abcdef = ab · 100² + cd · 100  + ef.

     В этом случае число выражается через степени числа 100, а коэффициентами при этих степенях служат двузначные числа. Такой записью чисел тоже можно пользоваться для вывода признаков делимости.

  Мы получили следующее правило: нужно справа налево подписать под каждой группой цифр этого числа коэффициенты (остатки от деления), затем нужно умножить каждую группу цифр на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 11,  что и взятое число.   

Можно также разбивать цифры числа на группы по три цифры в каждой. Тогда число будет выражено через степени числа 1000. Например:

     3 658 941 =3 · 1000² + 658 · 1000 + 941.

    …1000⁸   1000⁷  1000⁶  1000⁵   1000⁴  1000³         1000²    1000

        1           -1        1         -1         1          -1              1          -1       (ост. от дел. на 7)

1)  53  012  869   745   012  811   

     1   -1     1       -1      1     -1

    53 – 2    + 869– 745+12–811 = 934 – 1568 = - 634: 7 = - 90 (остаток - 4)

Вывод: число 53 012 869 745 012 811 не делится на 7 нацело.

2)  624  781    889     347

        1     -1      1          -1

     624 – 781 + 889 – 347 = 1513  - 1128 = 385: 7 = 55

 Вывод: число 624 781 889 347 делится на 7нацело.

   Поэтому мы можем сформулировать следующий признак делимости на 7:

  Разобьем цифры числа на группы, по три цифры в каждой (считая справа). Справа налево подписать под каждой группой  цифр этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить каждую группу цифр на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить. Найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7,  что и взятое число.

Данный приём – метод остатков можно использовать при выведении признака делимости на любое натуральное число.

Существует три признака  делимости на 7.

1признак. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 - (2 • 4) = 28 делится на 7).

2 признак. Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на семь (например, число 689255. Первая группа со знаком «+» (255), вторая со знаком «-» (689). Отсюда 255 + (-689) = -434. В свою очередь 434 : 7 = 62).

3признак. Берём первую цифру, умножаем на 3, прибавляем следующую (здесь можно взять остаток от деления на 7 от получившегося числа). И далее — сначала: умножаем на 3, прибавляем следующую…  Для 364: 3 * 3 + 6 = 15. Остаток — 1. Далее 1 * 3 + 4 = 7

Признаки делимости чисел на 11

Разность цифр на чётных и нечётных позициях

1признак. На 11 делятся только те числа, у которых разность между суммой цифр, занимающих нечётные места, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11.

Примеры. Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечётные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих чётные места 0+7+5=12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечётные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих чётные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461025 не делится на 11, так как 4+ 1 + 2 = 7 и 6 +0 + 5=11 а их разность 11 —7 = 4 на 11 не делится.

Признак обобщается на группы цифр нечётной длины. При необходимости, к числу можно приписать нули

Примеры: число 103785 делится на 11, так как разбивается на блоки 103 и 785, и сумма чисел в нечётных блоках (103) отличается от суммы чисел в чётных блоках (785) на число 682, делящееся на 11. Число 9 163 627 делится на 11, так как 9+627=636 отличается от 163 на число 636-163=473, делящееся на 11. Число 461025 не делится на 11, так как 461-025=436 не делится на 11.

2признак. Разность единиц и десятков

Ещё один признак делимости числа на 11: отнимайте единицы от десятков. Если результат делится на 11, то и само число тоже.

Например,103785 10378-5=10373; 1037-3=1034; 103-4=99; 9-9=0

Признак обобщается на нечётные степени 10.

Например, 103785 делится на 11, так как число тысяч (103) минус число единиц равно 103-785=-682 делится на 11.

3 признак. Сумма блоков по две цифры

Число разделяется на группы по две рядом стоящие цифры (если необходимо, добавляется нуль в конец или начало числа). Если сумма полученных чисел делится на 11, то и само число делится на 11.Примеры: число 103785 делится на 11, так как 10+37+85=132 делится на 11. Число 9 163 627 делится на 11, так как 9+16+36+27=88 делится на 11 (или потому что 91+63+62+70=286 делится на 11). Число 461025 не делится на 11, так как 46+10+25=81 не делится на 11.

                      Признаки делимости на 2ⁿ, 5ⁿ,10ⁿ, 10ⁿ – 1, 10ⁿ + 1

Признак делимости на 2ⁿ

Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень. (n>0)

Признак делимости на 5ⁿ

Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень. (n>0)

Признак делимости на 10ⁿ-1

Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n − 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n − 1.

Признак делимости на 10ⁿ

Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

Признак делимости на 10ⁿ+1

Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10ⁿ + 1.

 Пример 4.  В шестизначном числе 1-я цифра совпадает с 4-й, 2-я с 5-й, 3-я с 6-й. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

Решение. Обозначим 1ц – а, 2я – в, 3я – с , тогда число авсавс= 100000а + 10000в + 1000с + 100а + 10в + с =1000 ( 100а + 10в + с ) + авс = 1000авс + авс = 1001авс = 11*7*13 авс  кратно 7,11,13.

 Пример 5. Доказать, что трехчлен у = х² +5х+16 ни при каком целом х не делится на 169.                                                                                                                                        Решение                                                                                                                                                                                                                                            Рассмотрим трехчлен х² +5х+16, выделим квадрат двучлена: х² +5х+16 = х² -2х*4 +4²  +2х*4 + 5х = (х-4)² + 8х+5х = (х-4)² + 13х. Сумма (х-4)² + 13х, а значит и трехчлен х² +5х+16 делится на 169 только при условии, что каждое слагаемое делится на 169.  Выражение (х-4)²  делится на 169 при условии, что х-4 делится на 13, но х-4 делится на 13 при х=13n+4, n Z. Проверим, делится ли слагаемое  13х на 169 при х=13n+4. 13х делится на 169 при условии, что х делится на 13, но х= 13n+4  и это число ни при каком n Z не делится на 13.                                                                                                Значит, исходный трехчлен х² +5х+16 ни при каком х не делится на 169.

 Пример 6. Три цифры пятизначного числа – четверки. Найдите это число, зная, что оно делится без остатка на 315.                                                                                                                   

  Решение.                                                                                                                                  Так как 315= 5* 7* 9, то последняя цифра искомого числа 0 или 5. Если это 0, то одна из его цифр 6 (по признаку делимости на 9), но из чисел 4446, 4464, 4644, 6444 ни одно не делится на 7. Если же последняя цифра 5, то одна из цифр 1. Условию отвечает только число 44415. 

 Пример 7.  Доказать, что число 2²⁰ + 3²⁰ + 4²⁰ + 7²¹  кратно 10 .                                                          Решение.                                                                                                           Воспользуемся признаком делимости на 10. Для того чтобы данное выражение делилось на 10, необходимо, чтобы последняя цифра в данном выражении была 0, т. е. сумма единиц всех слагаемых должна оканчиваться нулем. Найдем, какой цифрой оканчивается каждое слагаемое:                                                                             

    2²⁰ = 2^{4* 5} = 2²⁰ – оканчивается так же, как 2⁴ (6);                                                                  3²⁰ = 3^{4* 5}  = 3²⁰ – оканчивается так же, как 3⁴ (1);                                                                 4²⁰ – оканчивается цифрой 6;                                                                                                    7²¹ = 7^{4* 5 +1} = 7²⁰  * 7 – оканчивается цифрой 7.                                                               Сложим последние цифры (единицы слагаемых):  6 + 1 + 6 + 7 =20.                                                                                Сумма единиц оканчивается нулем, значит, заданное число кратно 10.                                                                                                        

            Рассмотренные признаки можно давать учащимся, начиная с шестого класса. В 7-м и 8-м классах в продолжение изучения темы «Делимость чисел» следует рассмотреть теорему о делении с остатком, основную теорему арифметики, принцип Дирихле. Основным учебником для учащихся можно использовать «Сборник задач по алгебре.  М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. М: Просвещение».

Делимость суммы и произведения.

Свойства отношения делимости.

1.     Всякое число a, отличное  от нуля делится на себя.

2.     Нуль делится на любое число, не равное нулю.

3.    Если ab и bc, то ac.

Если a делится на b (b≠ 0) и b делится на a (a≠0), то числа a и b либо равны, либо являются противоположными числами.

4.     Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число.

5.     Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то разность делится на это число.

6.     Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, то сумма  не делится на это число.

7.   Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение  делится на это число

8.   Если в произведении двух целых чисел один из множителей делится на m, а другой на n,  и произведение  делится на mn.

 При решении задач на делимость часто используются свойства, которые   следуют из перечисленных свойств и связаны с последовательным расположением целых чисел:

·        произведение n последовательных чисел делится на n;

·        произведение трех последовательных чисел делится на 6;

·        произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.

            Учащиеся 7-8 классов уже имеют опыт аксиоматического изложения геометрии, поэтому они способны усвоить  такой же метод изложения и начала теории делимости. Строгость изложения  темы «Делимость чисел» должна быть достаточно выдержанной. Сначала   несколько теорем  доказывает учитель, затем остальные свойства представляются в предложенных задачах. Предполагается, что решая задачи, ученики более-менее самостоятельно докажут эти свойства  и будут использовать их при решении задач. Ученик   вполне может определить, на что можно ссылаться, а что надо доказывать.

Основное назначение этой темы  - расширение теоретических сведений о делимости натуральных чисел. При изучении теории и решении задач учащимся приходится проводить доказательные рассуждения, которые способствуют развитию логического мышления. Свойства делимости произведения и суммы доказываются на примерах,  которые  носят общий характер. Важно, чтобы учащиеся поняли основную идею этих доказательств: «Чтобы доказать, что некоторое числовое выражение (произведение или сумма) делится на число а, его достаточно представить в виде произведения, один из множителей в котором равен а».

Например, докажем справедливость третьего свойства. Из определения делимости следует, что a=bk, b=cm, где  k и m – целые числа. Отсюда a=(cm)k, т.е. в силу сочетательного свойства умножения a=c(mk), где mk- целое число, а это означает, что делится на c.

            Пример1. «Сборник задач по алгебре.  М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. М: Просвещение». №3.5

            Число a кратно 6. Докажите, что число a²−12a кратно 36.

    Решение. 1) a кратно 6, значит a= 6m;

                     2)  a²-12a=(6m)²-12·6m=36m²-2·6·6m=36m²-2·36m=36(m²-2m) ⋮36, т.е. a²-12m кратно 36.                             

            Пример 2. «Сборник задач по алгебре.  М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. М: Просвещение».№3.6 

Докажите, что сумма квадрата целого числа и самого числа есть число четное.

Решение.

1)    Пусть n- целое число. n²+n=n(n+1)- произведение 2-х последовательных чисел. Значит одно из них четное, а другое нечетное. Произведение четного и нечетного чисел есть число нечетное.

            Пример 3.I(школьный) этап XLII Всероссийской олимпиады школьников по математике 2015г. 8 класс.

            Делится ли +++ на 18?

Решение. +++(1+17)+

+·28. Чтобы число делилось на 18, нужно, чтобы каждое слагаемое суммы делилось на 18 (по 5 свойству). Или на 2 и 9 (по 9 свойству) Первое слагаемое делится на 18. Второе слагаемое делится на 2  (28- четное) и на 9 (т.к. 27 делится на 9), следовательно,  ·28 делится на 18. Т.е. +++  делится на 18.

Пример 4.  Открытый банк заданий  Федеральнного института педагогических измерений.

Приведите пример пятизначного числа кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение.

Разложим число 40 на простые множители. 40 = 2×2×2×5.
Таких множителей всего четыре, цифр недостаточно для пятизначного числа, но в произведение всегда можно добавить единицу, результат от этого не изменится.
40 = 2×2×2×5×1.
Таким образом, число в ответе можно составить только из этих цифр: 1,2,2,2,5.
Чтобы число было кратным 12 , оно должно удовлетворять признакам делимости на 3 и на 4, так как 12 = 3×4.
Проверим сумму цифр 1+2+2+2+5 = 12. Она делится на 3, поэтому число будет делиться на 3 при любых перестановках цифр.
А чтобы оно делилось на 4, в конце нужно поставить две цифры так, чтобы образованное ими число делилось на 4. 
Очевидно, что последней цифрой должна быть 2-ка, другие - нечетные. Проверим варианты 12, 22, 52.
12:4 = 3; 22:4 = 11:2 - не делится нацело; 52:4 = 13.
Вывод: число должно быть составлено так, чтобы в конце было 12 или 52, а в начале любые перестановки из оставшихся трёх цифр.
Возможные ответы: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. В ответ пишем один из них.

Ответ: 21252

Деление с остатком.

Для любого целого числа a и натурального числа b существует единственная пара целых чисел q и r, таких, что a=bq+r, где 0 ≤ r < b. q-целое, r- натуральное или нуль, причем r может принимать лишь b различных значений 0,1,2,… b-1.Если остаток равен нулю, то a делится на b.

Это понятие известно из начальной школы. Акцент делается на классификацию чисел по остаткам от деления на данное число. При этом деление без остатка (одно из чисел кратно другому) рассматривается как частный случай деления с остатком (остаток равен нулю).

            Пример 1. «Сборник задач по алгебре.  М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. М: Просвещение». №3.16

Докажите, что сумма квадратов двух последовательных целых чисел.

при делении на 4 дает остаток 1.

Решение. Пусть эти числа 2k и 2k+1. Тогда (2k)²+(2k+1)²=4k²+4k²+4k+1=

=4(2k²+k) +1. Т.е. число делится на 4 и остаток 1.

            Пример 2. «Сборник задач по алгебре.  М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. М: Просвещение». №3.20

            Число a кратно 3.Может ли остаток от деления числа a на 12 быть равным 2?

Решение. 1) Пусть a делится на 3. Тогда a= 3n;

2)    Пусть a делится на 12. Тогда a=12m+2. Имеем

3)    3n=12m+2: 3n делится на 3 и 12m делится на 3. Следовательно, 2 делится на 3 (по свойству 5), что невозможно, значит остаток не может быть равным 2.

            Пример 3.  «Сборник задач по алгебре.  М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. М: Просвещение». №3.26  

  Четные числа a и b, не кратные 6, при делении на 6 дают разные остатки. Докажите, что сумма a+b делится на 6.

Решение. 1) По условию a – четное, значит a=2n и a= 6k+. Т.к. a- четное, 6k –четное, то и - четное;

2) Аналогично, b- четное, b=6p+, 6p-четное, значит - четное;

3) При делении на 6 остатки могут быть:1,2,3,4,5. Т.к. остатки четные, то =2, а =4. 

4) a+b= 6k++6p+=6(k+p) +()=6(k+p)+6 – сумма делится на 6.

Можно привести ещё много примеров и задач, в которых основную роль играет не частное, а остаток. Для решения такого рода задач была создана «Арифметика остатков».

Задача. Каков будет остаток от деления числа 7778 × 7779 × 7780 × 7781 × 7782 × 7783 на 7?

Для начала займёмся арифметикой остатков от деления на 7.

Делитель в теории чисел называют «модулем», а числа, дающие при делении на модуль 7 одинаковые остатки, называют «равноостаточными» или «сравнимыми по модулю 7». Тот факт, что два числа A и B при делении на некоторый модуль М дают одинаковые остатки, т.е. сравнимы по модулю М, записывают так: Aº В (mod 7).

То, что знак сравнения напоминает по своему виду знак равно, не случайно, как будет видно из дальнейшего. Рассмотрим, по какому принципу построена следующая таблица:

0	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31	32	33	34
35	36	37	38	39	40	41
42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55
56	57	58	59	. . .	. . .	. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .

Этот принцип имеет вид. Все целые неотрицательные числа вписаны подряд: в первой строке – первые семь, во второй – семь последующих и т.д. – семёрка за семёркой. Какие же числа при этом оказались в одном столбце? Это тоже ясно. Соседние числа столбца отличаются на 7, так что в третий слева столбец попали числа 2, 2+7=9, 9+7=16 и т.д. При делении на 7 все они дают в остатке 2. Числа 3 – го слева столбца при делении на 7 дают в остатке 2. Числа четвёртого слева столбца при делении на 7 дают в остатке 3, числа седьмого столбца – 6, числа первого столбца – 0, т.е. делятся на 7 без остатка. Остатки в таблице– это первые, верхние числа каждого столбца. Можно сказать, что в один столбец попали те и только те числа, которые при делении на 7 равноостаточны, т.е. сравнимы друг с другом по модулю 7.

Например: 171º3 (mod 7), т.к. при делении 171 на 7 получим в остатке 3.

Итак, все целые неотрицательные числа разбились на семь классов: в класс с индексом 0 попали все числа, которые при делении на 7 дают в остатке 0 (делятся на 7 без остатка) – это числа левого столбца таблицы. В класс с индексом 1 попадают числа следующего столбца, дающие при делении на 7 в остатке 1, и т. д. Отсюда вытекает:

Правило определения класса. Чтобы узнать, в каком классе находится некоторое число, надо найти остаток от деления этого числа на 7. Этот остаток равен индексу класса.

Определите,в каком классе находятся числа 85, 117, 124, 213, 1084? (Ответ:1,5,5,3,6). 

Заметим ещё, что если разность двух чисел делится на 7 без остатка, то оба числа попадают в один столбец, в один класс.

Например: 266-168=98 и 98 делится на 7, и 266 делится на 7, и 168 делится на 7. Делаем выводы:

Выводы:

Вывод первый. В один класс попадают все числа, дающие при делении на модуль один и тот же остаток, т.е. если при делении чисел a и b на число m получаются равные остатки, то a и b называются сравнимыми по модулю m.

Например: 12º7(mod 5), т.к. остатки от деления 12 и 7 на 5 будут равными.

Если a делится на m, то aº0(mod m) и наоборот, если aº0(mod m), то a делится на m.

Вывод второй. Два числа принадлежат к одному классу тогда и только тогда, когда их разность делится без остатка на модуль.

Выберем любое число класса «3» (т.е. из четвертого столбца) например 395 и прибавим к нему любое число класса «5» (из шестого столбца) например число 173. Сумма окажется в классе один (во втором столбце). В самом деле, 395+173=568º1(mod 7), если какое-нибудь слагаемое в сумме заменить числом того же класса, то и это слагаемое, и вся сумма увеличится или уменьшится на несколько семёрок, т.е. останутся в том же классе. Достаточно сложить 3 и 5 и определить, что 8 попадает в класс «1». Отсюда получаем:

Вывод третий. Остаток от деления суммы на модуль не изменится, если одно из слагаемых или каждое слагаемое заменить другим числом этого класса (в частности, индексом этого класса, т.е. сравнимым с ним по этому модулю).

Задача.

Не проводя обычных вычислений, найти остаток от деления на 7 следующей суммы: 8+79+780+7781+77782+777783.

 Решение: Легко заметить, остатки от деления слагаемых на 7 равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6; например, 77782=77777+5, а 777783=77777+6. Таким образом, индексы классов, равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Воспользуемся выводом третьим и заменим в данной сумме каждое слагаемое индексом его класса – индекс суммы при этом не изменится. Остаётся найти остаток от деления суммы на 7.

1+2+3+4+5+6=21

Эта сумма делится на 7 без остатка, значит, и данная в условии сумма делится на 7 без остатка.

Пользуясь обозначениями сравнения чисел по модулю, можно так сформулировать третий вывод:

Если AºB (mod M) и CºD(mod M), то A+CºD+B(mod M). Другими словами, сравнения по одному и тому же модулю можно складывать. Таким же свойством, как мы знаем, обладают и обычные равенства.

Используя эти обозначения, можно решение задачи записать так: 8º1, 79º2, 780º3, 7781º4, 77782º5, 777783º6 (все сравнения даны по модулю 7), откуда

8+79+780+7781+77782+777783º1+2+3+4+5+6º21º0(mod 7), а это как раз и означает, что данная в условии задачи сумма делится на 7 без остатка, это было первое свойство сравнений.

Теперь мы уже можем попытаться решить задачу, с которой начали. Она несколько напоминает предыдущую задачу, но вместо суммы там стоит произведение. Посмотрим, не обладает ли произведение таким же свойством, как и сумма. Рассмотрим произведение нескольких, скажем, трёх чисел: A, B и C. Что произойдёт, если в произведении АВС число A заменить другим числом того же класса А₁? Так как А₁ отличается от A на число, кратное 7, то А₁=А+7К, где К - некоторое целое число. Значит А₁ВС=(А+7К) ВС=АВС+КВС. Отсюда видно, что АВС и А₁ВС принадлежат к одному классу (отличаются на число, кратное 7). Следовательно, справедлив следующий вывод:

Вывод четвёртый. Остаток от деления произведения нескольких чисел на модуль М не изменится, если один из сомножителей (или даже каждый из сомножителей) заменить числом того же класса.

В частности, мы можем заменить каждое число индексом его класса. Пользуясь обозначениями теории чисел, можно записать: если АºВ (mod M), СºD (mod M), то АСºВD (mod M), т.е. сравнения по одному и тому же модулю можно перемножать. И это свойство тоже аналогично свойству обычного равенства.

Теперь не трудно решить данную в начале задачу.

Интересующий нас остаток не изменится, если мы все сомножители заменим индексами их классов, равными: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 соответственно. Так как 1×2×3×4×5×6=720º20º6 (mod 7), то искомый остаток равен 6, т.е. 7778º1 (mod 7), 7779º2 (mod 7)…7783º6 (mod 7)Þ 7778×7779×…7783º1×2×3×…6º720º20º6 (mod 7) Þ искомый остаток 6.

Все наши рассуждения применимы и в том случае, когда вместо модуля 7 используется любое другое натуральное число М, отличное от единицы. В этом случае, вместо таблицы из семи столбцов придётся рассматривать таблицу, содержащую М столбцов.

Пример: Число 137 возвели в сотую степень. Какова последняя цифра десятичной записи результата?

Решение: Прежде всего, заметим, что последняя цифра натурального числа есть остаток от деления этого числа на 10. Согласно выводу 4 нам достаточно найти остаток от деления на 10 числа 7¹⁰⁰, т.к. 137º7 (mod 10)Þ137¹⁰⁰º7¹⁰⁰(mod 7). Но в арифметике сравнений  по модулю 10 всякое натуральное число  и его последняя цифра находятся в одном классе, поэтому при возведении 7 в степень нам достаточно следить лишь за последней цифрой степени:

7¹º7, 7²º9, 7³º7²×7º9×7º3, аналогично 7⁴=7³×7º3×7º1, 7⁵=7⁴×7º1×7º7, и дальше вся последовательность 7, 9, 3, 1 будет периодически повторяться (все сравнения здесь даны по модулю 10). Отсюда видно, что на 4-м, 8-м, 12-м, 16-м и т.д., вообще на любом месте, кратном 4, в этой последовательности стоит 1. Значит, и на сотом месте стоит 1, т.е. 137¹⁰⁰ оканчивается цифрой 1.

Задача. Число 98 возвели в 42 степень. Какова последняя цифра десятичной записи результата?

(Решение: Воспользуемся выводом 4 и найдем остаток от деления на 10 числа 98⁴². 98≡8(mod10), 8≡8, 8²≡4, 8³=8²∙8≡4∙8≡2, 8⁴=8³∙8≡2∙8≡6, 8⁵=8⁴∙8≡6∙8≡8(mod10). Вся последовательность 8, 4, 2, 6 будет периодически повторяться. Значит 98⁴²=98^4∙10+2≡98²≡8²≡4(mod10). Значит, последняя цифра десятичной записи результата - 4.)

Простые и составные числа.

      Определение 1. Простым числом называется натуральное число, отличное от   1   и такое, которое делится только на   1   и на самого себя.

      Поскольку на   1   и на самого себя делится любое натуральное число, то из этого определения вытекает, что у простого числа других делителей нет.

      Определение 2. Составным числом называется натуральное число, отличное от   1   и не являющееся простым.

      Следовательно, у составного числа существует, по крайней мере, один делитель, отличный от   1   и самого числа.

      Определение 3. Делители составного числа, отличные от   1   и самого числа, называются множителями.

      Например, числа   2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17   и т.д. являются простыми. Числа   4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12   и т.д. являются составными.

      Задача. Доказать, что полусумма двух последовательных простых чисел больших   2   является составным числом.

      Решение. Поскольку все простые числа большие   2   являются нечетными числами, то их сумма будет четным числом, а полусумма - натуральным числом.

      Это натуральное число будет больше, чем меньшее из заданных последовательных простых чисел, и меньше, чем большее из них.

      Так как заданные простые числа являются последовательными простыми числами, то между ними не может быть других простых чисел, а, значит, их полусумма является составным числом.

      Замечание. Чтобы выяснить, является ли данное число   a   простым или составным, достаточно проверить, делится ли это число на простые числа, не превосходящие числа .

Каноническое разложение числа на простые множители.

     Основная теорема арифметики. Любое целое число a, которое больше 1, можно разложить на произведение простых множителей p₁, p₂, …, p_n, при этом разложение имеет вид a=p₁·p₂·…·p_n, причем это разложение единственно, если не учитывать порядок следования множителей. Любое натуральное число, отличное от   1 ,   можно представить в виде произведения множителей, являющихся простыми числами, причем единственным образом.

В разложении числа простые множители могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записать более компактно, используя степень числа. Пусть в разложении числа a простой множитель p₁ встречается s₁ раз, простой множительp₂ – s₂ раз, и так далее, p_n – s_n раз. Тогда разложение на простые множители числа a можно записать как a=p₁^s₁·p₂^s₂·…·p_n^s_n. Такая форма записи называется каноническим разложением числа на простые множители.

Алгоритм разложения числа на простые множители.

·         Последовательно перебирая числа из таблицы простых чисел, находим наименьший простой делитель p₁ числа a, после чего вычисляем a₁=a:p₁. Еслиa₁=1, то число a – простое, и оно само является своим разложением на простые множители. Если же a₁ на равно 1, то имеем a=p₁·a₁ и переходим к следующему шагу.

·         Находим наименьший простой делитель p₂ числа a₁,  для этого последовательно перебираем числа из таблицы простых чисел, начиная с p₁, после чего вычисляем a₂=a₁:p₂. Если a₂=1, то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p₁·p₂. Если же a₂ на равно 1, то имеем a=p₁·p₂·a₂ и переходим к следующему шагу.

·         Перебирая числа из таблицы простых чисел, начиная с p₂,  находим наименьший простой делитель p₃ числа a₂, после чего вычисляем a₃=a₂:p₃. Если a₃=1, то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p₁·p₂·p₃. Если же a₃ на равно 1, то имеем a=p₁·p₂·p₃·a₃ и переходим к следующему шагу.

·         Находим наименьший простой делитель p_n числа a_n-1, перебирая простые числа, начиная с p_n-1, а также a_n=a_n-1:p_n, причем a_n получается равно 1. Этот шаг является последним шагом алгоритма, здесь получаем искомое разложение числа a на простые множители: a=p₁·p₂·…·p_n.

Все результаты, полученные на каждом шаге алгоритма разложения числа на простые множители, для наглядности представляют в виде следующей таблицы, в которой слева от вертикальной черты записывают последовательно в столбик числа a, a₁, a₂, …, a_n, а справа от черты – соответствующие наименьшие простые делителиp₁, p₂, …, p_n.

Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители.

Пример. Число 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11, его каноническая форма записи имеет вид 609 840=2⁴·3²·5·7·11².

Каноническое разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа.

  Пример. Разложить на множители число   816 .

  Решение.  816=2·408=2·2·204=2·2·2·102=2·2·2·2·51=2·2·2·2·3·17=·3·17

      Равенство 816=·3·17и есть единственное разложение числа   816   на простые множители. Простыми множителями в данном примере являются числа   2 , 3   и   17 . 

Задача.  (7–8 классы, 2004 год, конкурс «Кенгуру»)

У натурального числа n ровно 3 различных простых делителя, у числа 11n таких делителей тоже 3, а у числа 6n — четыре. Сумма цифр наименьшего такого числа n равна

(А) 2    (В) 5    (С) 8    (D) 11    (Е) другой ответ

Решение. Поскольку у числа 11n столько же различных простых делителей, сколько у n, то n делится на 11. Из того, число 6n имеет на один простой делитель больше, следует, что либо 2 делит n, а 3 не делит, либо наоборот. Итак, нам нужно найти самое маленькое из чисел, список различных простых делителей которого состоит из 11, точно одного из чисел 2 и 3, и еще какого-то простого числа. Ясно, что это произведение 2*11*5=110. Ответ — А.

            Дополнительно рассматриваются следующие свойства:

Если число a делится на каждое из двух взаимно простых чисел b и с, то оно делится и на их произведение bc. 

Если произведение ab делится на число с, причем числа a и с взаимно простые, то b делится на с. 

Пример 1.  «Сборник задач по алгебре.  М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. М: Просвещение».   Найдите все простые числа p, для которых число p²+2 также простое.

Решение. 1)  Проверим.  Пусть p=2. Т.к. p²+2=2²+2=6- составное,  то p≠2 .                            2) Пусть p=3. Тогда  p²+2=11- простое число. Покажем теперь, что нет простых чисел p>3, для которых p²+2- простое число. Пусть  p >3- простое число, тогда p не делится на 3, значит по теореме о делении с остатком p=3n+1 или p=3n+2, где n- натуральное число. Если p=3n+1, то p²+2=3(3n²+2n+1) делится на 3, т. е. не является простым. Если же p=3n+2, то 

p²+2=3(3n²+4n+2) также делится на 3, т.е. не является простым.

            При решении задач на делимость   часто применяется принцип

Дирихле: если m и n – натуральные числа и m > n,то при разбиении множества, состоящего из m элементов, на n классов, хотя бы в один из классов попадѐт более одного (не менее двух) элемента.

Если в множестве А меньше элементов, чем в множестве В, то обязательно от некоторых элементов множества А должно исходить более одной стрелки.

Это свойство неравночисленных множеств получило название принципа Дирихле, по имени известного немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле. В простой форме принцип формулируется так: «Если вещей у нас больше, чем ящиков, по которым мы хотим их разложить, то, по крайней мере, в одном из ящиков должно быть две или более число вещей». Или этот принцип высказывают в шутливой форме: «Нельзя посадить семерых зайцев в три клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не больше двух зайцев».

Задача. В городе Н имеется 200 тысяч жителей. Докажите, что в городе Н имеется, по крайней мере, два человека с одним и тем же числом волос на голове. Известно, что на голове у одного человека не более 100 тысяч волос.

Для решения задачи распределим жителей по группам: к первой группе отнесем жителей, не имеющих на голове волос, ко второй – жителей с одним волосом, к третьей – жителей с двумя волосами и т.д., к последней группе относятся жители, которые имеют на голове 100 тысяч волос. Получили конечное множество таких групп, число элементов в этом множестве 100 001 (элементы этого множества пусть играют роль ящиков). С другой стороны множество людей в городе Н, так же конечное множество, их число 200 тысяч (элементы этого множества играют роль вещей). Значит обязательно встретится группа, в которой не меньше двух людей (вещей больше, чем ящиков).

      Следствием принципа Дирихле является  уже рассмотренное  свойство отношения делимости:

     1.      Среди n последовательных натуральных чисел одно и только

одно делится на n .

Пример 1.  Докажите, что среди 25 учеников класса, по крайней мере, трое родились в одном месяце.

Решение. Допустим, что в каждом месяце родилось не более 2 школьников. Тогда на 12 месяцев приходится не более 24 детей. Противоречие.

         Пример 2. В клуб «Миллионеры России» вступили миллион  миллионеров. В анкетах они оценили свой капитал от 10 млн. до 10 млрд. рублей (с округлением до одного миллиона). Можно ли утверждать, что найдется более ста миллионеров с одинаковыми «анкетными данными»?      Решение. Можно. В противном случае каждую анкетную сумму (9991 различное значение) имеете не менее 100 миллионеров, то есть всего их не более 999100.

Заключение

            В ходе работы были решены следующие задачи:

1. Была проанализирована  педагогическая и методическая литература по теме работы.

2. Были даны определения основным понятиям.

3. Было охарактеризовано место и роль изучения темы «Делимость чисел » в обучении математике в средней школе.

4. Рассмотрена классификация задач и методы их решения, а так же педагогический и методический опыт, накопленный  при обучении решению задач на делимость.

При объяснении материала я стараюсь не давать готовых утверждений. Предполагается, что ученики перебирают несколько случаев, находят закономерность и доказывают её. По моему мнению, умение подмечать простые закономерности не менее важно для ученика, чем умение решать сложные задачи, а также важно умение  ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.

 В заключении можно отметить, что рассмотренная тема в сочетании с нетрадиционными формами обучения, с учетом индивидуальности каждого ребенка, дифференциации обучения и создании возможностей для проявления творчества, способствует успешности усвоения делимости чисел, усиливает интерес к предмету, способствует возникновению положительных эмоций, радости познания, позволяет снять усталость, снизить закомплексованность, избежать влияния стресса. Уровень усвоения знаний учащихся значительно повышается. Как следствие такие задачи вызывают все меньше затруднений как на олимпиадах, так и на экзаменах.

.

Литература:

1.     Болтянский В. Г., Г. Г. Левитас. Делимость чисел и простые числа. // В книге: Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7–8 классов. М.: Просвещение, 1974.

2.     1. Виленкин Н.Я., Гутер Р.С., Земляков А.Н., Никольская И.Л.. Под ред. Фирсова В.В.. Составители: Боковнев О.А., Шварцбурд С.И.. Факультативный курс. Избранные вопросы математики. М., «Просвещение», 1978.

3.     Галицкий М.Л., А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре 8-9 классы. Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений.15-е изд.-М.: Просвещение. 2010г.

4.     Галкин Е.В., Нестандартные задачи по математике. Задачи с

целыми числами : учеб. пособие для учащихся 7-11 кл. Е.В. Галкин.

    Челябинск: «Взгляд». 2005г.

5.     Макарычев Ю.Н., Н.П. Миндюк., К.И. Нешков, И. Е. Феоктистов. Алгебра класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. 11-е изд.М.: «Мнемозина». 2011г.

6.     Макарычев Ю.Н., Н.П. Миндюк. Алгебра – 8. Дополнительные главы к учебнику. М. «Просвещение» 1995г.

7.     Мордкович А.Г.  Алгебра и начала математического анализа. 10

     класс: Ч.1. учебник для учащихся общеобразовательных учреждений           (профильный уровень). А.Г. Мордкович, П.В. Семѐнов. – 6-е изд.  М.:                Мнемозина. 2009г.

8.      Романов П.Ю.  Педагогические аспекты математического образования:     сборник научных трудов. 

9.     Сборник учебных программ элективных курсов предпрофильного обучения девятиклассников. Из опыта работы Центра дополнительного образования «Планирование карьеры». Томск, 2003.

10. Фарков А.В.. Математические кружки в школе. 5-8 классы. М. «Айрис- пресс» 2006г.

11. Фарков  А.В.   Математические олимпиады. Муниципальный этап .5-11 классы. М. «Илекса». 2012г.

12.  Цыстогов В.Н. Дополнительные материалы для классов с углубленным изучением математики. – Томск, Томский областной институт учителя, 1991.

13. Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., Головина В.Д. Внеклассная работа по математике. М. «Просвещение» 1974г.

14.  Интернет-ресурсы. Википедия — свободная энциклопедия.

Приложения

Задачи для 7 класса.

1.     На занятии математического кружка 25 школьников получили 290 жетонов за правильное решение задач. Докажите, что, по крайней мере, два ученика получили жетонов поровну (возможно, по 0).

2.     1800 учеников района выполняли тест из 100 заданий. У Сидорова 31 неверный ответ. У остальных меньше. Докажите, что найдутся 59 школьников с одинаковыми результатами тестирования.

3.     106 т строительных материалов упаковано в ящиках; масса каждого не превышает 6 т. Грузовой лифт перевозит их на крышу небоскреба. Если масса груза более 25 тонн, лифт автоматически отключается. Какое количество рейсов лифта достаточно для перевозки?

4.     1997 гангстеров, расстояние между которыми попарно различны, одновременно выхватили пистолеты, и каждый стреляет в ближайшего. Докажите, что в одного из них никто не стреляет.

5.     Вовочка написал в тетради число 65349*0712 в качестве примера числа, которое делится: а) на 9; б) на 3. (На месте звёздочки когда-то была написана цифра, а теперь там пятно от сладкого чая.) Помогите Вовочке восстановить пропущенную цифру. Укажите все возможные варианты!

6.     Некто привёз на базар огурцы; когда он стал считать их десятками, то не хватило двух огурцов до полного числа десятков. Когда он стал считать огурцы дюжинами, то осталось 8 огурцов. Сколько огурцов было привезено, если их было больше 300, но меньше 400?

7.     Кикимора Дуся думает, что v³ + 2v делится на 3 для любого натурального v. В правильном ли направлении думает Дуся?

8.     Кикимора Дуся думает, что если натуральные числа a, b и c таковы, что числа a + b, b + c, a + c – простые, то среди них найдутся равные. Права ли Дуся?

9.     Можно ли торт Клары со сторонами 2,3×3,5 см разрезать на прямоугольнички 0,08×0,07 см?

10. Ведьма Клара ищет два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 11.

11. Запишем подряд цифры от 1 до 9, получим число 123456789. Простое оно или составное? Изменится ли ответ в задаче, если каким-то образом поменять порядок цифр в этом числе?

12. Делится ли число 32561698 на 12? Решите эту задачу:

          а) с помощью признака делимости на 4;

          б) с помощью признака делимости на 3.

13. а) Докажите, что произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на 8.

б) Может ли произведение четырех последовательных натуральных                            чисел оканчиваться на 116?

14. Может ли натуральное число, записываемое с помощью   10 нулей,     10 единиц и 10 двоек, быть квадратом некоторого другого натурального числа?

15. Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — семизначное   число, состоящее из двоек и троек. Сейф откроется, если  двоек в коде больше, чем троек, а сам код делится и на 3, и на 4. Какой код может открывать сейф?

Ответы к задачам.

1.     Допустим противное. Тогда 25 учеников получили не менее 0+1+…+24=300 жетонов.

2.     1799 учащихся делим на 31 группу по результату (от 0 до 30 ошибок); 58*31=1798. Значит, найдется группа, в которой не менее 59 школьников.

3.     В каждый рейс можно загрузить не менее 19 т. Поэтому достаточно 106/19, то есть 6 рейсов. 5 рейсов может оказаться недостаточно. Например, если 21 одинаковый ящик попытаться перевезти в 5 рейсов, то в одном из рейсов будет 5 ящиков общей массой 106*5/21>5 т.

4.     Два ближайших гангстера стреляют друг в друга. Если хотя бы один из оставшихся 1995 гангстеров стрелял в одного из первых, то в одного из оставшихся стрелять некому. В противном случае снова выберем двух ближайших гангстеров и т.д. Их число нечетно, поэтому останется один, в которого никто не стрелял.

5.     Сумма известных цифр числа равна 37.

a) Чтобы число делилось на 9, нужно, чтобы его сумма цифр                                     делилась на 9. Это возможно, только если на месте звёздочки стоит    цифра 8.

б) Чтобы число делилось на 3, нужно, чтобы его сумма цифр делилась на 3. Это возможно, только если на месте звездочки стоит одна из цифр 2, 5, 8.

6.     Число огурцов обозначим за а, тогда по условию задачи  а=10х+8 и  а=12у+8. Значит, если отложить 8 огурцов, то а делится на 10 и 12, т.е. на 60. Среди чисел, больших 300 и меньших 400, лишь 360 удовлетворяет этим условиям. Итак, огурцов было 368. Число 300 делится на 60. Значит, число 308 тоже является решением задачи. Ответ: 308,368.

7.     v³ + 2v = v(v² + 2). Рассмотрим возможные остатки от деления числа v на 3.

v = 3k

v = 3k + 1 ⇒ v² + 2 = 9k² + 6k + 3

v = 3k + 2 ⇒ v² + 2 = 9k² + 12k + 6

Видно, что во всех трех случаях число v³ + 2v = v(v² + 2) будет делиться на 3.

8.   Допустим, a четно. Тогда b и c должны быть нечетными (ведь числа a + b и b + c должны быть простыми, а равны 2 они быть уже не могут). В этом случае b + c- четно и может быть простым, только если оно равно 2. Поскольку b и c – натуральные, они могут равняться только 1, то есть они одинаковы. Если же а нечетно, то b и cдолжны быть четными (или 1, если a=1). Но тогда b + c – снова четное, и мы приходим к предыдущей ситуации.

9.   Площадь всего торта равна 23·7·5·0,01=23·7·5²·2·0,0001 см², а площадь каждого прямоугольничка равна 8·7·0,0001 см². Видно, что второе число кратно 8·0,0001 см², а первое нет (в произведении нет 8).

10.   Если два последовательных числа отличаются только последней цифрой, то их суммы чисел отличаются на 1, а стало быть, не могут делиться на 11 одновременно. Еще один случай – когда при добавлении к числу 1 несколько девяток на конце превращаются в нули, а следующая за ними цифра увеличивается на 1 (например, 699 и 700). Сколько нам нужно таких девяток? Если девятка одна, то суммы цифр отличаются на 9 − 1=8, если две, то на 2·9 − 1=17, если три, то на 3·9 − 1=26, если четыре, то на 4·9 − 1=35, если пять, то на 5·9 − 1=44 и т.д. Необходимо, чтобы эта разность делилась на 11. Это выполняется, например, при пяти нулях на конце большего из чисел. Осталось придумать для него «начало», сумма цифр которого делилась бы на 11. Например, 56.

11.   Легко проверить, что сумма цифр этого числа равна 45 и делится на 9. Значит, в силу признака делимости на 9 и само   число делится на 9 и потому составное. При любой перестановке цифр числа сумма этих цифр не изменяется, поэтому число будет по-прежнему делиться на 9(значит, будет составным).

12.   а) Число оканчивается на 98, а 98 не делится на 4. Поэтому по признаку делимости на 4 число на делится на 4. Но любое число, делящееся на 12, должно делиться и на 4.

б) Сумма цифр числа равна 40, а 40 не делится на 3. Поэтому по признаку делимости на 3 число на делится на 3. Но любое число, делящееся на 12, должно делиться и на 3.

13. а) Из двух последовательных чётных чисел одно к тому же обязательно делится на 4 (докажите это аккуратно, пользуясь признаком делимости на 4), поэтому их произведение делится на 8.

б) Среди четырёх последовательных натуральных чисел всегда будут два последовательных чётных числа, так что их произведение должно делиться на 8 по пункту а. А число 116 не делится на 8. Значит, оно не может быть образовано тремя последними цифрами числа, делящегося на 8.

14. Сумма цифр числа, составленного из таких цифр, равна 10 · 0 + 10 · 1 + 10 · 2 = 30. Значит, в силу признаков делимости это число делится на 3, но не делится на 9.

Предположим, что искомое число m является квадратом числа n, то есть m = n² = n · n. Если m кратно 3, то и n кратно 3, а тогда m = n · n должно быть кратно 9.

15. В силу признака делимости на 4 код может оканчиваться только цифрами 32 (другие двузначные числа, составленные из цифр 2 и 3, не делятся на 4).

Двоек в коде больше, чем троек; значит, двоек не меньше четырёх, а троек не больше трёх. Если в коде четыре двойки и три тройки, то сумма цифр кода равна 2 · 4 + 3 · 3 = 17 и не делится на 3, поэтому и сам код не делится на 3. По аналогичной причине код не может состоять из пяти двоек и двух троек (тогда сумма цифр была бы равна 2 · 5 + 3 · 2 = 16). Значит, код может состоять только из одной тройки и шести двоек (тогда сумма цифр равна 2 · 6 + 3 · 1 = 15 и код делится на 3).

Положение единственной тройки в коде мы уже определили, а остальные цифры · двойки. Значит, подходит только код 2222232.

Задачи для 8 класса.

1.     Найдите наименьшее число, записываемое только при помощи двоек, единиц и нулей, которое бы делилось на 225.

2.     Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число, что и в остатке.

3.     При делении некоторого числа на 13 и 15  получились одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе деление без остатка. Найти это число.

4.     Найдите последнюю цифру числа:

a.      а) 2001²⁰⁰¹;   б)549⁴⁹; в) 345673³⁷⁶⁵⁴³; г) 77⁷⁷⁷⁷.

5.     Является ли число 123321123321 квадратом какого-либо целого числа?

6.    Определите, не выполняя действий, делится ли а) 18² − 7²  на 11; б)  +  +  на 60; в)  +  + + . . . +  на 83.

7.   Какой цифрой оканчивается число 

8.     Число 2005 представьте в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

9.     Сумма двух натуральных чисел равна 777. Какое наибольшее значение может принимать общий делитель этих чисел?

Ответы к задачам.

1.     Число должно делиться на 25, поэтому оно оканчивается не менее, чем на два нуля. Число должно делиться на 9 ,поэтому сумма цифр должна делится на 9, значит, она не менее 9. Представим 9 наименьшим числом слагаемых:9=2+2+2+2+1. Чтобы число было меньше, 1 должна стоять в начале числа.     Ответ:1222200.

2.     Пусть число А=7х + х , А=8х, где 0 < х < 7, т.е. х принимает значения 1, 2, 3, 5, 6. Тогда, а = 8, 16, 24, 32, 40, 48.Ответ: 8, 16, 24, 32, 40, 48.

3.     Пусть число А = 13 n + 8 , тогда по условию  А = 15 n , решив уравнение 13п + 8 = 15п, получим  n= 4. Значит, число А = 60.Ответ: 60

4.     Идея во всех пунктах одинаковая. Вспомнив правило умножения в столбик, можно понять, что последняя цифра произведения двух чисел – это последняя цифра произведения двух последних цифр этих чисел. В пункте а) единица все время будет умножаться сама на себя, поэтому получится единица. В пункте б) 9·9=81, …1·9=…9 и т.д., то есть нечетные степени будут оканчиваться на 9, а четные – на  в) У числа 3 степени в зависимости от делимости на 4 могут заканчиваться на 3, 9, 7 и 1. Поскольку 376543 делится на 4 с остатком 3, последняя цифра этой степени будет 7. г) У степеней семерки тоже 4 возможных окончания: 7, 9, 3, 1, выбор вновь зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. Но 77 в любой степени дает остаток 1 при делении на 4 (можно проверить, что при перемножении двух чисел, делящихся на 4 с остатком 1, получится число с таким же свойством). Значит, последняя цифра 7.

5.     Предположим, что 123321123321= k² , где k - некоторое целое число. Заметим, что число 123321123321 делится на 3, так как сумма его цифр равна 24, а 24 делится на 3. Следовательно, число  k² делится на 3. Тогда и число k должно делится на 3. Докажем этот факт. Если число k при делении на 3 дает остаток 1, т.е. k =3s +1 ,то k²=(3s +1)²=9s²+6s+1. Ясно, что выражение 9s²+6s+1 на 3 делится с остатком 1. Если число k при делении на 3 дает остаток 2, т.е. k= 3s +2 , то k²=(3s +2)²=9s²+12s+4. И в этом случае получаем, что выражение 9s²+12s+4 не делится на 3. Остается единственный вариант: число k делится на 3 без остатка, т.е. k =3s . Но тогда k²= 9s² и число  k² делится на 9. Но из равенства 123321123321= k² следует, что число 123321123321 должно делится на 9. Получили противоречие, т.к. сумма цифр данного числа равна 24 и по признаку делимости на 9 (24 не  делится на 9 без остатка) имеем, что число 123321123321 не делится на 9 без остатка. Следовательно, наше предположение о существовании целого числа k , такого что 123321123321= k², ошибочно. Ответ: нет

6.     а) Делится: 18²−7²  = (18−7)(18+7) = 11·25 ⋮11.

б) Не делится:  + = (53+67)(53² −53·67+67²)  = 120(53² − 53        67 + 67²)⋮  60, а  60.

           в) Делится: разобьём слагаемые на пары и докажем, что сумма в                           каждой паре делится на 83. Например, +  ⋮ 83,  +  ⋮ 83 и т.д.

7.    Найдем последнюю цифру  при различных значениях n: 3; 9; 7; 1; 3; 9; … Замечаем зависимость: через 4 числа цифра повторяется. Т.к. 2008=502·4+0, то число  оканчивается такой же цифрой, что и ,т.е. 1. Рассматривая различные степени числа 4, получаем зависимость: если показатель степени n- четный, то  оканчивается цифрой 6, а если нечетный, то  оканчивается цифрой 4.Так как 2009- число нечетное, то  оканчивается цифрой 4, а значит, и число

8.     Так как 2005=5·401, a a²-b²=(a-b)(a+b), то для нахождения решения задачи надо найти решения следующих систем уравнений:

            a+b=2005,

           a-b=1.      

           a+b=401,

                          a-b=5.              

          Решениями данных систем уравнений являются пары чисел:    (1003,1002); (203;198).                                                                                    

9.     Разложим 777 на простые множители: 777=7·3·37.Представим данное произведение в виде следующих двух слагаемых: 777=7·37+7·37·2=259+518.

          Наибольшим делителем чисел 259и 518 будет259.В других случаях наибольший  общий делитель слагаемых будет меньше.

Избранные вопросы математики. Кружок по математике. 7 класс.

№	Наименование разделов,  блоков, тем	Всего, час	Количество часов		Характеристика деятельности обучающихся
			Аудитор ные	Внеуади торные
1.	Решение уравнений с параметрами.	2	1	1	определяют цель учебной деятельности, осуществляют поиск средства её достижения
2.	Делимость чисел и признаки делимости.	3	1	2	пони­мают смысл поставленной задачи, выстраивают аргументацию
3.	Делимость суммы и произведения	2	1	1	уметь ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
4.	Простые и составные числа. Основная теорема арифметики	3	1	2	умеют вы­сказывать свою точку зрения и её обосновать, приводя аргу­менты
5.	Деление с остатком	3	1	2	составляют план выполнения задач, решения про­блем творческого и поискового характера.
6.	Уравнения в целых числах и методы их решения.	2	1	1	составляют план выполнения заданий совместно с учителем.
7.	Решение линейных уравнений с двумя переменными	2		2	определяют цель учебной деятельности, осуществляют поиск средства её достижения.
8.	Решение уравнений с модулем	3	1	2	уметь ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
9.	Построение графиков кусочных  функций	2		2	составляют план выполнения заданий совместно с учителем.
10.	Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.	3	1	2	определяют цель учебной деятельности, ищут средства её осуществле­ния
11.	Применение графов к решению задач	2		2	умеют вы­сказывать свою точку зрения и её обосновать, приводя аргу­менты
12.	Решение геометрических олимпиадных задач.	3	1	2	составляют план выполнения заданий.
№	Наименование разделов,  блоков, тем	Всего, час	Количество часов		Характеристика деятельности обучающихся
			Аудитор ные	Внеуади торные
13.	Решение задач на смеси и сплавы.	2		2	умеют вы­сказывать свою точку зрения и её обосновать, приводя аргу­менты
14.	Решение комбинаторных задач.	2		2	Вырабатывают креативность мышления, инициативу, находчивость.
15.	Построение графиков дробно-рациональных функций.	2		2	определяют цель учебной деятельности, ищут средства её осуществле­ния.
Итого:		36	9	27

АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ: СБОРНИК НАУЧНЫХоилрорррн ТРУДОВ. ВЫПУСК 7

Автор/создатель: Под редакцией проф. П.Ю. Романова

: СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ. ВЫПУСК 7

Автор/создатель: Под редакцией проф. П.Ю. Романова

7

Автор/создатель: Под редакцией проф. П.Ю. Романова

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ: СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ. ВЫПУСК 7

Автор/создатель: Под редакцией проф. П.Ю. Романова

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

Автор/создатель: Под редакцией проф. П.Ю. Романова

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ: СБОРНИК

 

Кенгуру-клуб № 38

Задача 1 (7–8 классы, 2002 год)

Любитель арифметики перемножил первые 2002 простых числа. На сколько нулей заканчивается произведение?

(А) 0    (В) 1    (С) 10    (D) 20    (Е) 100

Решение. Ясно, что один ноль в произведении есть: и 2, и 5 входят в набор первых 2002 простых чисел. Так же ясно должно быть, что больше нулей в этом произведении нет, поскольку сомножители не повторяются, а других способов получить ноль на конце произведения нет. Итак, ответ — В.

Задача 2 (5–6 классы, 2004 год)

У двузначного числа n цифра десятков в два раза больше, чем цифра единиц. Тогда число n обязательно

(А) четное   (В) нечетное    (С) меньше 20    (D) делится на 3    (Е) делится на 6

Решение. Если цифра единиц равна а, то цифра десятков — 2а, а их сумма равна 3а, следовательно, число n делится на 3.

Задача 3 (7–8 классы, 2003 год)

Сколькими способами можно записать число 2003 в виде суммы a + b, где a и b — простые числа и a < b?

(А) 0    (В) 1    (С) 2    (D) 3    (Е) более 3

Решение. Заметим, что сумма двух чисел нечетна только в том случае, когда одно их слагаемых четно, а другое — нечетно. Поскольку четное простое число существует ровно одно — 2, если искомая запись существует, то это может быть только 2 + 2001, но число 2001 очевидным образом делится на 3, следовательно: верный ответ — А.

Задача 4 (7–8 классы, 2004 год)

Наибольший делитель числа 32004 + 6, отличный от этого числа, равен

(А) 32003 + 3    (В) 32003    (С) 32003 + 2    (D) 3    (Е) 32004

Решение. Достаточно заметить, что число равно произведению своего наименьшего делителя (отличного от 1) на наибольший. Ясно, что в этой ситуации проще искать наименьший делитель. Теперь остается заметить, что число 32004 + 6 нечетно и делится на 3, следовательно, 3 — наименьший делитель, а (32004 + 6) : 3 = 32003 + 2 — наибольший делитель. Верный ответ — С.

Задача 5 (7–8 классы, 2004 год)

Если a и b — натуральные числа, ни одно из которых не делится на 10, и a b=10 000, то a + b равно

(А) 1024    (В) 641    (С) 74    (D) 34    (Е) 1 000

Решение. Заметим, что 10 000 = 24*54, а поскольку ни одно из чисел a и b не делится на 10, то все двойки должны войти в разложение на множители одного из этих чисел, а все пятерки — в разложение другого, например, a = 24 = 16, b =54 = 625. В любом случае, a + b = 641, правильный ответ — В.

Задача 6 (7 — 8 классы, 2004 год)

Натуральное число b в 64 раза больше натурального числа а. Какое из следующих соотношений невозможно?

(А) b = a3    (В) b = a4    (С) b = a2    (D) b = a7    (Е) b = a6

Решение. По условию, b = ak = 64 a , следовательно, ak — 1= 641 = 26 = 43 = 82, но это означает, что k может равняться 2, 7, 4 и 3 и не может равняться 6. Итак, ответ — Е.

Задача 7 (7–8 классы, 2002 год, 12%, 13%)

Сколько простых чисел равны сумме двух простых чисел и одновременно разности двух простых чисел?

(А) 1    (В) 3    (С) 4    (D) 0    (Е) бесконечно много

Решение. Пусть р1, р2, р3, р4 — такие простые числа, что р1 + р2 = р3 — р4 = р — простое число. Прежде всего, заметим, что среди чисел р1 и р2есть 2 (иначе получится, что р — четное простое число, большее, чем 2). Будем считать, что р1 = 2. Если предположить, что числа р3 и р4оба нечетны, то окажется, что р = 2 и, следовательно, р2 = 0 (это для простого числа невозможно), следовательно, одно из этих чисел также равно 2. Ясно, что это может быть только р4, итак, 2 + р2 = р3 — 2. Из последнего равенства получаем, что р3 = р2 + 4. Теперь заметим, что если р2 = 3, то р3 = 7 и мы получаем удовлетворяющее условиям задачи равенство 2 + 3 = 7 — 2 = 5. Покажем, что никаких других чисел с такими свойствами нет. Действительно, если при делении на 3 число р2 дает остаток 1, то сумма р = р1 + р2 = 2 + р2должна делиться на 3 (и быть больше, чем 3), следовательно, она не может быть простым числом. Если же при делении на 3 число р2дает остаток 2, то число р3 = р2 + 4 делится на 3 и не может быть простым числом. Если же остаток равен 0, это значит, что само число р2 не является простым. Итак, ответ — А.

Третий тур дистанционного этапа VII олимпиады имени Леонарда Эйлера Решения задач

1. Улитка ползет вокруг циферблата часов против часовой стрелки с постоянной скоростью. Она стартовала в 12.00 с отметки 12 часов, и закончила полный круг ровно в 14.00. Какое время показывали часы, когда улитка в ходе своего движения встречалась с минутной стрелкой? Ответ. 12-40 и 13-20. Решение. Из условия следует, что улитка двигается по циферблату в 2 раза медленнее минутной стрелки. Поэтому к 1-й встрече она проползает треть всего круга, а стрелка – две тре ти. Это означает, что первая встреча происходит в 12-40. Аналогично, между первой и второй встречей снова проходит 40 минут. Это означает, что вторая встреча случается в 13-20.

2. В каждую клетку таблицы 2×2 вписано по одному числу. Все числа различны, сумма чисел в первой строке равна сумме чисел во второй строке, а произведение чисел в первом столбце равно произведению чисел во втором столбце. Найдите сумму всех четырёх чисел. Ответ. 0.

Решение. Пусть в верхней строке таблицы стоят (слева направо) числа a и b, а в нижней (слева направо) — числа c и d. По условию a+b = c+d и ac = bd. Выражая c из первого уравнения и подставляя во второе, получаем a(a+b–d) = bd ⇔ (a+b)(a–d) = 0, откуда, поскольку a–d ≠ 0, получаем a = –b. Анало гично,

 d = –c, откуда и получаем ответ.

3. Биссектрисы углов A и C разрезают неравнобедренный треугольник ABC на четырёхугольник и три треугольника, причём среди этих трёх треугольников есть два равнобедренных. Найдите углы тре угольника ABC. Ответ. 180°/7, 2⋅180°/7, 4⋅180°/7.

Решение. Пусть AK и CM — биссектрисы, I — их точка пересечения. По- смотрим, какие углы в каких треугольниках могут быть равными. Треугольник AIC равнобедренным быть не может: в нём ∠AIC = 90°+∠ABC/2 — тупой, а ∠IAC = ∠BAC/2 ≠ ∠BCA/2 = ∠ICΑ. Невозможны также равенства ∠MIA = ∠MAI и ∠KCI = ∠KIC, так как внешний угол треугольника AIC не может быть равен внутреннему, не смежному с ним. Наконец, невозможно одновременное выполнение равенств ∠MIA = ∠IMA и ∠KIC = ∠IKC, или одновременное выполнение равенств ∠IAM = ∠IMA и ∠ICK = ∠IKC, так как тогда ∠BAC = ∠ACB. Поэтому остаётся единственная (с точностью до перестановки точек A и C) возможность: ∠AIM = ∠AMI = 90°–∠ABC/2 = 90°–∠BAC/4, ∠ICK = ∠IKC = ∠ACB/2 =90°+∠ABC/2–∠ACB/2. Это означает, что 2∠ABC = ∠BAC и ∠ACB = 90°+∠ABC/2. Тогда 7∠ABC/2 = 90°, что и приводит к ответу.

 4. Все делители натурального числа N, кроме N и единицы, выписали в ряд по убыванию: d1 > d2 > … > dk. Оказалось, что в каждой паре делителей, одинаково удалённых от концов этого ряда, больший делитель делится на меньший (то есть d1 делится на dk, d2 — на dk–1 и т.д.). Докажите, что в любой паре делителей числа N больший делитель делится на меньший.

Решение. Легко видеть, что выполняются равенства N = d1dk = d2dk–1 = … Это позволяет переформулировать условие задачи следующим образом: если произведение двух делителей числа N равно этому числу, то больший из этих делителей делится на меньший. Пусть число N кроме простого делителя p имеет другие простые делители. Тогда N можно представить в виде произведения двух взаимно про- стых сомножителей, больших 1, что противоречит условию задачи. Поэтому число N есть степень простого числа, откуда и вытекает утверждение задачи.

5. Двое играют в такую игру. За один ход можно положить в одну из клеток квадратной доски 1001×1001 один камешек (первоначально доска пуста; в одной клетке может лежать любое число камешков). Ходят по очереди. Как только в каком-то ряду (вертикали или горизонтали) оказывается более 5 камешков, сделавший последний ход признается проигравшим. Кто из игроков сможет выиграть независимо от действий соперника: тот, кто делает первый ход или тот, кто ходит вторым? Ответ. Первый.

Первое решение. До того, как на доску выложен 5005-ый камешек, первый находит строку и столбец, в которых находится менее пяти камешков (такие обязательно найдутся), и кладёт камешек в клетку на их пересечении. Если второй не ошибся раньше, после того, как на доску будет положен 5005-ый камешек (а его, как и все нечётные, положит первый), мы приходим к ситуации, в которой в каждой строке и каждом столбце лежит ровно по 5 камешков. В ней второй проигрывает, какой бы ход он ни сделал.

Второе решение. Пусть первым ходом первый положит камешек в центральную клетку доски, а затем кладет каждый свой камешек симметрично относительно центра доски последнему камешку соперника. Тогда если первый делает ход в строку или столбец, содержащий центральную клетку, там после этого хода будет нечетное числу камешков, а если камешек первого оказался в строке или столбце, не содержащем центральную клетку, там после его хода станет столько же камешков, сколько в симметричной относительно центра доски строке (столбце). Таким образом, если после хода первого в какой-то строке или каком-то столбце оказалось больше 5 камешков, то и до его хода были строка или столбец, где находилось больше 5 камешков. Значит, первый при такой игре не может проиграть, а так как игра конечна, то второй рано или поздно проиграет.

АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ: СБОРНИК НАУЧНЫХоилрорррн ТРУДОВ. ВЫПУСК 7

Автор/создатель: Под редакцией проф. П.Ю. Романова

: СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ. ВЫПУСК 7

Краткое описание документа:

Одними из самых сложных задач на олимпиадах являются задачи на делимость. Задачи на делимость присутствуют и в ЕГЭ . Для их решения требуется умение доказывать, умение рассуждать. Поэтому традиционный курс школьной математики следует расширить за счет занятий кружка, факультативов, где больше времени необходимо выделить на изучение свойств чисел