Погружение на уроках математики в 10 классе по теме
«Методы решения
тригонометрических уравнений» 6 часов в 10
.(профильном) классе.
Цели урока:
- Образовательные – обеспечить повторение и
систематизацию материала темы. Научить при решении уравнений
применять формулы понижения степени. Создать условия контроля
усвоения знаний и умений.
- Развивающие – способствовать формированию умений
применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного,
переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического
кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
- Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к
математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения
общаться, общей культуры.
Методы обучения: частично – поисковый.
Проверка уровня знаний,, работа по обобщающей схеме, решение
познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка,
восприятие нового материала, взаимопроверка.
Формы организации урока: индивидуальная,
фронтальная, работа в парах, групповая.
Оборудование и источники информации: экран; мультимедийный проектор; ноутбук. У учащихся на
партах листы учета знаний; системно – обобщающая схема; по два
подписанных листочка и два бланка для записи ответов.
Ход
работы
- Устная работа.
- Повторение. Экспресс-тест.
- Лекция.
- Закрепление. Работа в парах.
- Применение изученного материала при решении
уравнений. Решение тригонометрических уравнений из заданий ЕГЭ. Групповая
форма работы.
- Обобщение пройденного материала.
- Домашнее задание.
- Рефлексия.
- Устная работа
Слайды 2, 3.
- Повторение.
1) Область значения и область определения тригонометрических функций;
2) Решение простейших тригонометрических функций;
- Частные случаи простейших тригонометрических
уравнений.
Слайды 4-9
Тест на повторение.
- Лекция.
Применение презентации при объяснении нового
материала.
Методы
решения тригонометрических уравнений. Решение
тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения
для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного
простейшего тригонометрического
уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических
уравнений.
1. Алгебраический
метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры
( метод
замены переменной и подстановки ).
2. Разложение
на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x –
sin 2 x
– cos 2 x
= 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е
р 3. Решить уравнение: cos 2x
– cos 8x + cos 6x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 ,
2).
sin 3x = 0 , 3).
sin x = 0 ,
3.
|
Приведение к однородному
уравнению.
Уравнение называется однородным
относительно
sin и cos, если
все его
члены одной и той же
степени
относительно
sin
и
cos
одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
а)
перенести все его члены в левую часть;
б)
вынести все общие множители за скобки;
в)
приравнять все множители и скобки нулю;
г)
скобки, приравненные нулю, дают однородное
уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей
степени;
д)
решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg .
П р и м е р
. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x
· cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x
· cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tg 2 x + 4 tg x
+ 3 = 0 , отсюда
y 2 +
4y +3 = 0 ,
корни
этого уравнения: y1 = -1, y2 = -3, отсюда
1) tg x =
–1,
2) tg
x = –3,
|
4.
Переход к половинному углу.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x
= 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x
/ 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ²
( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2
) =
= 7 sin ²
( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2
) ,
2 sin ² ( x / 2
) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) – 3
tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
. . . . .
. . . . .
5. Введение
вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c ,
где a, b,
c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса,
а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна
1. Тогда
можно обозначить
их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
5.
Преобразование произведения в сумму.
Здесь используются
соответствующие формулы.
П р и м е р . Решить уравнение:
2 sin 2x ·
sin 6x = cos 4x.
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
cos 8x = 0 ,
8x = p / 2 + pk ,
x
= p / 16 + pk / 8 .
7.
Универсальная подстановка.
4.Закрепление.
Работа в парах
Применение методов
решения тригонометрических уравнений
Методы решения
1.Разложение
на множители.
2.Введение
новой переменной:
а)
сведение к квадратному;
б)
универсальная подстановка;
в)
введение вспомогательного аргумента.
3.
Сведение к однородному уравнению.
4.
Использование свойств функций, входящих в уравнение:
а) обращение к условию равенства тригонометрических функций;
б) использование свойства ограниченности функции.
№
|
уравнения
|
Методы решения
|
1
|
Sin x/3 - cos 6x
= 2
|
4б
|
2
|
5 sinx – 2 cosx
= 1
|
3, 2(б, в)
|
3
|
sin3x cos2x = 1
|
4б
|
4
|
1 – sin2x = cos x – sin x
|
1,2(б, в), 3
|
5
|
cos3x = sin x
|
4а
|
6
|
4 – cos2 x = 4
sin x
|
2а
|
7
|
sin3x – sin5x =
0
|
4б
|
8
|
2 tg x/2 - cos x = 2
|
1,2(а,б,в),3,4(а)
|
5.Применение методов решения тригонометрических
уравнений при выполнении заданий ЕГЭ.
Групповая форма работы.
6.Обобщение изученного материала.
7.Рефлексия.
8. Домашнее задание.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.