Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Полезные подсказки по математике для учащихся 5-11 классов
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Полезные подсказки по математике для учащихся 5-11 классов

библиотека
материалов

стр. стр.

hello_html_m8c2b7c7.gifhello_html_m8c2b7c7.gifhello_html_m8c2b7c7.gifhello_html_m5b4a932.gifhello_html_m73a0546f.gifhello_html_611d7ae8.gifhello_html_m6d0d95d7.gifhello_html_m6045026c.gifhello_html_62fa3ffa.gifhello_html_md4dc2f4.gifhello_html_md4dc2f4.gifhello_html_m79f4eb2f.gifhello_html_m79f4eb2f.gifhello_html_49d50cb.gifhello_html_m7b553b33.gifhello_html_m79f4eb2f.gifhello_html_m79f4eb2f.gifhello_html_m79f4eb2f.gifhello_html_m79f4eb2f.gifhello_html_m6d22953f.gifhello_html_m6d22953f.gifhello_html_m6d22953f.gifhello_html_md6ab48d.gifhello_html_m6d22953f.gifhello_html_m6d22953f.gifhello_html_35528227.gifhello_html_m6831318e.gifhello_html_m5312a072.gifhello_html_m307b0428.gifhello_html_m23ae210.gifhello_html_1cff8587.gifЗАКОНЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

переместительный: a+b=b+a

a*b=b*a


сочетательный: (a+b)+c= a+(b+c)

(a*b)*c=a*(b*c)


распределительный: (a+b)*c= a*c+b*c



ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Признак

делимости на

Число делится «на», если

Делятся

Не делятся

2

оно оканчивается чётной цифрой (0,2,4,6,8)

148; 10006; 74; 270

43; 1225; 1007

10

оно оканчивается нулём

20; 69800; 430

255; 6631; 14; 87

5

оно оканчивается 0 или 5

2205; 980; 70; 9875

2201; 987; 74; 552

3

сумма цифр числа делится на 3

411(4+1+1=6); 1002; 81; 111000

751; 33800; 80821

9

сумма цифр числа делится на 9

1260; 6039; 70704

111115; 120; 30305





РАДИУС ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ОКОЛО МНОГОУГОЛЬНИКА

R = a/ 2 sin 180/n

РАДИУС ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

r = a/ 2 tg 180/n

Окружность

L = 2 πR S = πR2

ПЛОЩАДЬ КОНУСА

S БОК = πRL

S КОН = πR(L+R)





















ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР



1. Прямоугольный треугольник S = 1/2 a·b (a, b – катеты)

2. Равнобедренный треугольник S = (a/2)·√ b2a2/4

3. Равносторонний треугольник S = (a2/4)·√3 (a – сторона)

4. Произвольный треугольник a,b,c – стороны, a – основание, h – высота, A,B,C – углы, лежащие против сторон; p = (a+b+c)/2

S = 1/2 a·h = 1/2 a2b sin C =a2sinB sinC/2 sin A= √p(p-a)(p-b)(p-c)

5. Параллелограмм a,b – стороны, α – один из углов; h – высота S = a·h = a·b·sin α

6. Трапеция a,b – основания; h – высота, c – средняя линия S = (a+b/2)·h = c·h

7. Квадрат а – сторона, d – диагональ S = a2 = d2/2

8. Ромб a – сторона, d1, d2 – диагонали, α – угол между ними S = d1d2/2 = a2sinα

9. Правильный шестиугольник a – сторона S = (3√3/2)a2

10. Круг S = (L/2) r = πr2 = πd2/4

11. Сектор S = (πr2/360) α







РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Разложить число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел. 75 = 5∙5∙3

Последовательность действий при разложении на простые множители: 
 1. Проверяем, не является ли предложенное число простым. 
 2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель, 
из простых чисел начиная с наименьшего   (2, 3, 5 …). 

3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется 
              простым числом.


  1. 28 = 2∙2∙7; 2) 363 = 3∙11∙11;

3) 264 = 2∙2∙2∙3∙11

Ход работы в примере 3): 264 2

264 : 2 = 132 132 2

13 2 : 2 = 66 66 2

66 : 2 = 33 33 3

33 : 3 = 11 11 11

11 : 1 1= 1 делители – только простые числа





НОК и НОД

(наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель)

НОД (63и98) = 7 НОД(120и45) = 53=15

63 3 98 2 120 5 45 5

21 3 49 7 24 2 9 3

7 7 7 7 12 2 3 3

63=3∙3∙7 98=2∙7∙7 6 2 120=5∙2∙2∙2∙3; 45= 5∙3∙3 3 3

НОК(15и20) = (53)∙22=60 НОК(12и40) = (232)∙52=120

15 5 20 2 нет в разложе- 12 2 40 2 нет раз- 3 3 10 2 нии 15 6 2 20 5 нии12 5 5 5 5 3 3 4 2 2 2 2

СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ

Чтобы сократить дробь, нужно и числитель и знаменатель разделить на одно и то же число.

hello_html_m1819c0c8.gif(сократили на 5)

hello_html_m33157c29.gif= hello_html_m1a3a494.gif (сократили на 2)

hello_html_1e740193.gif= hello_html_m616739bb.gif (сокр. на 10) = hello_html_m25505cf.gif(сокр. на 2)

hello_html_7fab0216.gif, hello_html_m1a3a494.gif , hello_html_m25505cf.gifнесократимые дроби

ОЪЕМЫ И ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ

1. Призма, прямая или наклонная, параллелепипед V = S·h

2. Прямая призма SБОК =p·h, p–периметр или длина окружности

3. Параллелепипед прямоугольный V = a·b·c; P = 2(a·b + b·c + c·a) P – полная поверхность

4. Куб: V = a3 ; P = 6 a2

5. Пирамида, правильная и неправ. S = 1/3 S·h; S – площадь основания

6. Пирамида правильная S =1/2 p·A A – апофема правильной пирамиды

7. Цилиндр круговой V = S·h = πr2h 8. Цилиндр круговой: SБОК = 2 πrh 9. Конус круговой: V=1/3 Sh = 1/3 πr2h 10. Конус круговой: SБОК = 1/2 pL= πrL 11. Шар: V=4/3 πR3 = 1/6 πD3 P = 4 πR2 = πD2 12. Шаровой сегмент V = πh2 (R-1/3h) = πh/6(h2 + 3r2) SБОК = 2 πRh = π(r2 + h2); P= π(2r2 + h2) 13. Шаровой слой V = 1/6 πh3 + 1/2 π(r2 + h2h; SБОК = 2 π·R·h

14. Шаровой сектор: V = 2/3 πR2 h’ где h’ – высота сегмента, содержащего в секторе

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

dx = x + C

xn dx = (x n +1/n+1) + C

dx/x2 = -1/x + C

dx/√x = 2√x + C

(kx+b) = 1/k F(kx + b)

sin x dx = - cos x + C

cos x dx = sin x + C

dx/sin2 x = -ctg + C

dx/cos2 x = tg + C

x r dx = x r+1/r+1 + C

ЛОГАРИФМЫ

1. loga a = 1

2. loga 1 = 0

3. loga (bn) = n loga b

4. log An b = 1/n loga b

5. loga b = log c b/ log c a

6. loga b = 1/ log b a



ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ

Любые две дроби можно привести к общему (одинаковому) знаменателю. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). НОЗ = НОК знаменателей

2

Привести к общему знаменателю дроби:

3

hello_html_5db99c31.gifи hello_html_6533ba.gif ; а) НОК(9и 6)=18; б) 18:9=2, 18:6=3 ( 2 и 3 – дополнительные множители)

в) умножаем на дополнительные множители и числители и знаменатели данных дробей.

4

5

Ответ: hello_html_5db99c31.gif и hello_html_6533ba.gif hello_html_17c28baf.gif и hello_html_m5f543056.gif



  1. hello_html_17e293e3.gifи hello_html_c982246.gif ; а) НОК(12 и 15)=60; б)60:12=5, 60:15=4 (5 и 4 – дополн. множ.)

в) см.пример 1.

Ответ: hello_html_17e293e3.gif и hello_html_c982246.gif hello_html_m6561408b.gif и hello_html_m9c00d82.gif









СРАВНЕНИЕ, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

Чтобы сравнить, сложить или вычесть обыкновенные дроби, надо:

  • привести дроби к общему знаменателю;

9

7

сравнить, сложить или вычесть числители новых дробей, оставляя их знаменатели без изменения.



2

3

Сравнить: hello_html_2a9d16cb.gif и hello_html_m3abe6c86.gif ; а) НОЗ (9и7)=63; б) hello_html_2a9d16cb.gif = hello_html_m462f3442.gif ; hello_html_m3abe6c86.gif = hello_html_4fff0da2.gif; в) hello_html_m462f3442.gif hello_html_4fff0da2.gif hello_html_2a9d16cb.gif hello_html_m3abe6c86.gif



3

2

Вычислить: hello_html_m64a6d796.gif + hello_html_c982246.gif ( НОЗ(10и15) = 30 ← в уме ) = hello_html_m34401ab7.gif + hello_html_m146e1f84.gif = hello_html_729fb3c2.gif

3

Вычислить: hello_html_57512029.gif hello_html_7fab0216.gif ( НОЗ (12и8) = 24 ← в уме ) = hello_html_m53018d.gif hello_html_m2290c8ae.gif = hello_html_7f093a80.gif

2



ЗАПИСЬ: hello_html_m43879431.gif + hello_html_5d68a7d2.gif = hello_html_m30e1084.gif = hello_html_m20fb654a.gif = hello_html_737f2a4e.gif









ПЕРВООБРАЗНАЯ

Если F’(x) = f(x), то F(x) - первообразная

для f(x)

Функция f(x) = Первообразная F(x)

k = kx + C

xn = xn+1/n+1 + C

1/x = ln |x| + C

ex = ex + C

ax = ax/ ln a + C

1/√x = 2√x + C

cos x = sin x + C

1/ sin2 x = - ctg x + C

1/ cos2 x = tg x + C

sin x = - cos x + C

1/ x2 = - 1/x









СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ

2

3

Для сложения и вычитания смешанных чисел нужно отдельно сложить целые и дробные части компонентов.

3

7

hello_html_f251de.gif+ hello_html_m4477e88b.gif = hello_html_m534457f3.gif = hello_html_481b3018.gif = hello_html_m9bbed12.gif ← в ответе дробь должна быть правильной

hello_html_3e25f9c3.gif1 hello_html_m208cf19f.gif = hello_html_26dd80de.gif = 4 hello_html_m6561408b.gif = 4 hello_html_17e293e3.gif ← в ответе дробь должна быть несократимой

2

3

БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИТАНИЯ



  1. 3 hello_html_m64a6d796.gif hello_html_m73e6025d.gif = hello_html_m45dff524.gif ← ? (9 hello_html_m7c48e444.gif 11) : занимаем у 2 целых 1 и дробим её на hello_html_3e9fb566.gif , которые добавляем к дробной части, имеем: hello_html_74724e44.gif = hello_html_m6145fcc.gif = hello_html_304bd001.gif

1 = hello_html_m314db415.gif = hello_html_m401b1977.gif = …… = hello_html_m47b71236.gif = …… = hello_html_7d7b33cd.gif = …… = hello_html_64a2e524.gif = ….

УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

  • Для умножения обыкновенных дробей нужно перемножить их числители и их знаменатели.

  • Если возможно сокращение – его надо выполнить, это облегчит вычисления.

  • При умножении смешанных и целых чисел их заменяют неправильными дробями.

  1. hello_html_m403f83f2.gifhello_html_5d46b6d0.gif= hello_html_3087a7c8.gif = hello_html_m53a9de17.gif



  1. 2 hello_html_3b88a430.gif hello_html_m1b2243cd.gif = hello_html_m578e0dcb.gif = hello_html_m535311ba.gif = hello_html_m4aae006e.gif = 1 hello_html_6eec8aff.gif

3. 7 ∙ hello_html_3b88a430.gif = hello_html_m78ec0660.gif hello_html_3b88a430.gif = hello_html_262bfae5.gif = 4 hello_html_3b7b3c70.gif











ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

( f (x) + g (x) )’ = f ’(x) + g’(x) (xn)’ = nx n-1

(k(f(x))’ = kf ’ (x) (tg x)’ = 1/ cos2 x

(f(x) g(x))’ = f ’(x)·g(x) + f(x)·g’(x) (ctg x)’ = - 1/ sin2 x

(f(x)/g(x))’=(f ’(x)·g(x) - f(x)·g’(x))/g2 (x)

(f (kx + m))’ = kf ’(kx + m)

ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

c’ = 0 (hello_html_e100458.gif)’ = 1/ 2hello_html_e100458.gif

x’ = 1 (sin x)’ = cos x

(kx + m)’ = k (cos x)’ = - sin x

(1/x)’ = - (1/x2) ( ln x)’ = 1/x

(ex)’ = ex; (xn)’ = nx n-1;(log a x)’=1/x ln a



УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

y = f ’(a) (x-a) + f(a)

ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ОГРАНИЧЕННОЙ ПРЯМЫМИ x=a, x=b

S = ∫( f(x) – g(x)) dx

ФОРМУЛА Ньютона-Лебница

ab f(x) dx = F(b) – F (a)



ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

Деление обыкновенных дробей можно заменить умножением на «перевёрнутую» дробь.

Шаги деления обыкновенных дробей:

  1. преобразовать пример: hello_html_58a4b37c.gif : hello_html_58a4b37c.gif (все компоненты – дроби)

  2. заменить: hello_html_58a4b37c.gif : hello_html_24c89f08.gif = hello_html_58a4b37c.gif hello_html_768898b7.gif

  3. выполнить умножение







НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА





дробь

(?)

всё целое

(знаем)











Задача. В книге 140 страниц. Андрей прочитал 0,3 этой книги. Сколько страниц прочитал Андрей?

Решение

0,3 от 140 стр. ; 140 ∙ 0,3 = 42 (стр.)

Ответ: Андрей прочитал 42 страницы.













НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ДРОБИ



дробь

(знаем)

всё целое

(?)









Задача. Девочка прошла на лыжах 300 метров, что составляет hello_html_m1b987981.gif дистанции. Какова длина дистанции?

Решение

300 м сост. hello_html_m1b987981.gif дистанции; 300 : hello_html_m1b987981.gif = hello_html_m3591ac1b.gif hello_html_1bcba676.gif = hello_html_m4c99eb20.gif = 800 (м)

Ответ: длина дистанции 800 метров.



















ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

sin x = 0, x = πn sin x = b x = (-1)n arcsin b + πn

sin x = 1, x = π/2 + 2 πn cos x = b x = ± arcos b + 2 πn

sin x = -1, x = - π/2 + 2 πn tg x = b x = arctg b + πn

cos x = 0, x = π/2 + 2 πn ctg x = b x = arcctg b + πn

cos x = 1, x = 2πn

cos x = -1, x = π + 2 πn

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ

cos (x +y) = cosx ·cosy – sinx ·siny cos (x -y) = cosx ·cosy + sinx ·siny

sin (x +y) = sinx ·cosy + cosx ·siny sin (x -y) = sinx ·cosy - cosx ·siny

tg (x ±y) = tg x ± tg y/ 1 -+ tg x ·tg y ctg (x ±y) = tg x -+ tg y/ 1± tg x ·tg y

sin x ± sin y = 2 cos (x±y/2)· cos (x-+y/2) cos x ± cosy = -2 sin (x±y/2)· sin (x-+y/2)

1 + cos 2x = 2 cos2 x; cos2x = 1+cos2x/2 1 – cos 2x = 2 sin2 x; sin2x = 1- cos2x/2

ТЕОРЕМЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

sin s cos t = (sin (s+t) + sin (s+t))/2

sin s sin t = (cos (s-t) - cos (s+t))/2

cos s cos t = (cos (s+t) + cos (s-t))/2

ФОРМУЛЫ cos и sin

sin (-x) = -sin x sin (x + 2πk) = sin x

cos (-x) = cos x cos (x + π/2) = -sin x

sin (x + π) = -sin x sin (x + π/2) = cos x

cos (x + π) = -cos x cos (x + 2πk) = cos x

ФОРМУЛЫ tg и ctg

tg x = sin x/ cos x; ctg x = cos x/sin x

tg(-x) = - tg x ctg(-x) = - ctg x

tg (x + πk) = tg x ctg (x + πk) = ctg x

tg (x ± π) = ± tg x ctg (x ± π) = ± ctg x

tg (x + π/2) = - ctg x ctg (x + π/2) = - tg x

ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО И ТРОЙНОГО АРГУМЕНТА

cos 2x = cos2x – sin2 x = 2 cos2 x -1 = 1 – 2 sin2 x = 1 – tg2 x/1 + tg2 x

sin 2x = 2 sin x · cos x = 2 tg x/ 1 + tg2 x

tg 2x = 2 tg x/ 1 – tg2 x

ctg 2x = ctg 2 x – 1/ 2 ctg x

sin 3x = 3 sin x – 4 sin3 x

cos 3x = 4 cos3 x – 3 cos x

tg 3x = 3 tg x – tg3 x / 1 – 3 tg2 x





ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ

  1. 2 : 48; 36 : 1,8; х : 15 - отношения.

  2. Пропорция – равенство двух отношений.

  3. 12 : 6 = 100 : 50 12 и 50 – крайние члены

6 и 100 – средние члены

hello_html_5a60dfbd.gif= hello_html_m5c5796e8.gif

  1. Основное свойство пропорции: если пропорция верна, то произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции: 12 : 6 = 100 : 50; → 12 ∙ 50 = 6 ∙ 100 = 600;

  2. Решение уравнений

hello_html_m550f1252.gif= hello_html_m1dbc4ca6.gif 10 : Х = 2,5 : 5 0,4 ∙х = 2∙ 5 2,5Х = 10 ∙ 5

0,4х = 10; х = 10 : 0,4 = 100:4=25 ; Х = 25

2,5Х = 50; Х = 50 : 2,5 = 500 : 25; Х = 20



5.gif







ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА.

Cдлина окружности; Sплощадь круга;

(пи) ≈ 3,1415926536… (3,14); R(r)-радиус;

C = 2hello_html_4bbc8ba.gifR S = hello_html_5ac4ce6c.gif

Задача Найти длину окружности и площадь круга с радиусом 5 см.

Решение

  1. hello_html_34d3790a.gifr = 2 ∙ 3,14 ∙5 = 6,28 ∙ 5 = 31,4(см)

  2. hello_html_m610bd2e.gifhello_html_5cea5b3.gif= 3,14 ∙ hello_html_m487d3a4c.gif = 3,14 ∙ 25 = 78,5(hello_html_m1cc31f1a.gif)

Окружность – линия, Круг – часть плоскости

КРУГ























Синус угла- отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла- отношение противолежащего катета к прилежащему. Котангенс - наоборот

ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

sin2 x + cos2 x =1

tg x · ctg x = 1

1 + tg2 x = 1/ cos2 x

1 + ctg2 x = 1/ sin2 x

tg2 (x/2) = 1 – cos x/ 1 + cos x

cos2 (x/2) = 1 + cos x/ 2

sin2 (x/2) = 1 - cos x/ 2

Теорема синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R

Теорема косинусов: с2=a2+b2-2ab cos y

t

π/4

π/2

3π/4

π

cos

2/2

0

-2/2

1

sin

2/2

1

2/2

0

t

5π/4

3π/2

7π/4

cos

-2/2

0

2/2

1

sin

-2/2

-1

-2/2

0

t

0

π/6

π/4

π/3

tg

0

3/3

1

3

ctg

-

3

1

3/3















АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

a n+1 = a n + d, где n – натуральное число

d – разность прогрессии;

a n = a 1 + (n – 1)·d – формула n-го члена

Сумма n членов

S n = ((a 1 + a n )/2) · n

S n = ((2a 1 + (n-1)d)/2) · n



ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

b n+1 = bn · q, где n ε N

q – знаменатель прогрессии

b n = b1 · q n – 1n-ый член прогрессии

Сумма n-ых членов

S n = (b n q - b 1 )/q-1

S n = b 1 (q n - 1 )/q-1











0

1

-5

-1

2

3

5

4

-2

-3

-4



A



B



C

КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ЧИСЛА. МОДУЛЬ ЧИСЛА.

1.



В(-5); А(2); С(3,4) – координаты точек



2. противоположные числа: 2 и-2; 5 и-5; -135 и 135; -2,3 и 2,3



3. hello_html_45d5e621.gif - модуль числа а

а = а, если а ≥ 0 → │9│ = 9; │138│ = 138; │0│ = 0

а = -а, если а ≤ 0 → │-5│ = 5; │-18│ = 18

Модуль числа не может быть отрицательным!













СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ

0

1

-5

-1






  1. Из двух чисел всегда больше то, которое расположено на числовой прямой правее:

21 › -40; 18 › 11; -2 › -2339.

  1. Любое положительное число всегда больше

отрицательного: 0,12 › -743; 1 › -5

  1. Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное меньше нуля: 25 › 0; 0 ‹ 987; 0 › -45; -2,47 ‹ 0

  2. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше:

-287 ‹ -5; -18 › -35; -100 ‹ -1



26443951.gif







ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

Если D=0, то x = -b/2a (D = b2-4ac)

Если D>0, то x1,2 = -b± hello_html_m3bc616eb.gif/2a

Теорема Виета

x1 + x2 = -b/a

x1 · x2 = c/a

СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ

a0 = 1 (a≠0)

am/n = hello_html_mf686ac7.gif(a≥0, n ε N, m ε N)

a- r = 1/ a r (a>0, r ε Q)

a m · a n = a m + n

a m : a n = a m – n (a≠0)

(a m) n = a mn

(ab) n = a n b n

(a/b) n = a n/ b n

СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО (КВАДРАТНОГО) КОРНЯ

hello_html_m797279c0.gif(a≥0, b≥0) ; (hello_html_m43dbad66.gifm=hello_html_32d0604f.gif ; hello_html_m1473907c.gif

hello_html_m7c77202f.gif(a≥0) ; hello_html_m6b5b0afe.gif ; hello_html_m63ac315f.gif=hello_html_m5d762c3f.gif ; hello_html_284a77d1.gif



ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

(a±b)²=a²±2ab+b²

(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³

a²-b²=(a+b)(a-b)

a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²),

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)

ФОРМУЛЫ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ :

xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a²xn-3+...+an-1)

ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

где x1 и x2 — корни уравнения

ax²+bx+c=0



67820804.gif



СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ



1. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и в ответе поставить знак «-»:

(-5) + (-11) = -16; -100 + (2,9) = -102,9

2. Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и в ответе поставить знак слагаемого с большим модулем:

25 + (-8) = 17 |25| › |-8| → в ответе знак «+»

-25 + 8 = -17; |-25| › |8| → в ответе знак «-»

3. Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а) -6 – 10 = -6 + (-10) = -16; б) 2 – (-3) = 2 + 3 = 5; в) -1 – (-5) = -1 + 5 = 4;



УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ



МНОЖИТЕЛЬ(ДЕЛИМОЕ)

МНОЖИТЕЛЬ(ДЕЛИТЕЛЬ)

ПРОИЗВЕДЕНИЕ(ЧАСТНОЕ)

+ / +

+ / +

+ / +

+ / +

- / -

- / -

- / -

+ / +

- / -

- / -

- / -

+ / +







ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ СЛАГАЕМЫХ

Подобные слагаемые – это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть: 25х и 0,4х; 8 m и 100m; 6 hello_html_m1d10b43b.gifа и 7,11а

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть

  • 6х – 2х + 4х = 8х

6 – 2 + 4 = 8



  • 18а + 10а – а = 27а

18 + 10 – 1 = 27



  • – у + 11у – = -6а + 10у

5 – 9 – 2 = -6; -1 + 11 = 10

РАСКРЫТИЕ СКОБОК

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать скобки, оставив все слагаемые в скобках со своими знаками (если перед первым слагаемым в скобке знака нет, то подразумевается «+»).

  • (-21х + 47 – 5х) = -21х + 47 – 5х = -26х + 47;

  • 11а + (5у + 5х – 5а) = 11а + 5у + 5х – 5а = 6а + 5х + 5у;

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно убрать скобки, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные.

  • - (-21х + 47 – 5х) = 21х – 47 + = 26х – 47;

  • 11а – (5у + 5х – 5а) = 11а – 5у – 5х + = 16а -5у – 5х.





РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Уравнения решаются по следующему алгоритму

Дано уравнение

7х – (12 + 3х) = 4(х – 3) – 2х +10

Раскрыть скобки

7х – 12 – 3х = 4х – 12 – 2х + 10

Перенести в левую часть уравнения неизвестные слагаемые, а в правую – известные (при переносе поменять знак!)

7х – 3х – 4х + 2х = -12 + 10 +12

Привести подобные слагаемые

2х = 10

Найти корень уравнения

Х = 10 : 2

Х = 5

«-»

меняй знак!

«+»

оставляй знак!











95889810.gif

















































































Шортандинский район

Степная средняя школа








ПОЛЕЗНЫЕ ПОДСКАЗКИ

Для учащихся 5-11 классов





61444841.gif



Из опыта работы учителя математики

Андреевой Оксаны Геннадьевны


Составитель: Андреева Оксана Геннадьевна

учитель математики

Степной средней школы



Рецензенты: Заведующая методическим отделом Шортандинского районного отдела образования А.Хапур, заместитель директора по учебно-воспитательной работе К. Б. Аубакирова




Рецензируемое пособие входит в состав учебно-методического комплекса по математике выполняя свойственные для такого типа изданий дидактические и методические функции. Данное пособие содержит справочный материал. Все основные формулы школьного курса математики: алгебры, геометрии и начал анализа. Пособие предназначено для учителей и школьников 5-11 классов.







Данный сборник рассмотрен на заседании школьной предметной кафедры учителей математики (пр.№ 1 от 5.09. 2013) и рассмотрен на заседании ШМО учителей естественно-математического цикла (пр.№ 1от 28.08. 2013)



Содержание

Математика 5-6 классов 2-15

Алгебра 16-24

Геометрия 25-27

Справочные таблицы 28-29

Использованная литература 30



























Степени чисел 2, 3 и 5

n

2n

3n

5n

0

1

1

1

1

2

3

5

2

4

9

25

3

8

27

125

4

16

81

625

5

32

243

3125

6

64

729

15625

7

128

2187

78125

8

256

6561

390625

9

512

19683

1953125

10

1024

59049

9765625



Значения функции y=ex

x

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0,5

0,5

1/3

ex

0,05

0,14

0,37

2,72

7,39

20,09

54,6

0,61

1,65

1,4



Десятичные логарифмы чисел от 1 до 10

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

lg n=

0

0,3

0,48

0,6

0,7

0,78

0,85

0,9

0,95

1



Натуральные логарифмы чисел от 1 до 10

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ln n=

0

0,69

1,1

1,39

1,61

1,79

1,95

2,08

2,2

2,3



СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ


Простые числа от 2 до 997


2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

419

421

431

433

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631

641

643

647

653

659

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

739

743

751

757

761

769

773

787

797

809

811

821

823

827

829

839

853

857

859

863

877

881

883

887

907

911

919

929

937

941

947

953

967

971

977

983

991

997


Квадраты натуральных чисел от 11 до 99


1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

121

144

169

196

225

256

289

324

361

2

441

484

529

576

625

676

729

784

841

3

961

1024

1089

1156

1225

1296

1369

1444

1521

4

1681

1764

1849

1936

2025

2116

2209

2304

2401

5

2601

2704

2809

2916

3025

3136

3249

3364

3481

6

3721

3844

3969

4096

4225

4356

4489

4624

4761

7

5041

5184

5329

5476

5625

5776

5929

6084

6241

8

6561

6724

6889

7056

7225

7396

7569

7744

7921

9

8281

8464

8649

8836

9025

9216

9409

9604

9801



Кубы натуральных чисел от 1 до 10

X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X3

1

8

27

64

125

256

343

512

729

1000





Только для созидания должны вы учиться!

Ницше Ф.





Вопрос пробелов в знаниях в любой школе стоит очень остро. Необходима постоянная поддержка учителя, дополнительное разъяснение нового материала и разбор старого. А в случае, когда учителя нет рядом, надо постараться разобраться самому.
Все это подтолкнуло меня к составлению справочных материалов по основным вопросам математики, сборник я назвала «Полезные подсказки». Материал в сборнике изложен коротко и доступно, без лишних подробностей, его можно использовать как при решении различных упражнений, содержащих изученные ранее вопросы, так и при самостоятельном разборе упущенного материала в качестве самообразования.
Думаю, что этот сборник будет полезен и интересен ученикам и их родителям.
Брошюру можно использовать как раздаточный материал на уроках.

«Чему бы ты ни учился, ты учишься для себя.»

Петроний



Использованная литература:



Краткое описание документа:

Вопрос пробелов в знаниях в любой школе стоит очень остро.  Необходима постоянная поддержка учителя, дополнительное разъяснение нового материала и разбор старого. А в случае, когда учителя нет рядом, надо постараться разобраться самому.
Все это подтолкнуло меня к составлению справочных материалов по основным вопросам математики, сборник я назвала «Полезные подсказки». Материал в сборнике изложен коротко и доступно, без лишних подробностей, его можно использовать как при решении различных упражнений, содержащих изученные ранее вопросы, так и при самостоятельном разборе упущенного материала в качестве самообразования.
Думаю, что этот сборник будет полезен и интересен  ученикам  и их родителям.
Брошюру можно использовать как раздаточный материал на уроках.

«Чему бы ты ни учился, ты учишься для себя.»

Петроний

Автор
Дата добавления 12.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1068
Номер материала 290847
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх