Поисковые задачи на уроках геометрии (сборник задач)

Поисковые задания по геометрии

Содержание

Введение. 3

Тема: Смежные углы.. 4

Тема: Признаки параллельности прямых. 6

Тема: Сумма углов треугольника. Равнобедренный треугольник. 7

Тема: Признаки параллельности прямых. Теорема о сумме углов треугольника. Свойства катета, лежащего против угла в 30°. Расстояние от точки до прямой. 8

Тема: Геометрические построения. 9

Тема: Площади фигур. 11

Тема: Подобие фигур. 14

Список используемой литературы: 16

Введение

Учебные пособия по математике подчинены главным образом задаче формирования знаний, умений и навыков и совершенно не ориентированы на развитие творческих начал учащихся. Большую помощь при этом оказывает введение в обучение поисковых заданий. В работе учащихся происходит снижение роли подражания, действия по образцу, развивается способность к преобразованию математических объектов, критическому осмыслению способов решения задач.

При составлении таких заданий необходимо руководствоваться следующими требованиями.

Поисковые задания должны быть ориентированы на всех учащихся. Это возможно, если они доступны для «массового» ученика и в то же время способны быть эффективным средством развития творческих начал. В большей мере данному требованию отвечают задания средней трудности, посильным учащимся, но вместе с тем предполагающие при их выполнении проявления наблюдательности, обращения к анализу, синтезу, индукции и т. д.

Поисковые задания должны быть тесно связаны с основным материалом: составляя поисковые задания, целесообразно подбирать блоки родственных заданий, объединенных одной математической идеей или проблемой. Каждая задача из такой серии «высчитывает» отдельную грань исследуемой проблемы. Сама же серия позволяет ее всесторонне изучить. Необходимо сообщить учащимся проблему, в связи с которой приводится группа заданий. Ее нужно сформулировать по возможности в краткой, выразительной форме, способной заинтересовать учащихся, нацелить их на работу.

Тема: Смежные углы

Проблема 1: Как уравнения помогают решать геометрические задачи?

1.1.          По рис.1 составьте задачу, в которой бы требовалось найти величины смежных углов. Решите ее.

            

1.2.          Составьте задачу на нахождение величин смежных углов, которая бы сводилась к решению уравнения х+(х-20)=180. Решите ее.

Составьте задачу на нахождение величин смежных углов, которая бы сводилась к решению уравнения х+5х=180. Решите ее.

Проблема 2: Как вычисления подсказывают геометрическую закономерность?

2.1.          Смежные углы равны α и 180°-α (рис.2). Над этими величинами выполним следующие действия:

       

Получили угол, равный 90°. Что это за угол? Изобразите его на рис. 2. Какую геометрическую закономерность вы заметили? Сформулируйте ее.

2.2.          Пусть α и β – смежные углы (рис.3). Пусть угол α изменяется в границах от 0° до 60°. В каких границах изменяется при этом угол β?

          

Проблема 3: Сколько данных должно быть в задаче?

3.1. Один из смежных углов больше другого на 60° или в 2 раза. Найдите эти углы. Нет ли в задаче лишних данных? Составьте задачу без лишних данных (возможны различные варианты). Решите ее.

3.2. Один из смежных углов больше другого на 60° или в 3 раза. Найдите эти углы. Нет ли в задаче лишних данных? Не противоречат ли они друг другу? Составьте задачу, не имеющую указанных недостатков (возможны различные варианты). Решите ее.

3.3. Один из смежных углов больше другого на некоторую величину. Найдите эти углы. Хватает ли данных для решения задачи? Дополните условие задачи какими-либо данными и решите ее.

Проблема 4: Всегда ли выручает аналогия?

4.1. Один из смежных углов увеличился на 35° (уменьшился на 10°). Как изменился второй угол?

4.2. Один из смежных углов увеличился в 3 раза (уменьшился в 2 раза). Как изменился второй угол?

Развивающий эффект дает не столько та или иная отдельная задача, сколько вся серия целиком. Поэтому нельзя такие задачи решать «вразброс», перескакивая через те или иные задания. После выполнения заданий подводится краткий итог, дается ответ на вопрос, поставленный в проблеме. Важно точно представлять, какие качества ума развивает та или иная задача. С учетом этого должно строится основное направление поиска ее решения.

Тема: Признаки параллельности прямых

Проблема: Все ли возможные случаи рассмотрены?

1.     (Задача). Угол АВС равен 80°, а угол ВСD - 120°. Могут ли прямые АВ и CD быть параллельными? Объясните ответ.

2.     Всегда ли прямые АВ и CD (о которых идет речь в задании 1) непараллельны?  Какие случаи необходимо рассмотреть?

3.     Угол АВС равен 80°, а угол ВCD - 100°. Могут ли прямые АВ и CD быть параллельными?

4.     Всегда ли прямые АВ и CD (о которых идет речь в задании 3) параллельны?

5.     Накрест лежащие углы при двух прямых a и b и секущей с равны α и 180°- α. Могут ли прямые a и b быть параллельными?

6.     Всегда ли прямые a и b (о которых идет речь в задании 5) параллельны?

7.     Односторонние углы при двух прямых a и b и секущей с равны α и 180°- α. Могут ли прямые a и b быть параллельными?

8.     Всегда ли прямые a и b (о которых идет речь в задании 7) параллельны?

9.     Прямые АВ и CD параллельны. Угол АВС равен 80°. Чему равен угол ВCD?

10. Прямые АВ и CD параллельны. Угол АВС равен α. Чему равен угол ВCD?

Эти задания специально предлагаются без рисунков. «Соль» их состоит как раз в том, какие рисунки будут выполняться учащимися.

Тема: Сумма углов треугольника. Равнобедренный треугольник.

Проблема: Сколько решений имеет задача?

1.     (Задача). Один из углов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите остальные углы. Сколько решений имеет задача?

2.     Один из углов равнобедренного треугольника равен α. Найдите остальные углы.

3.     Один из углов треугольника равен 50°. При каком условии этот треугольник окажется равнобедренным?

4.     Один из углов треугольника равен α. При каком условии этот треугольник окажется равнобедренным?

5.     Один из внешних углов треугольника равен 130°. При каком условии этот треугольник окажется равнобедренным?

6.     Один из внешних углов треугольника равен α. При каком условии этот треугольник окажется равнобедренным?

7.     Угол между биссектрисами двух углов равнобедренного треугольника равен 130°. Определите углы этого треугольника. Рассмотрите различные варианты выбора биссектрис.

8.     Составить и решить задачу, аналогичную предыдущей, положив угол между биссектрисами 120°.

Тема: Признаки параллельности прямых. Теорема о сумме углов треугольника. Свойства катета, лежащего против угла в 30°. Расстояние от точки до прямой.

Проблема 1: Изменение одних элементов треугольника вызывает изменение других элементов. Какие закономерности при этом можно заметить?

1.1.          Будем изменять угол С треугольника АВС (рис.4), оставляя при этом неизменными угол А и сторону АС: <А=30°, АС=b. Изменение угла С вызывает изменение треугольника АВС: его сторон АВ, ВС и угла В. В каких границах может изменяться величина угла С? Может ли угол С быть равным 150°, 160°, 120°?

1.2.          Справедливо ли для данного треугольника АВС (см. предыдущее задание) равенство: <В=150°- <С?

Пользуясь предыдущим равенством, выясните:

а). если величина угла С стремится к нулю, то к какому значению стремится величина угла В;

      б). если величина угла С стремится к 150°, то к какому значению

       стремится величина В.

1.3.          В каких границах изменяется величина угла В?

1.4.          Как изменяется длина стороны АВ?

1.5.          Более сложной является закономерность в изменении сторон ВС. В чем состоит эта закономерность?

1.6.          Вычислите наименьшее значение сторон ВС.

1.7.          Выполните предыдущие задания, положив угол А равным 45°.

1.8.          Составьте и решите аналогичную задачу.

Проблема 2: Всегда ли по стороне и двум прилежащим к ней углам можно построить треугольник? Пусть АС=b, <А=α,  <С=β. При каком условии по этим данным можно построить треугольник АВС?

Главная особенность заданий 1.1. – 1.8. состоит в том, что треугольник АВС в них рассматривается в динамике, в ходе их выполнения происходит целостное, своего рода «системное» исследование треугольника.

Тема: Геометрические построения

Проблема 1: Всегда ли можно построить треугольник по трем отрезкам, взятым в качестве его сторон?

1.1.          На рис.5 изображены три отрезка a, b и c и показано, как можно построить треугольник АВС, у которого ВС= a,  АС= b,  АВ= c. Какие соотношения между a, b и c обеспечили возможность построения треугольника АВС с такими сторонами?

1.2.          На рис. 6 выбраны другие отрезки a, b и c и показано, что нельзя построить треугольник с такими сторонами. Как связаны между собой a, b и c в данном случае?

          

1.3.          На рис. 7 отрезки a, b и c выбраны так, что a+b ≥ c. Достаточно ли этого условия для построения треугольника с такими сторонами?

1.4.          Подберите отрезки a, b и c, удовлетворяющие условию:

          | a - c | < b < a + c                                                    (1). 

1.5.          Можно ли подобрать отрезки a, b и c, удовлетворяющие условию (1), по которым нельзя построить треугольник?

1.6.          Подберите отрезки a, b и c, удовлетворяющие системе неравенств

a +b > c

b + c > a                                                                     (2).

a + c > b

1.7.          Можно ли подобрать отрезки a, b и c, удовлетворяющие системе (2), по которым нельзя построить треугольник?

1.8.          Сформулируйте вывод о том, когда можно построить треугольник по трем отрезкам, взятым в качестве его сторон.

Проблема 2: Взаимозаменяемы ли условия (1) и (2)?

Выясним вопрос о связи условий (1) и (2). Можно ли на основании условия (1) доказать условие (2) и наоборот?

Ценность приведенной серии заданий состоит в том, что при их выполнении требуется тесное сочетание индуктивного исследования и логических доказательств.

                                       

Тема: Площади фигур

Проблема 1: Как найти площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны?

1.1.          Найти площадь четырехугольника АВСD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 см. Указание: рассмотрите данный четырехугольник состоящий из двух треугольников.

Проблема 2: Нельзя ли задачу 1.1. решить иначе?

2.1.          Решите задачу 1.1. рассмотрев данный четырехугольник состоящим из четырех прямоугольных треугольников.

2.2.          Решите задачу 1.1. иначе. Нельзя ли данный четырехугольник заменить равновеликим прямоугольником? Рассмотрите различные варианты такой замены.

2.3.          Найдите еще один способ решения задачи 1.1. Нельзя ли воспользоваться прямоугольником, стороны которого равны диагоналям данного четырехугольника?

2.4.          Решите задачу 1.1. иначе. Нельзя ли данный четырехугольник заменить равновеликим треугольником? Рассмотрите различные варианты такой замены.

2.5.          Решите задачу 1.1. иначе. Нельзя ли данный четырехугольник заменить равновеликим параллелограммом? Рассмотрите различные варианты такой замены.

Проблема 3: Нельзя ли обобщить задачу 1.1?

3.1.          Составьте задачу, аналогичную задаче 1.1. в которой бы длины диагоналей задавались в общем виде. Решите эту задачу. Какие способы решения возможны? Какую геометрическую закономерность вы заметили?

3.2.          Составьте задачу, аналогичную задаче 1.1. в которой бы диагонали четырехугольника пересекались под произвольным углом α. Решите эту задачу. Какие способы решения возможны?

Проблема 4: Нельзя ли конкретизировать задачу 3.1?

4.1.          Составьте задачи, аналогичные задаче 3.1. в которой данный четырехугольник был бы: а). ромбом, б). квадратом, в). трапецией. Решите эти задачи.

4.2.          По рис. 8 составьте задачу, аналогичную предыдущим. Решите ее.

Проблема 5: Нельзя ли применить результаты задачи 3.1 в других ситуациях?

5.1.          Фиксировалась ли в задачах 1.1. и 3.1. точка пересечения диагоналей четырехугольника? Зависело ли решение этих задач от выбора этой точки?

5.2.          BD _┴ AC (рис.9). Четырехугольник DBB₁ D₁ – параллелограмм. Найдите на этом рисунке равновеликие четырехугольники.

5.3.          Четырехугольник АВСD диагональю АС разбит на два треугольника (рис.10). ВВ₁ и  DD₁  - высоты этих треугольников, проведенные к стороне АС. Известно, что АС = a, ВВ₁ + DD₁=b. Найдите площадь данного четырехугольника. Рассмотрите различные способы.

5.4.          Для определения площади четырехугольника АВСD (рис.11) проделали следующие построения: а). через вершину А провели прямую m, перпендикулярную диагонали АС; б).  через вершину D провели прямую n, перпендикулярную m; в). провели ВВ_{1 ┴} m и СС_1┴ n. Докажите, что площадь четырехугольника равна  

                                                                                                        

5.5.          (задача Герона).  Участок заболоченной местности имеет форму четырехугольника. Как измерить его площадь, не вступая на него?

5.6.          Составьте задачу, обратную задаче 1.1. и решите ее.

Развивающие функции этой серии заданий связаны с поиском различных способов решения одной и той же задачи, с возможностью обобщения и конкретизации, применением полученных результатов исследования в измененных условиях.

Тема: Подобие фигур.

Проблема 1:  

Как можно сформулировать утверждение иначе? Известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных размеров. Можно ли это предложение переформулировать следующим образом:

а) отношение площадей подобных фигур равно отношению квадратов соответствующих линейных размеров;

б) площади подобных фигур пропорциональны квадратам соответствующих линейных размеров;

в) отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения соответствующих линейных размеров;

г) отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия;

д) отношение площадей подобных фигур равно квадрату числа, обратного коэффициенту подобия;

е) если k - коэффициент преобразования подобия, переводящего фигуру F₁, фигуру F₁, то можно записать следующие равенства:

 ;

Задание помогает представить данное предложение в форме более удобной для его применения. Умение по-разному "взглянуть" на одно и то же утверждение снижает вероятность совершить ошибку при решении задач на его использование.

Проблема 2: Допущена ли ошибка?

Ниже приводится задача и ее решение. Правильно ли решена задача?

Задача. Линейные размеры подобных фигур относятся как 2:1. Площадь большей фигуры 36 м².  Найдите площадь меньшей фигуры.

Решение. Имеем: 2:1=2. Значит, коэффициент подобия равен 2. Так как k=2, то k²=4. Чтобы получить площадь меньшей фигуры, 36 м²  разделим на 4. Итак, площадь меньшей фигуры равна: 36:4=9(м²).

Список используемой литературы:

1.    Далингер В.А.  Самостоятельная деятельность и ее активизация при обучении математике: Учебное пособие Омский институт повышения квалификации работников образования. - Омск, 1993.

2.    Зильберберг Н.И., Урок математики: Подготовка и проведение: Кн. для учителя. - М.: Просвещение: АО "Учеб. лит.", 1995.

3.    Зыкова В.И., Формирование практических умений на уроках геометрии - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963.

4.    Прохучаев В.Г. Виды практичеких работ на уроках математики. -М.: Учпедгиз, 1955.

5.    Рогановский Н.М. Поисковые задачи по геометрии // Математика в школе. - 1990 - №5.

6.    Саврасова С.М., Ястрибинецкий, Г.А. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах: Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1987.

7.    Совертков П.И. Некоторые направления развития поисковой деятельности тучащихся по математике и информатике: Учебное пособие. - Сургут: РИО СурГПУ, 2007.