Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Погружение "Методы решения тригонометрических уравнений"

Погружение "Методы решения тригонометрических уравнений"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Погружение на уроках математики в 10 классе по теме

«Методы решения тригонометрических уравнений» 6 часов в 10 .(профильном) классе.

Цели урока:

  1. Образовательные – обеспечить повторение и систематизацию материала темы. Научить при решении уравнений применять формулы понижения степени. Создать условия контроля усвоения знаний и умений.

  2. Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

  3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Методы обучения: частично – поисковый. Проверка уровня знаний,, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, восприятие нового материала, взаимопроверка.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, работа в парах, групповая.

Оборудование и источники информации: экран; мультимедийный проектор; ноутбук. У учащихся на партах листы учета знаний; системно – обобщающая схема; по два подписанных листочка и два бланка для записи ответов.


Ход работы

  1. Устная работа.

  2. Повторение. Экспресс-тест.

  3. Лекция.

  4. Закрепление. Работа в парах.

  5. Применение изученного материала при решении уравнений. Решение тригонометрических уравнений из заданий ЕГЭ. Групповая форма работы.

  6. Обобщение пройденного материала.

  7. Домашнее задание.

  8. Рефлексия.

  1. Устная работа

Слайды 2, 3.hello_html_m1a2bf1bb.gif


  1. Повторение.

  1. Область значения и область определения тригонометрических функций;

  2. Решение простейших тригонометрических функций;

  1. Частные случаи простейших тригонометрических уравнений.

Слайды 4-9

Тест на повторение.

  1. Лекция.

Применение презентации при объяснении нового материала.

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

 

1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры

   ( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах. 

    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 . 

    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

                                                                sin x + cos x – 1 = 0 ,

                                преобразуем и разложим на множители выражение в

                               левой части уравнения:

    П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2x + sin x · cos x = 1.

     Р е ш е н и е .     cos 2x + sin x · cos x – sin 2x – cos 2x = 0 ,

                                             sin x · cos x – sin 2x = 0 ,

                                              sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

     Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x , 

                               2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x

                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

                                    cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

3.

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

    а)  перенести все его члены в левую часть;

   б)  вынести все общие множители за скобки;

   в)  приравнять все множители и скобки нулю;

   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на 

        cos ( или sin ) в старшей степени; 

   д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg

      П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

     Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

                              sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

                              tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,

                              корни этого уравнения:  y1 = 1,  y2 = 3,  отсюда

                             1)   tg x = –1,                  2)   tg x = –3,                              

 4. Переход к половинному углу.

    П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x5 cos x = 7. 

    Р е ш е н и е6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

                                                                         = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

                             2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

                                            a sin x + b cos x = c ,

     где  a, b, cкоэффициенты;  xнеизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos fi.gifи sin fi.gif( здесь fi.gif- так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

  1. Преобразование произведения в сумму.

Здесь используются соответствующие формулы.   

    П р и м е р Решить уравнение:  2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.

     Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

                                         cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

                                                   cos 8x = 0 ,

                                                  8x = p / 2 + pk ,

                                                  x = p / 16 + pk / 8 .

 7. Универсальная подстановка.

4.Закрепление.

Работа в парах

Применение методов решения тригонометрических уравнений

Методы решения

1.Разложение на множители.

2.Введение новой переменной:

а) сведение к квадратному;

б) универсальная подстановка;

в) введение вспомогательного аргумента.

3. Сведение к однородному уравнению.

4. Использование свойств функций, входящих в уравнение:

а) обращение к условию равенства тригонометрических функций;

б) использование свойства ограниченности функции.

уравнения

Методы решения

1

Sin x/3 - cos 6x = 2

2

5 sinx – 2 cosx = 1

3, 2(б, в)

3

sin3x cos2x = 1

4

1 – sin2x = cos x – sin x

1,2(б, в), 3

5

cos3x = sin x

6

4 – cos2 x = 4 sin x

7

sin3x – sin5x = 0

8

2 tg x/2 - cos x = 2

1,2(а,б,в),3,4(а)




5.Применение методов решения тригонометрических уравнений при выполнении заданий ЕГЭ.

Групповая форма работы.

6.Обобщение изученного материала.

7.Рефлексия.

8. Домашнее задание.







                                                                                

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

План работы на уроках математики методом погружения, расчитанный на 6 часов, по теме "Методы решения тригонометрических уравнений ". Метод погружения позволяет более глубоко изучить и закрепить материал. На данных уроках используются различные методы работы: в парах, индивидуальная, групповая. Одновременно проверяется и знание учащихся по изученной теме.

Автор
Дата добавления 12.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров334
Номер материала 275011
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх