Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Показательные уравнения. Методы решения.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Показательные уравнения. Методы решения.

библиотека
материалов

Показательные уравнения. Методы решения.

Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений, решаемых методами элементарной математики. Показательные уравнения рассматриваются в множестве действительных чисел. Уравнение вида hello_html_695bfd0f.gifх = b называется простейшим показательным.

Решение простейших показательных уравнений.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. Используя это свойство, уравнение hello_html_695bfd0f.gifх = b, где hello_html_695bfd0f.gif ˃ 0 , hello_html_695bfd0f.gif hello_html_m2bc03806.gif 1 и b hello_html_m7c48e444.gif 0, следует решать следующим образом:

hello_html_695bfd0f.gifх = b hello_html_499c180c.gif hello_html_695bfd0f.gifх = hello_html_m13e7ac26.gif hello_html_m487aa38f.gif x = hello_html_c503d3b.gif .

Пример 1. Решить уравнение hello_html_79cb80f3.gif = hello_html_m7880ade6.gif.

Решение. Поскольку hello_html_m7880ade6.gif = hello_html_62a10b88.gif; 0,5х2 – х = – hello_html_m1b987981.gif; 4х2 – 8х +3 = 0.

D = 16 – 12 = 4; х1,2 = hello_html_5105787d.gif ; х1 = 0,5, х2 = 1,5. Ответ: 0,5; 1,5.

Пример 2. Решить уравнение hello_html_m48c8812d.gif = hello_html_73838a3b.gif.

Решение. Поскольку hello_html_mdea856c.gif = hello_html_1ca9b49c.gif, hello_html_73838a3b.gif= hello_html_m37fae973.gif2х-5 = hello_html_2acf09ee.gif,

hello_html_7034aac2.gifhello_html_2acf09ee.gifhello_html_m487aa38f.gif2х = 6х – 15 hello_html_m487aa38f.gif х = hello_html_m48ab5e7.gif. Ответ: hello_html_1bfa9afa.gif

Пример 4. Найти корни уравнения hello_html_3789d6e8.gif = hello_html_m30fccc69.gif.

Решение. Используя определение логарифма, запишем hello_html_3789d6e8.gif = hello_html_m4b6c6340.gif = hello_html_m2eb1ec05.gif

Тогда данное уравнение примет вид hello_html_m2eb1ec05.gif = hello_html_m30fccc69.gif. Следовательно, можно записать

hello_html_m2ad39b42.gif= х hello_html_m487aa38f.gif х2 = hello_html_500d9581.gif, а так как hello_html_500d9581.gif > 0 , то х = hello_html_m33843584.gif. Ответ. hello_html_34478f55.gif

Приложение 1.

Решение показательных уравнений введением новой переменной.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_ca39cf1.gif hello_html_5a117177.gif + 12 = 12.

Решение. Поскольку hello_html_ca39cf1.gif = hello_html_m579b1bec.gif, hello_html_5a117177.gif = 8·hello_html_94e5f3a.gif, введем новую переменную р = hello_html_94e5f3a.gif.

Получим уравнение hello_html_8f05c9a.gif – 8р + 12 = 0, из которого находим р1 = 2, р2 = 6. Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности простейших показательных уравнений hello_html_94e5f3a.gif = 2, hello_html_94e5f3a.gif = 6. Корнем первого уравнения является х = hello_html_7f8f9891.gif, а второго – х = hello_html_7f298d5.gif.

Ответ: hello_html_7f8f9891.gif; hello_html_7f298d5.gif.

Пример 2. Решить уравнение (hello_html_m753d2268.gif + hello_html_346f7a9a.gif = 14.

Решение. Используя равенство hello_html_346f7a9a.gif = hello_html_m736d2eb9.gif , введем новую переменную

р = hello_html_37c6abca.gif. В этом случае получим уравнение р + hello_html_75305333.gif = 14, решая которое, находим его корни, hello_html_8f05c9a.gif -14р + 1 = 0, р = 7 hello_html_m13c2736b.gif hello_html_61b47e9.gif = 7 hello_html_m13c2736b.gif hello_html_7a231efa.gif .

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

(hello_html_m753d2268.gif = 7 hello_html_42c1fd17.gif hello_html_7a231efa.gif; (hello_html_m753d2268.gif = 7 hello_html_m5c062083.gif hello_html_7a231efa.gif.

Корень первого уравнения х = 2, второго – х = -2. Ответ: -2; 2.

Пример 3. Решить уравнение hello_html_62f706d3.gif – 13·hello_html_37b3f88b.gif hello_html_51fca826.gif = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде hello_html_26d83704.gif 13·hello_html_13ded3d0.gif hello_html_m11d4c7ba.gif hello_html_m48b607d8.gif = 0.

Оно является однородным третьей степени относительно степеней hello_html_3155a9f3.gif.

Разделим все члены уравнения на hello_html_337ba834.gif hello_html_m2bc03806.gif 0 и получим hello_html_782f44cd.gif 13·hello_html_mea0dbd0.gif hello_html_m132d0277.gif+ 13= 0.

Введем новую переменную р = hello_html_m132d0277.gif, уравнение примет вид кубического уравнения

hello_html_10ddbcdb.gif13hello_html_8f05c9a.gif – р +13 = 0. Разложим методом группировки левую часть уравнения на множители и найдем его корни:hello_html_10ddbcdb.gif – р – 13hello_html_m6e04470.gif – 1) = 0, р(р2 -1) – 13(р2 – 1) = 0,

2 -1)(р – 13) = 0, р1 = -1, р2 = 1, р3 = 13. Исходное уравнение равносильно совокупности трех простейших показательных уравнений hello_html_m7a162004.gif = 1, hello_html_m7a162004.gif = 1, hello_html_m7a162004.gif = 13. Первое уравнение корней не имеет, корень второго – х = 0, третьего уравнения х = hello_html_6b11b1af.gif

Ответ: 0, hello_html_6b11b1af.gif

Аналогично уравнениям, которые были рассмотрены в примерах 1, 2, 3, введением новой переменной р = hello_html_695bfd0f.gifх решение уравнения вида f(hello_html_695bfd0f.gifх) = 0 сводится к нахождению всех положительных корней рk уравнения f(р) = 0 и решению простейших показательных уравнений hello_html_695bfd0f.gifх = рk.

Пример 4. Решить уравнение hello_html_m233f6109.gif – 5 · hello_html_m6c00476.gif + 1 = 0.

Решение. Так как hello_html_m233f6109.gif= hello_html_m6966a804.gif = 4·hello_html_60ede559.gif то уравнение можно записать так: 4·hello_html_m2d81b3b9.gif 5 ·hello_html_m6c00476.gif + 1 = 0. Введем новую переменную р = hello_html_m6c00476.gif. Получим квадратное уравнение 4р2 – 5р +1 = 0, которое имеет корни р1 = 1, р2 = hello_html_685d8d49.gif. Исходное уравнение равносильно совокупности двух показательных уравнений hello_html_m6c00476.gif = 1, hello_html_m6c00476.gif = hello_html_685d8d49.gif. Решая первое уравнение, получаем 2х – х2 = 0, х = 0, х = 2. Решая второе уравнение, находим ещё два корня: 2х – х2 = 2, х = hello_html_187a4de1.gif. Ответ: hello_html_2fb38b68.gif; 0; 2; hello_html_75152c5b.gif.

Пример 6. Решить уравнение hello_html_m111d37f6.gif + hello_html_6213a068.gif = 3.

Решение. Так как 2hello_html_m34da3e45.gif = 1 + hello_html_4c5e1757.gif, то данное уравнение перепишем в следующем виде hello_html_m57d9f5e7.gif + hello_html_m6315311d.gif = 3. Сделаем замену у = hello_html_m1bb0b8a4.gif, тогда получим квадратное уравнение у2 + 2у -3 = 0, из которого найдем корни у1 = 3, у2 = 1. Значение у1 = 3, очевидно, постороннее. Поэтому исходное уравнение равносильно уравнению hello_html_m1bb0b8a4.gif = 1, откуда hello_html_m5ecffb7d.gif = 0, х = hello_html_m2bf5a2e4.gif + hello_html_m107bdeea.gif , nhello_html_md6b17d9.gif. Ответ: hello_html_m2bf5a2e4.gif + hello_html_m107bdeea.gif , nhello_html_md6b17d9.gif.

Приложение 2.

Метод вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m30fccc69.gif + 4 · hello_html_405503be.gif + 2 · hello_html_m1d61957b.gif = 19 · hello_html_m5590de9.gif – 4 · hello_html_32bb068d.gif.

Решение. Преобразуем данное уравнение, перенеся члены с одинаковыми основаниями в одну и ту же уравнения и вынося за скобки степень с наименьшим показателем, к виду:

hello_html_m30fccc69.gif+ 4 · hello_html_405503be.gif + 4 · hello_html_32bb068d.gif= 19 · hello_html_m5590de9.gif – 2 · hello_html_m1d61957b.gif hello_html_m487aa38f.gif hello_html_32bb068d.gif(9 + 4 · 3 + 4) = hello_html_m7be72572.gif19 – 2 · 5) hello_html_m487aa38f.gif hello_html_m487aa38f.gif hello_html_m63ad618.gif 25 = hello_html_1b55acef.gif 9. Запишем последнее равенство в виде пропорции и получим:

hello_html_523963a6.gif= hello_html_m218da1a7.gif hello_html_m487aa38f.gif hello_html_m380b4ff6.gif= hello_html_5ee7ee0.gif. Это уравнение равносильно уравнению х – 2 = 2, откуда х = 4. Ответ: 4.

Пример 2. Решить уравнение hello_html_m48c8812d.gif hello_html_9571f28.gif = hello_html_63751c5.gif hello_html_m49459cd1.gif.

Решение. Сгруппируем члены, содержащие степени с одинаковыми основаниями с разных сторон равенства: hello_html_m48c8812d.gif + hello_html_6eec8aff.gif hello_html_m565e72ae.gif = hello_html_63751c5.gif + hello_html_9571f28.gif . Выносим общие множители за скобки:

hello_html_m48c8812d.gif(1 + hello_html_6eec8aff.gif) = hello_html_9571f28.gif(1 + 3). Разделим это уравнение на выражение, стоящее в правой части, получим hello_html_m39df95fb.gif = 1. Таким образом, находим hello_html_46c91c57.gif = 0; следовательно, hello_html_m36a2138f.gif – единственный корень исходного уравнения. Ответ: hello_html_m4aae006e.gif.

Метод использования монотонности показательной функции.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m1fc58d7e.gif + hello_html_m30fccc69.gif + hello_html_m48c8812d.gif = 9.

Решение. Можно заметить, что х = 1 – корень данного уравнения. Покажем, что других корней уравнение не имеет. Рассмотрим функцию f(x) = hello_html_m1fc58d7e.gif + hello_html_m30fccc69.gif + hello_html_m48c8812d.gif. Она монотонно возрастает на всем множестве действительных чисел и f(1) = 9. Свойством монотонной функции является то, что она принимает каждое свое значение только один раз. Поэтому, х = 1 – единственный корень данного уравнения. Ответ: 1.

Пример 2. Решить уравнение hello_html_m30fccc69.gif + hello_html_30b2a297.gif = 34.

Решение. Заметим, что корнем уравнения является число х = 2 (32 + 52 = 34). Докажем, что других корней уравнение не имеет. Каждая из функций hello_html_7730a388.gif и hello_html_m2e93609e.gif является возрастающей, следовательно, их сумма – тоже возрастающая функция. При х = 2 левая часть равна 34, при х < 2 она, следовательно, меньше 34, при х > 2 – больше 34. Итак, уравнение имеет единственный корень. Ответ: 2.

Пример 3. Решить уравнение hello_html_m71fe9486.gif + hello_html_m4d2614a7.gif = hello_html_52d2abc6.gif

Решение. Убеждаемся, что х = 1 – корень уравнения. Можно доказать, что других корней уравнение не имеет. Для этого оценим его левую и правую части уравнения. Если х > 1, то вследствие убывания функции у = hello_html_m71fe9486.gif имеем hello_html_m71fe9486.gif + hello_html_m4d2614a7.gif < hello_html_6a1c94eb.gif+ hello_html_m4d2614a7.gif = 2, а вследствие возрастания функции у = hello_html_m1fc58d7e.gif имеем hello_html_m361d53fc.gif Поэтому, при х > 1 левая часть уравнения строго меньше 2, а правая строго больше 2. Следовательно, при х > 1 уравнение корней не имеет. Аналогично, при х < 1 левая часть уравнения строго больше 2, а правая строго меньше 2. Поэтому при х < 1 уравнение также не имеет корней. Таким образом, х = 1 – единственный корень уравнения. Ответ: 1.

Метод логарифмирования для решения показательных уравнений.

В основе этого метода лежит следующее утверждение: если выражения f(x) и h(x) положительны на множестве D, то уравнение f(x) = h(x) равносильно уравнению hello_html_ma7ccb18.gif= hello_html_1aef6d62.gifна множестве D, где hello_html_695bfd0f.gif>0 и hello_html_2e0bf0c0.gif 1.

Пример1. Решите уравнение hello_html_7d342057.gif = hello_html_m1e939158.gif.

Решение. Область допустимых значений уравнения хhello_html_58433c9b.gif. Так как обе части уравнения положительные, то, прологарифмировав уравнение, например, по основанию 2, получим равносильное ему уравнение: 3х – 2 = (3 – х) · hello_html_m5f3665de.gif.

Решая это уравнение с помощью равносильных переходов, имеем:

3х – 2 = 3hello_html_m3053040.gif hello_html_m487aa38f.gif 3х + hello_html_511f4b32.gif3hello_html_m5f3665de.gif +2 hello_html_m487aa38f.gif х(3 + hello_html_m404766df.gif = 3hello_html_m5f3665de.gif + 2 hello_html_m487aa38f.gif х = hello_html_m7adf0ad9.gif. Ответ: hello_html_m7adf0ad9.gif.

Пример 2. Решить уравнение hello_html_30b2a297.gif · hello_html_3c7201c4.gif = 500.

Решение. Прологарифмируем это уравнение по основанию 5 или 2. (Можно логарифмировать по любому основанию, но не совсем удачный выбор основания может привести к громоздким преобразованиям). Тогда имеем следующее уравнение х + 3 · hello_html_1ec21604.gif hello_html_m4a83a2c.gif = 3 + 2hello_html_31f1c01.gif х2 + х(hello_html_m4a83a2c.gif – 3) – 3hello_html_m4a83a2c.gif = 0. Дискриминант



D = (hello_html_m4a83a2c.gif – 3)2 + 12hello_html_m4a83a2c.gif = (hello_html_m4a83a2c.gif + 3)2, следовательно, корни уравнения будут

х1,2 = hello_html_2c86a762.gif отсюда х1 = 3, х2 = – hello_html_5311db91.gif Ответ: – hello_html_3c9cf759.gif

Пример 3. Решить уравнение hello_html_1545659f.gif (hello_html_m108fcbcc.gifх-1 = hello_html_m5a27b5f3.gif.

Решение. Обе части данного уравнения положительны. Прологарифмируем обе части этого уравнения по основанию 5: (х – 1)hello_html_m525c9c43.gif + hello_html_6eec8aff.gif hello_html_m525c9c43.gif = hello_html_m5767cb9d.gif hello_html_6eec8aff.gif, т.е. уравнение

х(hello_html_m4edfab4e.gif – 1) – hello_html_m4edfab4e.gif+ 1 – hello_html_6eec8aff.gif + hello_html_6fda812d.gif = hello_html_m57c90caf.gif х – 1 – hello_html_6eec8aff.gif , равносильное исходному уравнению. Отсюда получаем хhello_html_m1a979148.gif = hello_html_m30c0074c.gif , т.е. х = hello_html_m297cd4bd.gif. Ответ: hello_html_m297cd4bd.gif.

Пример 4. Решить уравнение hello_html_m654b64fa.gif = 9.

Решение. Область допустимых значений уравнения: х > 0.

Поскольку обе части уравнений положительны, то прологарифмируем по основанию 3:

hello_html_mce4619.gif)hello_html_1d1f9226.gif = 2, (hello_html_1a7a04e7.gif + hello_html_276e5546.gif = hello_html_m18062e1f.gif, hello_html_1a7a04e7.gif = 1 и hello_html_m18062e1f.gif = 2, следовательно,

(1 + hello_html_441cf525.gif = 2, hello_html_m676723a2.gif + hello_html_1d1f9226.gif – 2 = 0. Сделаем замену hello_html_1d1f9226.gif = у, тогда у2 + у – 2 = 0, корнями которого являются числа у1 = – 2 и у2 = 1. Возвращаемся к нашей замене и получаем: hello_html_1d1f9226.gif = – 2 или hello_html_1d1f9226.gif = 1. Тогда х1 = hello_html_m218a2db.gif и х2 = 3. Ответ: hello_html_m218a2db.gif; 3.

Пример 5. Решить уравнение |hello_html_m25da6cce.gif = 1.

Решение. Понятно, что х hello_html_m2bc03806.gif 3,следовательно, |х – 3| hello_html_m7c48e444.gif 0. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, тогда (3х2 – 10х + 3)hello_html_4d61dca3.gif = 0, откуда

2 – 10х + 3 = 0 или hello_html_4d61dca3.gif = 0. Корнями квадратного уравнения 3х2 – 10х + 3 = 0 будут

х1 = hello_html_7f8f9891.gif и х2 = 3. Из уравнения hello_html_4d61dca3.gif = 0 находим |х – 3| =1 hello_html_m487aa38f.gif х – 3 = – 1 или х – 3 = 1.

Поэтому х3 = 2, х4 = 4; х2 = 3 не подходит по ОДЗ логарифма. Ответ: hello_html_7f8f9891.gif; 2; 4.

Нестандартные методы решений показательных уравнений.

Пример 1. Решите уравнение 3 hello_html_51fba56a.gif + (3х – 10)hello_html_m1fc58d7e.gif + 3 – х = 0.

Решение. Данное уравнение кроме показательных функций содержит линейные функции у = 3х – 10 и у = 3 – х. Можно заметить, что относительно р = hello_html_m1fc58d7e.gif оно является квадратным:

2 + (3х – 10)р + 3 – х = 0 и поэтому р = hello_html_m1fc58d7e.gif = hello_html_14b2dbf1.gif = hello_html_2fb122e.gif = hello_html_1869c270.gif = hello_html_m1396a26c.gif, откуда р = hello_html_7f8f9891.gif, р = 3 – х. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений: hello_html_m1fc58d7e.gif = hello_html_7f8f9891.gif , hello_html_m1fc58d7e.gif = 3 – х. Корень первого уравнения х = hello_html_29f8c882.gif. Второе уравнение имеет корень х = 1, а других корней не имеет, т. к. его левая часть – всюду возрастающая функция, а правая – всюду убывающая. Ответ: 1; hello_html_29f8c882.gif.

Пример 2. Решить уравнение hello_html_c384096.gif + х = 2.

Решение. Применив формулу основного логарифмического тождества, получим уравнение х2 – 2х – 1 + х = 2(*), корни которого х1 = hello_html_3b22f031.gif и х2 = hello_html_m4d915be9.gif. Теперь достаточно проверить, какое из полученных чисел удовлетворяет неравенству: х2 – 2х – 1 hello_html_m7c48e444.gif 0 (**). Это можно сделать проще (не подставляя в неравенство полученные числа). Перепишем уравнение (*) в виде х2 – 2х – 1 = 2 – х, тогда видим, что выражение х2 – 2х – 1 положительно тогда и только тогда, когда х hello_html_m7c48e444.gif 2. Таким образом, вместо Дубова Мария Игоревна 273 – 784 - 574

проверки неравенства (**) можно проверить условие х hello_html_m7c48e444.gif 2. Теперь видно, что только х = hello_html_m4d915be9.gif является корнем данного уравнения. Ответ: hello_html_m4d915be9.gif.

Пример 3. Решить уравнение hello_html_m17ac27ac.gif = hello_html_mb7f45b6.gif.

Решение. В данном уравнении удобно применить следующий прием: разделив числители и знаменатели в обеих частях уравнения на hello_html_30b2a297.gif hello_html_m7c48e444.gif 0, получим равносильное исходному уравнение: hello_html_33bf49dc.gif =hello_html_m36f820a7.gif.hello_html_11852162.gifДалее сделаем замену hello_html_m5bd6d334.gif = у, уhello_html_m7c48e444.gif0 и получаем hello_html_m74e169e4.gif =hello_html_m7eb1cb38.gif. (*)

Можно заметить, что у hello_html_m2bc03806.gif 1, у hello_html_m2bc03806.gif hello_html_6a1c94eb.gif. Таким образом, получаем равносильное (*) уравнение

(5 + 5у)(2 – 3у) = 4 – 4у; 10 – 5у – 15у2 – 4 + 4у = 0; 15у2 + у – 6 = 0; D = 1 + 360 = 361;

у1= hello_html_m558b0b78.gif у2= hello_html_3acd9728.gif; у1 = hello_html_3b88a430.gif , у2 hello_html_m7c48e444.gif0. Вернемся к нашей замене, получим уравнение hello_html_m5cfd9104.gif = hello_html_3b88a430.gif, откуда х = 1. Ответ: 1.

Пример 4. Решить уравнение hello_html_mce18815.gif + hello_html_5ecc45f9.gif= hello_html_mce18815.gif + 1.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде:

hello_html_m2b72b673.gif+ hello_html_m75cce57c.gif = hello_html_mce18815.gif + 1.

Сделаем замену hello_html_mce18815.gif = hello_html_695bfd0f.gif; hello_html_mce18815.gif= b, тогда hello_html_m6429f0dd.gif + hello_html_m5a8bd891.gif-1 hello_html_695bfd0f.gif2 – 1 = 0;

hello_html_695bfd0f.gif2b + b hello_html_695bfd0f.gif3 hello_html_695bfd0f.gif = 0; hello_html_695bfd0f.gif2(b hello_html_695bfd0f.gif) + (b hello_html_695bfd0f.gif) = 0; (b hello_html_695bfd0f.gif)(hello_html_695bfd0f.gif2 + 1) = 0, откуда b = hello_html_7d5ac172.gif поскольку уравнение hello_html_695bfd0f.gif2 + 1 = 0 корней не имеет. Таким образом, hello_html_mce18815.gif= hello_html_mce18815.gif и

х2 + 1 = 2х. Очевидно, что х = 1. Ответ: 1.

Пример 5. Решить уравнение 6 · hello_html_m371fd31b.gif + 8 · hello_html_m5446c8f3.gif= 48.

Решение. Разделим обе части уравнения на 24, получим уравнение

hello_html_m625b3c0f.gif+ hello_html_6f2be6fa.gif = 2. Применяя неравенство |hello_html_1b0dcf56.gif|hello_html_m54ea4251.gif|hello_html_40712104.gif + |b| (его легко доказать возведением обеих частей в квадрат), получим |х – 2| + |х – 4| hello_html_m6d1256d7.gif |х – 2 – (х – 4)| = 2 и |х – 1| + |х – 3| = |х – 1 – (х – 3)| = 2, поэтому hello_html_40fd8cc9.gif 1 и hello_html_2f9efd01.gif 1.

Знак равенства возможен, если имеет решение система уравнений:

hello_html_m211a4539.gifhello_html_m487aa38f.gifhello_html_38d04649.gifhello_html_m487aa38f.gifhello_html_m20b2a325.gif. Ответ: hello_html_m20b2a325.gif Пример 5. Решить уравнение х2 – 2х + 2 = 2 · hello_html_3faba01.gif hello_html_5e53eec4.gifРешение. Представим уравнение в виде (hello_html_3faba01.gif – 1)2 + (х – 1)2 = 0. Это уравнение равносильно системе: hello_html_m619f9c57.gif откуда х = 1. Ответ: 1.

Приложение 3.



10

Автор
Дата добавления 20.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2375
Номер материала ДВ-361015
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх