Подобные треугольники. Медианы. Биссектриса. Среднее геометрическое. Касательная и секущая. Хорды.

• 1 слайд

  1
  
  Автор: Юстинова Ольга Брониславовна, учитель математики
  Подобные треугольники.
  Медианы. Биссектриса.
  Среднее геометрическое.
  Касательная и секущая.
  Хорды.
  

• 2 слайд

  2
  Изучив этот материал, вы узнаете о свойствах отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла. Вы узнаете, какие треугольники называют подобными, научитесь применять их свойства. Вы научитесь находить среди треугольников те, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры.
  Познакомитесь со свойством медиан, биссектрис, свойствами среднего пропорционального (среднее геометрическое), пересекающихся хорд, свойством касательной и секущей, проведённых к окружности через одну точку
  
  

• 3 слайд

  3
  Пропорциональные отрезки.
  
  Опр. Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения.
  
  Если, например, АВ = 8 см, CD = 6 см,
  то отношение отрезка АВ к отрезку CD равно
  АВ: CD = 8 : 6 = 4 : 3.
  Если АВ : А1В1 = CD : C1D1, говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам А1В1 и C1D1.
  Аналогично можно говорить о пропорциональности большего числа отрезков. Например, если
  АВ: А1В1 = CD:C1D1 = MN:M1N1, то говорят, что отрезки
  АВ, CD, MN пропорциональны соответственно отрезкам
  А1В1 , C1D1, M1N1.
  
  

• 4 слайд

  4
  
  Теорема о пропорциональных отрезках.
  
  Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.
  ОА : АВ= ОА1 : А1В1
  
  
  

• 5 слайд

  5
  
  Подобные фигуры.
  Опр. Геометрические фигуры, которые имеют одинаковую форму, называют подобными.
  Например, подобными являются любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника (рис. 130).
  
  
  Стороны AB и A1B1(рис. 131) лежат против равных углов C и С1. Такие стороны называют сходственными.
  Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.
  
  

• 6 слайд

  6
  
  Определение подобных треугольников.
  
  Опр. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
  
  
  

• 7 слайд

  7
  Число 2 (рис. 132), которому равно отношение сходственных сторон, называют коэффициентом подобия. k=2
  Говорят, что треугольник ABC подобен треугольнику А1В1С1 с коэффициентом подобия, равным 2.
  

• 8 слайд

  8
  
  Задача 1. Подобны ли треугольники АВС и MNK, если < A = 40°, <B = 82°, <M = 40°, <K = 58°, AВ = 2,4 см, ВС = 2,1 см, АС= 3.9 см, MN = 3,2 см, NK = 2,8 см, МК = 5,2 см?
  Решение.
  
  < C = <K = 58°, < A = <M = 40°, <B=<N=82°.
  AВ: MN = 2,4: 3,2= 24:32 = 3 :4,
  ВС : NK=2,1 : 2,8=21 : 28=3 : 4,
  АС : МК = 3.9 : 5,2= 39 : 52= 3:4.
  AВ: MN = ВС : NK= АС : МК, < C = <K ,
  < A = <M , <B =<N.
  Треугольники АВС и MNK подобны по определению.
  
  

• 9 слайд

  9
  
  Лемма о подобных треугольниках.
   
  Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.
  
  
  Задача 1. Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
  Доказательство.
  
  Р1=A1B1+В1С1+C1А1=k AB+k BC+k AC=k(AB+BC+AС)= =k P, Р1:Р=k
  
  

• 10 слайд

  10
  
  Задача 2. Равносторонние треугольники ABC и FDG подобны, их стороны относятся как 6:5. Найдите периметр треугольника ABC, если сторона треугольника FDG равна 5 см.
  Решение.
  Периметр треугольника FDG равен 5*3= 15 (см). Периметр ABC относится к периметру треугольника FDG как 6:5, 6 : 5 = Р : 15, 5Р = 90, Р = 90 : 5 = 18(см).
  
  Ответ: Периметр ABC равен 18 см.
   
  Задача 3. На рисунке изображены подобные треугольники АВС и DEF, равные углы которых отмечены одинаковым количеством дуг. Какие стороны треугольников сходственные?
  
  
  
  АВ и DЕ, BC и EF, AC и DF – сходственные стороны, так как лежат против равных углов.
  
  

• 11 слайд

  11
  
  Первый признак подобия треугольников:
  по двум углам.
   
  Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  
  
  Задача 1. Угол N равен углу А.
  CB =12 см, CM =6 см, СN=4 см.
  Найти АС.
  
  
  Решение.
  Треугольники АВС и NMC подобны по 2 углам (углы N и A равны, угол C-общий). Сходственные стороны пропорциональны: CB : CM = АС : CN,
  CB =12 см, CM =6 см, СN=4 см. 12: 6= АС : 4, 6АС=48,
  АС =48 : 6 =8(см).
  Ответ: АС= 8 см.
  
  

• 12 слайд

  12
  
  Задача 2. Средняя линия трапеции ABCD (BC || AD) равна 24 см, а её диагонали пересекаются в точке О, АО : ОС= 5:3. Найдите основания трапеции.
  
  Решение.
  Рассмотрим треугольники AOD и СОВ. Углы AOD и ВОС равны как вертикальные, утлы CAD и АСВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС.
  
  
  Следовательно, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.
  Тогда AD:BC=AO:CO=5:3. ВС = 3х см, тогда AD = 5х см.
  Так как средняя линия трапеции равна 24 см,
  то ВС + AD = 48 см. Имеем: 3х + 5х = 48. 8х=48. Отсюда
  x = 6. ВС = 3*6 = 18( см), тогда AD = 5*6 = 30 ( см).
  Следовательно, BC=18 см, AD=30 см.
  
  Ответ: BC=18 см, AD=30 см.
  

• 13 слайд

  13
  
  Задача 3. Укажите пары подобных треугольников, изображённых на рисунке 147, найдите длину отрезка x.
  
  
  Решение.
  1) Треугольник DCE подобен треугольнику ACB по 2 углам (углы D и A равны, углы ACB и DCE равны как вертикальные).
  DC : AC = DE : AB , x: 18 = 21: 15, 15x = 18 * 215 15x =378,
  x = 378: 15, x = 25,2
  Ответ: DC =25,2
  2)Треугольник ADE подобен треугольнику ACB по 2 углам.
  DE : BC=AE : AB, x : 3=10 : 5, 5x = 30, x = 6
  Ответ: DE = 6
  
  

• 14 слайд

  14
  
  Задача 4. CDEF – трапеция. Найти CF.
  
  
  Решение.
  Треугольники DOE и FOC подобны по 2 углам (углы D и F, E и C равны, как накрест лежащие).
  DE : FC=DO : FO, 12 : FC= 8 : 12,
  8 FC = 144, FC=144:8=18.
  
  Ответ: CF=18.
  
  

• 15 слайд

  15
  
  Второй признак подобия треугольников:
  по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
   
  Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
  
  
  

• 16 слайд

  16
  
  Задача 1. Найти BC.
  
  
  
  
  
  
  
  
  Решение.
  
  BO: MO = OC : OK, 6:15=8:20, 2:5 = 2:5, угол О – общий. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники BOC и MOK подобны.
  BO : MO = BC : MK, 2 : 5 = BC : 18, 5BC=36, BC= 36 : 5, BC=7,2.
  
  Ответ: BC=7,2.
  

• 17 слайд

  17
  
  Третий признак подобия треугольников:
  по трём пропорциональным сторонам.
   
  Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  
  
  Если k =1, то треугольники АВС и А1В1С1 равны но третьему признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.
  
  

• 18 слайд

  18
  
  Задача 1. Подобны ли треугольники АВС и А1В1С1, если:
  1)АВ = 6 см, ВС = 10 см, АС = 14 см,
  А1В1 = 9 см, В1С1 = 15 см, А1С1 = 21 см;
  Решение.
  АВ:А1В1=ВС:В1С1=АС:А1С1, 6:9=10:15=14:21, 2:3=2:3=2:3.
  Треугольники АВС и А1В1С1 подобны по 3 признаку.
  
  2)АВ = 1,3 см, ВС = 2,5 см, АС = 3,2 см,
  А1В1 = 26 см, B1C1 =50 см, А1С1 = 60 см?
  Решение.
  АВ :А1В1= ВС: В1С1= АС: А1С1 ,
  1,3 : 26 = =2,5: 50 = 3,2 : 60,
  13 : 260 = 25: 500 = 32 : 600,
  1 : 20 =1 : 20 = 4 : 75 .
  Треугольники АВС и А1В1С1 подобными не являются, так как три стороны одного треугольника не пропорциональны трём сторонам другого треугольника.
  
  

• 19 слайд

  19
  
  Теорема
  об отношении площадей подобных треугольников.
   Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
  
  
  
  Задача 1. Площади двух подобных треугольников равны 16 кв. см и 25 кв.см. Одна из сторон первого треугольника равна 2 см. Найти сходственную сторону второго треугольника.
   
  Решение.
  
  S : S1=16 : 25 = (4/5)* (4/5), 2 : x = 4 : 5, 4x = 10,
  x = 10 : 4, x = 2,5
  
  Ответ: 2,5 см
  
  

• 20 слайд

  20
  
  Задача 2. Треугольники ВЕС и ABC подобны. АЕ=16см, СЕ= 9см. Углы ABC и ВЕС- тупые.
  Найдите: ВС.
  
  
  Решение.
  Треугольники ВЕС и ABC подобны, EC : BC=BC: AC. AC=AE+EC=16+9=25(см).
  BC* BC= EC* AC,
  BC* BC=9*25=225, BC=15 см.
  Ответ: BC=15 см.
  
  
  Следствия.
   1. Равносторонние треугольники подобны.
   
  2. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.
   
  3. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу между боковыми сторонами или углы при основании равны.
   
  4. У подобных треугольников отношение соответствующих элементов (медиан, биссектрис, высот и т.д.) равно коэффициенту подобия.
  
  

• 21 слайд

  21
  
  Свойство медиан треугольника.
   
  Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
   
  Задача 1. В треугольнике BCD отрезок ОЕ является средней линией. Найдите периметр треугольника МОЕ, если DE =18, ОB = 15, BD = 24.
  
  
  
  Решение.
  BO, DE – медианы треугольника BCD.
  ОЕ - средняя линия. ОЕ=0,5BD.
  DE =18, ОB = 15, BD = 24.
  ОЕ=0,5*24=12.
  OM=BO:3=15:3=5,
  ME=DE:3=18:3=6.
  P=12+5+6=23.
  
  Ответ: P =23.
  
  

• 22 слайд

  22
  
  Свойство биссектрисы треугольника
   
  Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам:
  CD : CB = AD : AB
  
  Задача 1. В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Точка D делит сторону АС на отрезки AD и DC, равные 6 см и 10 см соответственно. Найти сторону BC, если АВ=9 см.
  
  
  
  Решение.
  
  AD=6 см и DC=10 см, АВ=9 см.
  CD : CB = AD : AB,
  10 : CB = 6: 9, 6CB = 90,
  CB = 90:6=15,
  CB = 15см
  
  Ответ: BC = 15см
  
  

• 23 слайд

  23
  
  Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если
  
  
  Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
  
  Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.
  
  

• 24 слайд

  24
  
  Задача 1. Высота CD прямоугольного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу АВ на отрезки AD и DB. Найдите гипотенузу АВ, если CD= 6 см, а отрезок AD на 5 см короче отрезка DB.
  
  
  Решение
  Пусть AD= x см, тогда DB=(x + 5) см. CD= 6 см,
  
  36=x (x + 5), x=4, x + 5= 9. AD= 4 см, DB= 9 см, AB=4+9=13(см).
  Ответ: AB=13 см.
  Задача 2. Высота CD прямоугольного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу АВ на отрезки AD и DB. Найдите катет АC , если DB =3,2 см,
  AD =1,8 см
  
  
  Решение.
  DB =3,2 см, AD =1,8 см, AB=3 ,2 +1,8= 5 (см). АC * АC =AD*AB=1,8*5=9
  АC =3 см.
  Ответ: АC = 3 см.
  

• 25 слайд

  25
  
  Задача 3. Из точки А проведены два луча AM и AN, не лежащие на одной прямой. На луче AM отметили точки Н и В, а на луче AN — точки С и D так, что АН • АВ = АС • AD. Докажите, что точки Н, В, D и С лежат на одной окружности.
  
  Доказательство.
  Рассмотрим треугольники АНС и ADB . Угол А у них общий. Из условия следует, что АН • АВ = АС • AD
  
  Следовательно, треугольники АНС и ADB подобны по второму признаку подобия треугольников. Тогда углы ACH и ABD равны. Учитывая, что
  получаем
  
  
  т. е. четыре точки Н, В, D и С лежат на одной окружности,
  около четырёхугольника HCDB можно описать окружность.
  
  

• 26 слайд

  26
  
  Свойства касательной и секущей.
  Теорема. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
  
  Задача 1. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках B и С, причём АВ = 3, BC = 72. Найдите АК.
  Решение.
  AC=AB+BC, AC=3+72=75.
  
  
  
  Ответ: AK= 15
  

• 27 слайд

  27
  
  Задача 2. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ = 7, ВС = 21. Найдите АК.
  
  
  
  
  
  
  
  
  Решение.
  AC=AB+BC, АВ = 7, ВС = 21. AC=7+21=28.
  Ответ: AK= 14
  
  

• 28 слайд

  28
  Хорды.
  Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
  По первому признаку подобия треугольники ADE и CBE подобны (угол 1 равен углу 2, так как опираются на одну дугу; угол 3 равен углу 4, как вертикальные).
  
  
  Задача 1. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. АЕ : ЕВ= =1:3,CD = 20, DE = 5. Найдите АВ.
  Решение.
  Хорда CD = 20, DE = 5, CE=20-5=15. DE*CE=5*15=75.
  АЕ= 1x, ЕВ=3x, AE*EB=DE*EC, 1x*3x= 75, x*x=25, x=5.
  АВ= АЕ+ ЕВ=1x+3x=4 x=4*5=20.
  Ответ: АВ=20.
  
  

• 29 слайд

  29
  
  Задача 2. АВ — диаметр окружности. Точка Е лежит на окружности. EF перпендикулярно АВ, FB = 4, EF = 6. Найдите радиус окружности.
  
  
  Решение.
  Треугольник АEB - прямоугольный, угол E опирается на диаметр. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
  
  FB = 4, EF = 6. Найдите радиус окружности. 4AF=36, AF=36:4=9, R=(AF+FB):2= (9+4):2=13:2=6,5
  Ответ: R=6,5
  
  

• 30 слайд

  30
  
  
  
  Ответ: В)
  
  
  
  
  А1В1 || А2В2, А2В2 || А3В3, А1А2 =0,5 А1А3.
  Отсюда следует, что
  А) А1А2 = B1В2, Б) B1В3 = 2B2В3
  В) А1A3 = B1В3 Г) А1А2 = B2В3
  
  Ответ: Б)
  Задания в тестовой форме «Проверь себя».
   
  
  2) Если медианы АA1 и BВ1 треугольника ABC пересекаются в точке M, то какое из данных равенств является верным?
  
  

• 31 слайд

  31
  
  Ответ: В)
  BM : FD = 2 : 1, KD : BK =1: 2
  Ответ: Б) 1:2
  
  4). Через точку M стороны BC параллелограмма ABCD проведена прямая, параллельная стороне CD . Эта прямая пересекает отрезки BD и AD в точках K и F соответственно.
  Известно, что BM : FD=2:1. Чему равно отношение KD: BK ?
  
  А) 2:1 Б) 1:2 В) 1:3 Г) 4:1.
  
  
  Треугольники BKM и DKF подобны по 2 углам. k=2
  

• 32 слайд

  32
  Свойство биссектрисы треугольника.
   Биссектриса угла В треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим к этим сторонам: AB =8 см, BC=4см, AC=9см.
  
  B1C = x см, B1A =(9 – x) cм.
  x : 4 =(9 - x): 8,
  8 x = 4 * (9 - x), 8 x = 36 -4 x, 12 x= 36, x= 3. B1C = 3 см,
  B1A = 9 – x = 9 - 3 = 6(см).
  Ответ: В)
  5) В треугольнике ABC известно, что AB =8 см, BC=4см, AC=9см. В каком отношении центр вписанной окружности делит биссектрису BВ1 , считая от вершины B?
  А) 2:3, Б) 2:1, В) 4:3, Г) 3:4.
  
  

• 33 слайд

  33
  Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними.
   
  Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
  
  .
  BD : BA = BK : BC, 10 : 14= x : 21,
  14 x = 210, x = 210 : 14,
  x = 15, BK =15 см, CK=21-15= 6(см).
  
  Ответ: В) 15 см, 6см.
  
  AB=14см, BC=21см , BD=14-4=10(см).
  6) В треугольнике ABC известно, что AB =14 см, BC=21см. На стороне AB на расстоянии 4 см от вершины A отмечена точка D, через которую проведена прямая, параллельная стороне AC. Найдите отрезки, на которые эта прямая делит сторону BC.
  А) 12 см, 9 см В) 15см, 6 см
  Б) 18 см, 3 см Г) 14 см, 7 см.
  
  

• 34 слайд

  34
  Подобные треугольники.
  По первому признаку подобных треугольников:
  1) AED и CEB. 2) ACD и ECN. 3) ABD и MBE. 4)ABC и AME. 5) BDC и EDN.
  По второму признаку подобных треугольников:
  6) ABE и CDE.
  Ответ: Б) 6
  
  7) Отрезок MN, проведенный через точку пересечения диагоналей неравнобокой трапеции ABCD, параллелен ее основаниям. Сколько пар подобных треугольников изображено на рисунке?
  
  А) 4 Б) 6 В) 3 Г) 5
  
  

• 35 слайд

  35
  
  Свойство секущих.
  
  Произведение секущей на ее внешнюю часть равно произведение секущей на ее внешнюю часть, если секущие проведены из одной точки к окружности.
  BA *BE= BC *BD. Получается пропорция
  BE : BC=BD: BA
  
  Ответ: Б)
  
  8) Через вершины A и C неравнобедренного треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает стороны BA и BC в точках E и D соответственно. Какое из данных равенств является верным?
  
  

• 36 слайд

  36
  Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды
  
  AO =4 см и OB =25 см. CO = OD ,
  AO*OB = CO*OD CO*OD=4*25=100,
  CO= OD=10 см.
  CD=10 см*2=20 см.
  
  Ответ: Г) 20
  
  9) Хорда AB пересекает хорду CD в ее середине и делится точкой пересечения на отрезки, равные 4 см и 25 см. Чему равна хорда CD?
  А) 10 см Б) 5 см В) 100 см Г) 20 см
  
  

• 37 слайд

  37
  DC=8-6=2(cм).
  Треугольники ABC и BDC подобны по 2 признаку:
  угол С - общий,
  AC:BC = BC:DC, 8:4=4:2,
  
  AC : BC = AB : BD, 8 : 4=10 : BD,
  
  8 BD =40, BD=5 см.
  
  Ответ: А) 5.
   
  
  10) В треугольнике ABC известно, что AB =10 см, BC=4см, AC=8см. На стороне AC отмечена точка D такая, что AD=6 см. Чему равен отрезок BD?
  А) 5 см Б) 4 см В) 6 см Г) 7 см.
  
  

• 38 слайд

  38
  Благодарю за внимание!