Понятие множества. Операции над множествами.

• 1 слайд

  множества
  Операции над множествами.
  «Множество есть многое, мыслимое нами как единое»
  (основатель теории множеств –
  Георг Кантор).
  

• 2 слайд

  Понятия теории множеств
  
  Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так:
  Множество- совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.
  
  

• 3 слайд

  Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.
  Среди множеств выделяют особое множество - пустое множество.
  Пустое множество- множество, не содержащее ни одного элемента.
  Пустое множество является частью любого множества.
  Примеры пустых множеств.
  1) Множество квадратных уравнений, которые имеют более двух разных
  корней;
  2) множество простых делителей числа 1;
  3) множество точек пересечения двух параллельных прямых;
  4) множество прямых углов равностороннего треугольника;
  5) множество людей на Солнце;
  6) множество двузначных положительных чисел, расположенных на числовом луче левее 9.
  
  
  

• 4 слайд

  Пустое множество
  

• 5 слайд

  
  Множество считается определенным , если указаны все его элементы. Эти элементы могут быть указаны с помощью некоторого общего признака или с помощью некоторого списка, где обозначены все элементы.
  Конечное множество- множество, состоящее из конечного числа элементов.
  Бесконечное множество- непустое множество, не являющееся конечным.
  
  
  
  

• 6 слайд

  
  Пример: Множество натуральных чисел является бесконечным.
  Упорядоченное множество - множество, каждому элементу которого поставлено в соответствие некоторое число (номер этого элемента) от 1 до n, где n - число элементов множества, так что различным элементам соответствуют различные числа. Каждое конечное множество можно сделать упорядоченным, если, например, переписать все элементы в некоторый список (a, b, c, d,...), а затем поставить в соответствие каждому элементу номер места, на котором он стоит в списке.
  
  

• 7 слайд

  
  Пример: Множество натуральных чисел является бесконечным.
  Упорядоченное множество - множество, каждому элементу которого поставлено в соответствие некоторое число (номер этого элемента) от 1 до n, где n - число элементов множества, так что различным элементам соответствуют различные числа. Каждое конечное множество можно сделать упорядоченным, если, например, переписать все элементы в некоторый список (a, b, c, d,...), а затем поставить в соответствие каждому элементу номер места, на котором он стоит в списке.
  
  

• 8 слайд

  Способы задания множеств
  Перечислением элементов множества;
  Описанием общего (характеристического) свойства, объединяющего элементы.
  
  Приведите примеры множеств. Используя способы их задания.
  

• 9 слайд

  А={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
  № 1
  Какое множество задано путем перечисления его элементов?
  

• 10 слайд

  Задайте
  множество лошадей, пасущихся, на Луне.
  № 2
  

• 11 слайд

  Пример: Множество учеников данного класса определяется их списком в классном журнале, множество всех стран на земном шаре - их списком в атласе, множество всех костей в человеческом теле - их списком в учебнике анатомии.
  Пример: Хотя множество всех рыб в океане конечно, вряд ли его можно задать списком.
  Пример: Свойство "быть квадратом целого числа" задает (бесконечное) множество всех квадратов целых чисел.
  Пример: Множество толстокожих животных, имеющих два бивня, совпадает со множеством толстокожих животных, имеющих хобот, - это множество слонов.
  
  

• 12 слайд

  Наглядное изображение множеств с помощью кругов Эйлера
  Элемент х принадлежит множеству А: х А
  Элемент х не принадлежит множеству А: а А
  А
  х
  А
  х
  

• 13 слайд

  Отношения между множествами
  
  Множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же элементов.
  Пример: Равными являются все пустые множества.
  
  Равенство множеств А и В записывают в виде А=В. Отношение "=" называется отношением равенства.
  
  На диаграмме Эйлера-Венна утверждение "множество А является подмножеством множество В" изображают так
  
  
  Множество А называют подмножеством множества В , если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В
  То, что множество А является подмножеством множества В обозначают так
  Таким образом, подмножеством данного множества В является и само множество В.
  Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества.
  
  

• 14 слайд

  Мощность множеств.
  Множества А и В имеют равные (одинаковые) мощности, если между элементами этих множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие.
  
  Пример.
  А={1,2, 3} и В = {2,4,9.}
  Можно установить взаимно-однозначное соответствие
  1, 2, 3.
  1, 4, 9.
  Эти множества имеют равные мощности.
  Если А и В – конечные множества
  А состоит из n₁ элементов, а В состоит из n2 элементов, то
  мощности А и В равны, если n₁ = n2
  мощность А меньше мощности В, если n₁ < n2 .
  Мощность
  конечного множества А меньше мощности бесконечного В.
  

• 15 слайд

  Операции над множествами.
  А В
  

• 16 слайд

  Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А,В.
  Объединение множеств обозначается
  На диаграмме Эйлера-Венна объединение двух множеств выглядит так
  
  
  П р и м е р : {1,2,3} {2,3,4} = {1,2,3,4}.
  

• 17 слайд

  Объединение множеств
  - множество двузначных чисел, кратных 15
  - множество двузначных чисел, кратных 18
  множество,
  состоящее из элементов этих множеств образует
  их объединение
  А
  В
  

• 18 слайд

  Пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.
  Пересечение множеств обозначается
  На диаграмме Эйлера-Венна пересечение двух множеств выглядит так
  
  
  
  П р и м е р : {1,2,3} {2,3,4} = {2,3}
  
  

• 19 слайд

  Пересечение множеств
  - танцевальная группа класса
  - хоровая группа класса
  - члены обеих групп образуют пересечение множеств А и В
  А
  В
  

• 20 слайд

  Даны множества
  А = {3,5, 0, 11, 12, 19},
  В = {2,4, 8, 12, 18,0}. Найдите множества AU В, А В
  задача
  

• 21 слайд

  
  В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?
  

• 22 слайд

  Решение.
  
  Пусть А - это множество учеников, умеющих петь. Количество элементов в нём по условию равно n = 17. Пусть В - множество учеников, умеющих танцевать. Количество элементов в нём - m = 19.
  - множество совпадает со всем классом, т.к. каждый ученик в классе поёт или танцует.
  - это множество тех учеников класса, которые поют и танцуют одновременно.
  
  (17 +19) – 30 = 6
  
  Ответ: 6 учеников в классе поют и танцуют одновременно.
  

• 23 слайд

  Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?
  
  
  Решение:
  Пусть А- множество учащихся изучающих английский язык,
  Ф - множество учащихся изучающих французский язык,
  О - множество учащихся изучающих английский и французский язык.
  
  25-18=7(уч.) – изучают только английский;
  27-18=9(уч.)– изучают только французский;
  3)18+(7+9)=34(уч.)
   
  
  Ответ: в классе 34 ученика.
  

• 24 слайд

  Успеха!!!
  

Краткое описание документа:

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения; для его объяснения используются описательные формулировки, характеризующие множество как совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое. При изучении в школе понятие "Множество" я использую презентацию. Наглядно представлены операции над множествами,расматриваются задачи с ответами.