полезные подсказки по математике для учащихся 5-11 классов

ЗАКОНЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

переместительный: a+b=b+a

                                   a*b=b*a

сочетательный:    (a+b)+c= a+(b+c)   

                               (a*b)*c=a*(b*c)

распределительный: (a+b)*c= a*c+b*c

ПРИЗНАКИ   ДЕЛИМОСТИ

РАДИУС ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ОКОЛО МНОГОУГОЛЬНИКА

R = a/ 2 sin 180/n

РАДИУС ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

r = a/ 2 tg 180/n

Окружность

L = 2 πR    S = πR²

ПЛОЩАДЬ КОНУСА

S _БОК = πRL

S _КОН = πR(L+R)

ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР

1. Прямоугольный треугольник     S = 1/2 a·b (a, b – катеты)

2. Равнобедренный треугольник     S = (a/2)·√ b² – a²/4

3. Равносторонний треугольник      S = (a²/4)·√3  (a – сторона)

4. Произвольный треугольник    a,b,c – стороны, a – основание,              h – высота, A,B,C – углы, лежащие против сторон; p = (a+b+c)/2

S = 1/2 a·h = 1/2 a²b sin C =a²sinB sinC/2 sin A= √p(p-a)(p-b)(p-c)

5. Параллелограмм   a,b – стороны, α – один из углов; h – высота          S = a·h = a·b·sin α

6. Трапеция    a,b – основания; h – высота, c – средняя линия                S = (a+b/2)·h = c·h

7. Квадрат        а – сторона, d – диагональ S = a² = d²/2

8. Ромб       a – сторона, d₁, d₂ – диагонали, α – угол между ними         S = d₁d₂/2 = a²sinα 

9. Правильный шестиугольник     a – сторона S = (3√3/2)a²

10. Круг     S = (L/2) r = πr² = πd²/4

11. Сектор      S = (πr²/360) α

РАЗЛОЖЕНИЕ  НА  ПРОСТЫЕ  МНОЖИТЕЛИ

Разложить число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел. 75 = 5∙5∙3

Последовательность действий при разложении на простые множители: 
 1. Проверяем, не является ли предложенное число простым. 
 2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель, 
 из простых чисел начиная с наименьшего   (2, 3, 5 …). 

3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется 
              простым числом.

1)                   28 = 2∙2∙7;        2)   363 = 3∙11∙11;     

        3)  264 = 2∙2∙2∙3∙11

  Ход работы в примере 3):                                      264        2

264 : 2 = 132                                                                  132      2

13 2 : 2 = 66                                                                    66       2

66 : 2 = 33                                                                       33       3

33 : 3 = 11                                                                       11      11

11 : 1 1= 1    делители – только простые числа   

НОК    и   НОД

(наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель)

НОД (63и98) = 7                                НОД(120и45) = 5∙3=15

63    3           98    2                                                  120    5       45    5

21    3           49    7                                                     24     2      9      3

7      7           7      7                                                     12     2       3    3

 63=3∙3∙7         98=2∙7∙7                                               6      2             120=5∙2∙2∙2∙3;     45= 5∙3∙3                                         3      3         

НОК(15и20) = (5∙3)∙2∙2=60             НОК(12и40) = (2∙3∙2)∙5∙2=120

15    5            20    2     нет  в разложе-      12     2    40  2  нет раз- 3      3            10    2     нии 15                       6       2    20   5    нии12                                                                                                                                                       5    5                5    5                                        3       3     4    2                                                                                                                                                2                                                                                      2    2 

СОКРАЩЕНИЕ    ДРОБЕЙ

          Чтобы сократить дробь, нужно и числитель и знаменатель разделить на одно и то же число.

    (сократили на 5)

     =       (сократили на 2)

     =     (сокр. на 10) = (сокр. на 2)

      ,   ,   ─ несократимые дроби

ОЪЕМЫ И ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ

1. Призма, прямая или наклонная, параллелепипед  V = S·h

2. Прямая призма S_БОК =p·h, p–периметр или длина окружности

3. Параллелепипед прямоугольный     V = a·b·c;    P = 2(a·b + b·c + c·a)          P – полная поверхность

4. Куб:  V = a³ ; P = 6 a²

5. Пирамида, правильная и неправ. S = 1/3 S·h; S – площадь основания

6. Пирамида правильная S =1/2 p·A A – апофема правильной пирамиды

7. Цилиндр круговой V = S·h = πr²h                                8. Цилиндр круговой: S_БОК = 2 πrh                                  9. Конус круговой: V=1/3 Sh = 1/3 πr²h                         10. Конус круговой: S_БОК = 1/2 pL= πrL                       11. Шар:      V=4/3 πR³ = 1/6 πD³           P = 4 πR² = πD²  12. Шаровой сегмент         V = πh² (R-1/3h) = πh/6(h² + 3r²)     S_БОК = 2 πRh =  π(r² + h²); P= π(2r² + h²)             13. Шаровой слой          V = 1/6 πh³ + 1/2 π(r² + h²)· h;     S_БОК = 2 π·R·h

14. Шаровой сектор:        V = 2/3  πR² h’ где h’ – высота сегмента, содержащего в секторе

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

∫ dx = x + C

∫ xⁿ dx = (x ^{n +1}/n+1) + C

∫ dx/x² = -1/x + C

∫ dx/√x = 2√x + C

∫ (kx+b) = 1/k F(kx + b)

∫ sin x dx = - cos x + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ dx/sin² x = -ctg + C

∫ dx/cos² x = tg + C

∫ x ^r dx = x ^r+1/r+1 + C

ЛОГАРИФМЫ

1. log_a a = 1

2. log_a 1 = 0

3. log_a (bⁿ) = n log_a b

4. log _Aⁿ b = 1/n log_a b

5. log_a b = log _c b/ log _c a

6. log_a b = 1/ log _b a

ПРИВЕДЕНИЕ   ДРОБЕЙ   К   ОБЩЕМУ   ЗНАМЕНАТЕЛЮ

         Любые две дроби можно привести к общему (одинаковому) знаменателю. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).           НОЗ = НОК знаменателей       

1)                 

  в) умножаем на дополнительные множители и числители и  знаменатели данных дробей.

2)                    и  ;       а) НОК(12 и 15)=60;    б)60:12=5, 60:15=4  (5 и 4 – дополн. множ.)

                      в) см.пример 1.

    Ответ:   и →  и

СРАВНЕНИЕ,  СЛОЖЕНИЕ  И  ВЫЧИТАНИЕ  ОБЫКНОВЕННЫХ  ДРОБЕЙ

Чтобы сравнить, сложить или вычесть обыкновенные дроби, надо:

·         привести дроби к общему знаменателю;

·        

1.     

2.     

  ЗАПИСЬ:     +   =   =    =           

ПЕРВООБРАЗНАЯ

Если F’(x) = f(x), то F(x) - первообразная

для f(x)

Функция f(x) = Первообразная F(x)

k = kx + C

xⁿ = xⁿ⁺¹/n+1  + C

1/x = ln |x| + C

e^x = e^x + C

a^x = a^x/ ln a + C

1/√x = 2√x + C

cos x = sin x + C

1/ sin² x = - ctg x + C

1/ cos² x = tg x + C

 sin x = - cos x + C

1/ x² = - 1/x

СЛОЖЕНИЕ   И  ВЫЧИТАНИЕ   СМЕШАННЫХ   ЧИСЕЛ

Для сложения и вычитания смешанных чисел нужно отдельно сложить целые и дробные части компонентов.

1.         +  =  =  =  ← в ответе дробь должна быть правильной     

   –1  =  = 4  = 4  ← в ответе дробь должна быть несократимой

БОЛЕЕ   СЛОЖНЫЕ   СЛУЧАИ   ВЫЧИТАНИЯ

2.         3  –  =  ← ? (9  11) : занимаем у  2 целых 1 и дробим её на  , которые добавляем к дробной части, имеем:   =  =  

1 =  =  = …… =  = …… =  = …… =  = ….   

     УМНОЖЕНИЕ    ОБЫКНОВЕННЫХ    ДРОБЕЙ

·         Для умножения обыкновенных дробей нужно перемножить их числители и их знаменатели.

·         Если возможно сокращение – его надо выполнить, это облегчит вычисления.

·         При умножении смешанных и целых чисел их заменяют неправильными дробями.

1.           ∙  =  =

2.          2  ∙  =  =  =  = 1

            3.      7 ∙  =  ∙  =  = 4

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

( f (x) + g (x) )’ = f ’(x) + g’(x)                             (xⁿ)’ = nx ^n-1

(k(f(x))’ = kf ’ (x)                                                 (tg x)’ = 1/ cos² x

(f(x) g(x))’ = f ’(x)·g(x) + f(x)·g’(x)                    (ctg x)’ = - 1/ sin² x

(f(x)/g(x))’=(f ’(x)·g(x) - f(x)·g’(x))/g² (x)

  (f (kx + m))’ = kf ’(kx + m)

ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

c’ = 0                    ()’ = 1/ 2

x’ = 1                     (sin x)’ = cos x

(kx + m)’ = k         (cos x)’ = - sin x

(1/x)’ = - (1/x²)      ( ln x)’ = 1/x

(e^x)’ = e^x; (xⁿ)’ = nx ^n-1;(log _a x)’=1/x ln a

УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

y = f ’(a) (x-a) + f(a)

ПЛОЩАДЬ  ФИГУРЫ, ОГРАНИЧЕННОЙ ПРЯМЫМИ x=a, x=b

S =  ∫( f(x) – g(x)) dx

ФОРМУЛА  Ньютона-Лебница

∫_a^b f(x) dx = F(b) – F (a)

ДЕЛЕНИЕ   ОБЫКНОВЕННЫХ   ДРОБЕЙ

Деление обыкновенных дробей можно заменить умножением на «перевёрнутую» дробь.

Шаги деления обыкновенных дробей:

1.        преобразовать пример:     :      (все  компоненты – дроби)

2.        заменить:     :   =   ∙  

3.         выполнить умножение

НАХОЖДЕНИЕ   ДРОБИ   ОТ   ЧИСЛА

Задача.   В книге 140 страниц. Андрей прочитал 0,3 этой книги. Сколько страниц прочитал Андрей?

Решение

0,3 от 140 стр. ;      140 ∙ 0,3 = 42 (стр.)

Ответ:   Андрей прочитал 42 страницы.

НАХОЖДЕНИЕ   ЧИСЛА   ПО  ЕГО   ДРОБИ

Задача.   Девочка прошла на лыжах 300 метров, что составляет   дистанции. Какова длина дистанции?

Решение

300 м  сост.   дистанции;       300 :  =  ∙  =  = 800 (м)

Ответ:   длина дистанции 800 метров.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

sin x = 0, x = πn                         sin x = b      x = (-1)ⁿ arcsin b + πn

sin x = 1, x = π/2 + 2 πn             cos x = b     x = ± arcos b + 2 πn

sin x = -1, x = - π/2 + 2 πn          tg x = b       x = arctg b + πn

cos x = 0, x = π/2 + 2 πn             ctg x = b     x = arcctg b + πn

cos x = 1, x = 2πn

cos x = -1, x =  π + 2 πn

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ

cos (x +y) = cosx ·cosy – sinx ·siny                                                          cos (x -y) = cosx ·cosy + sinx ·siny

sin (x +y) = sinx ·cosy + cosx ·siny                                                                         sin (x -y) = sinx ·cosy - cosx ·siny

tg (x ±y) = tg x ± tg y/ 1 ^-₊ tg x ·tg y                                                          ctg (x ±y) = tg x ^-₊ tg y/ 1± tg x ·tg y

sin x ± sin y = 2 cos (x±y/2)· cos (x^-₊y/2)                                                  cos x ± cosy = -2 sin (x±y/2)· sin (x^-₊y/2)

1 + cos 2x = 2 cos² x; cos²x = 1+cos2x/2                                                     1 – cos 2x = 2 sin² x; sin²x = 1- cos2x/2

ТЕОРЕМЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

sin s cos t = (sin (s+t) + sin (s+t))/2

sin s sin t = (cos (s-t) - cos (s+t))/2

cos s cos t = (cos (s+t) + cos (s-t))/2

ФОРМУЛЫ   cos и sin

sin (-x) = -sin x                                       sin (x + 2πk) = sin x

cos (-x) = cos x                                       cos (x + π/2) = -sin x

sin (x + π) = -sin x                                  sin (x + π/2) = cos x

cos (x + π) = -cos x                                 cos (x + 2πk) = cos x

ФОРМУЛЫ    tg и ctg

tg x = sin x/ cos x;                                      ctg x = cos x/sin x

tg(-x) = - tg x                                             ctg(-x) = - ctg x

tg (x + πk) = tg x                                       ctg (x + πk) = ctg x

tg (x ± π) = ± tg x                                      ctg (x ± π) = ± ctg x

tg (x + π/2) = - ctg x                                  ctg (x + π/2) = - tg x

ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО И ТРОЙНОГО АРГУМЕНТА

cos 2x = cos²x – sin² x = 2 cos² x -1 = 1 – 2 sin² x = 1 – tg² x/1 + tg² x

sin 2x = 2 sin x · cos x = 2 tg x/ 1 + tg² x

tg 2x = 2 tg x/ 1 – tg² x

ctg 2x = ctg ² x – 1/ 2 ctg x

sin 3x = 3 sin x – 4 sin³ x

cos 3x = 4 cos³ x – 3 cos x

tg 3x = 3 tg x – tg³ x / 1 – 3 tg² x

ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ

1)                              2 : 48;    36 : 1,8;    х : 15   -  отношения.

2)                              Пропорция – равенство двух отношений.

3)                              12 : 6 = 100 : 50    12 и 50 – крайние члены

                                 6 и 100 – средние члены

 =

4)                              Основное свойство пропорции:     если пропорция верна, то произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции:                     12 : 6 = 100 : 50;   → 12 ∙ 50 = 6 ∙ 100 = 600; 

5)                              Решение  уравнений

                  =                                                                                                                  10 : Х = 2,5 : 5       0,4 ∙х = 2∙ 5           2,5Х = 10 ∙ 5

      0,4х = 10;      х = 10 : 0,4 = 100:4=25 ;      Х = 25    

 2,5Х = 50;     Х = 50 : 2,5 = 500 : 25;       Х = 20 

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ.    ПЛОЩАДЬ  КРУГА.

C – длина окружности;         S – площадь круга;

∏(пи) ≈ 3,1415926536…    (3,14);                  R(r)-радиус;

C = 2R                                  S =

  Задача     Найти длину  окружности  и площадь круга с радиусом 5 см.                                                                                                      

Решение

1.   r = 2 ∙ 3,14 ∙5 = 6,28 ∙ 5 = 31,4(см)

2.    = 3,14 ∙  = 3,14 ∙ 25 = 78,5()

Окружность – линия,       Круг – часть плоскости

Синус  угла- отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла- отношение противолежащего катета к прилежащему. Котангенс - наоборот

ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

sin² x + cos² x =1

tg x · ctg x = 1

1 + tg² x = 1/ cos² x

1 + ctg² x = 1/ sin² x

tg² (x/2) = 1 – cos x/ 1 + cos x

cos² (x/2) = 1 + cos x/ 2

sin² (x/2) = 1 - cos x/ 2

Теорема синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R

Теорема косинусов: с²=a²+b²-2ab cos y

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

a _n+1 = a _n + d, где n – натуральное число

d – разность прогрессии;

a _n = a ₁ + (n – 1)·d – формула n-го члена

Сумма n членов

S _n = ((a ₁ + a _n )/2) · n

S _n = ((2a ₁ + (n-1)d)/2) · n

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

b _n+1 = b_n · q, где n ε N

q – знаменатель прогрессии

b _n = b₁ · q ^{n – 1} – n-ый член прогрессии

Сумма  n-ых членов

S _n = (b _n q - b ₁ )/q-1

S _n = b ₁ (q ⁿ - 1 )/q-1

КООРДИНАТЫ   НА   ПРЯМОЙ. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ЧИСЛА.   МОДУЛЬ ЧИСЛА.

1.

       В(-5);     А(2);   С(3,4) – координаты  точек

  2.   противоположные числа:  2 и-2;  5 и-5;    -135 и 135;   -2,3 и 2,3

  3.          - модуль числа   а     

   │а│   = а, если а ≥ 0      →     │9│  = 9;     │138│   = 138;       │0│  = 0     

   │а│   = -а, если  а ≤ 0   →    │-5│   = 5;       │-18│  =  18

 Модуль числа  не может быть отрицательным!

СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ

1.      Из двух чисел всегда больше то, которое расположено на числовой прямой правее:

   21 › -40;  18 › 11;  -2 › -2339.

2.       Любое положительное число всегда    больше

отрицательного:   0,12 › -743;   1 › -5

3.      Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное меньше нуля:    25 › 0;  0 ‹ 987;  0 › -45;             -2,47 ‹ 0

4.       Из двух отрицательных чисел больше то, у которого      модуль меньше:

-287 ‹ -5;    -18 › -35;     -100 ‹ -1

ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

ax² + bx + c = 0 (a≠0)

Если D=0, то x = -b/2a (D = b²-4ac)

Если D>0, то x_1,2 = -b± /2a

Теорема Виета

x₁ + x₂ = -b/a

x₁ · x₂ = c/a

СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ

a⁰ = 1 (a≠0)

a^m/n = (a≥0, n ε N, m ε N)

a^{- r} = 1/ a ^r (a>0, r ε Q)

a ^m · a ⁿ = a ^{m + n}

a ^m : a ⁿ = a ^{m – n}  (a≠0)

(a ^m) ⁿ = a ^mn

(ab) ⁿ = a ⁿ b ⁿ

(a/b) ⁿ = a ⁿ/ b ⁿ

СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО (КВАДРАТНОГО) КОРНЯ

(a≥0, b≥0) ;    (^m=  ; 

(a≥0) ;       ;      = ;

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

 (a±b)²=a²±2ab+b²

(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³

a²-b²=(a+b)(a-b)

a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²),

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)

 ФОРМУЛЫ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ :

xⁿ-aⁿ=(x-a)(x^n-1+ax^n-2+a²x^n-3+...+a^n-1)

ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)  

где x₁ и x₂ — корни уравнения

ax²+bx+c=0

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

       1.   Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно    сложить их модули и в ответе поставить знак «-»:

(-5) + (-11) = -16;       -100 + (2,9) = -102,9

2.    Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из  большего модуля вычесть меньший и в ответе поставить знак слагаемого с большим модулем:

        25 + (-8) = 17        |25|  › |-8|   →   в ответе  знак  «+»

      -25 + 8 = -17;          |-25|  ›  |8|   →   в ответе знак «-»

3.    Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:  а) -6 – 10 = -6 + (-10) = -16;     б) 2 – (-3) = 2 + 3 = 5;    в) -1 – (-5) = -1 + 5 = 4;   

УМНОЖЕНИЕ  И  ДЕЛЕНИЕ  ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ  И  ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ СЛАГАЕМЫХ

Подобные слагаемые – это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть:          25х и 0,4х;     8 m и 100m;     6 а и 7,11а

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть

·         6х – 2х + 4х = 8х       

6 – 2 + 4 = 8

·         18а + 10а – а = 27а

18 + 10 – 1 = 27

·         5а – у + 11у – 9а – 2а = -6а + 10у

  5 – 9 – 2 = -6;            -1 + 11 = 10

РАСКРЫТИЕ    СКОБОК

          Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать скобки, оставив все слагаемые в скобках со своими знаками (если перед первым слагаемым в скобке знака нет, то  подразумевается «+»).

·          (-21х + 47 – 5х) = -21х + 47 – 5х = -26х + 47;

·          11а + (5у + 5х – 5а) = 11а + 5у + 5х – 5а = 6а + 5х + 5у;

    Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно убрать скобки, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные.

·          - (-21х + 47 – 5х) = 21х – 47 + 5х = 26х – 47;

·         11а – (5у + 5х – 5а) = 11а – 5у – 5х + 5а = 16а -5у – 5х.

РЕШЕНИЕ    УРАВНЕНИЙ

Уравнения решаются по следующему алгоритму

Шортандинский район

Степная средняя школа

Для учащихся 5-11 классов

Из опыта работы учителя математики

Андреевой Оксаны Геннадьевны

Составитель: Андреева Оксана Геннадьевна    

 учитель математики

Степной средней школы

Рецензенты: Заведующая методическим отделом Шортандинского районного отдела образования          А.Хапур, заместитель директора по учебно-воспитательной работе К. Б. Аубакирова

      Рецензируемое пособие входит в состав учебно-методического комплекса по математике выполняя свойственные для такого типа изданий дидактические и методические функции. Данное пособие содержит справочный материал. Все основные формулы школьного курса математики: алгебры, геометрии и начал анализа. Пособие предназначено для учителей и школьников 5-11 классов.

Данный сборник рассмотрен на заседании школьной предметной кафедры учителей  математики (пр.№ 1  от 5.09. 2013)  и рассмотрен на заседании ШМО учителей  естественно-математического цикла (пр.№ 1от 28.08. 2013)

Содержание

Математика 5-6 классов                                              2-15

Алгебра                                                                       16-24

Геометрия                                                                   25-27

Справочные таблицы                                                 28-29

Использованная литература                                           30

Степени чисел 2, 3 и 5

Значения функции y=e^x

Десятичные логарифмы чисел от 1 до 10

Натуральные логарифмы чисел от 1 до 10

СПРАВОЧНЫЕ  ТАБЛИЦЫ

Простые числа от 2 до 997

Квадраты натуральных чисел от 11 до 99

Кубы натуральных чисел от 1 до 10

Только для созидания должны вы учиться!

Ницше Ф.

     Вопрос пробелов в знаниях в любой школе стоит очень остро.  Необходима постоянная поддержка учителя, дополнительное разъяснение нового материала и разбор старого. А в случае, когда учителя нет рядом, надо постараться разобраться самому.
Все это подтолкнуло меня к составлению справочных материалов по основным вопросам математики, сборник я назвала «Полезные подсказки». Материал в сборнике изложен коротко и доступно, без лишних подробностей, его можно использовать как при решении различных упражнений, содержащих изученные ранее вопросы, так и при самостоятельном разборе упущенного материала в качестве самообразования.
Думаю, что этот сборник будет полезен и интересен  ученикам  и их родителям.
Брошюру можно использовать как раздаточный материал на уроках.

«Чему бы ты ни учился, ты учишься для себя.»

Петроний

Использованная литература: