Получение приближенных аналитических решений задач Коши

для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

с помощью цепных дробей

Мошак София Павловна

ГБУ ОО ЗО «Тимошевская СОШ» Михайловского района

Актуальность темы. Для описания процессов, протекающих в реальной жизни, используются различные математические модели, в том числе и обыкновенные дифференциальные уравнения. Решения некоторых дифференциальных уравнений известны [4], некоторые уравнения не решаются в элементарных функциях, но решаются в специальных функциях [1]. Однако большинство уравнений не решаются в квадратурах, и для них нужно применять приближенные методы [5, 6].

Одним из эффективных методов получения приближенных решений есть метод рядов, с помощью которого, к примеру, вводятся функции Бесселя [9]. Из теории приближений известно, что часто более точными, чем приближения многочленами, являются приближения рациональными функциями [2, 3]. Метод цепных дробей, применяемый к дифференциальным уравнениям первого порядка позволяет получать приближения к решению сразу в виде аппроксимаций Паде. Поскольку обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка часто встречаются в приложениях [7], то разработка способа получения аналитических приближению к решению в виде аппроксимаций Паде есть актуальной задачей математики.

Отметим, что аппроксимации Паде заданного типа решения дифференциального уравнения с начальными условиями можно получить непосредственно, использовав метод неопределенных коэффициентов. Однако для получения более точного приближения нужно проводить все выкладки сначала. В отличие от непосредственного построения Паде-аппроксимаций, предложенный в работе метод позволяет улучшать их, используя данные, полученные на предыдущей итерации.

Классический метод цепных дробей. В данной работе метод, предложенный Ж.Л. Лагранжем [8] для дифференциальных уравнений Риккати первого порядка, распространяется на уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Кратко суть указанного метода заключается в следующем.

Пусть задана задача Коши , . Первое приближение  к решению  в окрестности заданной точки  ищем в виде:

,                                                (1)

где  – новая неизвестная функция, а  – некоторая функция такая, что при  имеет место соотношение . Полагая в (1) , получаем первое приближение решения в виде

.

Далее решение преобразованного уравнения  снова ищется в виде:

,                                                 (2)

где  – новая неизвестная функция и при  имеет место соотношение . В результате решение исходного дифференциального уравнения записывается в виде следующей цепной дроби:

.                                   (3)

Полагая в (3) , получаем второе приближение в виде

.

Продолжая аналогично этот процесс и далее, мы можем получить решение с требуемой точностью.

Модификация метода для уравнений второго порядка. Перенесем выше изложенную теорию на дифференциальные уравнения второго порядка с заданными начальными условиями. Пусть задано линейное дифференциальное уравнение второго порядка

                                                  (4)

и начальные условия (без ограничения общности считаем, что они заданы в точке )

                                             (5)

Решение ищем в виде

                                            (6)

где  – новая неизвестная функция. При этом условие (5) всегда будет иметь место. Поскольку

,

то условие (6) будет выполняться при

.                                                    (7)

При  получим первое приближение к решению уравнения (4):

,

причем разность .

С учетом (7) будем искать функцию  в виде , подбирая ненулевые константы  и  таким образом, чтобы левая часть, полученного в результате подстановки функции (6) в уравнение (4), выражения, имела как можно больший порядок малости при . Другими словами, мы ищем первый ненулевой член разложения функции  в ряд Маклорена. Сделать это можно следующим способом.

Подставим (6) в (4), умножим обе части на ненулевой множитель , приведем подобные, и получим уравнение вида

.                                                (8)

Разложим левую часть в ряд Маклорена и получим выражение вида

,                                            (9)

где коэффициенты  зависят от значения функции  и ее производных в нуле. Подберем константы  и  (с учетом (7)) так, чтобы максимально возможное количество первых коэффициентов ряда (9) равнялось нулю.

После определения констант  и , точное выражение для функции  ищем в виде

,                                                  (10)

где по изложенным выше соображениям полагаем, что .

Второе приближение  к решению получим, если подставим (10) в (6) и положим, что . В развернутом виде оно имеет вид

.                                        (11).

Для получения следующего приближений подставляем (10) в (8) и проводим те же рассуждения, которые описаны выше, и так далее находим требуемое количество приближений.

Пример. Рассмотрим уравнение

.                                                    (12)

с начальными условиями

, ,                                                  (13)

решение которого

                                                    (14)

можно довольно легко найти [9]. Мы берем такое простое уравнение, чтобы в процессе получения решения с помощью цепных дробей можно было делать проверку выкладок.

Решение уравнения (12) ищем в виде:

,                                              (15)

где функция  удовлетворяет условию . Первое приближение имеет вид

.

Заметим, что это приближение, по сути, есть приближением Паде степени (1,0) к функции (14).

Подставляем (15) в (12) и, после преобразований, получаем уравнение

               (16)

Раскладываем левую часть равенства в ряд Маклорена (в данном случае для определения, оказывается, достаточно удержать только первое слагаемое ):

.

Из условия  (так как рассматривается однородное дифференциальное уравнение) получаем, что

,

и, следовательно, .

Получили второе приближение к решению

.

Полученное приближение совпадает с аппроксимацией Паде степени (1, 1) функции решения (14).

Для получения следующего приближения функцию  будем искать в виде:

,                                        (17)

при условии, что .

Подставляем (17) в (16) и, после упрощений, получаем:

Раскладываем левую часть последнего равенства в ряд Маклорена до первого не нулевого слагаемого. В этом случае это будет второе слагаемое :

.

С учетом того, что , получаем

.

Отсюда будем иметь, что

,

и делаем вывод, что .

Итак, получили третье приближение к решению

,

которое совпадает с аппроксимацией Паде (2, 1) точного решения (14).

Рисунок 1 – Графики точного решения и его первых трех приближений

В масштабе рисунка третье приближение  и точное решение дифференциального уравнения (12) совпали.

Выводы. В работе изучается метод цепных функциональных дробей, который ранее применялся при решении задач Коши для дифференциальных уравнений первого порядка. Впервые показано, что он может быть адаптирован для получения приближенных аналитических решений дифференциальных уравнений второго порядка. Приведен пример, в котором получено три первых приближения к точному решению уравнения с известным аналитическим решением. Эти приближения есть последовательные аппроксимации Паде точного решения.

Литература

1. Абрамовиц М. Справочник по специальным функциям [Текст] / Абрамовиц М., Стиган И. – М.: Наука, 1979. – 832 c.

2. Бейкер Дж. Аппроксимации Паде [Текст] / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис. – М.: Мир, 1986. – 502 с.

3. Вишневский В.Э. Аппроксимация Паде решения задачи Коши [Текст] / В.Э. Вишневский, А.В. Зубов, О.А. Иванова // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр. – 2012. – № 4. – С.3-17.

4. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Корн Г., Корн Т. – М.: Наука, 1974. – 832 с. 

5. Липанов А.М. Неявный метод численного решения дифференциальных уравнений [Текст] / А.М. Липанов, С.А. Карсканов // Мат. моделирование. – 2013. – Т. 25. – № 3. – С.25-32.

6. Милн В.Э. Численное решение дифференциальных уравнений [Текст] / В.Э. Милн. – М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1955, 290 с.

7. Павленко Ю.Г. Лекции по теоретической механике [Текст] / Ю.Г. Павленко. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 392 с.

8. Хованский А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщение к вопросам приближенного анализа [Текст] / А.Н. Хованский. – М.: ГИТТЛ, 1956. – 204 с.

9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление [Текст] / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Эдиториал УРСС, 2002. – 320 с.