Показательная функция, её свойства и график.

Тема: Показательная функция, её свойства и график.

Цели:

Образовательная: Сформировать у учащихся представление о показательной функции, её свойствах и графике, научить учащихся строить график данной функции;

Развивающая: развивать умение применять полученные знания при решении упражнений;

Воспитательная: прививать устойчивый интерес к математике.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Преподаватель: Шлыкова Елена Сергеевна

Ход урока

            I.                        Этап актуализации знаний

 Мотивация учебной проблемы

Преподаватель:  Определим понятие степени а^в, при любом значении в

Будем считать, что основание а >0. Вспомним, что такое степень с натуральным показателем, т. е. рассмотрим случай, когда в натуральное число. Что значит 2¹⁰ ? 2¹⁰ означает произведение 10 множителей, каждый из которых равен 2.

Т.е. в общем виде аⁿ = . Если в- отрицательное число, то его можно записать в виде в = - n , т. е. а^-n =

Если в = 0, то а^в = а⁰ = 1.

Мы определили степень с произвольным целым показателем.

Рассмотрим, когда в – рациональное число, т. е. в = , где  m – целое число, n – натуральное число.

  ;   3 ;  .

Степень с произвольным вещественным   в  определяется следующим образом. Для чтения  в  выражается последовательностью рациональных чисел в₁,в_2, ..в_n...задающая приближение числа в с любой степенью точности. Строится последовательность степеней с рациональным показателем:

Оказывается, эта последовательность задаёт приближение некоторого числа  с  с  любой степенью точности. Это число с называют степенью а^в

           Свойства степени.

а ^х . а ^х = а ^{х+ х}

.

II. Основное содержание урока.
Формирование у учащихся представления о показательной функции.

Функция – основное математический инструмент для изучения связей, зависимостей между различными величинами. Чем большим запасом функций мы располагаем, тем шире и богаче наши возможности математического описания окружающего мира.

- так путь при равноускоренном движении квадратично зависит от времени.

                       S = .

- энергия падающего тела квадратично зависит от его скорости

            W= .

Степенные зависимости более высокого порядка также встречаются на практике

- по закону Стефана – Больцманана, излучательная способность черного тела пропорциональна 4-ой степени его температуры.

Масса шара является кубической функцией его радиуса.

Мы определили значение выражения a^x для всех a > 0 и всех x. Если a = 1, то a^x = 1 при всех x. Следовательно, при a > 0, a ≠ 1, определена функция y = a^x, отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a.

 К основным свойствам показательной функции y = a^x при a > 1 относятся

1.:Область определения функции − вся    числовая прямая.

          2. Область значений функции − промежуток  ( 0 ;+ )

3Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если х₁ <x₂,  то а^х< а^х

График показательной функции с основанием a > 1 изображён на рисунке 1.

1

Рисунок 1. Функция y = ax при a > 1

К основным свойствам показательной функции y = a^x при 0 < a < 1 относятся:

1.Область определения функции − вся числовая прямая.

2.Область значений функции − промежуток

3.Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть, если х₁ < х₂ то

График показательной функции с основанием 0 < a < 1 изображён на рисунке 2.

2

        Рисунок.2.

                                             Функция y = a^x при 0 < a < 1

К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a > 1 относятся:

1.а^х . а^х= а^х       для всех  х₁ и х₂

2.(    для всех и

3.для любого x.

4.для любого x и любого

5.(ab)^x = a^xb^x для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.

6.для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.

7.

Все эти свойства следуют из свойств операции возведения в степень. Третье и четвёртое свойства являются непосредственным следствием второго. Седьмое свойство следует из строгой монотонности показательной функции и даёт способ решения простейших показательных уравнений.

III. Формирование умений и навыков.

Отработка изученного материала.

Работа с учебником .

Устно № 445, № 446

Письменно. № 447, № 448 (а,в), № 450 (а,в),  № 453 (а,в)

IV . Подведение итогов урока.

V. Домашнее задание.

 §10 п.35, № 448 (б,г), № 450 (б,г),